永磁直線同步電機(jī)智能分?jǐn)?shù)階動態(tài)面控制*

武 訓(xùn),王麗梅

(沈陽工業(yè)大學(xué)電氣工程學(xué)院,沈陽 110870)

0 引言

永磁同步直線電機(jī)(PMLSM)具有推力密度高,熱損耗低,精度高的優(yōu)點(diǎn),廣泛應(yīng)用于高精密數(shù)控加工領(lǐng)域[1-2]。PMLSM采用直驅(qū)結(jié)構(gòu),與旋轉(zhuǎn)電機(jī)相比,省略了中間傳動環(huán)節(jié)。雖然效率大幅度提升,但是傳動機(jī)構(gòu)間的摩擦力,負(fù)載擾動等不確定因素都會直接作用在PMLSM動子上,導(dǎo)致PMLSM控制難度的增加[3]。因此,選取有效的控制策略,提升系統(tǒng)的跟蹤精度與魯棒性具有重要的意義。

反步控制因其對非線性系統(tǒng)良好的控制效果,廣泛應(yīng)用于伺服系統(tǒng)中。其設(shè)計思路是分解非線性系統(tǒng)為不超過其系統(tǒng)階數(shù)的子系統(tǒng),并為每個子系統(tǒng)設(shè)計其對應(yīng)的Lyapunov函數(shù)與虛擬控制量,保證每一階子系統(tǒng)的有界收斂,最后反推到整個系統(tǒng)并由此設(shè)計出整個系統(tǒng)的控制律。但該方法需要對系統(tǒng)進(jìn)行精確建模,無法克服擾動的影響且設(shè)計中對系統(tǒng)虛擬控制量的反復(fù)求導(dǎo)易產(chǎn)生微分爆炸問題,為此需對反步控制進(jìn)行改進(jìn)[4-5]。TING等[6]在反步控制的基礎(chǔ)上,利用RBF神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)對系統(tǒng)非線性因素進(jìn)行估計補(bǔ)償,提高了系統(tǒng)的跟蹤精度與魯棒性。劉樂等[7]在反步滑模控制的基礎(chǔ)上,引入動態(tài)面控制(dynamic surface control,DSC),解決“微分爆炸”問題并使用極限學(xué)習(xí)機(jī)與非線性擾動觀測器逼近系統(tǒng)的匹配與非匹配不確定項(xiàng),利用智能算法優(yōu)化系統(tǒng)參數(shù),提高了系統(tǒng)的跟蹤精度、收斂速度與魯棒性。

近年來,分?jǐn)?shù)階理論廣泛地應(yīng)用于各類控制器設(shè)計中。相比于整數(shù)階控制器,分?jǐn)?shù)階控制器具有更高的參數(shù)自由度,更好的系統(tǒng)控制效果與更強(qiáng)的魯棒性[8-9]。雷城等[10]設(shè)計分?jǐn)?shù)階滑模面代替?zhèn)鹘y(tǒng)整數(shù)階滑模面,并引入低次積分項(xiàng)進(jìn)一步優(yōu)化,使用模糊推理估計切換增益,削弱了抖振,有效提升了系統(tǒng)的控制性能。CHEN等[11]設(shè)計了分?jǐn)?shù)階反步控制器,利用函數(shù)鏈接神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)估計補(bǔ)償系統(tǒng)不確定項(xiàng),使系統(tǒng)得到了良好的控制效果及強(qiáng)魯棒性,但并未解決“微分爆炸”問題。

為此,提出了一種基于RBF神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)的分?jǐn)?shù)階動態(tài)面控制(fractional order dynamic surface control based on RBF neural network,RBF-FDSC)方法。在反步控制的基礎(chǔ)上,引入動態(tài)面控制技術(shù),避免對虛擬控制量反復(fù)求導(dǎo)產(chǎn)生的“微分爆炸”問題;將分?jǐn)?shù)階微積分項(xiàng)加入到虛擬控制量中,增加系統(tǒng)的參數(shù)自由度,加快系統(tǒng)的響應(yīng)速度,減小跟蹤誤差;利用RBF神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)的逼近補(bǔ)償系統(tǒng)的不確定項(xiàng),設(shè)計自適應(yīng)率,在線調(diào)整RBF神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)的權(quán)值,進(jìn)一步提高系統(tǒng)的跟蹤性能與魯棒性。

1 永磁直線同步電機(jī)數(shù)學(xué)模型

忽略磁通畸變的情況下,PMLSM的d-q軸模型電壓方程為:

(1)

式中:

(2)

式中:ud、uq分別為d、q軸電壓,Rs為相電阻,τ為極距,id、iq、Ld、Lq、ψd、ψq分別為d、q軸電流電感與磁鏈,ψPM為勵磁磁鏈。

永磁直線同步電機(jī)理想狀態(tài)下的電磁推力方程為:

(3)

根據(jù)矢量控制理論,在d、q坐標(biāo)系下,采用id=0的控制方式,永磁同步直線電機(jī)的電磁推力方程則可簡化為:

(4)

式中:Kf表示電機(jī)的推力系數(shù),np為極對數(shù)。

由上述可以得到,永磁同步直線電機(jī)的推力方程與機(jī)械運(yùn)動方程為:

Fe=Kfiq

(5)

(6)

式中:M為電機(jī)動子質(zhì)量,FL為電機(jī)的負(fù)載阻力,D為摩擦系數(shù),v為電機(jī)動子的速度。

由式(5)和式(6)可以得到PMLSM的動態(tài)方程為:

(7)

式中:p為電機(jī)動子的位置。在上式基礎(chǔ)上令A(yù)=-D/M,B=Kf/M,C=-1/M,并考慮各種不確定因素存在的情況下,改寫動態(tài)方程為:

(8)

式中:ΔA、ΔB、ΔC分別為A、B、C由系統(tǒng)參數(shù)M、D引起的不確定項(xiàng),系統(tǒng)總不確定量合集H為:

(9)

假定其為有界值,即|H|≤ρ,ρ為正數(shù)。

2 智能分?jǐn)?shù)階動態(tài)面控制器設(shè)計

2.1 分?jǐn)?shù)階動態(tài)面控制器設(shè)計

將PMLSM的數(shù)學(xué)模型改寫為:

(10)

式中:x1為電機(jī)的實(shí)際位置,H為系統(tǒng)不確定項(xiàng)合集,假定|H|≤ρ。

定義系統(tǒng)的跟蹤誤差為:

e1=x1-xd

(11)

式中:xd是系統(tǒng)的給定軌跡指令。

(12)

式中:r為運(yùn)算的階次,一般r為有理數(shù),t、μ分別為微積分的上下限。工程上常使用Caputo定義。

(13)

式中:n>r>n-1,Г(·)為伽馬函數(shù),定義為:

(14)

本文使用濾波頻段為(ωb,ωh)的改進(jìn)Oustaloup濾波器逼近分?jǐn)?shù)階微積分值。濾波器公式為:

(15)

式中:

(16)

定義系統(tǒng)的虛擬控制量為:

(17)

式中:k1、c1、c2為所設(shè)計的正數(shù),Dα、D-β為分?jǐn)?shù)階微積分算子。虛擬控制量中加入分?jǐn)?shù)階微積分算子,可以加快系統(tǒng)響應(yīng)速度,減小系統(tǒng)的穩(wěn)態(tài)誤差。

為防止微分爆炸,將虛擬控制量通過一階低通濾波器,則:

(18)

(19)

式中:τ為時間常數(shù),λ為濾波器輸出。濾波誤差為:

χ=λ-φ

(20)

整理上式可以得到:

(21)

定義Lyapunov函數(shù)V1為:

(22)

設(shè)計x2=e2+φ+χ。同時對V1求導(dǎo),得:

(23)

定義Lyapunov函數(shù)V2為:

(24)

求導(dǎo)可以得到:

(25)

定義虛擬誤差:

e2=x2-λ

(26)

定義Lyapunov函數(shù)V3為:

(27)

求導(dǎo)得:

(28)

則控制率可設(shè)計為:

(29)

式中:H為非線性干擾等不確定合集,本次設(shè)計使用RBF神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)對其進(jìn)行逼近補(bǔ)償。

2.2 基于RBF的分?jǐn)?shù)階動態(tài)面控制器設(shè)計

RBF神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)常使用梯度下降法訓(xùn)練神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)權(quán)值。但該方法容易陷入局部最優(yōu)且不能保證系統(tǒng)的穩(wěn)定性。本次設(shè)計使用基于Lyapunov穩(wěn)定性分析的自適應(yīng)算法來在線調(diào)整神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)的權(quán)值。

RBF神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)算法為:

(30)

H*=W*Th(x)+ε

(31)

式中:x為神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)輸入,j表示隱含層節(jié)點(diǎn)個數(shù),高斯基函數(shù)輸出h=[hj]T,W*為網(wǎng)絡(luò)理想權(quán)值,ε為逼近誤差且小于等于最小逼近誤差εN。

(32)

(33)

此時控制律為:

(34)

式中:η>0。

設(shè)計Lyapunov函數(shù)V4如下:

(35)

求導(dǎo)并代入控制律可得:

(36)

設(shè)計自適應(yīng)率為:

(37)

式中:θ為正數(shù),取η≥εN,則:

(38)

圖1 基于RBF-FDSC控制器的PMLSM系統(tǒng)框圖

3 仿真及結(jié)果分析

在MATLAB/Simulink中對RBF-FDSC控制器進(jìn)行仿真,并于DSC與FDSC兩種方法對比,驗(yàn)證其有效性。電機(jī)參數(shù):M=8.2 kg,D=4 N·s/m,Kf=15.8 N/A,極距τ=32 mm,定子電阻R=2.5 Ω,磁鏈ψ=0.107 Wb,電感Ld=Lq=8.2 mH。

RBF-FDSC控制器參數(shù)為:k1=150,k2=38 500,c1=0.03,c2=0.01,α=0.1,β=0.2,時間常數(shù)τ=0.001;神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)采用2-5-1結(jié)構(gòu),η=0.25,θ=1.95,cj=[-3,-1,0,1,3],bj=7。輸入指令為0.06sin(πt) m。

圖2為3種控制方法下的正弦軌跡跟蹤圖。圖3為3種控制方法的跟蹤誤差圖,其中DSC方法穩(wěn)態(tài)后跟蹤誤差為±8.37 μm,0.083 s時跟蹤誤差收斂到0;FDSC方法穩(wěn)態(tài)后跟蹤誤差為±6.01 μm,0.06 s跟蹤誤差收斂到0;RBF-FDSC方法穩(wěn)態(tài)后跟蹤誤差為±4.16 μm,0.045 s跟蹤誤差收斂到0。相比于其他兩種方法,RBF-FDSC方法下系統(tǒng)響應(yīng)速度更快,控制精度更高。

圖2 期望位置信號與軌跡跟蹤圖 圖3 跟蹤誤差對比圖

在2.25 s時,對系統(tǒng)突加80 N的外部擾動。圖4為3種控制方法在突加擾動下的正弦軌跡跟蹤圖,可以看出,相比于其他兩種方法,RBF-FDSC方法在擾動下能更快的恢復(fù)穩(wěn)定狀態(tài),波動更小,抗干擾能力強(qiáng)。

圖4 擾動下跟蹤誤差對比圖圖5 參數(shù)變化下RBF-FDSC方法跟蹤誤差

電機(jī)參數(shù)M1=1.4,M=11.48 kg,D1=1.5,D=6 N·s/m,再次對RBF-FDSC控制方法進(jìn)行仿真,跟蹤誤差如圖5所示,跟蹤誤差為±4.24 μm。仿真結(jié)果表明,在參數(shù)變化下,系統(tǒng)仍可以穩(wěn)定運(yùn)行,跟蹤效果良好。

4 結(jié)論

為提升PMLSM伺服系統(tǒng)在參數(shù)變化等不確定干擾情況下的位置跟蹤性能,本文提出一種基于RBF神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)的分?jǐn)?shù)階動態(tài)面控制方法。仿真結(jié)果表明,與傳統(tǒng)動態(tài)面控制和分?jǐn)?shù)階動態(tài)面控制相比,所提方法具有更高的跟蹤精度,更強(qiáng)的魯棒性與更快的響應(yīng)速度。