環(huán)境溫度變化引起的精密臥式加工中心熱誤差建模*

羅 瑛,彭 驥,王 玲,殷國富

(1.成都工業(yè)學(xué)院繼續(xù)教育學(xué)院,成都 611730;2.四川大學(xué)機(jī)械工程學(xué)院,成都 610065)

0 引言

機(jī)床的精度會(huì)直接影響零件的加工精度。環(huán)境溫度變化引起的機(jī)床熱誤差是影響機(jī)床精度的關(guān)鍵因素之一[1-3]。理想情況下,精密機(jī)床應(yīng)該工作于恒溫車間中,以便保持機(jī)床熱穩(wěn)定性[4]。然而,為了節(jié)約恒溫廠房建設(shè)費(fèi)用以及后期溫控成本,很多精密機(jī)床往往工作于變溫車間中。變溫車間的環(huán)境溫度會(huì)隨著廠房外部自然氣候的變化而發(fā)生明顯的波動(dòng),使得靜置下的機(jī)床產(chǎn)生熱誤差[5]。

一些學(xué)者對(duì)環(huán)境溫度變化引起的機(jī)床部件精度變化展開了研究。姜耀林等[6]利用有限元法分析了環(huán)境溫度對(duì)機(jī)床床身直線度、垂直度以及平行度的影響。曹毅[7]研究了一臺(tái)外圓磨床導(dǎo)軌在水平面和垂直面內(nèi)精度隨著環(huán)境溫度變化的規(guī)律。張健民等[8]對(duì)環(huán)境溫度變化引起的重型機(jī)床床身長導(dǎo)軌變形進(jìn)行了試驗(yàn)和分析。LI等[9]對(duì)重型機(jī)床的門式框架受到環(huán)境溫度波動(dòng)引起的熱變形展開了研究,建立了動(dòng)態(tài)熱誤差模型。柳超等[10]通過有限元法研究了環(huán)境溫度幅值波動(dòng)和頻率對(duì)磨床立柱幾何精度的影響規(guī)律。上述研究對(duì)于認(rèn)識(shí)環(huán)境溫度對(duì)機(jī)床基礎(chǔ)部件精度影響具有重要的參考價(jià)值,但未對(duì)環(huán)境溫度變化引起機(jī)床熱誤差的形成過程進(jìn)行詳細(xì)研究。為了定量反映具體環(huán)境溫度下的機(jī)床熱誤差,一些學(xué)者開展了熱誤差建模研究。MIAN等[11]采用有限元法對(duì)環(huán)境溫度引起的機(jī)床熱誤差進(jìn)行了建模。ZHANG等[12]建立了環(huán)境溫度與機(jī)床熱誤差之間的熱誤差傳遞模型。PENG等[13]建立了環(huán)境溫度與機(jī)床主軸熱誤差之間的線性回歸模型。上述研究能夠有效預(yù)測出環(huán)境溫度引起的機(jī)床熱誤差。實(shí)際場景中,機(jī)床往往裝配有防護(hù)罩,可能會(huì)影響機(jī)床附近的環(huán)境溫度分布。但上述模型一般采用一個(gè)環(huán)境溫度作為輸入,需要進(jìn)一步考慮機(jī)床在外部防護(hù)罩影響下環(huán)境溫度的分布特點(diǎn)。

綜上所述,以上研究能幫助認(rèn)識(shí)環(huán)境溫度變化對(duì)機(jī)床重點(diǎn)部件熱變形的影響,但缺乏對(duì)實(shí)際場景下環(huán)境溫度變化引起整機(jī)熱誤差的形成分析與建模研究。本文以一臺(tái)精密五軸臥式加工中心為研究對(duì)象,研究車間環(huán)境溫度波動(dòng)特性,并推導(dǎo)環(huán)境溫度引起機(jī)床熱誤差的形成過程?？紤]機(jī)床防護(hù)罩對(duì)溫度場的影響,設(shè)計(jì)熱誤差實(shí)驗(yàn),并開展熱誤差建模研究。

1 環(huán)境溫度變化引起的機(jī)床熱誤差理論分析

1.1 車間環(huán)境溫度變化特性

1.1.1 車間環(huán)境溫度測量

普通車間的環(huán)境溫度容易受到廠房外部自然環(huán)境波動(dòng)影響。在車間中部典型位置豎直方向上布置了兩個(gè)間隔約2 m的測溫點(diǎn)。該處位置自然通風(fēng)良好,主要受廠房外部環(huán)境溫度變化影響。采用自動(dòng)測溫儀對(duì)測溫點(diǎn)1和2展開長期監(jiān)測,儀器測量精度為±0.2 ℃,采樣周期為5 min,測量現(xiàn)場如圖1所示。

圖1 車間環(huán)境溫度監(jiān)測

1.1.2 環(huán)境溫度波動(dòng)特性分析

以車間夏季七月份的環(huán)境溫度為例進(jìn)行分析。受到自然氣候的影響,車間環(huán)境溫度在23～34 ℃之間波動(dòng),如圖2a所示。由于空間無遮擋時(shí),頂部與底部之間的溫度差異較小,主要集中在±0.2 ℃內(nèi),故可以用底部溫度代表測點(diǎn)附近的車間環(huán)境溫度。通過快速傅里葉變換對(duì)底部環(huán)境溫度進(jìn)行分析,得到其主要波動(dòng)頻率約為1天,如圖2b所示,這與外部自然環(huán)境溫度日周期波動(dòng)特性一致。七月份白天車間環(huán)境溫度在以溫升為主,最大波動(dòng)范圍為6 ℃。故本文主要研究夏季白天溫升條件下的環(huán)境溫度變化對(duì)靜置下機(jī)床精度的影響。

(a) 幅值變化 (b) 波動(dòng)頻率

1.2 機(jī)床結(jié)構(gòu)特點(diǎn)分析

以一臺(tái)五軸精密臥式加工中心機(jī)床為例展開研究。該機(jī)床主要由主軸、主軸箱、立柱、床身、工作臺(tái)等組成,如圖3a所示。工程實(shí)際中,為了保護(hù)電氣設(shè)備以及人員安全,機(jī)床外部還會(huì)安裝防護(hù)罩,如圖3b所示。機(jī)床防護(hù)罩會(huì)影響空氣的自然流動(dòng),使得機(jī)床附近的環(huán)境溫度在豎直方向上具有一定的梯度。

(a) 機(jī)床結(jié)構(gòu) (b) 機(jī)床整體

1.3 機(jī)床熱誤差形成過程

1.3.1 環(huán)境溫度變化引起的機(jī)床溫度變化推導(dǎo)

在機(jī)床防護(hù)罩影響下,機(jī)床豎直方向上第i部分的環(huán)境溫度分為Tambi,對(duì)應(yīng)機(jī)床溫度Ti,根據(jù)集總熱容法可得到:

(1)

式中:h是自然對(duì)流換熱系數(shù),Ai是空氣與機(jī)床之間的接觸面積,ρi是材料密度,ci是比熱容,Vi是體積。令τi=ρiVici/(hAi),為集總熱容系統(tǒng)一階時(shí)間常數(shù),其值越小表示系統(tǒng)達(dá)到熱平衡的時(shí)間越短。將時(shí)間常量τi帶入式(1),得到非齊次微分方程:

(2)

(3)

根據(jù)初始條件,Ti|t=0=T0,并假設(shè)環(huán)境溫度按照正弦周期波動(dòng),Tambi(t)=Tamb+Tsisin(ωt),Tamb、Tsi、ω分別是環(huán)境溫度初始值、變化幅值、變化頻率。由1.1.2節(jié)分析可知,環(huán)境溫度變化頻率ω基本一致?？傻玫绞?3)解為:

(4)

(5)

由式(5)可以看出,由于不同位置處時(shí)間常數(shù)τi,環(huán)境溫度波動(dòng)幅值Tsi均不同。同一時(shí)刻,不同位置處的機(jī)床溫度將不同。受到機(jī)床防護(hù)罩和機(jī)床結(jié)構(gòu)的影響,環(huán)境溫度會(huì)引起非均勻的機(jī)床溫度場,而不是單一的均勻溫度場。

1.3.2 熱誤差傳遞

由1.3.1節(jié)可知,環(huán)境溫度變化最終會(huì)引起不同部件發(fā)生不同程度的溫度變化。每個(gè)部件的溫度變化會(huì)形成3個(gè)線性熱誤差和3個(gè)角度熱誤差,通過誤差傳遞鏈累積至主軸前端,改變主軸端與工作臺(tái)之間的位置,形成機(jī)床熱誤差。假定工作臺(tái)不發(fā)生熱變形,以床身→立柱→主軸箱→主軸為例進(jìn)行分析,熱誤差傳遞過程為:

(6)

式中:Pact是在環(huán)境溫度變化影響下的實(shí)際刀尖點(diǎn)坐標(biāo),Δα、Δβ、Δγ分別表示由于部件溫度變化引起繞x、y、z軸的角度誤差,Δx、Δy、Δz表示部件溫度變化引起的平移誤差,b、c、h和s三個(gè)下標(biāo)分別代表床身、立柱、主軸箱和主軸,l表示原始無任何熱變形時(shí)刀尖點(diǎn)p0在z方向的坐標(biāo),p0=[0,0,l,1]T。

忽略式(6)結(jié)果中的高階無窮小,機(jī)床在x、y、z三個(gè)方向上的線性熱誤差為:

(7)

2 機(jī)床熱誤差測量實(shí)驗(yàn)

2.1 傳感器布置

考慮到實(shí)際情況,在機(jī)床防護(hù)罩內(nèi)豎直方向上分別布置了3個(gè)溫度傳感器Tamb1、Tamb2、Tamb3,用于測量相應(yīng)位置的環(huán)境溫度,如圖4a所示。另外,在主軸后角接觸軸承處布置了主軸溫度測點(diǎn)T1、主軸箱頂部與底部中央溫度測點(diǎn)T2、T3,立柱頂部與底部中央溫度測點(diǎn)T4、T5,靠近立柱底部中央的床身溫度測點(diǎn)T6,用于輔助分析環(huán)境溫度變化引起的機(jī)床溫度變化,驗(yàn)證1.3節(jié)理論分析的正確性,更好地揭示機(jī)床熱誤差的過程,不用于建模。

(a) 環(huán)境溫度傳感器 (b) 位移傳感器

參考ISO標(biāo)準(zhǔn)[14],用3個(gè)電渦流位移傳感器分別測量主軸軸向熱誤差ez,x徑向熱誤差ex和y徑向熱誤差ey,如圖4b所示。

2.2 實(shí)驗(yàn)結(jié)果分析

夏季環(huán)境溫度在白天升溫最明顯,故對(duì)精密臥式加工中心在09:00～17:00時(shí)間內(nèi)僅僅由環(huán)境溫度變化引起的機(jī)床熱態(tài)特性和機(jī)床熱誤差展開實(shí)驗(yàn)研究。受到機(jī)床防護(hù)罩的影響,環(huán)境溫度在豎直方向上具有明顯的梯度分布特點(diǎn),如圖5a所示。其中,Tamb1溫度傳感器位于頂部,測量到的環(huán)境溫度最高,從27.5 ℃變化值至33 ℃,升高約5.5 ℃,Tamb3溫度傳感器位于底部,測量到的環(huán)境溫度最低,從27 ℃變化值至31 ℃,升高約4 ℃。由1.3.1節(jié)研究可知,機(jī)床溫度幅值與附近的環(huán)境溫度幅值密切相關(guān)。環(huán)境溫度幅值越高,通過對(duì)流傳熱后進(jìn)入機(jī)床的熱量越多,機(jī)床溫度就越高。因此,立柱頂部的溫度最高,由27.4 ℃升高至32.2 ℃,變化了4.8 ℃。床身溫度變化最小,從27.2 ℃升高至28.9 ℃,變化了1.7 ℃,如圖5b所示。

(a) 環(huán)境溫度 (b) 機(jī)床溫度

非均勻的環(huán)境溫度變化引起了非均勻的機(jī)床溫度變化,進(jìn)而導(dǎo)致各部件產(chǎn)生熱誤差,最終傳遞至主軸前端。由于機(jī)床各部件在軸向方向的熱變形最嚴(yán)重,導(dǎo)致機(jī)床主軸軸向熱誤差最大,8 h達(dá)到了17.4 μm。y方向徑向熱誤差由于受到機(jī)床熱彎曲變形的影響,先增長至8 μm,最后減少至-2 μm。因?yàn)檎麄€(gè)機(jī)床關(guān)于x軸對(duì)稱,故x徑向熱誤差最小,在±2 μm范圍內(nèi)波動(dòng),如圖5c所示。

3 機(jī)床熱誤差建模

3.1 共線性分析

熱誤差建模時(shí),溫度變量之間的共線性會(huì)顯著地影響熱誤差模型的預(yù)測能力。因此,需要首先對(duì)各溫度變量之間的共線性進(jìn)行定量分析。方差膨脹因子法可以定量分析溫度變量之間的共線性,計(jì)算公式為:

(8)

式中:VIF是方差膨脹因子值,R2是可決系數(shù),表明其余溫度變量對(duì)目標(biāo)溫度變量的解釋能力。環(huán)境溫度變化量ΔTamb1,ΔTamb2,ΔTamb3分別與其余兩個(gè)環(huán)境溫度變化量之間的VIF為236、799、230。一般認(rèn)為方差膨脹因子大于10時(shí)變量之間存在較重的共線性。本文中最小的VIF為230,意味著各溫度變量之間存在嚴(yán)重的共線性。因此,在熱誤差建模時(shí)需要考慮變量共線性對(duì)模型性能的影響。

3.2 機(jī)床熱誤差模型

3.2.1 嶺回歸算法

機(jī)床熱誤差與多環(huán)境溫度變化量之間的回歸模型為:

(9)

(10)

式中:

嶺回歸算法是通過對(duì)模型參數(shù)做L2正則化,使得求解出的模型參數(shù)之間的差異性減小,降低環(huán)境溫度變量之間的共線性對(duì)模型泛化能力的影響。采用嶺回歸回歸算法求解的損失函數(shù)為:

(11)

(12)

3.2.2 模型參數(shù)求解

嶺回歸模型的損失函數(shù)中有絕對(duì)值運(yùn)算,不方便直接求導(dǎo),無法采用傳統(tǒng)的梯度下降搜索算法求解模型參數(shù)。坐標(biāo)下降算法是一種非梯度優(yōu)化算法,通過將復(fù)雜的優(yōu)化問題分解為一系列簡單的優(yōu)化問題,每一次朝著一個(gè)坐標(biāo)軸方向進(jìn)行優(yōu)化搜索。在優(yōu)化過程中將其中1個(gè)模型參數(shù)作為變量,其余模型參數(shù)作為常量進(jìn)行搜索,不需要目標(biāo)函數(shù)的導(dǎo)數(shù)信息。

(13)

圖6 坐標(biāo)下降法流程圖

以最顯著的機(jī)床主軸軸向熱誤差為例展開建模研究。利用2.2節(jié)展示的環(huán)境溫度和軸向熱誤差進(jìn)行模型訓(xùn)練,通過嶺跡篩選法求得模型的λ=2,并采用坐標(biāo)下降算法求解模型參數(shù),如表1所示。另外,為了證明本文提出的模型的優(yōu)越性,與傳統(tǒng)基于最高單點(diǎn)環(huán)境溫度的線性回歸模型(LR),多點(diǎn)環(huán)境溫度的普通多元線性回歸模型(MLR)進(jìn)行對(duì)比。LR和MLR模型參數(shù)通過普通最小二乘法求解。由表1可知,采用嶺回歸算法建立的熱誤差模型參數(shù)分布更均勻。

表1 辨識(shí)出的模型參數(shù)

利用辨識(shí)出的模型參數(shù)擬合訓(xùn)練數(shù)據(jù),其結(jié)果如圖7所示。

圖7 各模型擬合結(jié)果

由圖7可知,各算法均能有效擬合訓(xùn)練數(shù)據(jù),其中MLR模型擬合效果最好,但還需要對(duì)模型在未知數(shù)據(jù)上的泛化能力進(jìn)行驗(yàn)證。嶺回歸、LR、MLR擬合均方根誤差分別為0.2、0.8、0.1 μm。

3.2.3 熱誤差模型驗(yàn)證

為了進(jìn)一步驗(yàn)證模型的有效性,在另外兩次不同的實(shí)驗(yàn)中對(duì)模型的預(yù)測能力進(jìn)行檢驗(yàn)。實(shí)驗(yàn)1中最高環(huán)境溫度(Tamb1)從26.3 ℃升高至30.9 ℃,最低環(huán)境溫度(Tamb3)從25.8 ℃升高至29.2 ℃,如圖8a所示。實(shí)驗(yàn)2中最高環(huán)境溫度(Tamb1)從27.1 ℃升高至31.8 ℃,最低環(huán)境溫度(Tamb3)從26.8 ℃升高至30.1 ℃,如圖8b所示。

(a) 實(shí)驗(yàn)1 (b) 實(shí)驗(yàn)2

本文提出的基于多點(diǎn)環(huán)境溫度以及考慮各環(huán)境溫度變量之間的共線性的嶺回歸熱誤差模型預(yù)測性能最好?；趥鹘y(tǒng)單點(diǎn)最高環(huán)境溫度的普通線性回歸模型(LR)預(yù)測能力最差,具體預(yù)測結(jié)果如圖9所示。由圖9a可知,實(shí)驗(yàn)1中,嶺回歸模型的預(yù)測殘差在-3.7～+0.5 μm,LR模型的預(yù)測殘差在-4.0～+2.0 μm,MLR模型的預(yù)測殘差在-3.7～+0.5 μm。實(shí)驗(yàn)2中,嶺回歸模型的預(yù)測殘差在-1.0～+1.0 μm,LR模型的預(yù)測殘差在-1.7～+1.5 μm,MLR模型的預(yù)測殘差在-1.3～+1.2 μm,如圖9b所示。

(a) 實(shí)驗(yàn)1 (b) 實(shí)驗(yàn)2

圖10 各模型的均方根誤差

嶺回歸、LR、MLR分別在實(shí)驗(yàn)1的預(yù)測均方根誤差(RMSE)為1.7、2.0、1.9 μm。實(shí)驗(yàn)2中預(yù)測均方根誤差約為0.4、0.8、0.6 μm。MLR模型比LR模型在實(shí)驗(yàn)1和實(shí)驗(yàn)2中分別提升5%和25%,證明了多環(huán)境溫度測點(diǎn)建模的優(yōu)越性?；诙喹h(huán)境溫度變量的嶺回歸模型考慮了變量間的共線性,相比于LR和MLR模型,在實(shí)驗(yàn)1中分別提高了15%和11%,實(shí)驗(yàn)2中分別提升了50%和33%,平均分別提高約33%和22%。

4 結(jié)論

本文以一臺(tái)五軸精密臥式加工中心為對(duì)象,考慮了實(shí)際工程中環(huán)境溫度分布特點(diǎn),研究了環(huán)境溫度變化引起機(jī)床熱誤差的形成過程,建立了預(yù)測能力強(qiáng)的熱誤差模型,具體結(jié)論為:

(1)揭示了車間環(huán)境溫度波動(dòng)特性。通過對(duì)車間環(huán)境溫度的長期監(jiān)測,發(fā)現(xiàn)了車間白天以溫升為主的環(huán)境溫度變化特點(diǎn),利用快速傅里葉變換獲得了車間環(huán)境溫度的日周期頻率波動(dòng)特性。

(2)提出了分析環(huán)境溫度變化引起機(jī)床熱誤差的方法。首先,考慮了機(jī)床防護(hù)罩對(duì)傳熱過程的影響,通過多段集總熱容法分析了環(huán)境溫度變化會(huì)引起機(jī)床非均勻溫度變化和多部件熱變形;然后,通過熱誤差傳遞鏈,揭示了機(jī)床熱誤差的形成過程,為熱誤差建模奠定了基礎(chǔ)。

(3)建立了基于嶺回歸的熱誤差模型。建立的嶺回歸熱誤差模型考慮了環(huán)境溫度分布的非均勻性與多個(gè)溫度點(diǎn)之間的共線性,模型預(yù)測能力強(qiáng)。結(jié)果表明,本文建立的模型比傳統(tǒng)的LR、MLR模型預(yù)測能力分別提高了33%和22%,為后期補(bǔ)償提供了一種有效的熱誤差模型。