不同的視角 同樣的精彩
——以2023年全國新高考Ⅰ卷第18題為例

■河北省南宮中學(xué) 秘曉達 霍忠林

對立體幾何中空間角計算的考查是高考中的熱點內(nèi)容。本文通過四種視角六種解法對2023年全國新高考Ⅰ卷第18題第二問進行多視角剖析,以期對同學(xué)們有所啟示。

題目：(2023年全國新高考Ⅰ卷第18 題)如圖1,在正四棱柱ABCD-A1B1C1D1中,|AB|=2,|AA1|=4,點A2,B2,C2,D2分別在棱AA1,BB1,CC1,DD1上,|AA2|=1,|BB2|=|DD2|=2,|CC2|=3。

(1)證明:B2C2//A2D2;(2)點P在棱BB1上,當(dāng)二面角P-A2C2-D2為150°時,求|B2P|的值。

視角一、空間向量坐標(biāo)法

該視角就是通過建立空間直角坐標(biāo)系,寫出點的坐標(biāo),進而求出所需向量,這種處理手段基本上不用作輔助線就能使問題得到解決,且解答過程具有可操作、可模仿、機械化的特點,因此受到大家的喜愛。

解法1:由題意知CD,CB,CC1兩兩垂直,如圖2建立空間直角坐標(biāo)系C-xyz。

圖2

圖3

則A2(2,2,1),C2(0,0,3),D2(2,0,2)。

取z1=2,可得m=(t-1,3-t,2)。

設(shè)平面D2A2C2的法向量n=(x2,y2,z2),則

取z2=2,可得n=(1,1,2)。

評注:本解法將二面角問題轉(zhuǎn)化為兩個法向量夾角問題來處理,這是利用空間向量坐標(biāo)法處理二面角問題的最常用方法。

評注:本解法將二面角問題轉(zhuǎn)化為兩個向量夾角問題來處理,這種處理手段避開了求兩個平面的法向量。

視角二、空間向量基底法

由空間向量基本定理可知:空間中的任意一個向量都可以通過空間向量的一組基底來表示,一般選取模和夾角均已知的不共面的三個向量作為基底。

視角三、傳統(tǒng)法

該視角就是通過識別幾何圖形中的點、線、面的位置關(guān)系,通過添加輔助線來找出空間角,進而求得所求的結(jié)果,因此對同學(xué)們的邏輯推理能力要求較高。

解法4:如圖4,不妨設(shè)點P在B2上 方,連 接A1C1,B1D1,設(shè)A1C1,B1D1交 于O1,連 接O1O,易 得B1D1⊥面AA1C1C。 而B1D1//B2D2,所 以B2D2⊥ 面AA1C1C,故二面角O1-A2C2-D2為90°。而 二 面 角PA2C2-D2為150°,故 二 面 角P-A2C2-O1為60°。過點P作PE//B1D1交O1O于E,則|B2P|=|OE|,PE⊥面AA1C1C。由解法2知PH⊥A2C2,連接EH,則∠PHE即為二面角P-A2C2-O1的平面角,所以∠PHE=60°。

在Rt△PEH中,∠PHE=60°,|PE|=,所以在Rt△EHO中

而∠EOH= ∠O1OC2,所以sin∠EOH=sin∠O1OC2,即|OE|=1,故|B2P|=1。

根據(jù)對稱性,當(dāng)點P在B2下方時,也有|B2P|=1。 綜上可知|B2P|=1。

評注:本解法采取分割二面角P-A2C2-D2的策略,將二面角P-A2C2-D2轉(zhuǎn)化為二面角O1-A2C2-D2和二面角P-A2C2-O1之和來處理。

解法5:如圖5,不妨設(shè)點P在B2上方,連接A1C1,A1O,A1B2,A2P,其中A1B2交A2P于Q,連接OQ。

圖5

易得|A1C2|==3=|A1A2|,所以A2C2⊥A1O。而四邊形A2B2C2D2為菱形,故A2C2⊥B2D2。

而B2D2∩A1O=O,所 以A2C2⊥面A1B2D2,故A2C2⊥OD2,A2C2⊥OQ,故∠QOD2即為二面角P-A2C2-D2的平面角,即∠QOD2=150°,故∠QOB2=30°。

而|A1B2|=|A1D2|=|B2D2|=2,所以△A1B2D2為等邊三角形,故∠QB2O=60°,∠OQB2=90°。

根據(jù)對稱性,當(dāng)點P在B2下方時,也有|B2P|=1。 綜上可知|B2P|=1。

評注:本解法通過幾何關(guān)系找出A2C2⊥面A1B2D2,從而直接得到∠QOD2為二面角P-A2C2-D2的平面角,從而利用比例關(guān)系得出所求結(jié)果。

視角四、等體積轉(zhuǎn)化法

當(dāng)其中一個半平面上的點(不是二面角棱上的點)到二面角的棱的距離已知時,此時只需求出該點到另一半平面所在平面的距離,就可以求出二面角(或其補角)的正弦值,因此本視角不需要作出二面角的平面角,只需求出點到另一個半平面的距離即可,求點到面的距離常采用等體積轉(zhuǎn)化法來處理。

解法6:如圖6,不妨設(shè)點P在B2上方,且|PB2|=x。易得OB2⊥A2C2,設(shè)點B2到面A2C2P的距離為h,由題 意 知 二 面 角P-A2C2-B2為 30°,則,所以作P點關(guān)于面ACC1A1的對稱點P1,由正四棱柱的性質(zhì)易得P1在棱DD1上,且|PB2|=|P1D2|,二面角P-A2C2-B2與二面角P1-A2C2-D2相等。作PH⊥A2C2,垂 足 為H,連 接P1H,則P1H⊥A2C2,故 ∠PHP1即 為 二 面 角P-A2C2-P1的 平 面 角。 而 二 面 角P-A2C2-B2為30°,所以∠PHP1=120°。

圖6

根據(jù)對稱性,當(dāng)點P在B2下方時,也有|B2P|=1。 綜上可知|B2P|=1。

評注:由于OB2⊥A2C2,二面角P-A2C2-B2為30°,所以可以求出點B2到面A2C2P的距離h,接著通過三棱錐的等體積轉(zhuǎn)化即可找到h與x的關(guān)系,最后求出x的值。

綜上所述,空間向量坐標(biāo)法對同學(xué)們的數(shù)學(xué)運算素養(yǎng)較高,對于容易建系的試題優(yōu)先選用此方法;但是對于一些不容易建系的試題,空間向量基底法和傳統(tǒng)法更具有優(yōu)勢,其中空間向量基底法需要選擇合適的空間基底向量,不需要找出空間角;傳統(tǒng)法需要找出空間角,但是一旦找出空間角就可以利用三角形幾何關(guān)系得出答案;等體積轉(zhuǎn)化法也不需要找出空間角,它是利用一個半平面的點到另一半平面的距離與該點到棱的距離之比求出二面角的正弦值,這種轉(zhuǎn)化很巧妙。