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    知整體 明方法 重策略

    2023-10-08 12:21:48張衛(wèi)明
    初中生世界·八年級 2023年9期
    關鍵詞:重合結論三角形

    第一章 全等三角形

    領? 銜? 人:張衛(wèi)明(正高級教師、江蘇省特級教師)

    組稿團隊:江蘇省鹽城市初中數(shù)學張衛(wèi)明名師工作室

    “全等三角形”是蘇科版數(shù)學教材八(上)第1章內容,是初中幾何的重要內容之一。本章的學習,不僅可以豐富同學們對已知圖形的認識,也為后面學習等腰三角形、四邊形、圓等知識打下基礎,為研究相似三角形提供了思路?,F(xiàn)從單元整體上做如下梳理。

    一、整體理解全等三角形的結構體系

    本章圍繞全等三角形的性質和判定展開,重點探究全等三角形的判定條件,并應用全等三角形的知識,掌握兩個尺規(guī)作圖:①作一個角的平分線,②過一點作已知直線的垂線。同學們在本章也較為系統(tǒng)地學習了直接證明方法中的綜合法,“利用已知條件和某些數(shù)學定義、公理、定理等,經(jīng)過一系列的推理論證,最后推導出所要證明的結論成立”。綜合法往往由已知條件出發(fā),不斷推出新結論,直至這個結論就是所求的結論。同學們要學會用綜合法證明有關三角形全等的命題,學會邏輯推理,并用規(guī)范的數(shù)學語言表達,發(fā)展演繹推理能力。

    二、感悟體會全等三角形的學習方法

    1.在操作中感悟全等三角形的判定

    在學習了全等三角形的定義和性質后, “具備怎樣的條件,兩個三角形就全等” 這一問題便順勢而生。從三角形組成元素的角度出發(fā),將籠統(tǒng)的“完全重合”轉變?yōu)榫唧w的、可操作的“尋找有效條件”。以“兩邊及其夾角相等的兩個三角形全等”為例,我們可嘗試完成兩次操作。操作一:用長方形紙片剪出一個直角三角形,使剪出的直角三角形與另一個直角三角形重合,根據(jù)兩直角邊相等,可得到兩個三角形全等;操作二:用直尺和圓規(guī)作△ABC(圖略),使得∠A=∠A′,AB=A′B′,AC=A′C′,進一步體會結論的正確性。

    2.在運動中體會全等三角形的性質

    我們可以借助圖形的運動來學習全等三角形的性質。兩個三角形經(jīng)過平移、翻折、旋轉后完全重合,提供了識別全等三角形對應頂點、對應邊、對應角的方法,有助于形成良好的空間觀念。

    例如,如圖1、圖2,可以通過平移使兩個三角形完全重合,快速找到兩個全等的三角形的對應元素。

    如圖3、圖4,可以通過翻折使兩個三角形完全重合。<E:\初中生\初中生 八年級9\張衛(wèi)明-3.tif><E:\初中生\初中生 八年級9\張衛(wèi)明-4.tif>

    如圖5、圖6,可以通過旋轉使兩個三角形完全重合。<E:\初中生\初中生 八年級9\張衛(wèi)明-5.tif><E:\初中生\初中生 八年級9\張衛(wèi)明-6.tif>

    三、研磨凝練全等三角形的解題策略

    “全等三角形的對應邊相等、對應角相等”,借助這樣的性質,我們可以證明線段相等、角相等,在此基礎上,可進一步探究線段之間的數(shù)量關系和角之間的數(shù)量關系。由此可見,全等三角形是幾何證明的重要工具。這里提供兩種全等三角形的解題策略。

    1.洞悉條件,巧選判定方法

    三角形的全等判定一般有四種方法:SAS、AAS、ASA、SSS,直角三角的全等判定除了前面四種方法,還有HL。我們發(fā)現(xiàn),至少有三個元素相等方可判定兩個三角形全等,且至少要有一組邊對應相等。全等三角形的判定有多種方法,不同的判定方法的條件也是不同的。我們先要觀察待證全等的兩個三角形中,已有哪些條件,再恰當選取判定方法。題目通常會給定全等三角形判定所需的兩個條件,我們再推理出第三個相等要素即可(如例1)。

    例1 (2022·陜西)如圖7,在△ABC中,點D在邊BC上,CD=AB,DE∥AB,∠DCE=∠A。求證:DE=BC。

    【分析】要證明DE=BC,只需求證△ABC≌△CDE。已知這兩個三角形中有一組對應邊相等和一組對應角相等,即AB=CD,∠A=∠DCE,且邊是角的鄰邊。根據(jù)上面的分析,我們可通過找AC=CE或∠B=∠EDC來證明△ABC和△CDE全等,由條件DE∥AB可推出∠B=∠EDC,從而解決問題。

    2.添線搭橋,構造全等三角形

    當要證在兩個三角形中的兩條線段或兩個角相等時,我們可直接證明這兩個三角形全等。但有時要證的相等線段或相等角不在兩個全等的三角形中,這時我們就需要添加輔助線,構造全等三角形,搭建已知與結論之間的“橋梁”。添加合適的輔助線往往能“絕處逢生”(如例2)。

    例2 如圖8,AC=AD,BC=BD,求證:∠C=∠D。

    【分析】要證明∠C=∠D,但∠C和∠D并不在兩個三角形中。因此,我們可以連接AB,構造出△ABC和△ABD。這樣∠C和∠D分別在△ABC和△ABD中,即轉化為求證△ABC和△ABD全等,根據(jù)“SSS”即可證得。

    全等三角形是初中數(shù)學中幾何學習的基礎,也是發(fā)展推理能力的關鍵。要想學好全等三角形,同學們要學會從整體的視角研究問題,學會用數(shù)學的思維思考問題,明晰學習方法,凝練解決問題的策略,積累數(shù)學活動經(jīng)驗。這樣我們就會打開更廣闊的數(shù)學思維空間,能夠更深入地探索幾何學的奧秘。

    (作者單位:江蘇省鹽城市鹿鳴路初級中學)

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