由算例理解電磁場等效定理

張 明 湯一銘 包 揚

(南京郵電大學 電子與光學工程學院、柔性電子學院, 南京 210023)

電磁場等效定理最早由Love[1]提出,后經(jīng)Schelkunoff[2]擴展,已在電磁場計算中得到廣泛應用[3-4]。Harrington在其著作《Time Harmonic Electromagnetic Fields》[5]中給出了場等效定理的一般形式,自此場等效定理已逐漸成為大學和研究生階段“電磁場理論”課程教學的重要內(nèi)容之一[6-8]。然而對于初學者,難以在其眾多的變化中找到規(guī)律并應用于電磁場計算。

本文通過簡單場景電磁場問題的多種等效問題,從數(shù)學和物理兩方面解釋電磁場等效定理,案例形象直觀,有助于初學者完整理解場等效定理。

最后將其推廣到一般形式,用兩個電磁場散射問題說明電磁場等效定理一般形式的使用方法,為學生在今后應用場等效定理解決實際電磁場問題計算時提供參考。

1 電磁場邊界條件和唯一性定理

在討論電磁場等效定理之前,先回顧電磁場切向分量的邊界條件及電磁場唯一性定理[7]。

1.1 邊界條件

如圖1所示,曲面S將媒質(zhì)1(介電常數(shù)和磁導率分別為ε1和μ1)和媒質(zhì)2(介電常數(shù)和磁導率分別為ε2和μ2)分為兩個區(qū)域,分界面兩側(cè)的電磁場分別為E1,H1和E2,H2。如在媒質(zhì)分界面上有面電流密度JS和面磁流密度MS,則分界面兩側(cè)電場強度和磁場強度的切向分量分別滿足

圖1 電磁場切向分量的邊界條件

(1)

(2)

由邊界條件(1)和(2)可知:

(1)如果分界面上不存在面電/磁流,則分界面兩側(cè)電/磁場強度的切向分量保持不變,或分界面兩側(cè)電/磁場強度的切向分量連續(xù)。

(2)如果人為改變某一側(cè)電/磁場的切向分量,則會造成分界面兩側(cè)電/磁場強度的切向分量不連續(xù),此時必須有相應的面電/磁流出現(xiàn),以彌補分界面兩側(cè)電/磁場強度的切向分量不連續(xù)造成的差。這是場等效定理的操作依據(jù)。

1.2 電磁場唯一性定理

電磁場等效定理源自電磁場唯一性定理。以時諧場為例,電磁場唯一性定理為:

(1)區(qū)域邊界上電場強度E的切向分量確定;

(2)區(qū)域邊界上磁場強度H的切向分量確定;

(3)區(qū)域部分邊界上電場強度E的切向分量確定,剩余邊界上磁場強度H的切向分量確定。

三個條件只要滿足其中任意一個,則該區(qū)域內(nèi)由電流源Ji和磁流源Mi產(chǎn)生的電磁場E和H是唯一的。

電磁場唯一性定理為場等效定理提供了理論基礎,即只要保證區(qū)域內(nèi)電/磁流源不變,區(qū)域內(nèi)媒質(zhì)不變,區(qū)域邊界上的邊界條件不變,則區(qū)域內(nèi)的電磁場就不變,而區(qū)域外的場和媒質(zhì)可以按需要變化(選擇)。

2 Love場等效定理

首先看一個最基本的場等效問題。

2.1 Love場等效的原問題

如圖2(a)示,在整個空間有媒質(zhì)(ε1,μ1),電流源J1和磁流源M1在整個空間產(chǎn)生的電磁場為E1和H1?，F(xiàn)用一封閉曲面S包圍電/磁流源,曲面S將空間分為含電/磁流源的區(qū)域V1,和不含源的區(qū)域V2。

(a)原問題

(b) 區(qū)域V2的等效問題圖2 Love電磁場等效原理

2.2 V2區(qū)域場等效問題

(3)

(4)

式中H1,V1和H1,V2分別是表面S兩側(cè)的磁場強度,由原問題可知,H1,V1︳S=H1,V2︳S=H1︳S;同理E1,V1︳S=E1,V2︳S=E1︳S。因此,V2區(qū)域內(nèi)的電磁場E1,H1可以看成是由S面的等效面電流密度Js和等效面磁流密度Ms在整個空間都是媒質(zhì)(ε1,μ1)情況下產(chǎn)生的。因為對于V2區(qū)域而言,等效前后區(qū)域內(nèi)電/磁流源沒有發(fā)生變化(都不存在電/磁流源),區(qū)域邊界S上,電/磁場強度切向分量等效前后沒有發(fā)生變化,根據(jù)電磁場唯一性定理,等效問題V2區(qū)域內(nèi)的電磁場與原問題一樣。

我們還可以理解為,原問題V2區(qū)域內(nèi)的電磁場是V1區(qū)域的電磁場通過S面“傳遞”到V2區(qū)域,等效問題將V1區(qū)域的電磁場設為零,V1區(qū)域無電磁場通過S面“傳遞”到V2區(qū)域,則需要在S面上添加等效源來產(chǎn)生V2區(qū)域的電磁場。電磁場唯一性定理和邊界條件保證了S面上(3)和(4)所示的等效源在V2區(qū)域產(chǎn)生與原問題一樣的電磁場。

3 一個特殊場景的電磁場等效問題

為了檢驗上述場等效定理,Rengarajan[9]用無限空間向+z方向傳播的均勻平面電磁波為例,等效z>0半空間的電磁場,及在z=0平面上的等效電/磁流。為便于進一步擴展,現(xiàn)將其復述如下。

3.1 原問題

如圖3(a)所示,整個空間媒質(zhì)參數(shù)為(ε,μ),極化為+x的沿+z方向傳播的均勻平面波可表示為

(a)原問題 (b)V2區(qū)域等效問題1圖3 場等效原理算例

(5)

(6)

3.2 等效問題1

如圖3(b)所示,將z<0半空間的電磁場設為零,根據(jù)式(3)和(4),在z=0平面上的等效電/磁流源為

(7)

(8)

由電/磁流源JS和MS產(chǎn)生的電磁場分別如表1和表2所示。

表1 z=0平面上等效面電流源JS產(chǎn)生的電磁場

表2 z=0平面上等效面磁流源Ms產(chǎn)生的電磁場

表1和表2電磁場的具體計算見文獻[9]附錄。由表1和表2很容易發(fā)現(xiàn),等效面電/磁流源在z<0區(qū)域產(chǎn)生的總電/磁場為零,而在z>0區(qū)域產(chǎn)生的總電/磁場恰好是公式(5)和(6)表示的原問題的電磁場。

電磁場唯一性定理并未對V1區(qū)域的媒質(zhì)和電磁場做限制,因此V2區(qū)域可以有更多的等效。

3.3 等效問題2

如圖4(a)所示,z<0半空間設為理想電導體(perfect electric conductor PEC),內(nèi)部電磁場為零,在z=0平面上的等效電/磁流源也為式(7)和(8)所示。此時V2區(qū)域內(nèi)的電磁場等效為z=0(PEC平面上)的等效面電/磁流密度所產(chǎn)生。應用電磁場互易定理可知PEC表面的電流不產(chǎn)生輻射[9],而磁流源產(chǎn)生的電磁場可利用無限大PEC表面的鏡像法[7],即V2區(qū)域內(nèi)的電磁場由移去理想電導體后兩倍式(8)所示磁流源產(chǎn)生。利用表2的公式,容易得到與式(5)和(6)相同的電磁場。

(a) V2區(qū)域等效問題2 (b) V2區(qū)域等效問題3圖4 場等效原理算例

3.4 等效問題3

如圖4(b)所示,z<0半空間設為理想磁導體(perfect magnetic conductor PMC),電磁場為零,在z=0平面上的等效電/磁流源也為(7)和(8)。由互易定理知PMC表面的磁流不產(chǎn)生輻射,利用無限大PMC表面的鏡像法[7],V2區(qū)域內(nèi)的電磁場由移去PMC后兩倍式(7)的電流源產(chǎn)生。由表1的公式可得此等效的電磁場與式(5)和(6)相同。

3.5 等效問題4

如圖5(a)所示,將z<0半空間改為與原媒質(zhì)不同的另一種媒質(zhì)(ε1,μ1),電磁場設為零。在z=0平面上的等效電磁流源還是如式(7)和(8)所示。V2區(qū)域的電磁場等效問題描述為:整個空間由媒質(zhì)(ε1,μ1)和媒質(zhì)(ε,μ)各占一半,分界面是z=0,在媒質(zhì)(ε1,μ1)的表面上有式(7)和(8)所示的等效面電/磁流源,這一對電/磁流源在V2區(qū)域?qū)a(chǎn)生與原問題一樣的電磁場。請注意此時與等效問題1不同,整個空間不是同一種媒質(zhì),不能直接用表1和表2所示的計算結(jié)果(因為不能用無界空間的格林函數(shù)積分得到電/磁流源的磁/電矢量位)。

(a)V2區(qū)域等效問題4 (b)V2區(qū)域等效問題5圖5 場等效原理算例

要計算半空間表面上的電/磁流源產(chǎn)生的電磁場需要使用半空間表面上的格林函數(shù)[10],這里我們用表1和表2的結(jié)果分析推算。將圖5(a)中電/磁流源從z=0移到z=z0,z0>0,計算此時電/磁流源在z>z0空間的電磁場,然后讓z0→0,即是V2區(qū)域的等效電磁場。

z=z0處的電/磁流在0z0空間的電磁場只是z=z0的電/磁流源直接產(chǎn)生的電磁場,按表1和表2中z>0區(qū)域的公式計算,只需把公式中的z替換為z-z0。當z0→0,V2區(qū)域的場與原問題完全一樣。

值得注意的是,比較等效問題4和等效問題1,兩者等效面電/磁流密度一樣,但在V1區(qū)域的媒質(zhì)不同。等效問題1中V2區(qū)域的場由等效面電/磁流源在全空間相同媒質(zhì)情況下產(chǎn)生。而等效問題4中,V2區(qū)域的場由與等效問題1相同的電/磁流源在半空間為媒質(zhì)(ε1,μ1),半空間為媒質(zhì)(ε,μ)情況下產(chǎn)生。但在V2區(qū)域,兩種等效問題的場與原問題一樣。

3.6 等效問題5

(9)

(10)

由以上等效問題的討論可得如下結(jié)論:

(1)被等效區(qū)域外的媒質(zhì)可任意假設;

(2)被等效區(qū)域外的電磁場可任意假設,但必須為該區(qū)域電磁場問題的真實解;

(3)被等效區(qū)域內(nèi)的場由三部分疊加而成:①區(qū)域內(nèi)原本的源產(chǎn)生的場;②邊界等效源產(chǎn)生的場;③邊界外“傳遞”進來的場(等效問題中區(qū)域外未設成零場的情況)。

4 電磁場等效定理一般形式

至此可將電磁場等效定理推廣到一般形式[5]:

4.1 原問題a

(a) 原問題a

(b) 原問題b

(c) 等效問題1

(d) 等效問題2圖6 電磁場等效原理一般形式

4.2 原問題b

4.3 等效問題1

如圖6(c),V1區(qū)域等效原問題b,同時V2區(qū)域等效原問題a,等效面電/磁流密度為

(11)

(12)

4.4 等效問題2

如圖6(d),V1區(qū)域等效原問題a,同時V2區(qū)域等效原問題b,等效面電/磁流密度為

(13)

(14)

上兩式中用到原問題a和b的邊界條件。各區(qū)域產(chǎn)生的場分析類似于等效問題1。

最后以理想電導體和介質(zhì)體的電磁散射問題為例,說明如何使用上述電磁場等效定理的一般形式。

4.5 PEC目標散射

設自由空間(ε0,μ0)一均勻平面電磁波入射到一PEC目標上,電磁場在PEC內(nèi)部為零,PEC外的總場包括入射場和PEC產(chǎn)生的散射場。為計算PEC目標的散射場,應用電磁場等效定理一般形式如下:

原問題a:V1區(qū)域為導體,場為零,無源;V2區(qū)域為媒質(zhì)(ε0,μ0),電/磁流源產(chǎn)生均勻平面波,即是入射場。

原問題b:整個空間都為媒質(zhì)(ε0,μ0),電磁流源為零,場為零。

應用等效問題1中V2區(qū)域等效,V1區(qū)域為原問題b的媒質(zhì),與V2區(qū)域媒質(zhì)一樣,整個空間為媒質(zhì)(ε0,μ0)。根據(jù)原問題a的邊界條件:PEC表面電場強度的切向分量為零,因此S表面的等效磁流源為零。等效面電流密度為

(15)

式中H為PEC表面的總磁場強度。由理想電導體表面邊界條件得散射電場強度的切向分量等于入射電場強度切向分量的負值,

(16)

其中V2區(qū)域原本的源產(chǎn)生入射場Einc為已知。散射場由等效面電流密度JS產(chǎn)生,等效問題的整個空間為媒質(zhì)(ε0,μ0),使用自由空間格林函數(shù),可寫出由JS計算散射電場的表達式Esca(JS)[5]。代入式(16)即為理想電導體的電場積分方程。用矩量法[12]解出JS,就可計算散射電磁場。

4.6 介質(zhì)體散射

設自由空間(ε0,μ0)中一均勻平面波入射到一均勻介質(zhì)體(ε,μ)上,在介質(zhì)體內(nèi)電磁場為總場(E1,H1),介質(zhì)體外的電磁場(E2,H2)包括了入射場和介質(zhì)體產(chǎn)生的散射場。為計算介質(zhì)體的散射場,應用電磁場等效定理的一般形式如下:

原問題a,V1區(qū)域為介質(zhì)體(ε,μ),場為(E1,H1),無源;V2區(qū)域為自由空間(ε0,μ0),電磁流源產(chǎn)生均勻平面電磁波,即是入射場。

原問題b,V1區(qū)域為自由空間(ε0,μ0),無源,場為零;V2區(qū)域為介質(zhì) (ε,μ),源和場都為零。

應用等效問題1中V2區(qū)域等效,V1區(qū)域為原問題b的媒質(zhì)(ε0,μ0),與V2區(qū)域的媒質(zhì)一樣,因此整個空間為同一媒質(zhì)(ε0,μ0)。根據(jù)原問題a的邊界條件,表面S內(nèi)外電/磁場強度的切向分量連續(xù)。等效面電/磁流密度為

(17)

(18)

式中H2|S為S表面的總磁場強度,E2|S為S表面的總電場強度。由于在此等效問題中,整個空間都是媒質(zhì)(ε0,μ0),可以寫出用自由空間格林函數(shù)計算V2區(qū)域內(nèi)散射電磁場的計算式[11],簡記為Esca(JS,MS)和Hsca(JS,MS)。

再應用等效問題2中V1區(qū)域等效,V1區(qū)域為原問題a的均勻介質(zhì)體(ε,μ),V2區(qū)域的媒質(zhì)為原問題b的(ε,μ),此時整個空間都是媒質(zhì)(ε,μ)。V1區(qū)域內(nèi)是總場(E1,H1),V2區(qū)域的場為零。S表面的等效面電/磁流密度分別為-JS和-MS,用媒質(zhì)(ε,μ)完整空間的格林函數(shù)可寫出這對電磁流源在V1區(qū)域產(chǎn)生總場表達式,簡記為E1(-JS,-MS)和H1(-JS,-MS)。最后利用S表面的邊界條件得電磁場積分方程

(19)

和

(20)

上述兩積分方程右端入射場為已知,用矩量法[12]解出JS和MS,并由JS和MS計算散射場。

在實際應用中,為了計算簡便,常用兩種等效問題:

原問題整個空間不是同一媒質(zhì),等效后為同一媒質(zhì),由此可使用完整空間的格林函數(shù)。在計算喇叭和拋物面口徑天線輻射時常使用該等效方法。

分界面為無限大平面時,可將非計算區(qū)域等效為半空間的PEC或PMC,由此可使用鏡像法。此等效方法在計算縫隙天線輻射,腔體散射等問題時常被應用。

5 結(jié)語

電磁場等效定理過于理論和抽象,是電磁場理論教學中的難點之一。本文通過一個典型算例演示了多種電磁場等效問題,形象直觀,有助于理解抽象的理論并改善教學效果。最后引入電磁場等效定理的一般形式,通過舉例說明其應用,可幫助學生將來應用場等效定理計算電磁場問題。