SMA驅(qū)動器的反步自適應(yīng)NN控制*

姚茂鑫,李 康,b

(四川大學(xué)a.電氣工程學(xué)院;b.華西醫(yī)院生物醫(yī)學(xué)大數(shù)據(jù)中心,成都 610041)

0 引言

形狀記憶合金(shape memory alloy,SMA)作為一種智能材料,具有內(nèi)在順應(yīng)性、低驅(qū)動電流、生物相容性、無噪音、高力質(zhì)比等特點,引起了學(xué)者和工程師的極大關(guān)注。目前,由SMA驅(qū)動的系統(tǒng)已在多個領(lǐng)域得到應(yīng)用,如工業(yè)制造、機器人、航空航天、汽車等[1-2]。SMA在受到熱刺激時,其晶體在馬氏體相變和奧氏體相變之間產(chǎn)生驅(qū)動力和形變,這種過程是遲滯非線性的,且伴隨參數(shù)不確定性[3]。因此,要獲得良好的軌跡跟蹤控制挑戰(zhàn)性極高。

為了降低SMA遲滯的影響,以往一些研究的解決方案采用逆遲滯模型,利用前饋控制器對遲滯進(jìn)行補償[4-5]。目前,也有一些學(xué)者通過建立較為準(zhǔn)確的數(shù)學(xué)模型并結(jié)合一些魯棒控制方案(如滑?？刂?自適應(yīng)控制等)實現(xiàn)對SMA驅(qū)動器的軌跡跟蹤[6-7]。然而,這些基于模型的控制有如下缺點:①需要耗費大量時間和工作辨識模型參數(shù);②由于模型辨識過程是離線進(jìn)行的,當(dāng)SMA驅(qū)動器的負(fù)載和輸入信號頻率發(fā)生變化,模型誤差將會增大。 傳統(tǒng)的控制方法(如PID、H∞、變增益控制等)雖然無需遲滯模型,但線性控制無法保證非線性下的跟蹤性能[8-9]。

針對上述問題,本文結(jié)合了反步控制、自適應(yīng)控制和神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)的技術(shù)特點,提出了一種針對SMA驅(qū)動器的軌跡跟蹤控制方法。RBF神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)被用于估計SMA驅(qū)動器系統(tǒng)的非線性函數(shù),自適應(yīng)律被用于實時更新神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)的權(quán)值。本文所提出的控制方法不僅解決了對SMA遲滯的補償問題,而且具備無模型、快速響應(yīng)、魯棒性強、復(fù)雜度低的特點。

1 SMA驅(qū)動器與實驗裝置

SMA驅(qū)動器結(jié)構(gòu)如圖1所示。驅(qū)動器由SMA絲、彈簧、同步輪組成。驅(qū)動器通過SMA絲和彈簧產(chǎn)生的拉力和位移帶動同步輪轉(zhuǎn)動。SMA絲通過電壓加熱產(chǎn)生收縮力和位移,彈簧則提供恢復(fù)拉力。另外,一個編碼器與同步輪同軸,使所設(shè)計的驅(qū)動器具備位置反饋的能力。

圖1 SMA驅(qū)動器結(jié)構(gòu)

圖2為控制系統(tǒng)實驗裝置。實驗裝置中的控制器是TI公司的C2000實時微控制器,它采用DSP核,在同樣主頻下的運算性能可以達(dá)到Con-M核的2～3倍。采用高精度編碼器測量SMA驅(qū)動器旋轉(zhuǎn)角度,反饋信號通過C2000內(nèi)部的A/D轉(zhuǎn)換處理。SMA驅(qū)動器的控制電壓由C2000經(jīng)過D/A轉(zhuǎn)換給功率放大器獲得。該裝置通過上位機中的Simulink實時工具箱進(jìn)行實時控制和數(shù)據(jù)監(jiān)控,所有實驗的采樣時間均設(shè)置為0.000 1 s。

圖2 控制系統(tǒng)實驗裝置

2 SMA驅(qū)動器數(shù)學(xué)模型

2.1 驅(qū)動器動力學(xué)模型

如圖1所示,SMA驅(qū)動器的動力學(xué)模型可根據(jù)牛頓定律和動量矩定理可得:

(1)

式中:J、c、k、mL、g、rs、rL分別為轉(zhuǎn)動慣量、阻尼系數(shù)、彈簧剛度系數(shù)、負(fù)載質(zhì)量、重力加速度、同步輪半徑、負(fù)載力臂,τs(σ)是SMA絲產(chǎn)生的扭矩,σ是皮奧拉-基爾霍夫應(yīng)力。

2.2 SMA絲數(shù)學(xué)模型

在文獻(xiàn)[10]中所述,SMA絲的數(shù)學(xué)模型可以表示為4個子動力學(xué),即焦耳加熱和傳熱、相變、應(yīng)變和電阻。

2.2.1 焦耳加熱與傳熱

(2)

式中:Λ表示單位長度的質(zhì)量,cp表示比熱容,T表示SMA絲的溫度,ch表示對流換熱系數(shù),Ac表示SMA絲單位長度散熱面積,R表示單位長度電阻值,輸入u=I2,I為電流,cp和ch是關(guān)于溫度的函數(shù),表示為:

cp=b1+b2erf((T-m1)/n1)

(3)

(4)

式中:下標(biāo)為i的ai、bi、mi和ni是常數(shù)。

2.2.2 相變模型

SMA的滯回行為與馬氏體-奧氏體相變有關(guān)。這可以用Duhem微分滯后模型來描述,該模型表示馬氏體分?jǐn)?shù)(ξ)與溫度之間的關(guān)系,如下所示:

(5)

式中:ξ(0)=1,下標(biāo)+和-分別表示遲滯回路中相位的上升和下降,g±和h±由下式給出:

(6)

式中:μ±和c±分別表示平均值和協(xié)方差值,它們決定了遲滯環(huán)的形狀。

2.2.3 應(yīng)變

SMA絲的應(yīng)變通常取決于彈簧的剛度、預(yù)張應(yīng)力和SMA材料的物理參數(shù)?？倯?yīng)變(ε)可以近似為關(guān)于ξ連續(xù)形式的多項式,如下所示:

ε=ε0+k1ξ+k2ξ2+k3ξ3

(7)

式中:k1、k2、k3是常數(shù)。

2.2.4 電阻

SMA絲的電阻由溫度和馬氏體分?jǐn)?shù)表示:

(8)

式中:L0和ρ分別為未變形SMA的長度和密度,ρa和ρm分別為奧氏體和馬氏體的電阻率,可由如下表示:

(9)

式中:p1、p2、p3、q1、q2和αi(i=1,…,9)是常數(shù)。

綜上所述,SMA絲的數(shù)學(xué)模型可以表示為二階系統(tǒng)的狀態(tài)變量形式為:

(10)

(11)

3 控制系統(tǒng)設(shè)計

3.1 問題描述

由于SMA絲產(chǎn)生的扭矩應(yīng)用于圖1所示的系統(tǒng),如第2節(jié)所述,我們可以把SMA驅(qū)動器系統(tǒng)動力學(xué)方程(1)改寫為:

(12)

(13)

這里g(x1)取決于SMA電阻和變形,其值受相關(guān)參數(shù)范圍的限制,所以作出以下假設(shè):

(14)

3.2 反步控制律設(shè)計

步驟1:定義x1d=xd,e1=x1-x1d,則:

為了實現(xiàn)e1→0,定義Lyapunov函數(shù)為:

(15)

則

(16)

步驟2:為了實現(xiàn)x2→x2d,取誤差項

e2=x2-x2d

則

為了實現(xiàn)e2→0,e1→0,設(shè)計Lyapunov函數(shù)為:

(17)

則

設(shè)計控制律為:

(18)

式中:c2,η>0。

則

(19)

3.3 RBF神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)

RBF神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)能有效地逼近任意連續(xù)非線性函數(shù),采用RBF神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)逼近未知連續(xù)函數(shù)f(x),存在理想的權(quán)值向量w*∈RN,使得神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)w*h(x)可足夠逼近給定函數(shù)并且逼近誤差絕對值不大于εM,即:

f(x)=w*Th(x)+ε*

式中:x為神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)的輸入,ε*為逼近的誤差且滿足ε*≤|εM|,h(x)∈RN為高斯基函數(shù),且有:

圖3 RBF神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)結(jié)構(gòu)

定義:

(20)

(21)

3.4 自適應(yīng)律設(shè)計與穩(wěn)定性分析

由式(18)和式(20):

(22)

設(shè)計Lyapunov函數(shù)為:

(23)

式中:γ1,γ2>0。

則:

設(shè)計神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)自適應(yīng)律為:

(24)

由式(13)和式(17)可知,需要設(shè)計一種映射自適應(yīng)算法,一方面確保所估計的g在合理范圍內(nèi),另外一方面防止控制律奇異。

(25)

取η≥εM1+εM2u,則存在η0>0,使:

則:

4 實驗結(jié)果

為了驗證所提出的控制方法的有效性,進(jìn)行了帶負(fù)載下的正弦跟蹤和擾動實驗,并與PID控制器對比。

4.1 f=0.05 Hz軌跡跟蹤

實驗過程中所設(shè)計的控制器參數(shù)c1=3.5,c2=5.8,η=0.1,自適應(yīng)律參數(shù)取值為γ1=0.25,γ2=1.0,神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)結(jié)構(gòu)分別為2-11-1和1-11-1,負(fù)載質(zhì)量mL=0.4 kg。為了定量描述軌跡跟蹤的精度,定義了均方根誤差(root mean squared error,RMSE)指標(biāo)函數(shù)。

從圖4的軌跡跟蹤情況和跟蹤誤差結(jié)果可以看出,在軌跡跟蹤頻率f=0.05 Hz(幅值5°～15°)下PID的控制跟蹤效果相對較差,主要體現(xiàn)在上升階段跟蹤的波動較為劇烈,其中PID控制下的最大誤差為2.46°,而所提出的反步自適應(yīng)神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)控制下的最大誤差僅為0.93°。雖然在下降階段PID控制能較好地跟蹤上軌跡,但是從控制電壓輸出可以看出,PID控制輸出抖動較為劇烈。另外,為了能符合實際工業(yè)控制的安全性和節(jié)能性要求,一般要求盡可能低的控制電壓,可以看出本文所提方法的最大電壓不高于10 V。所提出的方法的能優(yōu)于PID控制,從神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)的逼近結(jié)果可以看出,主要得益于自適應(yīng)神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)的優(yōu)秀的逼近能力。通過采樣點數(shù)據(jù),計算出0～80 s過程的RMSE,其中PID控制下的RMSE為0.370 9°,本文所提的控制方法下的RMSE為0.352 1°,結(jié)果再次證實了所提出的方法在SMA驅(qū)動器的軌跡跟蹤上有優(yōu)秀的控制效果。

圖4 f=0.05 Hz軌跡跟蹤

4.2 f=0.1 Hz軌跡跟蹤

我們提升跟蹤頻率到f=0.1 Hz,從圖5可以看出,本文所提出的控制方法無論是在上升階段還是下降階段仍然能較好地跟蹤。通過采樣點數(shù)據(jù),計算出0～60 s過程的RMSE,其中PID控制下的RMSE為0.511 1°,本文所提的控制方法下的RMSE為0.405 3°。PID在提升頻率后RMSE增加了約37.8%,變化較為明顯,然而本文所提出的方法只增加了15.1%。

圖5 f=0.1 Hz軌跡跟蹤

4.3 抗干擾實驗

在這部分中,跟蹤頻率f=0.05 Hz,直接在時間tbegin=3 s,23 s,43 s,63 s和tend=8 s,28 s,48 s,68 s之間的控制輸入中增加一個階躍擾動ud=1.5 V,系統(tǒng)總輸入為u=uc+ud,其中uc為控制器的控制輸出。由圖6可以發(fā)現(xiàn),由于添加了擾動ud,不確定性發(fā)生了變化,這種變化被提出的自適應(yīng)RBF神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)捕獲和補償,然而PID在擾動區(qū)tbegin和tend附近存在較大的振蕩,未能很好地補償擾動的影響。通過采樣點數(shù)據(jù),計算出0～80 s過程的RMSE,其中PID控制下的RMSE為0.421 7°,本文所提的控制方法下的RMSE為0.355 7°。與4.1節(jié)所述的無擾動情況下的實驗結(jié)果相比,本文所提出的方法在受到擾動后RMSE變化并不明顯,僅僅只增加了1.02%,而PID控制增加了13.7%,這也再次證明了本文所提出的控制方法的有效性和魯棒性。

圖6 抗干擾實驗

4.4 控制前后遲滯環(huán)對比

開環(huán)控制和閉環(huán)控制系統(tǒng)輸入輸出之間的滯回曲線如圖7所示。滯回曲線是由頻率為f=0.05 Hz的正弦信號下的第2、3個周期獲得。在期望軌跡和實際軌跡輸出之間觀察到一個近乎線性的關(guān)系,由于存在跟蹤誤差,所以僅有較小的滯后效應(yīng)。應(yīng)用控制器前后結(jié)果表明,所提出的反步自適應(yīng)神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)控制方法對SMA驅(qū)動器的軌跡跟蹤和遲滯補償是有效的。

圖7 應(yīng)用控制器前后遲滯環(huán)對比

5 結(jié)束語

本文針對SMA遲滯非線性特性下的軌跡跟蹤問題,提出了一種反步自適應(yīng)神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)的控制方法。根據(jù)SMA驅(qū)動器的數(shù)學(xué)模型中的4個子動力學(xué),分析了在相變過程中的遲滯非線性特性的原因,并推導(dǎo)出系統(tǒng)的狀態(tài)方程。由于反步控制方法在處理非線性與不確定性系統(tǒng)上具有明顯優(yōu)勢,本文結(jié)合RBF神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)的優(yōu)點,對系統(tǒng)中的非線性和不確定性逼近,解決了以往控制對數(shù)學(xué)模型的依賴問題,并設(shè)計出自適應(yīng)律在線更新神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)的權(quán)值,證明了系統(tǒng)在Lyapunov下的閉環(huán)穩(wěn)定性。通過頻率f=0.05 Hz和f=0.1 Hz的正弦跟蹤實驗,表明了本文所提出的控制方法在跟蹤精度上優(yōu)于傳統(tǒng)的PID控制。在受到擾動后本文所提出的方法的RMSE變化并不明顯,僅僅只增加了1.02%,而PID控制增加了13.7%。最后,對開環(huán)控制和閉環(huán)控制系統(tǒng)輸入輸出之間的滯回曲線對比,證明了本文所提的控制方法對遲滯補償是有效的。綜上所述,本文所提出的控制方法具備無模型,復(fù)雜度低,精度高,魯棒性強的優(yōu)點,對SMA驅(qū)動器應(yīng)用于工業(yè)生產(chǎn)與制造具有實際意義。