基于Ottosen 屈服條件的不同強度混凝土空腔膨脹模型及侵徹機理*

張雪巖，孫 凱，李元龍，曾費隱，李國杰，武海軍

（1.北京航天長征飛行器研究所，北京 100076；2.北京理工大學(xué)爆炸科學(xué)與技術(shù)國家重點實驗室，北京 100081）

彈體侵徹混凝土、巖石類材料一直是毀傷與防護(hù)領(lǐng)域研究的熱點，已有眾多經(jīng)驗公式和理論模型來對侵徹現(xiàn)象進(jìn)行描述?？涨慌蛎浝碚撌欠治銮謴貑栴}最成熟的理論之一，其假設(shè)無限介質(zhì)受力膨脹產(chǎn)生空腔，通過計算求解獲得空腔邊界應(yīng)力與膨脹速度關(guān)系，以此來模擬彈體侵徹半無限靶體，對侵徹過程進(jìn)行計算和分析。該方法具有很好的準(zhǔn)確性，適用性較廣，具有實際的工程應(yīng)用需求和重要的科研學(xué)術(shù)價值。

空腔膨脹理論需要結(jié)合屈服條件和各響應(yīng)分區(qū)特性進(jìn)行求解，因此精確選擇屈服條件以及合理劃分響應(yīng)分區(qū)至關(guān)重要。在早期的研究中，采用的屈服條件較為簡單，如：Forrestal 等[1-2]將Mohr-Coulomb屈服條件與Tresca 屈服條件相結(jié)合，考慮了混凝土在高靜水壓下的響應(yīng)；黃民榮等[3-4]和Zhang 等[5]使用了可以解釋微裂紋發(fā)展的Griffith 屈服條件；曹揚悅也等[6]、詹昊雯等[7]和Xu 等[8]采用了考慮圍壓影響的Hoek-Brown 屈服條件；Feng 等[9]考慮材料脆性行為采用了加帽蓋的Drucker-Prager 屈服條件。在對響應(yīng)分區(qū)的研究中，F(xiàn)orrestal 等[1-2]在早期將混凝土的空腔膨脹過程分為彈性-塑性兩部分，Satapathy[10]進(jìn)一步將塑性區(qū)分為開裂區(qū)和粉碎區(qū)，李志康等[11-12]和王一楠[13]基于HJC 模型的靜水壓-體積應(yīng)變關(guān)系細(xì)化了粉碎區(qū)，何濤等[14-15]和張欣欣等[16]考慮混凝土的擴容現(xiàn)象引入了擴容分區(qū)。

目前對于空腔膨脹理論的研究已經(jīng)可以很好地解釋空腔的發(fā)展變化過程，獲得空腔邊界應(yīng)力和膨脹速度的關(guān)系，進(jìn)而實現(xiàn)對彈體侵徹混凝土全過程的分析。但現(xiàn)在的研究中依然存在兩點不足之處：(1) 理論中采用的屈服條件過于簡單，描述的屈服包絡(luò)面與混凝土實際屈服包絡(luò)面有較大差別，尤其很難描述混凝土在侵徹過程中處于復(fù)雜圍壓應(yīng)力狀態(tài)時的屈服；(2) 對響應(yīng)分區(qū)中涉及到混凝土屈服的邊界條件應(yīng)用不恰當(dāng)，如很多工作中認(rèn)為開裂區(qū)的邊界條件為軸向應(yīng)力達(dá)到峰值應(yīng)力，然而當(dāng)達(dá)到該應(yīng)力狀態(tài)時混凝土已經(jīng)屈服進(jìn)入塑性狀態(tài)，與開裂區(qū)為單軸彈性狀態(tài)的假設(shè)矛盾。這些不足之處會對計算結(jié)果的精確程度造成影響，且混凝土強度變化時不能很好反映其響應(yīng)分區(qū)和彈體侵徹深度的變化規(guī)律。很多學(xué)者已經(jīng)開展了大量彈體侵徹不同強度混凝土靶的實驗，發(fā)現(xiàn)隨著靶體強度增加侵徹深度變化越來越小的現(xiàn)象，但目前理論研究一直停留在對彈體侵徹深度的計算上，對于靶體強度對侵徹深度影響的機理一直缺乏深入研究。

本文基于改進(jìn)的Ottosen 屈服條件[17]，對空腔膨脹過程中的響應(yīng)分區(qū)和邊界條件進(jìn)行改進(jìn)和優(yōu)化，探索不同強度混凝土各響應(yīng)分區(qū)的發(fā)展變化規(guī)律以及空腔邊界應(yīng)力和膨脹速度的關(guān)系，并將其應(yīng)用到不同實驗的侵徹深度計算中，驗證理論的準(zhǔn)確性和適用性，總結(jié)分析侵徹深度變化規(guī)律，并與結(jié)合屈服條件理論，進(jìn)一步深入分析混凝土強度變化對侵徹深度影響的機理。

1 基本公式與響應(yīng)分區(qū)

1.1 屈服條件

在空腔膨脹理論的推導(dǎo)中，隨著應(yīng)力不斷增大，需要通過屈服條件判斷當(dāng)前應(yīng)力狀態(tài)下的混凝土是否達(dá)到屈服，并在塑性區(qū)結(jié)合屈服條件和狀態(tài)方程進(jìn)行求解。因此屈服條件對于整個空腔膨脹理論分析求解過程具有重要影響。在早期工作中，采用如Mohr-Coulomb、Tressca 和Drucker-Prager 等較簡單的屈服條件，不能很好地描述空腔膨脹過程中復(fù)雜變化應(yīng)力狀態(tài)下的屈服，如圖1 所示。Ottosen 屈服條件的屈服包絡(luò)面為光滑外凸的拋物曲面，完全符合混凝土屈服包絡(luò)面的幾何特性[18-19]。文獻(xiàn)[17] 對Ottosen 屈服條件進(jìn)行了改進(jìn)，對各種應(yīng)力狀態(tài)下不同強度的混凝土均有很好的準(zhǔn)確性和適用性。因此本文采用改進(jìn)的Ottosen 屈服條件來描述空腔膨脹過程中混凝土的屈服：

圖1 不同屈服條件偏平面形狀Fig.1 Partial plane shapes with different yield conditions

1.2 狀態(tài)方程

在對混凝土試件進(jìn)行單軸、雙軸和三軸壓實驗時，會產(chǎn)生靜水壓下的壓縮體積應(yīng)變與微裂紋擴展引起的塑性膨脹體積應(yīng)變[23-25]。而在彈體以較低的速度侵徹混凝土的過程中，由于彈靶接觸面壓力較小、應(yīng)變速率較低，會產(chǎn)生側(cè)向應(yīng)變，產(chǎn)生擴容現(xiàn)象；隨著侵徹速度增大，彈靶接觸面壓力增大、應(yīng)變速率增加，側(cè)向應(yīng)變減小，擴容狀態(tài)消失，轉(zhuǎn)為壓縮狀態(tài)[26-27]。因此空腔膨脹理論要針對膨脹速度從低速到高速各階段的特點，綜合考慮混凝土的擴容和壓縮特性。本文同樣采用Zhang 等[5]、He 等[15]和張欣欣等[16]在空腔膨脹理論不同分區(qū)的求解中采用的Dilatant-Kinematic 狀態(tài)方程：

1.3 響應(yīng)分區(qū)

針對混凝土擴容現(xiàn)象，Zhang 等[5]和張欣欣等[16]在空腔膨脹過程中引入了擴容區(qū)，整個響應(yīng)分區(qū)可以分為彈性區(qū)-開裂區(qū)-擴容區(qū)-密實區(qū)，如圖2(a)所示。其中彈性區(qū)和開裂區(qū)處于彈性狀態(tài)，擴容區(qū)和密實區(qū)處于塑性狀態(tài)，開裂區(qū)和擴容區(qū)的邊界條件為徑向應(yīng)力達(dá)到混凝土單軸抗壓強度。但擴容的定義為體積由壓縮變?yōu)榕蛎?，因此通過徑向應(yīng)力定義并不妥當(dāng)。并且，當(dāng)徑向應(yīng)力達(dá)到抗壓強度時混凝土已進(jìn)入塑性狀態(tài)，因而不能將整個開裂區(qū)定義為彈性狀態(tài)。本文將開裂區(qū)分為彈性開裂區(qū)和塑性開裂區(qū)，兩者之間邊界條件為徑向應(yīng)力達(dá)到屈服應(yīng)力，該應(yīng)力可由改進(jìn)的Ottosen 屈服條件計算。并且塑性開裂區(qū)與擴容區(qū)邊界條件為體積由壓縮變?yōu)榕蛎泴?yīng)的徑向應(yīng)力，亦可通過改進(jìn)的Ottosen 屈服條件計算。擴容區(qū)與密實區(qū)邊界為屈服條件出現(xiàn)帽蓋，可根據(jù)帽蓋模型定義求得。重新定義的分區(qū)如圖2(b)所示。

圖2 空腔膨脹理論響應(yīng)分區(qū)Fig.2 Response zone of cavity expansion theory

在獲得各響應(yīng)分區(qū)特點后，可根據(jù)球坐標(biāo)下的質(zhì)量守恒方程、動量守恒方程和Hugoniot 間斷條件求解：

2 動態(tài)球形空腔膨脹理論響應(yīng)分區(qū)分析

2.1 彈性區(qū)

彈性區(qū)的混凝土可采用Hooke 定律描述其應(yīng)力應(yīng)變關(guān)系。采用巖土力學(xué)描述方式，即壓應(yīng)力為正，拉應(yīng)力為負(fù)，在球坐標(biāo)下徑向應(yīng)力和周向應(yīng)力的表達(dá)式：

2.2 彈性開裂區(qū)

混凝土材料的抗拉強度要遠(yuǎn)低于抗壓強度，且抗壓強度越高拉壓比越小。在周向拉應(yīng)力作用下混凝土?xí)a(chǎn)生裂紋，導(dǎo)致周向應(yīng)力變?yōu)榱?，形成開裂區(qū)。此時徑向應(yīng)力未達(dá)到屈服應(yīng)力，因而此時開裂區(qū)均處于單軸彈性狀態(tài)。則徑向應(yīng)力表達(dá)式可表示為：

2.3 塑性開裂區(qū)

2.4 擴容區(qū)

在擴容區(qū)，由于混凝土體積由壓縮變?yōu)榕蛎洠瑫艿絿鷫鹤饔?，因此處于三軸塑性狀態(tài)。同塑性開裂區(qū)求解方法，同樣采用Dilatant-Kinematic 方程（式(5)）。定義擴容區(qū)體積系數(shù)為m2，因為擴容區(qū)為膨脹狀態(tài)，因此m2＜2 ，根據(jù)文獻(xiàn)[14-16]，m2取為1.8。記c4為擴容區(qū)和密實區(qū)（若密實區(qū)不存在則為空腔）的界面?zhèn)鞑ニ俣?，引入相似變換 ξ4=r/(c4t) ， ? =c3/c4，S4=σr/fc。將改進(jìn)的Ottosen 屈服條件代入動量守恒方程（式(7)）中，可得：

式中：M2=(2-m2)v4(ξ4=?)?m2/c4，N2=?m2v4(ξ4=?)/c4，v4(ξ4=?) 為擴容區(qū)外側(cè)邊界的質(zhì)點速度。

進(jìn)而采用Runge-Kutta 法對常微分方程（式(33)）在區(qū)間 [1,?] 內(nèi)進(jìn)行求解，得到該區(qū)域的徑向應(yīng)力。同樣由于c4的值未知，因此需要對其取值進(jìn)行試算。擴容區(qū)內(nèi)側(cè)邊界條件存在兩種情況，即擴容區(qū)內(nèi)是空腔或擴容區(qū)內(nèi)存在密實區(qū)。由式(27)可得質(zhì)點速度v4在擴容區(qū)內(nèi)側(cè)的表達(dá)式：

當(dāng)內(nèi)側(cè)邊界條件為邊界質(zhì)點速度等于空腔膨脹速度，即v4(ξ4=1)/c4=1 時，擴容區(qū)內(nèi)側(cè)是空腔。求解得到擴容區(qū)內(nèi)側(cè)邊界徑向應(yīng)力后，可通過改進(jìn)的Ottosen 屈服條件得到周向應(yīng)力，應(yīng)力狀態(tài)的無量綱應(yīng)力第一不變量為：

當(dāng)I1滿足改進(jìn)的Ottosen 屈服條件的帽蓋模型時，如式(4)，擴容區(qū)內(nèi)側(cè)存在密實區(qū)。

2.5 密實區(qū)

當(dāng)無量綱應(yīng)力第一不變量的值超過I1M時，擴容區(qū)內(nèi)部存在密實區(qū)。密實區(qū)同樣采用Dilatant-Kinematic 方程和改進(jìn)的Ottosen 屈服條件進(jìn)行描述，并且推導(dǎo)過程類似擴容區(qū)。記密實區(qū)的體積系數(shù)為m3，因為密實區(qū)為壓縮狀態(tài)，因此m3>2 ，根據(jù)文獻(xiàn)[14-16]，m3取為2.2。記c5為空腔的界面?zhèn)鞑ニ俣?，引入如下相似變換 ξ5=r/(c5t),ζ=c4/c5,S5=σr/fc。令M3=(2-m3)v5(ξ5=ζ)ζm3/c5，N3=ζm3v5(ξ5=ζ)/c5，v5(ξ5=ζ)為密實區(qū)外側(cè)邊界的質(zhì)點速度。將改進(jìn)的Ottosen 屈服條件代入動量守恒方程（式(7)）中，可得：

采用Runge-Kutta 法對式(36)在區(qū)間[1, ζ]內(nèi)進(jìn)行求解，得到該區(qū)域的徑向應(yīng)力。由于c5的值未知，因此需要對其取值進(jìn)行試算。每次試算后，用密實區(qū)內(nèi)側(cè)邊界 ( ξ5=1) 的邊界條件進(jìn)行判斷。由于沒有后續(xù)區(qū)域出現(xiàn)，密實區(qū)內(nèi)側(cè)邊界的質(zhì)點速度v5(1) 等于空腔膨脹速度c5，所以邊界條件為：

至此就沿動態(tài)球形空腔膨脹響應(yīng)分區(qū)從外向內(nèi)的順序完成了所有響應(yīng)區(qū)的分析與推導(dǎo)求解。

3 響應(yīng)分區(qū)與侵徹深度的計算與分析

3.1 響應(yīng)分區(qū)的計算與分析

通過計算得到了混凝土空腔膨脹過程中各響應(yīng)區(qū)界面?zhèn)鞑ニ俣扰c空腔邊界膨脹速度的關(guān)系，如圖3所示。當(dāng)空腔邊界膨脹速度較小時，不存在密實區(qū)，c1、c2和c3均隨空腔邊界膨脹速度V（密實區(qū)存在時即為密實區(qū)內(nèi)側(cè)質(zhì)點速度，密實區(qū)不存在時即為擴容區(qū)內(nèi)側(cè)質(zhì)點速度）的增大而非線性增大；當(dāng)V增大到一定程度時，擴容區(qū)與密實區(qū)界面速度c4出現(xiàn)，密實區(qū)出現(xiàn)；V繼續(xù)增加時，c3追趕上c2，塑性開裂區(qū)消失；而后c2追趕上c1，彈性開裂區(qū)消失。因此可以將c1外的區(qū)域看作彈性區(qū)，c1與c2間的區(qū)域為彈性開裂區(qū)，c2與c3間的區(qū)域為塑性開裂區(qū)，c3與c4間的區(qū)域為擴容區(qū)范圍，c4內(nèi)為密實區(qū)。

圖3 響應(yīng)區(qū)界面?zhèn)鞑ニ俣扰c空腔邊界膨脹速度關(guān)系Fig.3 Relationship between the interface propagation velocity in response zone and the cavity boundary expansion velocity

當(dāng)混凝土強度變化時，各響應(yīng)區(qū)邊界傳播速度規(guī)律以及范圍大小也會有所不同，進(jìn)而可以反應(yīng)不同混凝土在侵徹中的現(xiàn)象與規(guī)律。本文計算了抗壓強度為35、60、80 和120 MPa 的混凝土各響應(yīng)區(qū)界面?zhèn)鞑ニ俣龋煌瑥姸然炷恋牧W(xué)性能參數(shù)如表1 所示。

表1 不同抗壓強度混凝土的力學(xué)性能參數(shù)Table 1 Mechanical properties of concrete with different compressive strength

圖4 給出了四中混凝土的界面?zhèn)鞑ニ俣龋梢钥闯觯?/p>

圖4 不同強度混凝土響應(yīng)區(qū)域界面?zhèn)鞑ニ俣扰c空腔邊界膨脹速度關(guān)系Fig.4 Relationship between interface propagation velocity in response zone and cavity boundary expansion velocity of different strength concrete

(1) 以圖中空腔邊界膨脹速度為600 m/s 時為例，四種強度混凝土c1值分別為1 880、2 060、2 180 和2 320 m/s；隨著混凝土強度的提高，相同空腔速度下，對應(yīng)c1的值越大；這表明在空腔膨脹過程中，混凝土強度越高，開裂區(qū)邊界范圍越大；開裂區(qū)由于周向應(yīng)力達(dá)到抗拉強度，因此出現(xiàn)周向開裂，即產(chǎn)生破壞；反映在侵徹過程中，相同尺寸靶體下，高強混凝土的破壞區(qū)域越大；

(2) 四種強度混凝土c3追趕上c2時對應(yīng)空腔邊界膨脹速度分別為240、320、340 和350 m/s；隨著混凝土強度的增加，c3追趕上c2時對應(yīng)的速度越大，塑性開裂區(qū)存在的時間和區(qū)域越大；但由于c3和c2的差值較小，塑性開裂區(qū)的范圍比彈性開裂區(qū)和擴容區(qū)要小很多；

(3) 混凝土強度越大，c4增加速度越慢，擴容區(qū)范圍越大；混凝土出現(xiàn)擴容的原因在于混凝土內(nèi)部出現(xiàn)裂紋，造成體積增大，因此彈性開裂區(qū)、塑性開裂區(qū)和擴容區(qū)都可以看作侵徹時裂紋出現(xiàn)的區(qū)域；圖中所示高強混凝土的彈性開裂區(qū)、塑性開裂區(qū)和擴容區(qū)范圍更大，印證了侵徹實驗中高強混凝土破壞范圍更大的現(xiàn)象；

(4) 四種強度混凝土c4出現(xiàn)時對應(yīng)的空腔邊界膨脹速度分別為315、400、465 和545 m/s；混凝土強度越大c4的速度增加慢，速度相對更小，并且出現(xiàn)時對應(yīng)的速度更大，則其密實區(qū)范圍更小，表明了高強混凝土更不容易壓實的特點，且其壓實后體積變化相對較??；因為較低強度的混凝土中空隙和裂紋較多，因此更容易壓實，體積應(yīng)變較大；高強混凝土更加密實，接近均質(zhì)材料，因此不容易壓縮。

不考慮塑性開裂區(qū)時不同強度混凝土的響應(yīng)區(qū)界面?zhèn)鞑ニ俣热鐖D5 所示。同圖4 對比可知，考慮塑性開裂區(qū)后，密實區(qū)出現(xiàn)時擴容區(qū)與密實區(qū)界面速度對應(yīng)的空腔邊界膨脹速度，即c4的初始大小有了顯著的區(qū)別?；炷翉姸仍礁撸琧4的初值越大，表明侵徹過程中壓實高強混凝土需要更高的速度。由此可知考慮塑性開裂區(qū)后，不同強度混凝土的響應(yīng)區(qū)界面?zhèn)鞑ニ俣葧懈语@著的區(qū)別，并能夠更好地反應(yīng)混凝土在侵徹中的現(xiàn)象、規(guī)律以及力學(xué)特點。

圖5 不考慮塑性開裂區(qū)時不同強度混凝土的響應(yīng)區(qū)域界面?zhèn)鞑ニ俣菷ig.5 Interface propagation velocity in response zone of different strength concrete without considering plastic cracking zone

3.2 侵徹深度計算與分析

圖6 給出了通過計算得到的無量綱空腔邊界徑向應(yīng)力與無量綱空腔邊界膨脹速度的關(guān)系，采用二次多項式對圖中曲線進(jìn)行擬合可得：

圖6 無量綱空腔邊界徑向應(yīng)力與空腔邊界膨脹速度關(guān)系Fig.6 The relationship between the dimensionless radial stress of the cavity boundary and the expansion velocity of the cavity boundary

式中：a1、a2和a3為空腔膨脹應(yīng)力擬合參數(shù)。該式在侵徹阻力分析中表示彈體表面與混凝土靶之間的法向應(yīng)力，將其在彈體頭部表面進(jìn)行積分可以獲得彈體的侵徹阻力。

任意頭部形狀彈體的受力分析如圖7 所示，其中d為彈體直徑，h為彈體頭部長度，彈體頭部輪廓的函數(shù)為y=y(x) ，頭部尖端與頭部結(jié)束位置的坐標(biāo)分別為x1和x2。 σn為彈體表面法向壓力，與該位置的空腔膨脹邊界應(yīng)力相等。彈體運動速度為Vz，? 為彈體表面微元方位角，Vzcos?為該微元與混凝土靶的法向相對運動速度，即為混凝土的空腔邊界膨脹速度。

圖7 任意頭部彈體的受力分析Fig.7 Force analysis of projectile with arbitrary head

假設(shè)彈體為剛體，侵徹混凝土的過程可以分為開坑段和隧道段。開坑段的彈體阻力可簡化為線性關(guān)系：

式中：m為彈體質(zhì)量。

文獻(xiàn)[28-30]中開展了彈體侵徹抗壓強度為97、63 和39MPa 混凝土靶的實驗。上述實驗覆蓋了較大的速度范圍、靶體強度范圍和彈體質(zhì)量范圍，彈靶情況可見相關(guān)文獻(xiàn)，計算采用的混凝土力學(xué)性能參數(shù)見表2。實驗中彈體侵蝕很小，在計算中可視為剛體。采用本文基于Ottosen 屈服條件并考慮塑性開裂區(qū)的空腔膨脹理論與文獻(xiàn)[16]中空腔膨脹理論分別對文獻(xiàn)[28-30]的實驗情況進(jìn)行計算并對比，計算結(jié)果如圖8 所示?？梢钥吹綄τ?9 和63 MPa 的混凝土，兩種空腔膨脹理論方法得到的結(jié)果與實驗結(jié)果都比較吻合，兩者計算結(jié)果差距很小。而對于侵徹97 MPa 高強混凝土情況，本文模型與實驗結(jié)果吻合較好，文獻(xiàn)[16]中空腔膨脹理論方法的計算結(jié)果與實驗結(jié)果相比明顯偏小，誤差在15%左右。因此對于普通混凝土，兩種方法的計算結(jié)果均較為準(zhǔn)確，但對于高強混凝土，原有的空腔膨脹理論由于屈服條件簡單而不能準(zhǔn)確計算高圍壓下應(yīng)力狀態(tài)，且出現(xiàn)密實區(qū)對應(yīng)的速度不變，故而過高計算了高強混凝土對彈體的阻力，使得計算值偏小，誤差較大。本文的空腔膨脹理論對于普通混凝土和高強混凝土均有較好的適用性，可以準(zhǔn)確計算徑向應(yīng)力與空腔邊界速度關(guān)系以及侵徹深度，可以用于實驗預(yù)估和規(guī)律分析。

表2 不同強度混凝土的力學(xué)性能參數(shù)Table 2 Mechanical property parameters of concrete with different strengths

圖8 彈體侵徹不同強度混凝土實驗結(jié)果與計算結(jié)果對比Fig.8 Experimental and calculated results for the projectile penetrating concrete with different strength

3.3 混凝土強度變化對侵徹深度影響機理分析

為了進(jìn)一步研究靶體強度對侵徹深度影響的規(guī)律，保持彈體不變，選取本課題組開展的相同彈體侵徹35、60、80 和120 MPa 混凝土靶的侵徹實驗[31-32]進(jìn)行對比計算，彈靶情況和參數(shù)可見相關(guān)文獻(xiàn)，實驗中彈體侵蝕很小，計算時可視為剛體。實驗中彈體質(zhì)量為100 g，侵徹初速度范圍為600～1 300 m/s。實驗和計算侵徹深度結(jié)果如圖9(a)所示。由于80 和120 MPa 混凝土的侵徹深度相差很小，為了更清楚展示，結(jié)果單獨列于圖9(b)和圖9(c)。結(jié)合圖8 和圖9 計算與實驗結(jié)果對比，可以看到針對不同強度混凝土，在較大侵徹初速度速度范圍內(nèi)，彈體侵徹深度的計算結(jié)果與實驗結(jié)果均符合較好，基于此結(jié)果開展后續(xù)分析。

圖9 彈體侵徹不同強度混凝土實驗結(jié)果與計算結(jié)果對比Fig.9 Comparison of experimental and calculated results of projectile penetration into concrete with different strengths

從圖9(a) 中的計算數(shù)據(jù)可知，混凝土強度越高，彈體侵徹深度隨速度增加的增量越小，且在相同侵徹初速度下彈體的侵徹深度隨混凝土強度提高而減小，但減小量也變小。Wu 等[33-34]和Zhang 等[35]的實驗中也發(fā)現(xiàn)并指出了這一規(guī)律。為了研究彈體侵徹深度隨混凝土強度變化的規(guī)律，計算得到了420 和1 200 m/s 的速度下彈體侵徹不同混凝土的速度-時間曲線，如圖10 所示。在相同速度下侵徹高強混凝土的彈體的曲線下降速度更快，但隨著混凝土強度提高下降速度的變化變小，80 和120 MPa 數(shù)據(jù)幾乎重合。曲線與坐標(biāo)軸圍成的面積即為侵徹深度，可以看到高強混凝土曲線圍成的面積更小，因而其侵徹深度更小。且高強混凝土的高速（1 200 m/s）減去低速（420 m/s）圍成的面積更小，因而強度越高，彈體侵徹深度隨速度增加的增量越小。

圖10 彈體侵徹不同強度混凝土速度-時間曲線對比Fig.10 Comparison of speed-time curves of projectile penetration into concrete with different strengths

圖11 為彈體侵徹不同強度混凝土的減加速度-時間曲線，對比可知在相同初速度下，隨著混凝土強度的提高，彈體的加速度變大，但增加量變小，尤其是當(dāng)混凝土強度由80 MPa 增大到120 MPa 時，加速度幾乎無變化。對比不同強度下加速度隨侵徹初速度的變化，當(dāng)侵徹初速度由400 MPa 變?yōu)? 200 m/s時，對于35 MPa 混凝土減加速度增加了三倍，對于60 MPa 混凝土增加了一倍多，對于80 和120 MPa混凝土增加不足一倍。由此可見侵徹高強混凝土彈體的加速度更大，但隨強度增加減加速度的變化很小，并且隨速度增加減加速度的增加量相較于普通混凝土的增加量也較小。

圖12 為空腔邊界應(yīng)力與空腔膨脹速度的關(guān)系，可以看到相同速度下隨著強度的增加空腔邊界應(yīng)力變大，但變化程度越來越小，80 和120 MPa混凝土幾乎無差別。因此造成了彈體侵徹不同強度混凝土的減加速度和速度的差別，并最終影響到侵徹深度變化規(guī)律。

圖13(a)以抗壓強度80 MPa 混凝土為例，計算得到了其無量綱徑向應(yīng)力和周向應(yīng)力隨空腔邊界膨脹速度變化情況，無量綱應(yīng)力為應(yīng)力與抗壓強度的比值，圖13(b)表示對應(yīng)的應(yīng)力狀態(tài)在Haigh-Wastergand 空間中的位置，即混凝土壓子午線上的屈服包絡(luò)面，以及對應(yīng)的空腔邊界膨脹速度。兩圖表明空腔邊界應(yīng)力狀態(tài)都會落到子午線屈服包絡(luò)面上，且空腔邊界膨脹速度越大，圍壓越大，徑向應(yīng)力越大，對應(yīng)的應(yīng)力狀態(tài)在I1軸坐標(biāo)越大，因此可用Haigh-Wastergand 空間中的屈服包絡(luò)面表示隨速度增加應(yīng)力狀態(tài)的變化。相關(guān)實驗結(jié)果表明，混凝土強度越高，圍壓增強效應(yīng)越弱，可以推斷在高圍壓下隨著混凝土強度的增加徑向應(yīng)力的變化會越來越小。根據(jù)改進(jìn)Ottosen屈服條件，得到了不同強度混凝土在Haigh-Wastergand 空間中的屈服包絡(luò)面，如圖14 所示?？梢钥吹狡胀◤姸然炷翉姸仍龃髸r，其屈服包絡(luò)面變化較大，尤其在高圍壓下徑向應(yīng)力會成倍增加。而高強混凝土屈服包絡(luò)面變化很小，使得其在高圍壓下徑向應(yīng)力的大小幾乎無差別，由此解釋了圖12 中混凝土強度變化對空腔邊界應(yīng)力造成影響的原因。因此高強混凝土屈服面的變化特點造成了空腔膨脹過程中空腔邊界應(yīng)力隨混凝土強度增加的變化規(guī)律。

圖13 80 MPa 混凝土應(yīng)力狀態(tài)示意Fig.13 Schematic diagram of the stress state of 80 MPa concrete

圖14 不同強度混凝土的屈服包絡(luò)面Fig.14 Yield envelope surface of different strength concrete

由此可見，從速度、減加速度和應(yīng)力等方面，普通強度混凝土和高強混凝土都會有明顯的差別，但由強度提高帶來的變化不是無限增加的，對于高強混凝土隨著強度增加諸方面的變化越來越小，直至幾乎沒有區(qū)別，因而強度提升帶來的抗侵徹能力增益越來越小。這就造成了實驗中隨著混凝土強度增加，彈體侵徹深度隨速度增加的增量越小，且在相同侵徹初速度下隨混凝土強度提高彈體的侵徹深度減小，但減小量也變小的特點。

4 結(jié) 論

本文基于改進(jìn)Ottosen 屈服條件，對空腔膨脹理論響應(yīng)分區(qū)和邊界條件進(jìn)行了改進(jìn)和優(yōu)化，獲得了各響應(yīng)分區(qū)的發(fā)展變化規(guī)律以及空腔邊界應(yīng)力和膨脹速度關(guān)系。對彈體侵徹不同強度混凝土侵徹過程中靶體各分區(qū)的響應(yīng)以及彈體侵徹深度進(jìn)行了計算和分析，驗證了本文建立的空腔膨脹理論模型和彈體侵徹深度計算模型的準(zhǔn)確性和適用性，主要結(jié)論如下。

(1) 結(jié)合改進(jìn)Ottosen 屈服條件，引入塑性開裂區(qū)，構(gòu)建的空腔膨脹理論中各分區(qū)的響應(yīng)可以很好地反應(yīng)不同強度混凝土的力學(xué)特性以及在侵徹中的破壞現(xiàn)象?；炷翉姸仍礁?，開裂區(qū)和擴容區(qū)范圍越大，混凝土破壞范圍越大；密實區(qū)范圍越小，越不容易壓實。體現(xiàn)了高強混凝土脆性大，更加密實的特點。

(2) 采用侵徹深度計算模型對實驗工況進(jìn)行了計算，計算結(jié)果與實驗結(jié)果符合較好，證明了基于改進(jìn)Ottosen 屈服條件和引入塑性開裂區(qū)的空腔膨脹理論的準(zhǔn)確性和適用性。并且計算結(jié)果反映了混凝土強度越高，彈體侵徹深度隨速度增加的增量越小，且在相同侵徹初速度下隨混凝土強度提高彈體的侵徹深度減小，減小量也變小的特點。

(3) 基于侵徹應(yīng)力狀態(tài)計算結(jié)果和改進(jìn)Ottosen 屈服條件就靶體強度對侵徹深度影響的機理進(jìn)行了分析，結(jié)果表明隨著強度的增加混凝土屈服包絡(luò)面擴大但變化越來越小，因而空腔邊界應(yīng)力增大，但變化程度越來越小，造成了靶體強度提高后侵徹深度的變化特點。