電路等效變換的性質(zhì)及其應(yīng)用

田社平 張 峰

(上海交通大學(xué) 電子信息與電氣工程學(xué)院, 上海 200240)

電路的等效變換和等效電路是電路理論中重要的概念。所謂等效電路,是指如果端子一一對(duì)應(yīng)的n端電路N1和N2具有相同的VCR,即相同的兩組端電壓分別代入兩個(gè)電路的端口VCR會(huì)得出相同的兩組端電流,或者將相同的兩組端電流代入兩個(gè)電路的端口VCR會(huì)得出相同的兩組端電壓,則兩者互稱等效電路。從一個(gè)電路變換為與之等效的另外一個(gè)電路的過(guò)程則稱為等效變換。利用等效變換和等效電路的概念,可以極大地簡(jiǎn)化電路的分析。在電路理論教學(xué)中,為講授、證明諸如電阻的串聯(lián)和并聯(lián)、T形電路和Π形電路、戴維南電路和諾頓電路等之間的等效關(guān)系,現(xiàn)行教材大多基于等效電路的定義,亦即,如果所求得的兩個(gè)電路的端口VCR相同,則這兩個(gè)電路就是等效的[1-4]。顯然,這樣的講授、證明方法無(wú)疑是正確的、合理的,也是基本的。這只是問(wèn)題的一個(gè)方面,采用定義來(lái)證明電路的等效性有時(shí)顯得較為繁復(fù),證明過(guò)程中涉及較為復(fù)雜的運(yùn)算,從而增加了學(xué)生理解的負(fù)擔(dān)。因此,有必要探討更為簡(jiǎn)潔、容易理解的證明兩個(gè)電路等效的講授方法。

任何一個(gè)對(duì)象,賦予其定義后,它一定具有相應(yīng)的性質(zhì)?；诖?本文從等效電路的定義出發(fā),總結(jié)出等效電路所具有的性質(zhì),并利用該性質(zhì)證明電路的等效性,或者進(jìn)行電路的分析,結(jié)果發(fā)現(xiàn),證明或分析的過(guò)程得到了簡(jiǎn)化。

1 電路等效變換的性質(zhì)

關(guān)于等效電路,我們可以得到如下兩個(gè)性質(zhì):

【性質(zhì)1】如果兩個(gè)電路等效,在兩個(gè)電路的某些端鈕(或端口)連接相同的任意電路,則得到的兩個(gè)新電路也是相互等效的。

這里,“等效”的含義仍然是針對(duì)電路端口而言的。

【性質(zhì)2】對(duì)兩個(gè)電路,如果在兩個(gè)電路的某些端鈕(或端口)連接相同的任意電路,所得到的兩個(gè)新電路是相互等效的,則這兩個(gè)電路相互等效。

上述性質(zhì)是兩個(gè)互逆的命題。性質(zhì)1是顯而易見(jiàn)的。這是因?yàn)?如果兩個(gè)電路等效,則其端口VCR是相同的;在這兩個(gè)電路的某些端鈕(或端口)連接相同的任意電路,所增加的端口約束方程也是相同的(因?yàn)檫B接的電路是相同的),這樣就得到了兩組完全相同的方程組,其解也必然相同。注意,這里默認(rèn)兩組方程都只有唯一解。

性質(zhì)2的證明可采用反證法。假設(shè)這兩個(gè)電路不是等效的,則兩個(gè)電路的端口VCR方程不是完全相同的。由于在兩個(gè)電路的某些端鈕(或端口)連接的是相同的任意電路,它們的端口VCR又是相同的,因此就得到了兩組不完全相同的方程組。在這種情況下,總歸可以找到這樣的外接電路(因?yàn)槭侨我怆娐?所以外接電路是可以選擇的),使得兩組不完全相同的方程組的解不同,這與性質(zhì)2所給條件相矛盾。因此性質(zhì)2是成立的。

上述兩個(gè)性質(zhì)是等價(jià)的,它們?cè)诜治鲇嘘P(guān)電路等效變換的問(wèn)題中能得到很好的應(yīng)用。

2 應(yīng)用

【例1】戴維南電路和諾頓電路的等效變換。如圖1(a)、圖1(b)所示分別為戴維南電路和諾頓電路,其中的R為電阻,G為電導(dǎo)。在假設(shè)圖1兩個(gè)電路可以相互等效的前提下,為求出兩者等效變換的關(guān)系式,一般教材都通過(guò)列寫(xiě)兩者的端口VCR方程,比較兩個(gè)方程的一致性得到結(jié)果。盡管其推導(dǎo)過(guò)程是比較簡(jiǎn)單的,但是利用上述性質(zhì),同樣可以非常方便地得到相同的結(jié)論。

(a) 維南電路

(b)諾頓電路圖1 戴維南電路和諾頓電路的等效

圖1兩個(gè)電路都包含兩個(gè)元件參數(shù),因此只須在兩個(gè)電路的端口接入兩種相同的電路即可。為分析方便,可選擇開(kāi)路和短路這兩種電路分別接入。圖1兩個(gè)電路的端口開(kāi)路時(shí),其開(kāi)路電壓相同,即得

uS=iS/G

(1)

圖1兩個(gè)電路的端口短路時(shí),其短路電流相同,即得

uS/R=iS

(2)

整理式(1)、式(2),得到等效關(guān)系式

(3)

可以看出,上述推導(dǎo)過(guò)程非常簡(jiǎn)單。

【例2】T形電路和Π形電路是可以相互等效的,其等效變換是電路理論教學(xué)中的重點(diǎn),如果基于等效電路的定義推導(dǎo)其等效關(guān)系,則推導(dǎo)過(guò)程較為復(fù)雜,而利用等效變換的性質(zhì)進(jìn)行推導(dǎo)則非常簡(jiǎn)潔。部分國(guó)內(nèi)外教材就采用了基于上述性質(zhì)的推導(dǎo)方法[5-7]。下面給出略異但推導(dǎo)過(guò)程更簡(jiǎn)單的方法。

按照性質(zhì)1,我們可以在T形電路和Π形電路某一端口外接合適的電路,而在另外的端口觀察其端口特性。

端鈕間(或端口)外接電路最簡(jiǎn)單的情況就是開(kāi)路和短路。將圖2中兩個(gè)電路的2端分別開(kāi)路,則從1、3端看進(jìn)去的等效電阻應(yīng)相等,即

(a) T形電路

(b)Π形電路圖2 T形電路和Π形電路的等效

(4)

類似地,可以得到

(5)

(6)

式(4)～式(6)是關(guān)于R1、R2、R3的線性方程組,不難解得R1、R2、R3的表達(dá)式,從而得出Π形電路等效變換為T(mén)形電路的公式為

(7)

或

(8)

將圖2中兩個(gè)電路的1、3端分別短接,則從短接端、2端看進(jìn)去的等效電導(dǎo)應(yīng)相等,即

(9)

類似地,可以得到

(10)

(11)

同樣,式(9)～式(11)是關(guān)于G12、G23、G31的線性方程組,類似地,不難得出T形電路等效變換為Π形電路的公式為

(12)

或

(13)

由上述分析過(guò)程可以看出,整個(gè)推導(dǎo)過(guò)程并不復(fù)雜,而且方程求解僅涉及線性方程,也非常簡(jiǎn)單。相比較而言,現(xiàn)行教材基于等效的定義,推導(dǎo)時(shí)須求出T形電路和Π形電路的端口VCR方程,而且在比較兩個(gè)VCR方程時(shí)還涉及矩陣的逆運(yùn)算,其過(guò)程較為復(fù)雜。

【例3】如圖3(a)所示耦合電感為全耦合電感。如果圖3(b)電路與圖3(a)電路等效,那么參數(shù)Le、n應(yīng)滿足什么關(guān)系?

(a) 全耦合電感

(b)等效電路圖3 全耦合電感等效電路

為便于比較,首先基于等效電路的定義來(lái)求解。圖3(a)電路的端口VCR滿足

(14)

為求圖3(b)電路的端口VCR,列寫(xiě)圖3(b)電路輸入端口的KVL方程,得

(15)

(16)

又由理想變壓器特性可得

(17)

比較式(14)與式(16)、式(17),可得出參數(shù)Le、n應(yīng)滿足的關(guān)系為

(18)

下面利用等效變換的性質(zhì)來(lái)求解。按照性質(zhì)1,我們可以在圖3兩個(gè)電路的對(duì)應(yīng)端口外接合適的電路,而在另外對(duì)應(yīng)的端口觀察端口特性。將圖3兩個(gè)電路的輸入、輸出端口開(kāi)路,則從兩個(gè)電路的輸入端看進(jìn)去的等效電感分別為L(zhǎng)1、Le;從兩個(gè)電路的輸出端看進(jìn)去的等效電感分別為L(zhǎng)2、Le/n2。由于兩個(gè)電路等效,因此有

(19)

此即式(18)。整個(gè)推導(dǎo)過(guò)程顯得非常簡(jiǎn)單。

值得注意的是,上述推導(dǎo)過(guò)程并沒(méi)有用到“全耦合”這一條件!這表明,兩個(gè)電路外接“非任意”的相同電路是等效的,僅僅是這兩個(gè)電路等效的必要條件,而非充分條件。但這并不妨礙等效變換性質(zhì)的應(yīng)用。一方面,題目所給條件說(shuō)明只有圖3(a)電路是全耦合情況時(shí)才有可能與圖3(b)電路等效,亦即圖3兩個(gè)電路是可以相互等效的。另一方面,只有式(19)成立,圖3(b)電路才能與圖3(a)電路等效。從分析問(wèn)題的角度,上述推導(dǎo)是合理的。

當(dāng)然,如果選擇另外的外接電路,也可推出相同的結(jié)果。比如,將圖3兩個(gè)電路的輸出端口開(kāi)路,則從兩個(gè)電路的輸入端看進(jìn)去的等效電感分別為L(zhǎng)1、Le;將圖3兩個(gè)電路的輸入端口外接電感L1,則從兩個(gè)電路的輸出端看進(jìn)去的等效電感分別為L(zhǎng)2/2、(L1//Le)/n2。由于兩個(gè)電路等效,因此有

(20)

整理上式,同樣得到式(18)。整個(gè)推導(dǎo)過(guò)程也不復(fù)雜。

【例4】耦合電感的T形去耦等效電路。如圖4(a)所示,當(dāng)耦合電感互相聯(lián)結(jié)于一個(gè)公共端子時(shí),可用三個(gè)相互間無(wú)互感的電感組成的T形電路等效,如圖4(b)所示。為推導(dǎo)兩個(gè)電路的元件參數(shù)間,可保持三端之一端為開(kāi)路,比較另外兩端看進(jìn)去的等效電感。圖4(a)電路從12端、23端、31端的等效電感分別為:L1+L2-2M、L2、L1;對(duì)圖4(b)電路,則分別為L(zhǎng)A+LC、LB+LC、LA+LB。由此可得

(a) 耦合電感

(b)T形去耦等效電路圖4 耦合電感的T形去耦等效電路

(21)

由上式解得

(22)

可見(jiàn),推導(dǎo)過(guò)程十分簡(jiǎn)明。

利用等效變換的性質(zhì)推導(dǎo)耦合電感的Π形去耦等效電路的關(guān)系式也是非常簡(jiǎn)單的,不再贅述。

3 結(jié)語(yǔ)

本文討論了等效電路的性質(zhì)及其應(yīng)用,該性質(zhì)非常直觀,也易于理解。所舉例子表明,利用該性質(zhì)能夠極大簡(jiǎn)化有關(guān)等效電路問(wèn)題的分析。筆者曾嘗試?yán)蒙鲜鲂再|(zhì)講解電路等效變換的相關(guān)知識(shí)點(diǎn),如T形電路和Π形電路的等效變換、耦合電感的去耦等效電路,取得了較好的效果。