概率猶豫模糊環(huán)境下基于累積前景理論和VIKOR的多屬性群決策方法

王志平, 張夢, 傅敏, 王沛文

(1.大連海事大學(xué)理學(xué)院, 大連 116026; 2.大連海事大學(xué)航運(yùn)經(jīng)濟(jì)與管理學(xué)院, 大連 116026)

多屬性決策作為現(xiàn)代決策科學(xué)的一個(gè)重要組成部分[1]正在被應(yīng)用于生活中多個(gè)領(lǐng)域。而考慮了多個(gè)觀點(diǎn)的多屬性群決策方法的研究變得日益重要,特別在信息模糊性和猶豫決策這兩個(gè)方面[2]。

語言模型在多屬性群決策中是非常重要的[3]。由于外部環(huán)境的復(fù)雜性和信息的模糊性,在現(xiàn)實(shí)中很難準(zhǔn)確客觀地評價(jià)。猶豫模糊集作為模糊集的擴(kuò)展,在可能有多個(gè)值時(shí)確定隸屬度。然而,缺點(diǎn)是假設(shè)猶豫模糊元素中每個(gè)隸屬度的出現(xiàn)概率相等[4]。此后,2017年,Xu等[5]改進(jìn)猶豫模糊集并提出猶豫概率模糊集,為隸屬度添加了概率信息,更準(zhǔn)確地描述了決策信息。在此基礎(chǔ)上,逐步有學(xué)者提出猶豫概率模糊環(huán)境下的距離度量定義[6],構(gòu)建猶豫概率模糊集的得分函數(shù)、偏差函數(shù)和比較規(guī)律[7]。

繼提出前景理論[8]后,后悔理論[9]、失望理論[10]、累積前景理論[11]等心理行為決策理論相繼提了出來。其中,累積前景理論創(chuàng)新了價(jià)值函數(shù)和權(quán)重決策函數(shù),將累積概率代替單個(gè)概率,彌補(bǔ)了前景理論的不足,目前已經(jīng)得到了有效應(yīng)用。例如閆書麗等[12]運(yùn)用累積前景理論解決動(dòng)態(tài)風(fēng)險(xiǎn)灰靶決策問題;高建偉等[13]將累積前景理論用于概率猶豫模糊集的多屬性決策問題。

關(guān)于累積前景理論在概率猶豫模糊環(huán)境中的研究鮮少。有的部分研究模型過分考慮決策者主觀心理因素,而忽略了客觀求解的影響,同時(shí)在排序方式上也很主觀,導(dǎo)致結(jié)果并不夠理性。基于折衷優(yōu)化思想提出多準(zhǔn)則妥協(xié)優(yōu)化解[14](VIKOR)排序方法,克服了傳統(tǒng)方法中方案排序方式的局限,并具有同時(shí)考慮群體效用最大化和個(gè)體遺憾最小化以及融入決策者主觀偏好的優(yōu)點(diǎn)。因此,現(xiàn)基于概率猶豫模糊環(huán)境,構(gòu)建主客觀結(jié)合模型,進(jìn)行多屬性決策問題研究。

綜上所述,現(xiàn)提出在概率猶豫模糊環(huán)境下,基于累積前景理論的VIKOR多屬性決策方法模型。首先,用概率猶豫模糊語言規(guī)范法則對初始信息進(jìn)行規(guī)范化處理,同時(shí)利用群體一致性原則對決策者權(quán)重系數(shù)進(jìn)行調(diào)節(jié),使評估結(jié)果更加接近事實(shí);其次,通過最小相對熵原則,主客觀結(jié)合求取整體屬性權(quán)重,不僅讓權(quán)重計(jì)算更簡便,也更合理;再次,利用累積前景理論,構(gòu)建正、負(fù)價(jià)值矩陣和權(quán)重矩陣,進(jìn)而得出更加理性的正、負(fù)理想解矩陣;然后創(chuàng)新性地將累積前景理論和VIKOR法相結(jié)合進(jìn)行排序擇優(yōu);最后和其他方法的結(jié)論進(jìn)行比較和分析,驗(yàn)證所提方法的可行性與合理性。

1 理論基礎(chǔ)

1.1 概率猶豫模糊集

定義1[15]給定任意非空集合X,則定義在有限集合X上的一個(gè)概率猶豫模糊集可以表示為

H={〈x,h(p)|x∈X}

(1)

(2)

(3)

定義4[19]設(shè)h1(p)和h2(p)是兩個(gè)概率猶豫模糊集,如果兩個(gè)模糊集的元素?cái)?shù)量相同,則同時(shí)給出兩個(gè)概率猶豫模糊集的坎貝拉距離測度公式為

(4)

定義6[20]設(shè)h(p)是一個(gè)概率猶豫模糊集,其得分函數(shù)定義為

(5)

基于得分函數(shù),其偏差度函數(shù)可以定義為

(6)

在得分函數(shù)和偏差度函數(shù)的基礎(chǔ)上,任意兩個(gè)概率猶豫模糊元h1(p)和h2(p)可按照以下原則進(jìn)行比較。

(1)如果s1[h(p1)]>s2[h(p2)],則h1(p)>h2(p)。

(2)如果s1[h(p1)]

(3)如果s1[h(p1)]=s2[h(p2)],且d1[h(p1)]>d2[h(p2)],則h1(p)h2(p)。

1.2 累積前景理論

Tversky和Kahneman提出的累積前景理論[11],允許損失和收入有不同的權(quán)重函數(shù),并通過累積的概率代替單個(gè)概率計(jì)算概率權(quán)重,滿足一階隨即占優(yōu),將適用范圍擴(kuò)展,同時(shí)適用于風(fēng)險(xiǎn)決策和不確定決策,是行為決策理論中的標(biāo)志性理論。累積前景價(jià)值的計(jì)算主要由兩部分構(gòu)成,即價(jià)值函數(shù)和決策權(quán)重函數(shù),公式如下。

(7)

價(jià)值函數(shù)體現(xiàn)了決策者在面臨收益時(shí)更傾向于風(fēng)險(xiǎn)規(guī)避以及面臨損失時(shí)更傾向于風(fēng)險(xiǎn)追求的特性,即

(8)

價(jià)值函數(shù)的值是基于每個(gè)備選方案距離參考點(diǎn)的收益或損失的距離。因此,關(guān)鍵是選擇一個(gè)合適的參考點(diǎn),通常情況下,選取數(shù)據(jù)的中間值、期望、積極和消極的解作為理想?yún)⒖键c(diǎn)。分別選取備選方案與正、負(fù)理想點(diǎn)之間的距離作為參考來得到偏差程度

(9)

(10)

(11)

式中:

(12)

(13)

式中:δ為風(fēng)險(xiǎn)收益態(tài)度系數(shù);ε為風(fēng)險(xiǎn)損失態(tài)度系數(shù),且0<δ,ε<1。

2 概率猶豫模糊多屬性決策方法

2.1 多屬性群決策問題描述

表1 決策者k的決策矩陣Table 1 Decision matrix of decision maker k

2.2 調(diào)節(jié)決策者權(quán)重系數(shù)

(14)

(15)

很顯然,ρk表示的是決策者dk與其他決策者的一致性程度,即決策者dk提供的評價(jià)信息在整個(gè)評價(jià)小組中的受支持程度。同時(shí)反映了決策者dk的重要性。在某種程度上來講,如果dk越重要,相應(yīng)的調(diào)節(jié)系數(shù)ρk越大,那么決策者dk權(quán)重應(yīng)當(dāng)適當(dāng)增加。因此,由事先賦予的主觀決策者權(quán)重ηk和調(diào)節(jié)系數(shù)ρk來最終確定決策者權(quán)重,公式為

(16)

2.3 整體屬性權(quán)重確定模型

通過主客觀結(jié)合的方式確定整體屬性權(quán)重,構(gòu)造了兩個(gè)模型來分別獲得客觀屬性的權(quán)值和整體屬性的權(quán)值。首先進(jìn)行客觀部分的求解,然后考慮主觀因素確定整體屬性權(quán)重。

2.3.1 基于得分函數(shù)客觀權(quán)值的確定

對于實(shí)際應(yīng)用中的多屬性決策問題,得分函數(shù)通常被認(rèn)為是描述概率猶豫模糊集中信息特征的有效工具。然而,當(dāng)兩個(gè)概率猶豫模糊集的分?jǐn)?shù)值相同時(shí),需要區(qū)分它們。為了克服這一缺點(diǎn),基于平均值和猶豫度的猶豫模糊語言元素的得分函數(shù)可以完全反映概率猶豫模糊集的分散度和特征,而不必在決策過程中分離綁定的值[21]。其公式為

(17)

考慮到概率猶豫模糊環(huán)境下多屬性決策情況的復(fù)雜性,基于得分函數(shù),進(jìn)一步得出客觀屬性決策模型為

j=1,2,…,n

(18)

2.3.2 基于最小相對熵原理的總權(quán)重確定模型

實(shí)際上,決策者通常在屬性值及其重要性上有所不同,而且每個(gè)決策者的權(quán)重都會(huì)取決于個(gè)人判斷而有所不同。因此,綜合所有決策者對屬性權(quán)重和客觀的決策信息的評價(jià)是很重要的。采用一種基于最小相對熵原理[15]的合適而有效的方法進(jìn)行了主觀和客觀屬性的權(quán)值進(jìn)行結(jié)合。該方法不僅考慮了所有決策者的意見,還考慮了決策者權(quán)重和客觀的決策信息,公式為

j=1,2,…,n

(19)

2.4 基于累積前景理論的VIKOR排序模型構(gòu)建

針對在屬性權(quán)重、專家權(quán)重都未知的情況下,利用群體一致性調(diào)節(jié)法和基于最小相對熵原理的主客觀相結(jié)合法對決策者、屬性權(quán)重進(jìn)行求解之后,提出了一種基于累積前景理論和VIKOR法進(jìn)行結(jié)合的排序方式,來解決多屬性群決策問題,利用以下步驟構(gòu)建整體算法模型,技術(shù)路線圖如圖1所示。

圖1 技術(shù)路線圖Fig.1 Technology roadmap

步驟3通過式(17)～式(19),利用主客觀結(jié)合的思想求得屬性權(quán)重ω=(ω1,ω2,…,ωn)T,即通過式(17)求出得分函數(shù),基于得分函數(shù)繼而求得客觀屬性權(quán)重,最后基于最小相對熵原理得到總權(quán)重信息。

(20)

(21)

步驟5利用式(10)～式(13)求出決策權(quán)重值后,得到累積前景價(jià)值矩陣,公式為

(22)

步驟6利用VIKOR法進(jìn)行綜合排序。

(1)通過式(23)、式(24)確定正負(fù)理想前景價(jià)值。

(23)

(24)

(2)利用式(25)和式(26)計(jì)算群體效益值Si、個(gè)體遺憾值Ri和利益比率Qi。

(25)

(26)

(27)

(3)根據(jù)Qi、Ri、Si由小到大的順序?qū)溥x方案進(jìn)行優(yōu)劣排序,Qi、Ri和Si的值越小,方案越優(yōu)。

3 實(shí)例分析

3.1 問題描述

實(shí)例源自文獻(xiàn)[15],假設(shè)先有幾個(gè)車輛專家對幾款車的安全性能進(jìn)行評價(jià)排序;別克A1、豐田A2、福特A3、奧迪A4、特斯拉A5,對這5款車選取了能夠反映其安全性能的5個(gè)屬性C={C1,C2,…,C5},其中C1表示剎車系統(tǒng)、C2表示防抱死系統(tǒng)、C3表示穩(wěn)定性系統(tǒng)、C4表示安全氣囊系統(tǒng)、C5表示車身薄板。3位車輛專家用D={D1,D2,D3}表示,并且這3位專家針對這5款汽車的5個(gè)屬性給出了概率猶豫模糊決策矩陣。專家給出的主觀屬性權(quán)重均為0.2,根據(jù)專家從業(yè)經(jīng)驗(yàn)、教育經(jīng)歷、社會(huì)閱歷給出的專家初始權(quán)重分別為0.4、0.4和0.2。

3.2 問題求解

參考文獻(xiàn)[22-25],求解步驟如下。

步驟1對初始決策矩陣根據(jù)式(2)和定義2進(jìn)行標(biāo)準(zhǔn)化處理得到標(biāo)準(zhǔn)化矩陣,如表2～表4所示。

表2 專家1給出的標(biāo)準(zhǔn)化決策矩陣Table 2 Standardized decision matrix given by expert 1

表3 專家2給出的標(biāo)準(zhǔn)化決策矩陣Table 3 Standardized decision matrix given by expert 2

表4 專家3給出的標(biāo)準(zhǔn)化決策矩陣Table 4 Standardized decision matrix given by expert 3

表5 專家整體加權(quán)決策矩陣Table 5 Overall weighted decision matrix of experts

步驟3通過式(17)～式(19),利用主客觀結(jié)合的思想求得屬性權(quán)重ω=(0.530 3,0.031 7,0.109 6,0.127 4,0.201 0)T。

步驟4通過坎貝拉距離公式,分別求出各備選方案與正、負(fù)理想解之間的距離后,通過式(20)和式(21)確定備選方案的收益、損失矩陣,如式(28)和式(29)所示。

步驟5利用式(10)～式(13)求出決策權(quán)重值后,再根據(jù)式(22)得到累積前景價(jià)值矩陣,如式(30)所示。

步驟6通過式(23)～式(27),利用VIKOR法進(jìn)行綜合排序:A1>A3>A2>A4>A5。

3.3 對比分析

為了證明本文方法的可行性及有效性,將其與其他方法進(jìn)行了比較,3種模型的方案比較結(jié)果如表6所示。

表6 不同方法排序結(jié)果Table 6 Sorting results of different methods

3.3.1 與文獻(xiàn)[15]中前景理論方法比較結(jié)果分析

文獻(xiàn)[15]的結(jié)果為A5>A4>A1>A3>A2。與本文方法所得結(jié)果不同的原因是因?yàn)槲墨I(xiàn)[15]中運(yùn)用了前景理論的方法,只適用于少數(shù)結(jié)果而不能應(yīng)用于很多結(jié)果,且并不滿足隨即占優(yōu)的不足。而累積前景理論方法在數(shù)學(xué)模型中能較好地兼容前景理論,更好地將多種風(fēng)險(xiǎn)態(tài)度融入模型中。實(shí)際上前景理論是累積前景理論的一個(gè)理論特例,因此,累積前景理論方法比前景理論方法更加客觀、可靠;而前景理論方法更加偏主觀。同時(shí),在排序方法上,采用多準(zhǔn)則妥協(xié)優(yōu)化解法,通過主客觀結(jié)合的方式進(jìn)行綜合排序,得到的結(jié)果更加接近現(xiàn)實(shí)。從表6結(jié)果看,文獻(xiàn)[15]結(jié)果認(rèn)為方案A5是最佳選擇,而本文方法的結(jié)果為方案A1是最佳選擇。

(28)

(29)

(30)

兩者之間的差異,可能是由于文獻(xiàn)[15]模型中的前景理論單純依靠單個(gè)概率計(jì)算概率權(quán)重,比較片面,且排序方式上更加主觀,導(dǎo)致結(jié)果較主觀。例如,方案A5的特斯拉汽車,區(qū)別于其他4款傳統(tǒng)汽車,是一款新能源汽車。所以相較于其他4個(gè)方案的傳統(tǒng)汽車更加新穎,或許由于慕新心理,導(dǎo)致有些專家主觀偏愛。因此本文模型更加有說服力。

3.3.2 與TOPSIS法比較結(jié)果分析

將累積前景理論與TOPSIS排序方式相結(jié)合,得到的結(jié)果為A3>A1>A2>A4>A5。本文方法與TOPSIS方法的差異只有排名前兩位的A1和A3不同,說明原方法確實(shí)偏主觀。在排序方法上,VIKOR方法在TOPSIS方法的基礎(chǔ)上提出了一個(gè)具有優(yōu)勢率的折衷方案, 能夠同時(shí)考慮群體效用最大化和個(gè)體遺憾最小化以及融入決策者主觀偏好,因此具有更高的排序穩(wěn)定性和可信度。得到的結(jié)果也更加接近現(xiàn)實(shí),更加能夠證明本文方法的可行性和適用性。

3.3.3 與前景理論+VIKOR結(jié)合法比較結(jié)果分析

將前景理論與VIKOR排序方式相結(jié)合,得到的結(jié)果為A1>A5>A4>A3>A2。本文方法與前景理論+VIKOR方法得出的最優(yōu)方法結(jié)論相同,說明引用VIKOR方法能更準(zhǔn)確地得到最優(yōu)結(jié)論,在考慮群體效用最大化和個(gè)體遺憾最小化的基礎(chǔ)上,能更好地反映決策者偏好,因此該方法得到的排序更加穩(wěn)定可靠。

3.3.4 與改進(jìn)的聚集算子比較結(jié)果分析

將文獻(xiàn)[26]提出的改進(jìn)的聚集算子方法用到本文算例中,得到的結(jié)果為A3>A5>A4>A1>A2。結(jié)果與本文方法差別較大,本文方法假設(shè)決策者并不完全理性,說明在決策過程中,納入決策者心理特征是有必要且十分重要的。

4 結(jié)論

(1)將累積前景理論與VIKOR相結(jié)合,既完善了決策者的心理行為,又考慮了決策者的主觀偏好。

(2)摒棄傳統(tǒng)歐式距離的距離公式,采用加權(quán)的坎貝拉距離公式,使結(jié)果更加客觀。

(3)調(diào)節(jié)決策者確定客觀專家權(quán)重,通過最小相對熵原理主客觀結(jié)合確定綜合屬性權(quán)重值。

雖然在原有的方法上,本文方法進(jìn)行了一定程度上的改進(jìn),使多屬性決策過程更加客觀;但是仍有需要深究改進(jìn)之處。未來可考慮在決策過程中引入后悔理論等方法,從不同角度考量決策者的心理行為;且研究中的決策者數(shù)量較少,實(shí)例不夠復(fù)雜,在實(shí)際應(yīng)用中的可行性還需要進(jìn)一步考量。