基于不完美檢驗的驗收抽樣方案經(jīng)濟設(shè)計

張斌，楊風(fēng)萍，周筱雯

(南京信息工程大學(xué) 數(shù)學(xué)與統(tǒng)計學(xué)院，江蘇 南京 210044)

驗收抽樣檢驗需要根據(jù)批產(chǎn)品抽檢的質(zhì)量情況，做出全部接收或拒收該批次產(chǎn)品的決定。由于條件限制和抽樣的隨機性，很可能會做出誤判，從而給生產(chǎn)方和使用方造成經(jīng)濟損失。因此，制定一個經(jīng)濟合理的抽樣方案對生產(chǎn)方和使用方利益的保護具有非常重要意義。Banihashemi等[1]基于田口損失函數(shù)和平均樣本量，提出一種基于過程收益指數(shù)的重新提交和多相依狀態(tài)的抽樣方案經(jīng)濟設(shè)計方法。Rezaei等[2]將缺陷率劃分為3個區(qū)間，分別采用不同的檢驗方案，以降低使用方風(fēng)險和損失。Yasar等[3]基于TL-G分布，采用時間截斷方案，考慮單一和重復(fù)兩種驗收抽樣方案。在滿足風(fēng)險約束條件下，得到兩種方案的最優(yōu)參數(shù)和最小平均樣本數(shù)。

當批產(chǎn)品缺陷信息未知時，利用連續(xù)生產(chǎn)批的先驗信息尋找最佳抽樣檢驗策略可以將預(yù)期成本降到最低。Wu等[4]針對不合格品率較低，且抽樣不能充分反映批次質(zhì)量狀況的情況，設(shè)計一種基于有目標值的過程能力指數(shù)的抽樣方案。Fernández等[5]用一個廣義beta先驗?zāi)Ｐ兔枋霾涣计仿实碾S機波動性，并基于生產(chǎn)者和消費者風(fēng)險，提出一種最優(yōu)抽樣方案的設(shè)計方法。Nezhad等[6]通過貝葉斯推斷確定批次中不良品數(shù)量的概率分布，并對正確決策的概率進行評估。Fernández[7]針對每個抽樣項目的不合格數(shù)量遵循泊松分布，采用一類廣義截斷伽馬模型來描述過程平均的隨機波動，通過求解相應(yīng)約束最小化問題來確定最佳的單位缺陷驗收計劃。Li等[8]在接收概率函數(shù)的參數(shù)未知時，利用先驗信息，提出一種加速驗收抽樣計劃的貝葉斯設(shè)計方法。

在抽樣方案優(yōu)化設(shè)計的研究中，一般都是假定檢驗?zāi)軌驕蚀_獲悉產(chǎn)品質(zhì)量信息，沒有考慮檢驗錯誤的情況。實際生產(chǎn)環(huán)境下，由于受檢驗條件限制、檢驗員培訓(xùn)不到位等因素的影響，可能會引起檢驗誤判，即將合格產(chǎn)品被判為不合格品或不合格產(chǎn)品被判為合格品。Khalilpourazari等[9]針對供應(yīng)批次到貨檢查時存在兩種類型的檢查錯誤，提出一種多產(chǎn)品經(jīng)濟訂貨數(shù)量的經(jīng)濟模型，并對不同求解方法的性能進行評估。Bose等[10]針對質(zhì)量不完美和檢查錯誤較大的產(chǎn)品制造過程，建立一個在線抽樣檢驗?zāi)Ｐ?。Duffuaa等[11]研究檢測錯誤對多目標優(yōu)化模型中最佳參數(shù)和目標函數(shù)值的影響，通過在檢測系統(tǒng)中引入測量誤差和懲罰措施，以減輕誤差的影響。Chun等[12]針對存在不完美檢驗過程，考慮一種連續(xù)多次篩選的問題，提出各種停止規(guī)則，并確定最佳篩選次數(shù)。Al-Salamah[13]針對生產(chǎn)和檢驗過程都不完美的情況，建立一個經(jīng)濟生產(chǎn)數(shù)量模型，為最佳批量的確定提供決策依據(jù)。Guha等[14]在考慮檢驗誤判的情況下，研究破壞性和非破壞性驗收抽樣的問題。

本文針對不合格品率是隨機變量，且存在檢驗錯誤的批產(chǎn)品驗收過程，利用截斷正態(tài)分布作為不合格品率的先驗分布，根據(jù)檢驗誤差構(gòu)建生產(chǎn)方和使用方的風(fēng)險函數(shù)；考慮被拒絕批次將通過成本更高的非破壞性復(fù)查篩選過程，提出帶有風(fēng)險約束條件的抽樣方案經(jīng)濟模型，與無檢驗錯誤的抽樣方案進行對比分析，驗證所提抽樣方案的有效性。

1 計數(shù)型一次抽樣方案

假設(shè)某一生產(chǎn)制造過程，批產(chǎn)品的不合格品率為p，從批中隨機抽取n件產(chǎn)品，則其中的不合格品數(shù)Xn是隨機變量，在批量N較大，且n/N較小時，Xn近似服從參數(shù)為n和p的二項分布，其分布規(guī)律為

如果要制定一個計件標準型一次抽樣檢驗方案，事先需商定生產(chǎn)方風(fēng)險α、使用方風(fēng)險β，及雙方都可接受的合格質(zhì)量水平p0和極限質(zhì)量水平p1。當不合格品率p≤p0時，是滿意的質(zhì)量水平；當不合格品率p≥p1時，是不滿意的質(zhì)量水平。抽樣檢驗的基本目的就是正確區(qū)分滿意產(chǎn)品批和不滿意產(chǎn)品批。在批產(chǎn)品交接中，生產(chǎn)方通常對原假設(shè)H0:p≤p0比較感興趣，而使用方則更加關(guān)注備擇假設(shè)H1:p≥p1。

假設(shè)接收數(shù)為r，則生產(chǎn)方希望在不合格品率p≤p0時，批產(chǎn)品被接收的概率L(p)滿足L(p)=P(Xn≤r|p)≥1-α ；使用方希望在不合格頻率p≥p1時，批產(chǎn)品被接收的概率L(p)滿 足L(p)=P(Xn＞r|p)≤β。由L(p0)=1-α及L(p1)=β，可以解出抽樣方案(n,r)。

這種抽樣檢驗方案的確定方法是基于批產(chǎn)品的不合格品率p為固定常數(shù)的基礎(chǔ)上，沒有考慮不合格品率p的隨機性。事實上，不合格品率p的信息往往并不清楚，有時只能根據(jù)以往數(shù)據(jù)或經(jīng)驗來判定。但即使是連續(xù)的生產(chǎn)過程，由于受原材料質(zhì)量變化、設(shè)備狀態(tài)波動、操作人員變動等因素的影響，不同批的產(chǎn)品不合格品率也不一定相同。實際生產(chǎn)過程中批產(chǎn)品的不合格品率p可以看作是一個絕對連續(xù)的隨機變量，且對不合格品率采用先驗概率模型非常有利[15]。

對于抽樣方案(n,r)，不合格品率p的信息是通過樣本中的不合格品數(shù)Xn來推斷的。當Xn≤r時，認為批產(chǎn)品的質(zhì)量水平滿意；當Xn＞r時，認為批產(chǎn)品的質(zhì)量水平不滿意。由于抽樣的隨機性，有時即使Xn＞r，也不代表批產(chǎn)品質(zhì)量水平一定很差。如果Xn＞r，而實際不合格品率p≤p0，此時合格批的產(chǎn)品被拒收，將導(dǎo)致生產(chǎn)方遭受損失。所以，生產(chǎn)方風(fēng)險可表示為

在Xn≤r的條件下，如果實際不合格品率p≥p1，則不合格的批產(chǎn)品被接收，使用方將遭受損失。所以，使用方風(fēng)險可表示為

為了保護生產(chǎn)方和使用方的利益，雙方可以商定α≤α0，β≤β0，其中，α0和 β0分別是允許的最大生產(chǎn)方風(fēng)險和使用方風(fēng)險，據(jù)此可以推導(dǎo)出適當?shù)某闃臃桨?n,r)。

2 存在檢驗誤判的接收概率

在實際抽樣檢驗中，由于受檢驗人員技能、檢驗儀器、檢驗環(huán)境等諸多因素的影響，合格產(chǎn)品可能會被誤判為不合格產(chǎn)品；同樣，不合格產(chǎn)品也可能會被誤判為合格產(chǎn)品。在存在檢驗誤判的情況下，從樣本中檢驗出的不合格品數(shù)與實際不合格品數(shù)可能不相等，原先的抽樣方案將不能為生產(chǎn)方和使用方的利益提供充分的保護。因此，需要設(shè)計一個新的抽樣方案。

假設(shè)在實際不合格品率為p時，檢驗的不合格品率為q(p)，則容量為n的樣本中，檢驗的不合格品數(shù)Yn是隨機變量，在批量較大而樣本量較小時近似服從二項分布B(n,q(p))。事件 {Yn=dn}發(fā)生的概率P(Yn=dn)=q(p)dn[1-q(p)]與實際不合格品率p和誤判的概率都有關(guān)。

對于抽樣方案 (n,r)，其檢驗規(guī)則如下。從批產(chǎn)品中隨機抽取容量為n的樣本，檢驗并統(tǒng)計觀測到的不合格品數(shù)Yn。當Yn的觀測值小于等于r時，接收該批；否則，拒收該批。在實際不合格品率為p的條件下，記LY(p;n,r)為通過檢驗判定批產(chǎn)品質(zhì)量滿意，從而接收該批產(chǎn)品的概率，則抽樣方案 (n,r)的隨機特征可以用函數(shù)LY(p;n,r)表示。

將樣本中第i(i=1,2,···,n) 件產(chǎn)品的質(zhì)量用Xi表示，不合格記為1，合格記為0，則Xi服從參數(shù)為p的(0-1) 分布。在存在檢驗錯誤時，第i(i=1,2,···,n)件產(chǎn)品質(zhì)量檢驗結(jié)果Yi不僅與Xi有關(guān)，還與誤判的概率有關(guān)。

假設(shè)在實際產(chǎn)品質(zhì)量是合格品的條件下，檢驗結(jié)果判定是不合格品的概率為 α1；實際產(chǎn)品質(zhì)量是不合格品的條件下，檢驗結(jié)果判定是合格品的概率為 α2，即

誤判的概率可以根據(jù)實驗數(shù)據(jù)進行估計。則當實際不合格品率為p時，第i(i=1,2,···,n)件產(chǎn)品被判定為不合格品的概率為

從而q(p)=α1+(1-α1-α2)p。

當實際不合格品率為p，且存在檢驗錯誤時，抽樣方案(n,r)對應(yīng)的接收概率為

3 生產(chǎn)方和使用方風(fēng)險

一般地，批驗收抽樣方案必須照顧到生產(chǎn)方和使用方的風(fēng)險，能夠同時為雙方利益提供保護。為了設(shè)計出最優(yōu)的抽樣方案 (n,r)，需要對生產(chǎn)方和使用方風(fēng)險進行度量。在容量為n的樣本中，由于實際不合格品數(shù)并不清楚，所以只能根據(jù)檢驗結(jié)果對批產(chǎn)品質(zhì)量水平進行推斷。當Yn＞r時，則認為批產(chǎn)品質(zhì)量水平不滿意，不合格品率過高。但實際的不合格品率可能較小，比如p≤p0，從而給生產(chǎn)方造成損失。因此，生產(chǎn)方風(fēng)險為

4 抽樣方案集

在驗收抽樣檢驗過程中，生產(chǎn)方希望批產(chǎn)品被拒收時，批產(chǎn)品不合格品率p≤p0的概率不超過 α0；同樣，使用方希望批產(chǎn)品被接收時，批產(chǎn)品不合格品率p≥p1的概率不超過 β0。即一個適當?shù)某闃臃桨?n,r)應(yīng)同時滿足P(p≤p0|Yn＞r)≤α0，因此，滿足生產(chǎn)方和使用方風(fēng)險需求的抽樣方案可能有很多，所有可行抽樣方案構(gòu)成的集合可定義為

其中，N+表示非負整數(shù)。

故滿足生產(chǎn)方和使用方風(fēng)險要求的抽樣方案集合可以表示為

5 經(jīng)濟函數(shù)模型

實際生產(chǎn)中，為了確定最優(yōu)的抽樣方案，僅考慮生產(chǎn)方和使用方風(fēng)險往往并不夠，還需要考慮抽樣方案的經(jīng)濟性，對抽樣成本及抽樣方案誤判造成的雙方損失進行評估，使抽樣方案涉及的總損失達到最小。

抽檢成本與樣本量n有關(guān)，可以根據(jù)以往數(shù)據(jù)估算，相對比較容易確定。但抽樣方案涉及的生產(chǎn)方和使用方損失的信息有時很難被準確獲取，很多文獻對批產(chǎn)品被接收和拒收的損失進行了討論，但很少考慮批量大小對雙方損失的影響。事實上，一個抽樣方案 (n,r)涉及生產(chǎn)方和使用方的損失不僅與不合格品率p有關(guān)，還與批量N有關(guān)。因為，對于相同的不合格品率p，批量N不同，則一批產(chǎn)品中平均不合格品的絕對數(shù)也不同。

假設(shè)單位產(chǎn)品的檢驗成本為k，且檢驗是非破壞性的。用A(p)表 示在實際不合格品率p≤p0時，批產(chǎn)品被拒收給生產(chǎn)方造成的損失；用B(p)表示在實際不合格品率p≥p1時，批產(chǎn)品被接收給使用方造成的損失。則與抽樣方案(n,r)相關(guān)的總損失可表示為

總損失的期望為

當合格批被拒收時，生產(chǎn)方將對每件產(chǎn)品采取更加嚴格的檢查，逐一排查不合格品，并對其中的不合格產(chǎn)品進行返工。由于此時的檢驗是以排查返工為目的，生產(chǎn)方將采用精度更高的儀器或更細致的方式進行檢驗，以識別出不合格產(chǎn)品，故假設(shè)不存在檢驗誤判。設(shè)單位產(chǎn)品的復(fù)檢排查成本為Cc(Cc＞k)，將生產(chǎn)方損失定義為

因此，合格批產(chǎn)品被拒收給生產(chǎn)方造成的平均損失為

對生產(chǎn)方而言，平均檢驗量為

當不合格批被接收時，批中可能含有較多的不合格品。給使用方造成的損失B(p)與漏檢的不合格產(chǎn)品數(shù)有關(guān)，且是實際不合格品率p的非減函數(shù)。對于抽樣方案 (n,r)，批量N越大，對相同的不合格品率p，批中所含不合格品的絕對數(shù)越大，接收不合格批給使用方造成的損失就越大。

假設(shè)實際不合格品率為p時，容量n的樣本中被檢驗判定為不合格的產(chǎn)品數(shù)為dn。由于存在檢驗誤判，實際不合格品數(shù)不大于dn。對于接收的批次，dn往往不會太大 (dn≤r)，且不合格產(chǎn)品可以退換，故這部分損失可以忽略。在檢驗為合格的n-dn個產(chǎn)品中，可能含有不合格品被漏檢。

產(chǎn)品通過檢驗被判定為不合格品，而實際產(chǎn)品也是不合格品的概率為

另外，產(chǎn)品通過檢驗被判定為合格品，而實際產(chǎn)品是不合格品的概率為

對使用方而言，與抽樣方案對應(yīng)的平均檢出質(zhì)量為

假設(shè)每件不合格品給使用方造成的損失為R，則在實際不合格品率為p時，使用方的損失可定義為

因此，不合格批被接收給使用方造成的平均損失為

綜上所述，在存在檢驗錯誤的情況下，與抽樣方案(n,r)相關(guān)的總成本為

故最優(yōu)抽樣方案(n?,r?)滿足

同時，約束條件為

6 數(shù)值分析

某產(chǎn)品的生產(chǎn)制造以批為單位，產(chǎn)品的不合格品率為隨機變量。在批產(chǎn)品轉(zhuǎn)交前，需要經(jīng)過驗收抽樣檢驗階段，以評估批產(chǎn)品的質(zhì)量水平。檢驗是非破壞性的，且存在檢驗錯誤。通過檢驗的批產(chǎn)品被送往使用方，被拒絕的批次將進入一個更昂貴的篩選階段，將產(chǎn)品分離為合格品和不合格品。以抽檢和誤判造成的總成本最小為目標，通過式 (20) 計算最優(yōu)的抽樣方案。模型參數(shù)如表1所示，數(shù)值計算得出最優(yōu)抽樣方案 (n?,r?)=(61,3)，平均總成本C(n?,r?)=126.416 2，生產(chǎn)方和使用方風(fēng)險分別為α=0.042 1，β=0.028 3。如果沒有檢驗錯誤，則最優(yōu)抽樣方案(n?,r?)=(48,1)，平均總成本C(n?,r?)=97.809 8，生產(chǎn)方和使用方風(fēng)險分別為 α=0.031 9，β=0.020 6。平均檢驗量ATI和平均檢出質(zhì)量AOQ曲線分別如圖1和圖2所示。由圖1知,在不合格品率較小時，有檢驗錯誤的ATI大于無檢驗錯誤的ATI。但隨著不合格品率的增大，兩者的ATI變化趨勢相同，且取值非常接近。由圖2知，有檢驗錯誤的AOQ曲線和無檢驗錯誤的曲線非常接近，但AOQL相較無檢驗錯誤時略低。為了進一步分析模型參數(shù)對最優(yōu)抽樣方案決策的影響，進行靈敏性分析如表2～ 7所示。

圖1 平均檢驗量 (ATI) 曲線Figure 1 Curves of the average total inspection (ATI)

圖2 平均檢出質(zhì)量 (AOQ) 曲線Figure 2 Curves of the average outgoing quality (AOQ)

表1 模型參數(shù)及其取值Table 1 Model parameters and their values

表2 檢驗誤判概率對抽樣方案及兩類風(fēng)險的影響Table 2 Effects of the probability of inspection errors on the sampling schemes and the two types of risks

由表2可知，當α1增大時，抽樣方案放寬，C(n?,r?)、α、β 均增大；當 α2增大時，抽樣方案有加嚴趨勢，C(n?,r?)增 大；α 和 β有增大趨勢，但變化較小。

由表3可知，當μ增大時，在有檢驗錯誤情況下，抽樣方案有加嚴趨勢，C(n?,r?)減 小、α略有波動，β增大。在無檢驗錯誤情況下，抽樣方案、C(n?,r?)、α、β的變化規(guī)律與有檢驗錯誤的情況基本相同。無檢驗錯誤情況下對應(yīng)的抽樣方案相對較嚴，C(n?,r?)、α和 β相對較小。

表3 μ對抽樣方案及兩類風(fēng)險的影響Table 3 Effects of μ on the sampling schemes and the two types of risks

由表4可知，當批量N增大時，在有檢驗錯誤的情況下，抽樣方案有加嚴趨勢，C(n?,r?)增大，在N小于1 000時 α略有波動，在N大于1 000時 α減小，β始終呈現(xiàn)減小趨勢；在沒有檢驗錯誤的情況下，抽樣方案、C(n?,r?)、α、β的變化規(guī)律與有檢驗錯誤的情況基本相同。同時，無檢驗錯誤情況下對應(yīng)的抽樣方案相對較嚴，C(n?,r?)、α 和 β相對較小。

表4 N對抽樣方案及兩類風(fēng)險的影響Table 4 Effects of N on the sampling schemes and the two types of risks

由表5可知，當單位抽檢成本k增大時，在有檢驗錯誤的情況下，抽樣方案有放寬的趨勢，C(n?,r?)增大，α增大，β增大；在沒有檢驗錯誤的情況下，抽樣方案、C(n?,r?)的變化規(guī)律與有檢驗錯誤的情況相同。α略有波動，但整體趨勢增大，β增大。無檢驗錯誤對應(yīng)的抽樣方案相對較嚴，C(n?,r?)、α和 β相對較小。

表5 k對抽樣方案及兩類風(fēng)險的影響Table 5 Effects of k on the sampling schemes and the two types of risks

由表6可知，當單位抽檢成本Cc增大時，在有檢驗錯誤的情況下，抽樣方案放寬，C(n?,r?)增大，α減小，β 在Cc較小時略有波動，但總體呈增大趨勢；在沒有檢驗錯誤的情況下，抽樣方案放寬，C(n?,r?)增大，α減小，β略有波動，但變化不大。無檢驗錯誤對應(yīng)的抽樣方案相對較嚴，C(n?,r?)、α 和 β相對較小。

表6 Cc對抽樣方案及兩類風(fēng)險的影響Table 6 Effects of C c on the sampling schemes and the two types of risks

由表7可知，當不合格品給使用方造成損失R增大時，在有檢驗錯誤的情況下，抽樣方案將加嚴，C(n?,r?)增大，α增大，β減??；在沒有檢驗錯誤的情況下，抽樣方案、C(n?,r?)、α、β的變化規(guī)律與有檢驗錯誤的情況相同。無檢驗錯誤對應(yīng)的抽樣方案相對較嚴，C(n?,r?)、α和 β相對較小。

表7 R對抽樣方案及兩類風(fēng)險的影響Table 7 Effects of R on the sampling schemes and the two types of risks

7 總結(jié)

本文研究在有檢驗錯誤背景下計數(shù)型抽樣檢驗方案的決策問題。考慮不合格品率的先驗分布、檢驗成本和誤判損失，在生產(chǎn)方和使用方風(fēng)險有限的前提下，計算出使平均總成本最小化的計數(shù)型驗收抽樣方案。分析模型參數(shù)對抽樣方案、總成本和兩類風(fēng)險的影響，并與無檢驗錯誤抽樣檢驗進行比較。研究表明，兩類檢驗錯誤的概率對抽樣方案的影響有較大差異；不合格品率的均值增大時，抽樣方案有加嚴趨勢；批量增大時，抽樣方案有加嚴趨勢；抽檢成本和復(fù)查檢驗成本增大，抽樣方案將放寬；不合格品給使用方造成損失增大時，抽樣方案將加嚴。另外，在有檢驗錯誤的情況下，模型參數(shù)對平均總成本和兩類風(fēng)險影響規(guī)律與無檢驗錯誤的情況基本相同。