多軸隧道機(jī)器人非線性環(huán)形耦合協(xié)同控制

楊賢昭，黃晶晶，劉惠康，王立輝

（武漢科技大學(xué)冶金自動(dòng)化與檢測(cè)技術(shù)教育部工程研究中心，湖北 武漢 430081）

1 引言

蘇通GIL管廊工程為單項(xiàng)越江工程，項(xiàng)目總長(zhǎng)度5.8km。工程項(xiàng)目采用長(zhǎng)距離特高壓“GIL”氣體絕緣管道輸電，采用GIL管廊（隧道）過(guò)江。項(xiàng)目采用兩1100kV GIL敷設(shè)于地下管廊中穿越長(zhǎng)江，兩回GIL管道采用垂直布置，分開(kāi)布置在管廊兩側(cè)。由于是特高壓變電站及其輸電線路的各項(xiàng)巡檢工作，采用人工進(jìn)行養(yǎng)護(hù)是常規(guī)做法，能夠發(fā)現(xiàn)管廊在運(yùn)行過(guò)程中存在的問(wèn)題并能及時(shí)處理。然而路線過(guò)長(zhǎng)，需要檢查記錄項(xiàng)目過(guò)多，不能做到全面細(xì)致的檢查，比較隱秘的缺陷和故障無(wú)法發(fā)現(xiàn)；無(wú)法及時(shí)發(fā)現(xiàn)管壁溫度以及是否漏電放電，更不能測(cè)量空氣中的有毒氣體是否會(huì)對(duì)巡檢人員的健康造成危害，也無(wú)法及時(shí)發(fā)現(xiàn)一些不法分子的破壞或盜竊行為，工作效率低下，并且特別危險(xiǎn)。變電站巡檢人員對(duì)于上述諸多情況，只是通過(guò)眼睛、耳朵等感官對(duì)運(yùn)行電力設(shè)備進(jìn)行簡(jiǎn)單的定性判斷，難以準(zhǔn)確、快速地發(fā)現(xiàn)變電站設(shè)備存在的隱患或缺陷［1］。為保障管廊內(nèi)設(shè)備的安全運(yùn)行，項(xiàng)目采用智能化設(shè)備，實(shí)現(xiàn)對(duì)管廊內(nèi)設(shè)備實(shí)時(shí)、高效的在線監(jiān)控。對(duì)于管廊內(nèi)的各種設(shè)備巡檢，項(xiàng)目采用智能巡檢機(jī)器人。智能巡檢機(jī)器人應(yīng)用廣泛，電力系統(tǒng)的各個(gè)環(huán)節(jié)隨處可見(jiàn)，比如各種變電所，各類(lèi)發(fā)電廠，以及冶金行業(yè)等領(lǐng)域。智能巡檢機(jī)器人取代了體力勞動(dòng)，可以獨(dú)立完成復(fù)雜，困難，危險(xiǎn)以及重復(fù)性工作，減少了人員安排，節(jié)省了成本，降低了風(fēng)險(xiǎn)，提高了電網(wǎng)的智能度。然而要想使得智能巡檢機(jī)器人系統(tǒng)實(shí)現(xiàn)準(zhǔn)確快速的位置控制，就必須制造精密的零部件以及研究先進(jìn)適用的多軸控制算法。

近年來(lái)國(guó)內(nèi)外對(duì)于多軸同步控制技術(shù)非常重視，已經(jīng)提出了許多用于各類(lèi)機(jī)器人控制系統(tǒng)的位置和軌跡跟蹤控制的策略。目前使用的多軸同步控制方案主要兩種：一種是常規(guī)控制方式，一種是耦合控制方式。常規(guī)方式使用的主要有主從控制方式。耦合方式主要有交叉耦合、偏差耦合、環(huán)形耦合等同步控制方法。一般的控制系統(tǒng)精度要求不高，追求簡(jiǎn)單易用，多會(huì)使用主從同步控制方式。而實(shí)際生產(chǎn)中，對(duì)于精度要求比較高地方，主從控制方案就無(wú)能為力，此時(shí)必須提高機(jī)器人的控制精度，于是文獻(xiàn)［2］在1980率先提出了一種交叉耦合控制策略，并將其應(yīng)用到機(jī)床，控制效果不錯(cuò)。交叉耦合控制與傳統(tǒng)控制的主要區(qū)別在于引入了同步誤差，該誤差表示多個(gè)制動(dòng)器之間的協(xié)調(diào)程度，將其用于控制器中，以便在過(guò)渡階段調(diào)節(jié)機(jī)器人軌跡。上述交叉耦合控制僅能解決兩軸之間同步控制問(wèn)題，而無(wú)法解決三軸及其以上多軸之間同步控制問(wèn)題。2003年文獻(xiàn)［3］提出一種偏差耦合控制策略，使用該方法來(lái)實(shí)現(xiàn)多軸同步控制。文獻(xiàn)［4］提出了一種多軸位置同步的自適應(yīng)耦合控制算法，通過(guò)位置誤差和同步誤差的反饋，將交叉耦合技術(shù)引入自適應(yīng)控制設(shè)計(jì)，使得位置誤差和同步誤差的漸近收斂到零。文獻(xiàn)［5］將交叉耦合技術(shù)應(yīng)用到雙軸數(shù)控機(jī)床中，減小了同步誤差，提高了機(jī)床的加工精度。

相比較于其他同步控制方式，環(huán)形耦合控制憑借其加良好的控制性能，很好地解決兩軸以上的多軸之間的同步誤差。文獻(xiàn)［6］提出了一種基于環(huán)形耦合的多電機(jī)同步控制方案。其控制結(jié)構(gòu)更加簡(jiǎn)單，方便實(shí)現(xiàn)，同時(shí)兼顧了控制系統(tǒng)的同步性能。文獻(xiàn)［7］將積分分離PID算法多軸同步滑?？刂疲玫貙?shí)現(xiàn)系統(tǒng)的跟蹤和同步性能。

當(dāng)前，現(xiàn)有的無(wú)模型同步控制器都是基于PID 的方案。文獻(xiàn)［8］提出了一種通過(guò)將交叉耦合控制集成到通用的PD控制架構(gòu)中，實(shí)現(xiàn)多軸系統(tǒng)位置控制同步控制。文獻(xiàn)［9］通過(guò)將PD控制與飽和PI同步控制相結(jié)合，為機(jī)器人機(jī)械手開(kāi)發(fā)了一種集成控制器。然而，盡管這些無(wú)模型方案具有簡(jiǎn)單的控制器結(jié)構(gòu)和易于實(shí)現(xiàn)的優(yōu)點(diǎn)，但實(shí)驗(yàn)比較研究表明當(dāng)系統(tǒng)動(dòng)態(tài)模型可靠時(shí)，基于模型的同步控制器比無(wú)模型方案具有更好的性能［10］。文獻(xiàn)［11］設(shè)計(jì)了一種六軸工業(yè)機(jī)器人的非線性同步方案，較好地提高了機(jī)器人的軌跡跟蹤精度。

為了提高智能巡檢機(jī)器人的控制精度，引入新型近似勢(shì)能函數(shù)，并與傳統(tǒng)的N-PD控制相結(jié)合，同時(shí)改進(jìn)同步控制算法，得到一種新型N-PD環(huán)形耦合同步控制方案，與傳統(tǒng)的PID控制相比，控制器結(jié)構(gòu)更加簡(jiǎn)單，易于實(shí)現(xiàn)，方便應(yīng)用。同時(shí)，系統(tǒng)的位置誤差能夠快速收斂到零，減小了多軸之間的同步誤差，智能巡檢機(jī)器人同步控制效果提升明顯。

2 控制系統(tǒng)模型與分析

一般地，忽略摩擦和外部干擾，n自由度的智能機(jī)器人的動(dòng)力學(xué)模型為［12］：

式中：q—軸位置矢量；軸速度矢量軸加速度矢量；M(q)—對(duì)稱(chēng)正定慣性矩陣；D(q，?)—科氏力矩陣；Gq—重力矩陣；τ—各軸力矩矢量。

如式（1）所示的機(jī)器人系統(tǒng)，具有以下結(jié)構(gòu)特征：

（1）?q∈Rn，慣性矩陣M(q)是對(duì)稱(chēng)正定矩陣。即：

式中：λm—慣性矩陣的最小特征值；λM—最大特征值。

（2）D(v，ξ)μ=D(v，μ)ξ是向心力和哥式力矩陣，滿足：

（3）?(q) - 2D(q，?)是反對(duì)稱(chēng)矩陣，即：

3 環(huán)形耦合控制方案

環(huán)形耦合同步控制方案是在交叉耦合的基礎(chǔ)上拓展得到的。通常情況下，定義同步誤差是有很多選擇的，但是在工程實(shí)踐中多會(huì)考慮到，在可控范圍內(nèi)盡可能的簡(jiǎn)單易用，同時(shí)實(shí)現(xiàn)跟蹤誤差和同步誤差漸進(jìn)收斂。因此提出了一種通用的位置同步誤差：控制系統(tǒng)中每一對(duì)相鄰軸的差分位置誤差。在這種控制策略下，保證了位置誤差和同步誤差的漸近收斂性，同時(shí)可以改善系統(tǒng)的暫態(tài)同步性能。在此基礎(chǔ)上提出了下面的環(huán)形耦合控制策略，三軸隧道巡檢機(jī)器人的同步控制方案，如圖1所示。

圖1 智能巡檢機(jī)器人環(huán)形耦合控制策略Fig.1 Loop Coupling Control Strategy of Intelligent Inspection Robot

系統(tǒng)的位置誤差公式：控制對(duì)象的實(shí)際位置qi(t)與期望位置qid(t)之差，即：

同步誤差定義為被控軸與其相鄰兩軸位置之差：

式中：Δei(t)—控制系統(tǒng)第i軸同步誤差。假若使得所有的同步誤差為0，那么式（7）中每一個(gè)同步誤差都必須是0，由此可得：

為了使得同步誤差具有通用性，將其改寫(xiě)成下面的形式：

式中：T—同步變換矩陣T=TT。

式中：I—單位矩陣；α—耦合系數(shù)。

當(dāng)0 ＜α≤1，α越大，機(jī)器人系統(tǒng)同步控制效果越好。當(dāng)e→0，同時(shí)Δe→0，那么E→0，這樣就達(dá)到了機(jī)器人多軸同步控制的目的。

4 控制器設(shè)計(jì)

首先引入下面一類(lèi)近似勢(shì)能函數(shù)［13］：

式中：ρ0，δ0∈(0，1]；β0＞δ0—設(shè)計(jì)參數(shù)。

式中：sgn(?)—符號(hào)函數(shù)。

式（13）與式（14）描述是非線性函數(shù)Z(t)和z(t)，具有如下性質(zhì)：

（1）如t≠0，那么Z(t) ＞0；如t= 0，那么Z(t) = 0和z(t) = 0。

（2）Z(t)連續(xù)二階可微，z(t)之于t為單調(diào)增函數(shù)。

（3）當(dāng)t≠0，至少有一個(gè)正常數(shù)k＞0，使得下式成立：

（4）對(duì)于t≠0，存在正常數(shù)k1＞0，使得下式成立：

應(yīng)用簡(jiǎn)單運(yùn)算即可證明上述性質(zhì)。

一般地，機(jī)器人的PD控制律為：

線性PD同步控制控制算法為：

為了消除靜差，克服較大振蕩，提高機(jī)器人的位置控制精度，由式（15）和式（16）及其引理，設(shè)計(jì)非線性PD同步控制律為：

式中：KE—同步增益矩陣。

將式（19）代入式（1）可得閉環(huán)系統(tǒng)為：

式（20）唯一靜態(tài)平衡點(diǎn)是[eTe?T]T= 0 ∈?3n。

對(duì)于閉環(huán)系統(tǒng)式（20），滿足下面的定理，會(huì)使得閉環(huán)系統(tǒng)的位置誤差全局漸進(jìn)穩(wěn)定的。

為了證明所提出的控制律的有效性，提出如下Lyapunov函數(shù)：

由式（2）和式（15）可得：

將式（27）帶入式（26）并應(yīng)用式（22）和式（23）可得：對(duì)于任意的[eT?TΔeT]T≠0，有：

式（13）可知，Z(x)是徑向無(wú)界函數(shù)，故而所選的Lyapunov函數(shù)V是一個(gè)正定函數(shù)。

對(duì)式（26）關(guān)于時(shí)間t進(jìn)行微分，并將式（20）帶入，再應(yīng)用式（5），有：

利用式（2）和式（14）得：

由式（12）得：

當(dāng)式（22）～式（24）以及a為任意足夠小的正常數(shù)，則?≤0。z(e) = 0，e= 0，同時(shí)應(yīng)用LaSalle不變性原理可以得到，所設(shè)計(jì)的閉環(huán)控制系統(tǒng)是全局漸進(jìn)穩(wěn)定的，因而說(shuō)明了所提出的控制策略可行性。

5 仿真實(shí)驗(yàn)結(jié)果分析

為了驗(yàn)證所提出控制算法的有效性，使用MATLAB/Simulink建立仿真模型，進(jìn)行仿真實(shí)驗(yàn)。設(shè)3自由度智能巡檢機(jī)器人起始位置是零，期望位置qd(t)均為1rad。根據(jù)仿真所得的控制最佳參數(shù)為：

智能巡檢機(jī)器人的三個(gè)關(guān)節(jié)位置跟蹤曲線，如圖2～圖4所示。由下面三幅圖可得，PD（線性PD）、非線性PD（N-PD）、非線性PD（N-PDRC）三種不同控制算法相比較，在控制參數(shù)一樣的情況下，N-PDRC控制方法位置誤差最小，且能最快到達(dá)期望位置。

圖2 PD算法位置跟蹤誤差曲線Fig.2 The Tracking Errors about the PD Algorithm Position

圖3 N-PD算法位置跟蹤誤差曲線Fig.3 N-PD Algorithm Position Tracking Error Curve

圖4 改進(jìn)N-PD環(huán)形耦合同步控制算法位置跟蹤誤差曲線Fig.4 Improved N-PD Loop Coupling Synchronization Control Algorithm Position Tracking Error Curve

由圖5～圖6可以清楚地得到，控制參數(shù)一樣時(shí)，N-PDRC同步控制算法LPD控制算法進(jìn)行對(duì)比，顯然前者使得控制系統(tǒng)位置誤差更小，同時(shí)單位時(shí)間內(nèi)收斂速度更快。

圖5 N-PD算法位置誤差曲線Fig.5 Position Error Curve of N-PD Algorithm

圖6 改進(jìn)N-PD環(huán)形耦合同步控制位置誤差曲線Fig.6 Improved N-PD Loop Coupling Synchronous Control Position Error Curve

由圖7～圖8知，當(dāng)控制參數(shù)一定時(shí)，與N-PD控制算法相比，N-PDRC 同步控制方法下的同步誤差減小明顯，而且收斂時(shí)間短。由表1可知，N-PDRC同步控制方案比N-PD同步控制策略的作用下，控制系統(tǒng)同步誤差平均縮小87.1%，控制器響應(yīng)速度明顯加快。

表1 2種控制策略的同步誤差比較Tab.1 Comparison of Synchronization Errors of Two Control Strategies

表2 2種控制策略的收斂時(shí)間比較Tab.2 Comparison of Convergence Time of Two Control Strategies

圖7 PD環(huán)形耦合同步控制算法同步誤差曲線Fig.7 PD Ring Coupling Synchronization Control Algorithm Synchronization Error Curve

圖8 改進(jìn)非線性PD環(huán)形耦合同步控制算法同步誤差曲線Fig.8 Synchronization Error Curve of Improved N-PD Ring Coupling Synchronization Control Algorithm

由表可得，N-PDRC同步控制策略與N-PD同步控制策略進(jìn)行對(duì)比，收斂時(shí)間平均縮短78.7%，各關(guān)節(jié)同步效果提升顯著。

6 結(jié)論

為了提高隧道智能巡檢機(jī)器人的位置跟蹤以及同步控制性能，對(duì)機(jī)器人多軸同步控制方法進(jìn)行了研究，提出了一種基于系統(tǒng)動(dòng)力學(xué)模型和環(huán)形耦合控制方法的非線性PD同步控制方案。通過(guò)李亞普洛夫方法和LaSalle不變性原理，分析了新的控制策略的穩(wěn)定性。最后，通過(guò)對(duì)幾種算法仿真對(duì)比研究得到，所提出的新型非線性PID環(huán)形耦合同步控制算法具有良好的同步性能，減小了機(jī)器人多軸之間的位置誤差以及同步誤差，明顯加快了系統(tǒng)的響應(yīng)速度，提高了多軸系統(tǒng)的同步性能，驗(yàn)證了所提出控制算法的可行性。