最小二乘法與穩(wěn)健估計(jì)法在水電站大壩沉降監(jiān)測(cè)數(shù)據(jù)分析中的應(yīng)用效果分析

李 杰

（華北理工大學(xué)礦業(yè)工程學(xué)院，河北 唐山 064000）

0 引言

變形監(jiān)測(cè)對(duì)于大壩安全狀態(tài)的評(píng)估有著重要的作用，因此確保監(jiān)測(cè)點(diǎn)的數(shù)據(jù)具有可靠性和良好的精度是非常有必要的[1-2]。但在實(shí)際的測(cè)量中，不可避免地會(huì)受到外界因素或人為因素的影響，由此產(chǎn)生的粗差會(huì)對(duì)整體數(shù)據(jù)的評(píng)估造成很大影響，此時(shí)再用經(jīng)典最小二乘法會(huì)使實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)的精度受到粗差的影響，使結(jié)果不可靠。而穩(wěn)健估計(jì)法通過對(duì)粗差不斷進(jìn)行降權(quán)，具有很強(qiáng)的抗差性效果。因此采用穩(wěn)健估計(jì)對(duì)大壩監(jiān)測(cè)點(diǎn)的數(shù)據(jù)進(jìn)行處理具有非常大的價(jià)值。

目前已有諸多學(xué)者使用穩(wěn)健估計(jì)法來降低數(shù)據(jù)采集過程中產(chǎn)生的粗差對(duì)實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)的影響。甄龍等[3]選用了多種穩(wěn)健估計(jì)的方法對(duì)GPS中帶有的粗差進(jìn)行評(píng)估，得出結(jié)論：當(dāng)在對(duì)獨(dú)立變量進(jìn)行處理時(shí)，穩(wěn)健估計(jì)能得到較好的結(jié)果。陳開瑞[4]提出了穩(wěn)健的總體最小二乘回歸方法，對(duì)地鐵監(jiān)測(cè)點(diǎn)的沉降進(jìn)行建模，結(jié)果預(yù)測(cè)精度大大提高，證明了該方法在地鐵監(jiān)測(cè)中使用的可行性。王剛等[5]利用穩(wěn)健估計(jì)對(duì)重慶草堂隧道地表觀測(cè)點(diǎn)進(jìn)行研究，證明了穩(wěn)健估計(jì)能很好地剔除誤差，且Huber權(quán)函數(shù)較其他權(quán)函數(shù)有更好的抗差性。本文將運(yùn)用最小二乘法和穩(wěn)健估計(jì)法，在MATLAB環(huán)境中對(duì)大壩的變形監(jiān)測(cè)數(shù)據(jù)在含有粗差時(shí)和不含粗差時(shí)進(jìn)行處理，并對(duì)其中誤差和決定系數(shù)進(jìn)行對(duì)比分析，得出兩種方法的優(yōu)缺點(diǎn)及適用范圍。

1 數(shù)據(jù)分析的理論模型及原理

在雙江口水電站大壩變形監(jiān)測(cè)中，觀測(cè)數(shù)據(jù)的精度尤其重要。原始測(cè)量由于測(cè)量人的疏忽和外部環(huán)境的干擾等，測(cè)量數(shù)據(jù)里往往帶有粗差[6]。如果直接對(duì)數(shù)據(jù)做平差處理，得到的結(jié)果往往不可靠。因此，為了降低粗差對(duì)整體觀測(cè)數(shù)據(jù)的影響與干擾，在數(shù)據(jù)處理時(shí)調(diào)用權(quán)函數(shù)，使獲得的實(shí)驗(yàn)結(jié)果盡可能地接近真值的有效估計(jì)。

1.1 回歸分析模型

如果實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)中存在自變量x1,x2,x3,…,xn與因變量Y，且因變量與自變量xk(k=1,2…n)有如下線性關(guān)系：

由于本次實(shí)驗(yàn)只涉及時(shí)間變化與大壩高程變化兩個(gè)變量，因此采用的回歸模型為一元線性回歸模型，即：

式中：Y——大壩高程變化量；

x1——時(shí)間變化；

β0——回歸方程常數(shù)項(xiàng)；

β1——回歸系數(shù)；

ε——隨機(jī)擾動(dòng)項(xiàng),ε~N(0,σ2)。

1.2 最小二乘法分析原理

根據(jù)測(cè)量數(shù)據(jù)與回歸函數(shù)對(duì)應(yīng)的擬合值，列出誤差方程式：

式中：V——觀測(cè)值的改正數(shù)；

B——自變量的系數(shù)矩陣；

——未知參數(shù)的近似值；

L——觀測(cè)值Y的列向量。

最小二乘準(zhǔn)則為：

1.3 穩(wěn)健估計(jì)法分析原理

穩(wěn)健估計(jì)可以在有粗差的條件下，盡可能大地減小粗差對(duì)實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)的影響，得出正常模式下的最佳預(yù)測(cè)[7-8]。其基本原則就是在平差處理的過程中，通過多次迭代反復(fù)計(jì)算其權(quán)值大小，對(duì)有效數(shù)據(jù)進(jìn)行充分利用，對(duì)觀測(cè)數(shù)據(jù)里精度不高的數(shù)據(jù)進(jìn)行降權(quán)[9]，或?qū)写植畹挠^測(cè)數(shù)據(jù)不斷進(jìn)行降權(quán)直到接近于零，以消除粗差對(duì)實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)的影響。此時(shí)可求出參數(shù)估值，此時(shí)的參數(shù)估計(jì)具有穩(wěn)健性，接著可求得回歸方程。設(shè)觀測(cè)值的誤差方程為：

限制條件為：

式中：P——觀測(cè)權(quán)陣（權(quán)因子初始值都為1）；

p——密度函數(shù)。

對(duì)公式（6）求導(dǎo)，得Ф(Vi)=?p/?Vi，則有：

令權(quán)因子Wi=Ф(Vi)/Vi，等價(jià)權(quán)元素，則有則可求出：

式（5）和式（8）為第一次迭代時(shí)殘差的估值和參數(shù)的估值，再通過V構(gòu)造新的等價(jià)權(quán)P，并計(jì)算法方程，得第二次迭代求出的參數(shù)和殘差V的估值。依照此迭代不斷地進(jìn)行下去，直到前后兩次的差值滿足限差[10]。此時(shí)可依此求出參數(shù)的第k次迭代的估值為：

2 監(jiān)測(cè)數(shù)據(jù)來源與分析

2.1 監(jiān)測(cè)數(shù)據(jù)來源

研究使用了該大壩在2018 年6 月至2020 年5 月每月中旬的數(shù)據(jù)，監(jiān)測(cè)點(diǎn)觀測(cè)數(shù)據(jù)如下表1所示。

表1 大壩監(jiān)測(cè)點(diǎn)原始觀測(cè)數(shù)據(jù)統(tǒng)計(jì)表

由于原始數(shù)據(jù)的變化主要在毫米級(jí)上，以2018年6月1 號(hào)的原始數(shù)據(jù)高程（Z=2290.3507m）為最初點(diǎn)的數(shù)據(jù)，將其余原始數(shù)據(jù)處理為保留到毫米級(jí)的水庫(kù)點(diǎn)的累積變形量，如表2所示。

表2 處理為毫米級(jí)的累計(jì)沉降量統(tǒng)計(jì)表

2.2 監(jiān)測(cè)數(shù)據(jù)分析

將原始各時(shí)期累積沉降量數(shù)據(jù)Z代入MATLAB 軟件中，對(duì)Z變化量進(jìn)行離散值的檢驗(yàn)，結(jié)果如圖1所示。

圖1 原始數(shù)據(jù)累積沉降量殘差圖

從圖1可以看出，原始數(shù)據(jù)中沒有離散值，說明原始數(shù)據(jù)是可靠的。接著，分別使用最小二乘回歸法與穩(wěn)健估計(jì)法對(duì)原始采樣數(shù)據(jù)進(jìn)行建模，得出各方法的回歸曲線，如圖2所示。

圖2 原始數(shù)據(jù)累積沉降量回歸曲線

此時(shí)最小二乘線性回歸方程為：y=5.8355-0.6662x；中誤差σ1=3.2024；R2=0.6934；穩(wěn)健估計(jì)回歸方程為：y=5.7743-0.6648x；中誤差σ2=3.4279；R2=0.7653；由以上實(shí)驗(yàn)結(jié)果可知，在沒有粗差時(shí)，最小二乘法和穩(wěn)健估計(jì)法的結(jié)果非常接近。

接著在第22期數(shù)據(jù)中對(duì)累積沉降量Z中加入粗差，對(duì)帶有粗差時(shí)的累積沉降量數(shù)據(jù)的進(jìn)行分析，如圖3所示。從圖3中可知第22期數(shù)據(jù)為粗差，會(huì)對(duì)整體數(shù)據(jù)精度造成影響，需要被剔除。帶粗差數(shù)據(jù)累積沉降量回歸曲線如圖4所示。

圖4 帶粗差數(shù)據(jù)累積沉降量回歸曲線

從圖4中可以看出，此時(shí)最小二乘線性回歸方程為：y=4.7453-0.52x，其中誤差σ1=4.7936，R2=0.3808；穩(wěn)健估計(jì)回歸方程為：y=5.4264-0.62x，其中誤差σ2=3.9471，R2=0.7562。

通過以上數(shù)據(jù)結(jié)果分析可知，對(duì)處理有粗差的數(shù)據(jù)，穩(wěn)健估計(jì)的中誤差明顯更小，且它的R2也明顯優(yōu)于最小二乘線性回歸，與沒有粗差時(shí)的值接近。說明穩(wěn)健估計(jì)已自動(dòng)對(duì)粗差進(jìn)行了降權(quán)，使得粗差對(duì)整體數(shù)據(jù)的影響較小，也就是穩(wěn)健估計(jì)具有良好的抗差性。

3 結(jié)束語(yǔ)

通過對(duì)比原始數(shù)據(jù)與加入粗差后的數(shù)據(jù)可以看出，當(dāng)原始數(shù)據(jù)集中沒有粗差時(shí)，最小二乘法與穩(wěn)健估計(jì)法的中誤差和方程都比較相似；當(dāng)原始數(shù)據(jù)集中有粗差后，使用經(jīng)典最小二乘回歸擬合出來的結(jié)果明顯偏向粗差，偏離真實(shí)值。而帶有粗差的數(shù)據(jù)集中，穩(wěn)健估計(jì)能通過對(duì)粗差降權(quán)，使粗差對(duì)整體數(shù)據(jù)集的影響降低，它有更小的中誤差和更高的精度表現(xiàn)?？傊?，采用經(jīng)典最小二乘法和穩(wěn)健估計(jì)法的計(jì)算結(jié)果表明，穩(wěn)健估計(jì)法具有良好的抗差性作用。