連續(xù)凸逼近加權(quán)自相關(guān)波形優(yōu)化方法

張 勇,宋青青

(1.南京六九零二科技有限公司,南京 210009;2.中國船舶集團(tuán)有限公司第八研究院,南京 211153)

0 引 言

波形設(shè)計是當(dāng)前最熱門的雷達(dá)系統(tǒng)技術(shù)研究領(lǐng)域之一。有源探測與通信系統(tǒng)均對具有良好自相關(guān)特性的波形序列有著十分迫切的需求,例如脈沖壓縮雷達(dá)系統(tǒng)收發(fā)信號、聲納探測器編碼序列與數(shù)字通信系統(tǒng)(如GPS接收器或CDMA蜂窩系統(tǒng))的同步、信道估計的導(dǎo)頻序列,甚至安全系統(tǒng)的密碼學(xué)[1-5]。在實際應(yīng)用中,由于序列生成硬件的限制(如信號最大幅度/功率起伏須保持在模數(shù)轉(zhuǎn)換器和功率放大器動態(tài)范圍內(nèi)),通常要求發(fā)射波形具有恒模特性。

近年來,恒模序列(也稱為多相序列)因具有強(qiáng)相關(guān)可塑性、高能量利用率等特點而備受關(guān)注[6-7]。相位編碼序列的獲取途徑主要包括固定計算(如Barker碼、Frank碼等)與迭代優(yōu)化(如遺傳算法、CAN算法等優(yōu)化架構(gòu))[8]。

經(jīng)典的Barker碼序列屬于二進(jìn)制編碼序列,可由移位寄存器或綜合邏輯法得到,具有較好的自相關(guān)特性,自相關(guān)峰值旁瓣電平不高于1,但其序列編碼長度較有限,現(xiàn)階段不超過13。1965年,Golomb和Scholtz開展了廣義Barker碼研究,仍遵循最小化峰值旁瓣比原則,擴(kuò)展了編碼元素集,尋求具有類似Barker序列自相關(guān)特性的相位編碼序列。以此為驅(qū)動,關(guān)于廣義Barker碼序列的研究不斷深化,序列長度擴(kuò)展至77。是否存在更長的廣義Barker序列當(dāng)前仍未得到證實。除了Barker序列,還存在多相碼簇可由閉式解析式得到,如Frank碼、Golomb序列。隨著序列長度的增加,該類序列峰值旁瓣比增長速度與序列長度的平方根成正比,與Barker碼自相關(guān)特性差異化明顯。

隨著數(shù)字技術(shù)的發(fā)展,波形碼元集不斷得到擴(kuò)充,碼型序列的復(fù)雜度呈指數(shù)上升態(tài)勢。面向復(fù)雜波形序列對強(qiáng)設(shè)計規(guī)則魯棒性、高算法通用性的需求,迭代優(yōu)化類算法應(yīng)運(yùn)而生,主要包括遺傳算法(Genetic Algorithm,GA)、模擬退火等全局尋優(yōu)、變換域優(yōu)化、乘子類等算法。GA最早是由美國的John Holland于20世紀(jì)70年代提出,是一種借鑒生物進(jìn)化規(guī)律的結(jié)構(gòu)化搜索全局最優(yōu)解的方法[9]。由于復(fù)雜波形全局尋優(yōu)的可行集巨大,該方法雖然不需要引入復(fù)雜的推導(dǎo)計算,但對于高維向量優(yōu)化存在計算量大、耗時長的缺點,不利于波形集的快速更新。模擬退火算法(Simulated Annealing,SA)[10]思想最早由N Metropolis等人于1953年提出。在此基礎(chǔ)上,S Kirkpatrick等人于1983年將退火思想引入到組合優(yōu)化領(lǐng)域。它是基于Monte-Carlo迭代求解策略的一種隨機(jī)尋優(yōu)算法,其出發(fā)點是基于物理中固體物質(zhì)的退火過程與一般組合優(yōu)化問題之間的相似性,與遺傳算法一樣采用結(jié)構(gòu)化優(yōu)化架構(gòu),計算量巨大,亦不適合高維向量優(yōu)化,對長度大于等于103量級的序列優(yōu)化是不實際的。為了適應(yīng)高維度波形優(yōu)化,文獻(xiàn)[11]和[12]為了最小化自相關(guān)積分旁瓣(Integrated sidelobe level,ISL),采用其“幾乎等效”的頻域表達(dá)為目標(biāo)函數(shù),借助快速傅里葉變化提出了高效的CAN算法及加權(quán)循環(huán)算法(Weight cyclic algorithm new,WeCAN),可實現(xiàn)長度不低于104的多相碼序列的快速優(yōu)化,遠(yuǎn)超F(xiàn)rank與Golomb序列長度。基于上述ISL等效結(jié)果,以交替優(yōu)化為代表的乘子類算法[13]逐漸應(yīng)用在低ISL波形優(yōu)化中。峰值旁瓣(Peak sidelobe level,PSL)水平是另外一種較為常用的自相關(guān)副瓣考核指標(biāo),具有瞬變的特點,相比于以ISL為目標(biāo)函數(shù)的波形設(shè)計問題,以PSL水平為優(yōu)化目標(biāo)的優(yōu)化問題更加難以駕馭,近端梯度下降法[14]解決了包含多個等式與不等式共存的非凸優(yōu)化問題,實現(xiàn)了低峰值旁瓣比的波形優(yōu)化設(shè)計,但該方法對于子梯度選取具有不確定性,算法結(jié)果較難把握,而且對于自相關(guān)局部最小化問題無法求解。相比于PSL,以ISL為目標(biāo)函數(shù)更適合快速、可靠波形設(shè)計的應(yīng)用場合。

文獻(xiàn)[11]使用了等效加權(quán)積分旁瓣為目標(biāo)函數(shù),無法使其與ISL概念完全一致,最優(yōu)解的ISL無法得到保證。本文以最小化自相關(guān)加權(quán)自相關(guān)副瓣積分為目標(biāo)函數(shù),對原非凸優(yōu)化問題目標(biāo)函數(shù)經(jīng)過連續(xù)兩次凸逼近,并將模量約束松弛為能量約束,使得原問題轉(zhuǎn)化為凸問題,利用成熟優(yōu)化技術(shù)對其求解。最后,將最優(yōu)解進(jìn)行幅度強(qiáng)制歸一化處理,獲得適用于飽和功放等器件使用的恒模波形序列,其中可通過調(diào)整權(quán)值分布對自相關(guān)形狀進(jìn)行有效控制。

符號說明:本文采用粗體小寫字母表示矢量,用粗體大寫字母表示矩陣;(·)T、(·)H分別表示矩陣與向量的轉(zhuǎn)置和共軛轉(zhuǎn)置算子;| |、‖ ‖分別表示取輸入?yún)?shù)的絕對值和l2范數(shù);字母j為虛數(shù)單位;M和M分別表示M維實數(shù)向量和復(fù)數(shù)向量;M×N和M×N分別表示M×N維實數(shù)和復(fù)數(shù)矩陣;Tr(·)表示計算輸入矩陣的跡。

1 信號模型與問題構(gòu)建

(1)

加權(quán)積分旁瓣電平γ為

(2)

式中,w為加權(quán)系數(shù)向量,其向量形式為

w=[w1,w2,…,wN-1]T

(3)

當(dāng)w為全1矩陣時,γ與常規(guī)積分旁瓣電平的含義相同。雷達(dá)、通信系統(tǒng)均需要低自相關(guān)旁瓣電平的波形序列。在實際電磁輻射系統(tǒng)中發(fā)射能量通常是一定,在此約束下,以最小化積分旁瓣電平為目標(biāo)函數(shù),構(gòu)建優(yōu)化問題為

(4)

若要實現(xiàn)自相關(guān)函數(shù)局部區(qū)域趨零或置零,則須適當(dāng)增加w中相關(guān)區(qū)域?qū)?yīng)的權(quán)值,權(quán)值增加,該區(qū)域?qū)δ繕?biāo)函數(shù)取值影響增大;反之易然。

2 連續(xù)凸逼近算法

由于目標(biāo)函數(shù)為非凸的,使用常規(guī)優(yōu)化算法難以解決。為了解決式(4),擬將尋找目標(biāo)函數(shù)凸上界函數(shù),并將其作為目標(biāo)函數(shù),構(gòu)建等效優(yōu)化問題進(jìn)行求解。

為便于闡釋,采用矩陣表示式(4),則自相關(guān)函數(shù)矩陣形式為

rk=Tr(ΕkxxH),k=0,…,N-1

(5)

式中,Εk∈N×N為第k對角線全為1的Toeplitz矩陣。

則式(4)可進(jìn)一步表示為

(6)

|xn|=1,n=1,…,N

由于自相關(guān)函數(shù)r的模值具有對稱性,因此式(6)可等價為

subject toX=xxH

(7)

|xn|=1,n=1,…,N

此時,w維度擴(kuò)展為2N-1,完整表達(dá)式為

w=[w1-N,…,0,…,wN-1]T

(8)

且w0=0,w-k=wk。

將式(7)目標(biāo)函數(shù)中的矩陣向量化后,經(jīng)推導(dǎo),式(7)目標(biāo)函數(shù)可表示為

(9)

令xv=vec(X),ek=vec(Ek),則式(7)可重新整理為

(10)

假定

(11)

則可將式(10)中的目標(biāo)函數(shù)化簡為二次型,即

(12)

為了最小化非凸目標(biāo)函數(shù),可通過最小化其上邊界凸函數(shù),達(dá)到原目標(biāo)函數(shù)最小化的目的。假定Q=λmax(L)I,因此(Q-L)為半正定矩陣,λmax(L)為L的最大特征值。結(jié)合L的特殊結(jié)構(gòu),根據(jù)方陣特征值與特征向量的定義,可知

因此,ek為屬于L的第k個特征向量,且wk(N-|k|)為特征向量ek對應(yīng)的特征值?？赏ㄟ^比較所有wk(N-|k|),k=0,1,…,N-1值確定L的最大特征值。

略去第一項與第三項常數(shù)部分,式(12)可重新構(gòu)建為

(15)

再將xv0、xv和L均還原為矩陣表達(dá)式,即

(16)

(17)

為求解波形序列x,須將其顯性表示,故將X還原為向量形式,優(yōu)化式(17)可得

(18)

式中,

(19)

忽略常數(shù)項后,式(18)可轉(zhuǎn)化為

subject to|xn|=1,n=1,…,N

(21)

式中,λg為Γ的最大特征值。

優(yōu)化式(21)目標(biāo)為線性函數(shù)可示為凸函數(shù),然而由于恒模約束的存在,該問題仍為非凸優(yōu)化問題,難以直接求解,因此將優(yōu)化式(21)的約束進(jìn)行放松,可得

(22)

求解優(yōu)化式(22)后,可取其最優(yōu)解的相位向量,重新構(gòu)成恒模向量作為最終波形序列。具體算法流程可見表1。

表1 連續(xù)凸逼近加權(quán)自相關(guān)波形優(yōu)化算法流程

3 數(shù)值仿真

本節(jié)將連續(xù)凸逼近加權(quán)自相關(guān)波形優(yōu)化算法與現(xiàn)有的WeCAN算法進(jìn)行比較,驗證所提算法的有效性,開展了針對常規(guī)低副瓣波形和加權(quán)ISL波形的設(shè)計性能驗證。仿真參數(shù)設(shè)置:非周期波形序列長度為32、128;最大迭代次數(shù)15 000次;終止常數(shù)10-6;計算機(jī)配置為Intel(R)Core(TM)i5-7500 CPU @ 3.40 GHz,內(nèi)存4 G。

本節(jié)從常規(guī)低副瓣波形設(shè)計入手,給出了恒模波形序列的相位、自相關(guān)函數(shù),并采用數(shù)值分析方法比較了WeCAN算法與連續(xù)凸逼近加權(quán)自相關(guān)波形優(yōu)化算法的收斂性能。進(jìn)一步,針對加權(quán)自相關(guān)波形優(yōu)化,驗證所提算法的可行性,同樣從以上三方面進(jìn)行闡釋比較,證明所提算法的優(yōu)越性。

(1)常規(guī)低副瓣波形設(shè)計

常規(guī)低副瓣波形設(shè)計時權(quán)值設(shè)置為相同值。圖1(a)、(b)分別給出了長度分別為32、128時WeCAN和連續(xù)凸逼近算法所得常規(guī)低副瓣波形的相位,二者存在較大差異,且類似隨機(jī)噪聲信號。圖2(a)、(b)分別給出了長度32、128時兩算法所得的低副瓣波形自相關(guān)函數(shù),長度相同時兩算法對應(yīng)最優(yōu)波形的自相關(guān)函數(shù)水平幾乎一致。圖3(a)、(b)分別給出了波形序列長度為32和128時,WeCAN與連續(xù)凸逼近加權(quán)自相關(guān)波形優(yōu)化算法的收斂曲線。從中可看出,WeCAN收斂速度優(yōu)于本文所提算法,此時頻域等效方法優(yōu)于時域直接優(yōu)化方法。

(a)長度32

(a)長度32

(a)長度32

(2)加權(quán)副瓣波形設(shè)計

加權(quán)副瓣波形設(shè)計時,須先確定距離向干擾或雜波所處的距離段,再通過增加自相關(guān)函數(shù)中相應(yīng)延遲部分的權(quán)值,達(dá)到抑制干擾/雜波距離向處理增益的效果。參數(shù)設(shè)置如表2所示。

表2 加權(quán)自相關(guān)波形優(yōu)化算法參數(shù)設(shè)置

圖4(a)、(b)分別給出了長度分別為32、128時WeCAN和連續(xù)凸逼近加權(quán)自相關(guān)波形優(yōu)化算法所得加權(quán)自相關(guān)副瓣波形的相位。圖5(a)、(b)給出了長度分別為32、128時兩算法所得的加權(quán)副瓣波形自相關(guān)函數(shù),長度相同時兩算法對應(yīng)最優(yōu)波形的自相關(guān)函數(shù)形狀一致,但凹口處連續(xù)凸逼近算法對應(yīng)的電平低于WeCAN,可以獲得更好的距離向干擾、雜波的抑制效果。圖6(a)、(b)分別給出了波形序列長度為32、128時,WeCAN與連續(xù)凸逼近算法的收斂曲線。從中可看出,本文所提連續(xù)凸逼近加權(quán)自相關(guān)波形優(yōu)化算法優(yōu)于WeCAN算法的收斂速度,且穩(wěn)定收斂時連續(xù)凸逼近算法目標(biāo)函數(shù)對應(yīng)的最優(yōu)值低于WeCAN算法,故而相比于WeCAN算法,本文所提算法獲得理想的凹口深度。

(a)長度32

(a)長度32

(a)長度32

4 結(jié)束語

本文研究了基于連續(xù)凸逼近加權(quán)自相關(guān)波形優(yōu)化算法,通過凸函數(shù)逼近將不定或非凸的優(yōu)化問題轉(zhuǎn)化為凸問題,并通過強(qiáng)制歸一化模值獲得恒模波形序列,并通過調(diào)整權(quán)值,控制自相關(guān)局部自相關(guān)電平,對自相關(guān)整體形狀進(jìn)行塑形。對于加權(quán)副瓣的波形設(shè)計,與已有方法相比具有更快的收斂速度。因此,連續(xù)凸逼近算法可加快現(xiàn)代雷達(dá)波形集的構(gòu)建速度,增加復(fù)雜波形的多樣性,提升現(xiàn)代雷達(dá)距離向干擾與雜波的抑制能力。