船用灰鑄鐵材料裂紋擴(kuò)展的近場(chǎng)動(dòng)力學(xué)研究

李 雙，呂海寧，黃小華，楊建民

（1.上海交通大學(xué)海洋工程國(guó)家重點(diǎn)實(shí)驗(yàn)室，上海 200240；2.上海交通大學(xué)三亞崖州灣深?？萍佳芯吭?，海南 三亞 572000；3.廣西大學(xué)防災(zāi)與結(jié)構(gòu)安全教育部重點(diǎn)實(shí)驗(yàn)室，南寧 530004）

0 引 言

在船舶與海洋結(jié)構(gòu)物的設(shè)計(jì)制造及使用過(guò)程中，不可避免地會(huì)出現(xiàn)裂紋的萌生和擴(kuò)展問(wèn)題，這對(duì)結(jié)構(gòu)的承載能力和安全性能起著明顯的削弱作用[1]。綜合性能優(yōu)良的高強(qiáng)度灰鑄鐵作為廣泛應(yīng)用于船舶工程各種復(fù)雜機(jī)械設(shè)備構(gòu)件（內(nèi)燃機(jī)的機(jī)架、汽缸蓋、燃油泵、船體水泵、高壓箱體、基座、推進(jìn)器、軸承、高速齒輪、飛輪、防護(hù)外殼等）的主要金屬材料[2]，一旦產(chǎn)生裂紋擴(kuò)展和脆性斷裂問(wèn)題，將導(dǎo)致船體發(fā)動(dòng)機(jī)無(wú)法正常運(yùn)行、船舶動(dòng)力裝置受損，帶來(lái)安全隱患并影響船舶的日常工作。因此，對(duì)船用灰鑄鐵構(gòu)件進(jìn)行裂紋擴(kuò)展行為模擬，研究試件從裂紋萌生、擴(kuò)展、交匯直至斷裂的整個(gè)服役過(guò)程，對(duì)掌握裂紋擴(kuò)展規(guī)律、預(yù)防構(gòu)件脆性斷裂、評(píng)估船體灰鑄鐵結(jié)構(gòu)的完整性和安全性具有重要的指導(dǎo)意義。

目前，用來(lái)模擬裂紋擴(kuò)展的數(shù)值方法中，有限元法、內(nèi)聚力法和擴(kuò)展有限元法等得到廣泛應(yīng)用。余天堂等[3]采用改進(jìn)的擴(kuò)展有限元法對(duì)張開(kāi)型和閉合型裂紋的裂紋擴(kuò)展進(jìn)行了模擬；唐志波等[4]基于船體表面微裂縫在應(yīng)力和海水腐蝕耦合作用下的擴(kuò)展機(jī)理，根據(jù)Charles-Hillig 模型的有限元方法模擬了裂縫的動(dòng)態(tài)擴(kuò)展過(guò)程；陳家旺等[5]基于有限元分析軟件ANSYS 研究了帶有初始表面裂紋的潛艇典型結(jié)構(gòu)在不同下潛深度狀態(tài)下的裂紋擴(kuò)展情況；錢(qián)怡等[6]提出一種基于累積損傷理論和裂紋尖端彈塑性應(yīng)力場(chǎng)的數(shù)值方法來(lái)預(yù)測(cè)裂紋的擴(kuò)展行為；王敏等[7]用擴(kuò)展有限元方法來(lái)分析含裂紋板的裂紋擴(kuò)展，采用求解Reissner 板問(wèn)題的混合插值單元，避免了剛度矩陣無(wú)窮大導(dǎo)致的單元?jiǎng)偠染仃囎優(yōu)槠娈惖膯?wèn)題；苗婷等[8]采用內(nèi)聚力方法對(duì)X65管線(xiàn)鋼進(jìn)行了斷裂韌度評(píng)定及裂紋擴(kuò)展行為研究；李亞政等[9]基于損傷力學(xué)和擴(kuò)展有限元方法對(duì)艦船蒸汽輪機(jī)葉片進(jìn)行了裂紋擴(kuò)展研究；李卓等[10]采用內(nèi)聚力和擴(kuò)展有限元方法對(duì)含雙邊預(yù)制裂紋的灰鑄鐵金屬材料進(jìn)行了裂紋擴(kuò)展的試驗(yàn)和模擬研究；Chang等[11]采用擴(kuò)展有限元方法對(duì)含單邊裂紋的灰鑄鐵材料進(jìn)行了裂紋擴(kuò)展和斷裂分析。

上述基于連續(xù)介質(zhì)力學(xué)的數(shù)值模擬方法，例如有限元雖然在結(jié)構(gòu)變形分析中取得較大成功，但在解決破壞問(wèn)題時(shí)，由于運(yùn)動(dòng)方程涉及位移對(duì)空間的微分，在不連續(xù)處微分型運(yùn)動(dòng)方程沒(méi)有定義，出現(xiàn)奇異性，必須人為地對(duì)不連續(xù)處進(jìn)行專(zhuān)門(mén)的處理；而且上述有限元法、內(nèi)聚力法和擴(kuò)展有限元法等在處理不連續(xù)問(wèn)題時(shí)，都不可避免地存在網(wǎng)格依賴(lài)性、裂紋的萌生和擴(kuò)展需要引入額外的斷裂準(zhǔn)則、涉及多裂紋相互作用時(shí)存在較大局限性等問(wèn)題，這無(wú)疑增加了數(shù)值模擬的復(fù)雜性。目前，針對(duì)船用灰鑄鐵的裂紋擴(kuò)展研究還較少，灰鑄鐵作為一種脆性金屬材料，具有良好的鑄造、減振、耐磨、切削加工性能和較低的缺口敏感性，被廣泛應(yīng)用于結(jié)構(gòu)較為復(fù)雜的船海工程中，因此，有必要研究新的數(shù)值計(jì)算方法來(lái)對(duì)船用灰鑄鐵的裂紋擴(kuò)展行為做進(jìn)一步分析。

2000 年，新興的近場(chǎng)動(dòng)力學(xué)（Peridynamics，PD）理論[12]的提出彌補(bǔ)了這些不足。它采用位移的空間積分形式完全重構(gòu)了傳統(tǒng)連續(xù)介質(zhì)力學(xué)理論，這種積分型方程在不連續(xù)處仍有定義，避免了奇異性問(wèn)題，且不存在網(wǎng)格依賴(lài)性。PD 的斷裂準(zhǔn)則通過(guò)一個(gè)記憶函數(shù)嵌入本構(gòu)方程中，能夠模擬裂紋自發(fā)的萌生和擴(kuò)展，實(shí)現(xiàn)了對(duì)連續(xù)介質(zhì)和非連續(xù)介質(zhì)力學(xué)行為的統(tǒng)一描述，是一種特別適合模擬材料破壞的力學(xué)理論[13]。Silling[14]采用PD 方法研究了沖擊荷載作用下Kalthoff-Winkler 韌性鋼試件的裂紋擴(kuò)展和動(dòng)態(tài)斷裂行為；黃小華等[13]采用雙參數(shù)PD 方法模擬了單軸拉伸荷載下含平行雙裂紋薄板的裂紋擴(kuò)展行為；Ha等[15]采用PD方法研究了脆性材料PMMA在單軸拉伸荷載下裂紋動(dòng)態(tài)擴(kuò)展和分叉的力學(xué)行為；Ran 等[16]采用改進(jìn)的PD 方法進(jìn)行了金屬鋼材的的裂紋擴(kuò)展分析和由氫原子導(dǎo)致的氫脆斷裂問(wèn)題研究。

上述非局部PD 模型中，雖然可以應(yīng)用黃小華等[13]和Silling[14]的PD 方法進(jìn)行船用灰鑄鐵金屬脆性材料的裂紋擴(kuò)展分析，但是其微觀參數(shù)鍵剛度系數(shù)都為常數(shù)，不能反映物質(zhì)點(diǎn)鄰域內(nèi)長(zhǎng)程力隨距離增大而衰減的空間分布規(guī)律，影響計(jì)算精度。而且，上述PD 模型存在的“邊界效應(yīng)”問(wèn)題也需要進(jìn)一步研究，PD“邊界效應(yīng)”問(wèn)題[17]，即物體內(nèi)部的中心物質(zhì)點(diǎn)具有完整的鄰域，而邊界處物質(zhì)點(diǎn)的鄰域卻小于物體內(nèi)部物質(zhì)點(diǎn)的鄰域，造成邊界處物質(zhì)點(diǎn)連接鍵的缺失，在計(jì)算時(shí)會(huì)產(chǎn)生較大誤差。

因此本文基于近場(chǎng)動(dòng)力學(xué)理論，通過(guò)校正PD的“邊界效應(yīng)”，考慮PD力非局部長(zhǎng)程力的影響并推導(dǎo)出一種新的損傷斷裂準(zhǔn)則來(lái)研究船用灰鑄鐵金屬脆性材料的裂紋擴(kuò)展行為，預(yù)測(cè)灰鑄鐵構(gòu)件的裂紋萌生、擴(kuò)展和斷裂的整個(gè)完整過(guò)程，采用近場(chǎng)動(dòng)力學(xué)數(shù)值方法研究船用灰鑄鐵材料的裂紋擴(kuò)展行為。本研究可為預(yù)防船用構(gòu)件脆性斷裂和評(píng)估船體灰鑄鐵結(jié)構(gòu)的安全性提供參考。

1 鍵基PD概述

近場(chǎng)動(dòng)力學(xué)理論[12]是使用節(jié)點(diǎn)力的積分來(lái)代替運(yùn)動(dòng)方程中的空間導(dǎo)數(shù)，物體被離散為一系列帶質(zhì)量的物質(zhì)點(diǎn)，各物質(zhì)點(diǎn)在有限的范圍δ內(nèi)彼此相互作用。假設(shè)空間域R任一物質(zhì)點(diǎn)X與δ范圍內(nèi)的其他物質(zhì)點(diǎn)X'∈R:‖‖X'-X≤δ在某一時(shí)刻t之間存在相互作用力f，則根據(jù)牛頓第二定律可得PD 方法的運(yùn)動(dòng)方程為

式中，ρ為材料密度，u為物質(zhì)點(diǎn)的位移，b為外荷載密度，HX為X的近場(chǎng)范圍，dVX'表示物質(zhì)點(diǎn)X’處的體積微元。近場(chǎng)范圍外物質(zhì)點(diǎn)與X的作用力f為零。

物質(zhì)點(diǎn)間的本構(gòu)力函數(shù)f包含了材料的本構(gòu)信息，也稱(chēng)為本構(gòu)力函數(shù)，在微彈性材料[12]中，f=f(η,ξ)可用一個(gè)標(biāo)量函數(shù)ω(η,ξ)表示,

式中，η為相對(duì)位移η=u'-u；ξ為相對(duì)位置ξ=X'-X；ω(η,ξ)為微觀應(yīng)變能密度，類(lèi)似于分子動(dòng)力學(xué)方法中的對(duì)勢(shì)函數(shù)，用于描述近場(chǎng)范圍內(nèi)兩物質(zhì)點(diǎn)間相互作用的強(qiáng)弱[12]。對(duì)于線(xiàn)彈性材料，ω(η,ξ)可表達(dá)為

式中：c(ξ,δ)為微觀模量函數(shù)，在不同維度下的表達(dá)式如表1所示，其中E為彈性模量；s為物質(zhì)點(diǎn)對(duì)的相對(duì)伸長(zhǎng)率，s=(|ξ+η|- |ξ|)/ |ξ|。由式（2）～（3），對(duì)點(diǎn)力函數(shù)f可表示為

表1 鍵基PD微模量函數(shù)表達(dá)式Tab.1 Micro-modulus functions of bond-based PD

式中，μ(t,ξ)是一個(gè)歷史依賴(lài)的標(biāo)量函數(shù)，表示物質(zhì)點(diǎn)對(duì)的破壞情況，

式中，s0為臨界伸長(zhǎng)率。在PD理論中，通過(guò)定義標(biāo)量函數(shù)φ(X,t)來(lái)反映物質(zhì)點(diǎn)X的損傷，

式中，0≤φ(X,t)≤1。φ(X,t)=0 表示材料未損傷；φ(X,t)=1 表示該點(diǎn)不再與其他點(diǎn)相互作用，即完全損傷。

2 改進(jìn)鍵基PD

2.1 考慮PD非局部長(zhǎng)程力修正

Huang 等[18]和章青等[19]指出傳統(tǒng)鍵基PD 模型中的微觀模量c(ξ,δ)為常數(shù)，不能反映長(zhǎng)程力隨距離增大而衰減的空間分布規(guī)律，影響計(jì)算精度。本文引入長(zhǎng)程力函數(shù)g(ξ,δ) =(1-(ξ/δ)4)，則PD 微觀模量可重新表達(dá)為

方程中的本構(gòu)力函數(shù)f(η,ξ)可改進(jìn)為

式中，c(0,δ)為空間維數(shù)相關(guān)的材料微觀模量；g(ξ,δ)為反映非局部長(zhǎng)程力特性的空間分布函數(shù)，其強(qiáng)化了近距離物質(zhì)點(diǎn)間的相互作用，弱化了遠(yuǎn)距離物質(zhì)點(diǎn)的相互作用[19]。PD應(yīng)變能密度表達(dá)式為

通過(guò)PD應(yīng)變能密度與連續(xù)介質(zhì)力學(xué)應(yīng)變能密度相等的方法，可推導(dǎo)得到在不同維度下材料微觀模量c(0,δ)的表達(dá)式，如表2所示。

表2 考慮非局部長(zhǎng)程力的鍵基PD微模量函數(shù)表達(dá)式Tab.2 Micro-modulus functions of bond-based PD with long-range force correction

2.2“邊界效應(yīng)”修正

在傳統(tǒng)鍵基PD 和2.1節(jié)考慮長(zhǎng)程力特性的PD 模型中，定義PD 相互作用的參數(shù)是通過(guò)假設(shè)PD 點(diǎn)具有完整的鄰域來(lái)計(jì)算的。然而，物體內(nèi)部的中心物質(zhì)點(diǎn)具有完整的鄰域，而物體邊界處物質(zhì)點(diǎn)的鄰域卻小于物體內(nèi)部物質(zhì)點(diǎn)的鄰域，邊界點(diǎn)或近邊界點(diǎn)比體內(nèi)點(diǎn)有更少的鍵。因此，根據(jù)應(yīng)變能密度等效的方法求得微觀模量c(ξ,δ)，在物體內(nèi)部和邊界處均取相同的常數(shù)，弱化了邊界處的微觀模量值，導(dǎo)致計(jì)算結(jié)果不準(zhǔn)確，即存在所謂的“邊界效應(yīng)”問(wèn)題。本文在2.1節(jié)的PD修正模型基礎(chǔ)上，借鑒Ganzenmuller等[20]的思想，重新推導(dǎo)物質(zhì)點(diǎn)在體內(nèi)和邊界處的PD鍵剛度系數(shù)，對(duì)邊界效應(yīng)進(jìn)行修正。

在計(jì)算邊界區(qū)域的應(yīng)變能密度時(shí)，僅考慮邊界區(qū)域近場(chǎng)范圍內(nèi)物質(zhì)點(diǎn)的貢獻(xiàn)，則當(dāng)發(fā)生空間或平面內(nèi)各向均勻變形時(shí)，PD應(yīng)變能密度為

式中，Hi為HX的離散形式，ηij為物質(zhì)點(diǎn)Xi和Xj的相對(duì)位移，ξij為物質(zhì)點(diǎn)Xi和Xj在參考構(gòu)型中的相對(duì)位置。為了方便起見(jiàn)，物質(zhì)點(diǎn)X和X'被替換為物質(zhì)點(diǎn)Xi和Xj進(jìn)行表示。因此，在2.1節(jié)考慮長(zhǎng)程力修正的PD模型基礎(chǔ)上，PD應(yīng)變能密度可進(jìn)一步表示為

令PD 應(yīng)變能密度與連續(xù)介質(zhì)力學(xué)應(yīng)變能密度相等，可得長(zhǎng)程力效應(yīng)修正和邊界效應(yīng)修正后的PD微模量函數(shù)表達(dá)式，如表3所示。

表3 考慮邊界效應(yīng)和長(zhǎng)程力修正后的鍵基PD微模量函數(shù)表達(dá)式Tab.3 Micro-modulus functions of bond-based PD with long-range force and surface effect correction

在傳統(tǒng)PD 模型中，所有相互作用的粒子微模量常數(shù)都是相同的，因此滿(mǎn)足fij=-fji。在當(dāng)前改進(jìn)的PD模型中，fij=-fji必然成立，但采用離散求和方式計(jì)算時(shí)，Hi和Hj、ci(0,δ)和cj(0,δ)不一定相同，為保證動(dòng)量守恒，取

2.3 損傷斷裂準(zhǔn)則

PD 中材料的損傷是通過(guò)消除物質(zhì)點(diǎn)之間的相互作用進(jìn)行考慮的，假設(shè)當(dāng)兩個(gè)物質(zhì)點(diǎn)鍵的拉伸s超過(guò)其臨界值s0時(shí)，損傷發(fā)生。在基于鍵基PD 模擬斷裂的方法上，鍵的臨界拉伸值s0可以由臨界能量釋放率G0求得，臨界能量釋放率表示產(chǎn)生單位面積裂紋所需的能量，對(duì)于脆性材料是一個(gè)可采用試驗(yàn)測(cè)量的值。

由于考慮了長(zhǎng)程力效應(yīng)修正和邊界效應(yīng)修正，傳統(tǒng)基于鍵基PD 的臨界拉伸準(zhǔn)則便不再適用，本文根據(jù)修正過(guò)的臨界微觀應(yīng)變能密度，推導(dǎo)出一種新的求解物質(zhì)點(diǎn)鍵臨界拉伸表達(dá)式。鍵基PD模型臨界微觀應(yīng)變能密度ω0(ξ,η)可表示為

在三維狀態(tài)下，臨界能量釋放率G0的積分形式可通過(guò)ω0(ξ,η)表達(dá)為

二維狀態(tài)下，臨界能量釋放率為

其中令板厚h=1，邊界效應(yīng)修正后的微模量cij替代常數(shù)微模量c進(jìn)行求解，根據(jù)方程（14）和方程（15）可得不同維度下?lián)p傷斷裂準(zhǔn)則，即鍵的拉伸臨界值sij0，如表4所示。

表4 改進(jìn)鍵基PD的鍵拉伸臨界值Tab.4 Critical stretch of the improved PD model

需要注意的是，物體邊界或近邊界點(diǎn)不具有完整鄰域，這將導(dǎo)致邊界或近邊界點(diǎn)的臨界拉伸小于體內(nèi)點(diǎn)的臨界拉伸值。在數(shù)值模擬中，邊界可能會(huì)首先發(fā)生破壞，為了避免這種情況而更好地模擬試件真實(shí)的裂紋擴(kuò)展行為，在邊界處設(shè)置虛擬物質(zhì)點(diǎn)來(lái)填充邊界處不完整的鄰域空間，而這些虛擬點(diǎn)并不參與相關(guān)的計(jì)算，使邊界處物質(zhì)點(diǎn)和內(nèi)部物質(zhì)的鍵臨界伸長(zhǎng)量保持一致。

3 算例驗(yàn)證

3.1 微模量系數(shù)和應(yīng)變能密度驗(yàn)證

為了驗(yàn)證本文提出的微觀模量計(jì)算方法的合理性，以及改進(jìn)PD模型與原PD模型的應(yīng)變能密度的計(jì)算精確性，考慮一邊長(zhǎng)為0.5 m、厚度為0.01 m 的正方形薄板，其彈性模量E=1 GPa，泊松比ν=1/3，取物質(zhì)點(diǎn)間距Δ=0.01 m 進(jìn)行均勻離散，采用鄰域半徑δ=3.015Δ進(jìn)行計(jì)算。采用改進(jìn)的鍵基PD 模型計(jì)算物質(zhì)點(diǎn)（y=0 和y=0.25）的鍵剛度系數(shù)，如圖1（a）所示；計(jì)算的薄板均勻變形時(shí)物質(zhì)點(diǎn)（y=0）的應(yīng)變能密度誤差如圖1（b）所示。

圖1 微模量系數(shù)和應(yīng)變能密度相對(duì)誤差對(duì)比Fig.1 Comparison of micro-modulus coefficients and strain energy density relative errors

由圖1（a）可知，傳統(tǒng)鍵基PD模型和長(zhǎng)程力修正的鍵基PD模型的微模量系數(shù)均為常數(shù)；而改進(jìn)的鍵基PD模型計(jì)算的邊界處微模量系數(shù)值不再與體內(nèi)物質(zhì)點(diǎn)的微模量系數(shù)值相同，邊界處物質(zhì)點(diǎn)的鍵剛度系數(shù)的數(shù)值得到強(qiáng)化，合理有效地削弱了“邊界效應(yīng)”。由圖1（b）可知，傳統(tǒng)鍵基PD 模型在邊界處物質(zhì)點(diǎn)的應(yīng)變能密度與理論解（彈性應(yīng)變能）有較大偏差；考慮長(zhǎng)程力修正的鍵基PD模型減小了這一相對(duì)誤差；而本文改進(jìn)的鍵基PD 模型在此基礎(chǔ)上進(jìn)一步減小了誤差，邊界處物質(zhì)點(diǎn)應(yīng)變能密度的相對(duì)誤差控制在0.03%左右，內(nèi)部誤差降至零。

3.2 非破壞誤差分析

為了驗(yàn)證提出的改進(jìn)鍵基PD模型的計(jì)算精度，通過(guò)數(shù)值解與解析解進(jìn)行對(duì)比分析。采用長(zhǎng)1 m、寬0.5 m的長(zhǎng)方形薄板，彈性模量E=200 GPa，密度矢量ρ=7850 kg/m3，泊松比ν=1/3，幾何參數(shù)和材料參數(shù)與黃小華等[13]采用的誤差分析算例相同，薄板被離散為100×50 個(gè)物質(zhì)點(diǎn)，物質(zhì)點(diǎn)間距Δ=0.1 mm，鄰域半徑δ=3.015Δ，沿矩形短邊施加的單軸應(yīng)力荷載為p=200 MPa，應(yīng)力邊界條件的施加方式是從薄板邊界區(qū)域上以體力密度的形式施加在板內(nèi)物質(zhì)點(diǎn)上。

根據(jù)彈性力學(xué)基本理論，二維平面x和y位移解析解計(jì)算公式為ux(x,y=0)=px/E，uy(x=0,y)=-νpy/E。x和y位移的數(shù)值解與解析解ux、uy的相對(duì)誤差計(jì)算公式為ex=(-ux)/ux，ey=(-uy)/uy，其中，ex、ey分別表示x和y位移的相對(duì)誤差。

圖2（a）和2（b）分別展示了傳統(tǒng)鍵基PD 模型和改進(jìn)PD 模型計(jì)算的位移相對(duì)誤差云圖。圖2（c）展示了改進(jìn)鍵基PD模型相對(duì)誤差絕對(duì)值 |ex|≥5%的物質(zhì)點(diǎn)數(shù)量和比例。

圖2 相對(duì)誤差位移云Fig.2 Contours of relative errors

如圖2 所示，傳統(tǒng)鍵基PD 模型和改進(jìn)鍵基PD 模型的最大相對(duì)誤差分別為25.4%和6.26%，內(nèi)部相對(duì)誤差分別為16.3%和0.41%。采用改進(jìn)PD模型得到的具有相對(duì)誤差絕對(duì)值 |ex|≥5%的物質(zhì)點(diǎn)個(gè)數(shù)和比例僅為24個(gè)和0.5%，表明了改進(jìn)鍵基PD方法的有效性和準(zhǔn)確性。

4 船用灰鑄鐵裂紋擴(kuò)展模擬

4.1 含單邊缺口灰鑄鐵裂紋擴(kuò)展

為了證明改進(jìn)的鍵基PD方法對(duì)船用灰鑄鐵的損傷預(yù)測(cè)和裂紋擴(kuò)展模擬的能力，本文采用與李卓等[10]相同的單邊缺口灰鑄鐵試件進(jìn)行模擬計(jì)算。試件長(zhǎng)寬厚度分別為0.2 m、0.03 m 和0.007 m，試件的左右兩端0.05 m 范圍內(nèi)是機(jī)械夾持部位，如圖3 所示，分別在單邊預(yù)制長(zhǎng)度為a=0.005 和0.01m、寬度為b=0.002 m 的裂紋。試件的材料參數(shù)分別為：彈性模量E=210 Gpa，泊松比ν=1/3，單軸抗拉強(qiáng)度f(wàn)t=100 MPa，質(zhì)量密度ρ=7150 kg/m3，斷裂伸長(zhǎng)率φ=0.3%。在PD 模擬中，物質(zhì)點(diǎn)均勻離散尺寸為Δ=0.5 mm，物質(zhì)點(diǎn)鄰域半徑δ=3.015Δ。在試件的兩端均勻地施加位移控制荷載，每一步的荷載增量為Δu=1.0×10-8m，采用動(dòng)態(tài)松弛法進(jìn)行求解，時(shí)間步為Δt=1.0。

圖3 不同初始長(zhǎng)度單邊裂紋試件的裂紋擴(kuò)展示意圖Fig.3 Crack propagation of single-edge specimens with different pre-crack lengths

圖4 展示了采用改進(jìn)鍵基PD 模型模擬的含5 mm 單邊預(yù)制裂紋灰鑄鐵試件在t=0、1720、1900 和2090 時(shí)刻的裂紋擴(kuò)展示意圖。圖5 展示了采用改進(jìn)鍵基PD 模型模擬的含10 mm 單邊預(yù)制裂紋灰鑄鐵試件在t=0、1350、1600和2010時(shí)刻的裂紋擴(kuò)展示意圖。由圖4和圖5可知，兩種試件的破壞模式相似，裂紋首先從預(yù)切口尖端開(kāi)始擴(kuò)展，然后在單軸拉伸荷載下沿垂直于加載方向擴(kuò)展，最后到達(dá)自由邊界，兩試件發(fā)生破壞。但是，含0.01 m 裂紋灰鑄鐵試件的起裂時(shí)刻和貫通時(shí)刻早于0.005 m 灰鑄鐵試件?？芍?，在一定條件下，預(yù)制裂紋的長(zhǎng)度對(duì)裂紋起裂和貫通時(shí)間有較大影響，預(yù)制裂紋越大，裂紋萌生越早，試件越容易斷裂。

圖4 5 mm單邊預(yù)制裂紋灰鑄鐵試件的裂紋擴(kuò)展示意圖Fig.4 Crack propagation of gray cast iron specimens with 5 mm unilateral notch

圖5 10 mm單邊預(yù)制裂紋灰鑄鐵試件的裂紋擴(kuò)展示意圖Fig.5 Crack propagation of gray cast iron specimens with 10 mm unilateral notch

圖6 展示了兩種不同預(yù)制單裂紋灰鑄鐵試件的試驗(yàn)結(jié)果和模擬結(jié)果對(duì)比情況，模擬結(jié)果和試驗(yàn)結(jié)果基本保持一致。由試驗(yàn)結(jié)果可知，裂紋雖然也沿垂直于加載方向擴(kuò)展，但擴(kuò)展呈鋸齒狀，而數(shù)值模擬的裂紋路徑更光滑?？赡艿脑蚴?，試驗(yàn)所用的灰鑄鐵材料并非均質(zhì)材料，從拉斷之后的斷面可看出試件內(nèi)部存在很多細(xì)微的孔洞[10]，而PD 模型將灰鑄鐵試件假設(shè)為理想均質(zhì)材料，不考慮內(nèi)部微觀孔洞對(duì)裂紋擴(kuò)展路徑的影響，因此，裂紋形狀對(duì)比呈現(xiàn)一定差異性。

圖6 兩種不同預(yù)制單裂紋灰鑄鐵試件的試驗(yàn)[10]和模擬破壞形態(tài)對(duì)比示意圖（擴(kuò)大十倍）Fig.6 Numerical results of gray cast iron and experiments of two different single-edge specimens(magnified ten times)

4.2 含雙邊缺口灰鑄鐵裂紋擴(kuò)展

采用和4.1 節(jié)相同的灰鑄鐵材料屬性，預(yù)制六種雙邊裂紋形式：雙邊裂紋長(zhǎng)度各為5 mm，沿垂直于加載方向的對(duì)稱(chēng)軸進(jìn)行對(duì)稱(chēng)分布，雙裂紋尖端距離分別為5 mm、10 mm和15 mm，為方便描述，分別記為5-5 試件、5-10 試件和5-15 試件；雙邊裂紋長(zhǎng)度各為10 mm，沿垂直于加載方向的對(duì)稱(chēng)軸進(jìn)行對(duì)稱(chēng)分布，雙裂紋尖端距離分別為5 mm、10 mm 和15 mm，分別記為10-5 試件、10-10 試件和10-15 試件。采用改進(jìn)的PD 方法模擬的六種灰鑄鐵試件的最終破壞形態(tài)如圖7所示。如圖7（a）～（c）所示，5-5試件在荷載作用下，初始裂紋張開(kāi)并向前擴(kuò)展之后，在兩條裂紋之間的區(qū)域出現(xiàn)了交匯串接現(xiàn)象，5-10試件和5-15試件的雙裂紋各自獨(dú)立擴(kuò)展，擴(kuò)展速率相同，且并無(wú)串接趨勢(shì)；三種試件的破壞模式分別和10-5 試件、10-10 試件和10-15 試件的破壞模式相似，當(dāng)雙裂紋尖端距離為5 mm 時(shí)，裂紋串接，裂紋尖端距離是10 mm 和15 mm 時(shí)，裂紋獨(dú)自沿水平方向擴(kuò)展，直至破壞。這也證實(shí)了影響裂紋串接的并不是初始裂紋長(zhǎng)度，而是裂尖縱向距離的大小，裂紋初始長(zhǎng)度改變的是裂紋萌發(fā)和試件斷裂的時(shí)間。

圖7 不同預(yù)制雙裂紋灰鑄鐵試件的數(shù)值模擬裂紋擴(kuò)展示意圖Fig.7 Numerical simulation of crack propagation of different double-edge gray cast iron specimens

圖8 給出了六種不同預(yù)制雙裂紋灰鑄鐵試件的裂紋擴(kuò)展試驗(yàn)結(jié)果，與圖7 數(shù)值模擬結(jié)果對(duì)比可知，試驗(yàn)結(jié)果和模擬結(jié)果具有很好的一致性。由于材料的非均勻性問(wèn)題，導(dǎo)致兩條裂紋的擴(kuò)展速率并不相同，在同一時(shí)刻的裂紋擴(kuò)展長(zhǎng)度不同，但最終破壞模式一致，都是沿垂直于加載方向擴(kuò)展，直至裂紋尖端到達(dá)試件邊界處，試件破壞。

圖8 不同預(yù)制雙裂紋灰鑄鐵試件的裂紋擴(kuò)展試驗(yàn)結(jié)果[10]Fig.8 Experimental results of crack propagation of different double-edge gray cast iron specimens

實(shí)例分析結(jié)果證明了改進(jìn)的鍵基PD 模型能夠很好地模擬灰鑄鐵試件從連續(xù)體到非連續(xù)體的整個(gè)破壞過(guò)程，驗(yàn)證了該方法用于船用灰鑄鐵類(lèi)材料的脆性裂紋擴(kuò)展和破壞分析是可行的。此外，由于采用空間積分方程求解來(lái)模擬裂紋擴(kuò)展，在近場(chǎng)動(dòng)力學(xué)模擬過(guò)程中不存在常規(guī)連續(xù)介質(zhì)方法模擬時(shí)的網(wǎng)格二次剖分或裂尖應(yīng)力奇異性等問(wèn)題，隨著荷載的施加，初始裂紋自然起裂、擴(kuò)展和貫通。

5 結(jié) 論

本文基于近場(chǎng)動(dòng)力學(xué)理論，提出一種改進(jìn)鍵基PD 方法來(lái)模擬船用灰鑄鐵材料的裂紋擴(kuò)展問(wèn)題。該模型考慮了PD非局部長(zhǎng)程力的影響，修正了PD邊界效應(yīng)，推導(dǎo)了對(duì)應(yīng)的鍵剛度系數(shù)和斷裂準(zhǔn)則表達(dá)式，研究了含單邊裂紋和雙邊裂紋的船用灰鑄鐵構(gòu)件在單軸拉伸荷載下的裂紋擴(kuò)展和斷裂失效問(wèn)題，得出以下結(jié)論：

（1）通過(guò)薄板的變形計(jì)算了改進(jìn)PD 模型的鍵剛度值、應(yīng)變能密度和物質(zhì)點(diǎn)位移相對(duì)誤差，結(jié)果顯示邊界處物質(zhì)點(diǎn)的鍵剛度系數(shù)的數(shù)值得到強(qiáng)化，合理有效地削弱了PD 邊界效應(yīng)；邊界處物質(zhì)點(diǎn)應(yīng)變能密度的相對(duì)誤差控制在0.03%左右，內(nèi)部誤差降為零；物質(zhì)點(diǎn)位移相對(duì)誤差大大減小，有效地提高了PD模型的計(jì)算精度。

（2）改進(jìn)的PD 數(shù)值模擬的船用灰鑄鐵構(gòu)件裂紋開(kāi)裂位置、擴(kuò)展方向和最終破壞路徑與試驗(yàn)結(jié)果吻合較好，證明了本文提出模型的適用性和準(zhǔn)確性。由于試驗(yàn)試件內(nèi)部存在微孔洞的原因，模擬和試驗(yàn)的部分裂紋形狀雖存在一定差異，但對(duì)宏觀裂紋擴(kuò)展路徑和最終破壞形態(tài)影響較小。

（3）預(yù)制裂紋的裂尖縱向間距是影響裂紋串接的重要因素，預(yù)制裂紋的初始長(zhǎng)度對(duì)裂紋萌發(fā)和試件斷裂的時(shí)間有較大影響。