φ-Hilfer分數(shù)階共振邊值問題解的存在性

司換敏, 江衛(wèi)華

(河北科技大學(xué) 理學(xué)院, 石家莊 050018)

0 引 言

分數(shù)階微分方程廣泛應(yīng)用于物理、 生物、 控制、 信號處理等領(lǐng)域[1-3]. 含有φ-Riemann-Liouville導(dǎo)數(shù)和φ-Caputo導(dǎo)數(shù)的分數(shù)階微分方程邊值問題是目前該領(lǐng)域研究的熱點, 已取得了一些成果[2-15]. Ji等[7]用單調(diào)迭代方法研究了φ-Riemann-Liouville分數(shù)階兩點邊值問題

在非共振下正解的存在性, 其中1<α<2.Abdo等[8]利用Schaefer和Banach不動點定理證明了φ-Caputo分數(shù)階兩點邊值問題

上述文獻分別用不同方法研究了φ-Riemann-Liouville和φ-Caputo分數(shù)階邊值問題, 得到其解的存在性和唯一性結(jié)果. 隨著對分數(shù)階微積分研究的不斷深入, 研究者們將φ-Riemann-Liouville和φ-Caputo導(dǎo)數(shù)進行了推廣, 得到了既包含又介于這兩類導(dǎo)數(shù)之間的φ-Hilfer分數(shù)階導(dǎo)數(shù), 含有φ-Hilfer導(dǎo)數(shù)的分數(shù)階微分方程的研究也取得了一些成果[7-8]. Borisut等[9]用Schaefer和Banach不動點定理, 證明了非共振情形下φ-Hilfer分數(shù)階多點邊值問題

解的存在性和唯一性, 其中0

對于φ-Hilfer分數(shù)階微分方程邊值問題的研究, 大多數(shù)是在非共振情形下考慮的[12], 而在共振情形下關(guān)于其解的存在性研究目前尚未見文獻報道. 受上述研究工作的啟發(fā), 本文考慮共振情形下φ-Hilfer分數(shù)階微分方程積分邊值問題

(1)

1 預(yù)備知識

1) ?(u,λ)∈[(domLKerL)∩?Ω]×(0,1),Lu≠λNu;

2) ?u∈KerL∩?Ω,Nu?ImL;

3) deg(QN|Ker L,Ω∩KerL,0)≠0, 這里Q:Y→Y是投影算子, ImL=KerQ.

定義2[14]設(shè)函數(shù)φ∈Cn[a,b],φ′(t)>0于[a,b], 對u∈L1[a,b], 其α(α>0)階φ-Riemann-Liouville分數(shù)階積分定義為

定義3[14]設(shè)函數(shù)φ∈Cn[a,b],φ′(t)>0于[a,b], 對u∈Cn[a,b], 其α(α>0)階φ-Riemann-Liouville分數(shù)階導(dǎo)數(shù)定義為

定義4[14]設(shè)函數(shù)φ∈Cn[a,b],φ′(t)>0于[a,b], 對u∈Cn[a,b], 其α階β型φ-Hilfer分數(shù)階導(dǎo)數(shù)定義為

(2)

其中n-1<α

Cn-γ;φ(0,1]∶={u|(φ(t)-φ(0))n-γu(t)∈C[0,1]},

u(t)=c1(φ(t)-φ(0))α-1+c2(φ(t)-φ(0))α-2+…+cn(φ(t)-φ(0))α-n,

其中ci∈,i=1,2,…,n,n=[α]+1.

引理3[14]設(shè)函數(shù)f,φ∈Cn[a,b], 對任意的t∈[a,b],φ′(t)>0,α>0, 則有:

引理4[15]在[a,b]上的任一有界變差函數(shù)f(x)均可表示為兩個增函數(shù)之差, 即存在兩個增函數(shù)h(x)和g(x), 使得f(x)=h(x)-g(x).

假設(shè)下列條件成立:

設(shè)φ∈Cn[a,b],φ′(t)>0于[a,b].定義算子L: domL?X→Y和算子N:X→Y分別為

其中

則微分方程邊值問題(1)等價于Lu=Nu,u∈domL.

2 主要結(jié)果

引理5假設(shè)條件(H1)成立, 則L: domL?X→Y是一個零指標的Fredholm算子.

證明: 顯然KerL={u∈domL|u(t)=c(φ(t)-φ(0))γ-n, ?t∈(0,1],c∈}.

下面求ImL.取y∈ImL, ?u∈domL, 則Lu(t)=y(t), 即

(3)

(4)

其中ci∈,i=1,2,…,n.

(5)

將u(t)代入積分邊界條件左邊可得

將u(t)代入積分邊界條件右邊可得

從而由積分邊界條件可得

(6)

定義線性算子P:X→X為

其中

顯然Q2y=Qy, 所以Q是一個冪等算子, 即是Y上的線性投影算子.易驗證ImL=KerQ.

任取y∈ImL, 將其寫為y=(y-Qy)+Qy, 其中Qy∈ImQ, (y-Qy)∈KerQ=ImL, 因此Y=ImL+ImQ.取y∈ImL∩ImQ, 由y∈ImQ得y=Qy, 由y∈ImL=KerQ得Qy=0, 因此y=0, 從而ImL∩ImQ={0}, 于是Y=ImL⊕ImQ.又因為dim KerL=1=co dim ImL<∞, 所以L是一個零指標的Fredholm算子.

引理6Ldom L∩Ker P的逆算子Kp可表示為

證明: 易驗證Kpy(t)滿足邊界條件, 對y∈ImL, 有

因此Kpy(t)∈domL∩KerP, 且有

另一方面, 對于u∈domL∩KerP, 因為

所以可得

從而Kp=(L|dom L∩Ker P)-1.

假設(shè)下列條件成立:

(H3) 存在常數(shù)M>0, 使得當u∈domL, 且對?t∈(0,1], |u(t)|>M時,QNu≠0;

(H4) 存在非負函數(shù)a(t)∈X,b(t)∈Y, 使得|f(t,x)|≤a(t)+b(t)|x|,t∈(0,1],x∈, 其中

(H5) 存在常數(shù)G>0, 如果|c|>G, 則不等式cQNu(t)>0或cQNu(t)<0之一成立, 其中u(t)=c(φ(t)-φ(0))γ-n,c∈.

定理1假設(shè)條件(H1)～(H5)成立, 則邊值問題(1)至少有一個解.

為證明定理1, 先證明如下3個引理.

引理8若條件(H1)～(H4)成立, 則Ω1={u|u∈domLKerL,Lu=λNu,λ∈(0,1)}在X上有界.

因此

從而可得

整理可得

故Ω1有界.

引理9若條件(H1)～(H3)成立, 則Ω2={u|u∈KerL,Nu∈ImL}在X上有界.

證明: 任取u∈Ω2, 則u(t)=c(φ(t)-φ(0))γ-n,c∈, 因此|(φ(t)-φ(0))n-γu(t)|=|c|.因為Nu∈ImL=KerQ,QNu(t)=0, 由條件(H3)可知, ?t0∈(0,1], 使得|u(t0)|≤M, 因此有

|c|=|(φ(t)-φ(0))n-γu(t)|≤(φ(1)-φ(0))n-γM,

故Ω2有界.

引理10若條件(H1)～(H3),(H5)成立, 則Ω3={u∈KerL|λJu+(1-λ)θQNu=0,λ∈[0,1]}在X上有界, 其中J: Ker →ImQ,J(c(φ(t)-φ(0))γ-n)=c,c∈,t∈(0,1]是線性同構(gòu)映射,

證明: ?u∈Ω3,u(t)=c(φ(t)-φ(0))γ-n, 從而可得

λJ(c(φ(t)-φ(0))γ-n)+(1-λ)θQN(c(φ(t)-φ(0))γ-n)=0.

如果λ=1, 則λJc=0, 所以c=0.如果λ=0, 則由條件(H5),θQN(c(φ(t)-φ(0))γ-n)=0, 所以|c|≤G.如果λ∈(0,1), 假設(shè)|c|>G, 由條件(H5)可知λc=-(1-λ)θQNu(t).因此λc2=-c(1-λ)×θQNu(t)<0, 矛盾.所以假設(shè)不成立, 故|c|≤G.因此Ω3有界.證畢,

1) ?(u,λ)∈[(domLKerL)∩?Ω]×(0,1),Lu≠λNu;

2) ?u∈KerL∩?Ω,Nu?ImL.

下面證明deg(QN|Ker L,Ω∩KerL,0)≠0.令H(u,λ)=λJu+θ(1-λ)QNu, 則由引理10可知H(u,λ)≠0,u∈?Ω∩KerL.由度的同倫不變性, 得

應(yīng)用引理1可知微分方程邊值問題(1)在X上至少有一個解, 定理1證畢.

3 應(yīng)用實例

考慮下列共振邊值問題:

(7)

因此條件(H4)成立.

因此

故條件(H3)成立.

故條件(H5)成立.由定理1可知問題(7)至少有一個解.