巧用方程和不等式求解函數(shù)問題

■何秀月

方程是利用相等的數(shù)量關(guān)系構(gòu)建而成的數(shù)學表達式,利用方程可以求出未知數(shù)的值或通過消元來減少未知數(shù)的個數(shù);不等式是利用不相等的數(shù)量關(guān)系構(gòu)建而成的數(shù)學表達式,利用不等式可以確定變量的取值范圍。下面以一道浙江省臺州市高一年級期末統(tǒng)考題為例,闡述巧妙利用方程和不等式求解函數(shù)問題的具體方法,以期達到拋磚引玉的效果。

題目已知函數(shù)f(x)=ax2+4x+b(a＜0,a,b∈R),設(shè)關(guān)于x的方程f(x)=0的兩個實根為x1,x2,f(x)=x的兩個實根為α,β,且|α-β|=1。

(1)若a,b均為負整數(shù),求f(x)的解析式。

(2)若α＜1＜β,求(x1+a)·(x2+a)的取值范圍。

分析：題設(shè)給出的f(x)是一元二次函數(shù),f(x)=0是函數(shù)f(x)對應(yīng)的方程,利用關(guān)于x的方程,求出未知數(shù)a和b,再利用待定系數(shù)法求出f(x)的解析式;利用不等式α＜1＜β,確定實數(shù)a的取值范圍,進而確定(x1+a)·(x2+a)的取值范圍。

解：(1)由題設(shè)得f(x)=x的兩個實根為α,β,即方程ax2+3x+b=0 的兩個實根為α,β。由|α-β|=1,結(jié)合韋達定理得|α-,所以a2+4ab=9。

結(jié)合a,b均為負整數(shù)得所以f(x)的解析式為f(x)=-x2+4x-2。

(2)由已知條件可知,關(guān)于x的方程f(x)=0 的兩個實根為x1,x2,即ax2+4x+b=0 的兩個實根為x1,x2,所以已知方程f(x)=x的兩個實根為α,β,由|α-β|=1,結(jié)合韋達定理得a2+4ab=9,所以

已知α＜1＜β,a＜0,令g(x)=ax2+3x+b,結(jié)合二次函數(shù)的圖像與性質(zhì)得