直線導(dǎo)軌表面誤差建模及多尺度曲線擬合方法研究

馮石沖,凌 鶴

(武漢理工大學(xué) 機(jī)電工程學(xué)院,湖北 武漢 430070)

導(dǎo)軌在機(jī)床上起到導(dǎo)向和承重功能,它具有高剛度、低摩擦和低磨損的特點(diǎn)。導(dǎo)軌的精度顯著影響機(jī)床的加工精度和性能,因此,提高導(dǎo)軌的精度對(duì)于提高機(jī)床的加工精度和性能具有十分重要的意義[1]。目前導(dǎo)軌的加工工藝流程一般為:坯料→軋制→熱處理→矯直→鉆孔→再矯直→磨削。其中,矯直和磨削是提升導(dǎo)軌精度的兩個(gè)重要工藝。矯直,是將金屬條材由彎變直的一種加工工藝。磨削,往往作為矯直加工的后續(xù)工藝,它是使用硬磨粒顆粒去除工件材料的加工工藝。機(jī)床導(dǎo)軌作為一種精密導(dǎo)向部件,需要有良好的幾何精度和表面性能。矯直和磨削是導(dǎo)軌加工過程中的兩道連續(xù)加工工藝,這兩道工藝之間的相互作用會(huì)對(duì)導(dǎo)軌的性能產(chǎn)生一定的影響。因此,綜合考慮兩種加工工藝對(duì)導(dǎo)軌精度的影響是極為重要的。在制定導(dǎo)軌的加工工藝之前,首先需要對(duì)導(dǎo)軌的表面進(jìn)行研究。

工件的表面具有隨機(jī)性和不規(guī)則性,為了準(zhǔn)確地研究機(jī)械加工工藝對(duì)工件表面形貌的影響,首先需要建立工件表面形貌的幾何模型。一些學(xué)者在研究導(dǎo)軌的矯直工藝時(shí)將導(dǎo)軌表面誤差看作簡(jiǎn)單撓曲線,例如圓弧和二次曲線[2]。此外,一些學(xué)者在研究導(dǎo)軌上工作臺(tái)的運(yùn)動(dòng)誤差時(shí)將導(dǎo)軌表面誤差看作周期函數(shù),例如三角函數(shù)[3-10]。還有一些學(xué)者將上述兩種曲線特性結(jié)合起來,例如Tang等將導(dǎo)軌表面誤差看作二次曲線和三角函數(shù)的疊加[11]。然而,上述學(xué)者提出的導(dǎo)軌模型與實(shí)際的導(dǎo)軌表面依然存在較大誤差。一般而言,工件的表面誤差分為3種類型:形狀誤差、波紋度誤差和粗糙度誤差。形狀誤差指的是宏觀上的誤差,一般使用多項(xiàng)式函數(shù)表示;波紋度誤差指的是中觀上有周期性波動(dòng)的誤差,一般使用三角函數(shù)表示;粗糙度誤差則屬于微觀上的誤差,一般使用分形函數(shù)表示。這3種類型的誤差并不是單獨(dú)存在的,實(shí)際的加工表面往往是這3種誤差的綜合。由于不同類型的誤差有不同的形成原因,同時(shí)也對(duì)工件的表面性能有不同影響。因此,為了正確區(qū)分這些誤差,從而更好地制定工件的加工工藝,將這3類誤差從工件表面分離出來就極為重要。一些學(xué)者建立了各種各樣的方法對(duì)工件的表面誤差進(jìn)行分離,例如傅里葉變換、高斯濾波、小波變換和離散模態(tài)分解。然而這些方法有著一定的局限性。當(dāng)研究對(duì)象有具體的應(yīng)用場(chǎng)景時(shí),往往非常耗時(shí),且分離出來的結(jié)果不能滿足特定的力學(xué)背景,難以將分離出來的誤差用于實(shí)際加工。

基于上述原因,筆者從導(dǎo)軌的誤差來源類型出發(fā),將導(dǎo)軌的表面形貌誤差看作多項(xiàng)式、三角函數(shù)和分形函數(shù)的疊加,建立了直線導(dǎo)軌的表面輪廓誤差模型。為了準(zhǔn)確、快速地辨識(shí)這幾種類型的誤差,提出了多尺度曲線擬合方法。然后,基于多尺度曲線擬合方法,對(duì)直線導(dǎo)軌的表面輪廓誤差進(jìn)行分解。最后,實(shí)驗(yàn)驗(yàn)證了誤差模型和多尺度曲線擬合方法的有效性。

1 直線導(dǎo)軌表面輪廓誤差模型

機(jī)床工作臺(tái)的直線度誤差主要來源于直線導(dǎo)軌的表面形貌誤差,導(dǎo)軌在與機(jī)床導(dǎo)軌并行的水平面xoy平面內(nèi)的表面形貌誤差使工作臺(tái)在運(yùn)動(dòng)過程中產(chǎn)生了直線度誤差δz(x)。因此,筆者針對(duì)直線導(dǎo)軌在xoy平面內(nèi)的表面形貌進(jìn)行研究。將表面形貌誤差分解為一系列在y=yj(j=0,1,…,t)平面內(nèi)的表面輪廓誤差的集合,t為平面的個(gè)數(shù)換句話說,把三維的表面形貌誤差轉(zhuǎn)化為許多個(gè)二維的表面輪廓誤差。于是,表面形貌誤差能夠使用表面輪廓誤差點(diǎn)集S(yj)表示。為了研究表面輪廓誤差的幾何特征,以任意y=yj(j=0,1,…,t)平面為分析對(duì)象。

2 多尺度曲線擬合方法

2.1 形狀誤差模型

直線導(dǎo)軌在生產(chǎn)過程中,要經(jīng)歷軋制、熱處理,打孔等制造工藝,不可避免地產(chǎn)生彎曲和扭曲變形。為了研究方便,僅考慮單彎曲的直線導(dǎo)軌表面輪廓的形狀誤差。

根據(jù)魏爾斯特拉斯第一定理,任意的連續(xù)函數(shù)可以使用多項(xiàng)式來逼近,如圖1所示。因此,單彎曲的直線導(dǎo)軌在y=yj(j=0,1,…,t)平面內(nèi)的表面輪廓的形狀誤差可以使用多項(xiàng)式P(x)j來逼近。即

圖1 單彎曲的直線導(dǎo)軌表面輪廓的形狀誤差

P(x)j=p0,j+p1,jx+…+pn,jxn

(1)

式中,多項(xiàng)式系數(shù)p0,j,p1,j,p2,j,…,pn,j為任意實(shí)數(shù)。

2.2 波紋度誤差模型

直線導(dǎo)軌的表面輪廓并不是一條簡(jiǎn)單的、光滑的多項(xiàng)式曲線,它的表面存在著波紋度。如圖2所示,周期曲線表示直線導(dǎo)軌的波紋度。根據(jù)Fourier級(jí)數(shù)的知識(shí),直線導(dǎo)軌的波紋度可以使用三角多項(xiàng)式來逼近。因此,直線導(dǎo)軌在y=yj(j=0,1,…,t)表面輪廓的波紋度誤差可表示為:

圖2 直線導(dǎo)軌表面輪廓的波紋度誤差

(2)

式中:系數(shù)ak,j,bk,j為任意實(shí)數(shù)。

2.3 粗糙度誤差模型

除了形狀誤差和波紋度誤差,導(dǎo)軌表面還存在粗糙度誤差。表面輪廓的粗糙度誤差一般使用常見的分形函數(shù)W-M函數(shù)來表示,因此直線導(dǎo)軌在y=yj(j=0,1,…,t)平面內(nèi)的表面輪廓的粗糙度誤差可以表示為R(x)。

2.4 多尺度曲線擬合

為了更加準(zhǔn)確地描述直線導(dǎo)軌的表面輪廓誤差,將簡(jiǎn)單多項(xiàng)式P(x)j、三角多項(xiàng)式f(x)j和分形函數(shù)R(x)j結(jié)合起來,同時(shí)考慮到粗糙度誤差R(x)的表達(dá)式非常復(fù)雜,可以將表面粗糙度R(x)看作曲線擬合過程的擬合誤差。因此,導(dǎo)軌在y=yj(j=0,1,…,t)平面內(nèi)的表面輪廓可以使用式(3)來擬合:

z(x)j=p0,j+p1,jx+p2,jx2+

(3)

擬合曲線的圖像如圖3所示。將式(3)寫成矩陣形式:

圖3 一個(gè)平面內(nèi)的表面輪廓誤差曲線

Z=Mp+fXp+f

(4)

式中:矩陣X為式(3)中x,x2,sinx,cosx,sin2x,cos2x組成的基矩陣;矩陣M為式(3)中p0,j,p1,j,p2,j,a1,j,b1,j,a2,j,b2,j的系數(shù)矩陣。

式(4)的解為:

(5)

式中,X-1代表矩陣X的廣義逆矩陣。

從式(5)可知,通過求解線性方程組將形狀誤差、波紋度誤差和粗糙度誤差從整個(gè)導(dǎo)軌的表面輪廓中分離出來。這為后續(xù)的矯直和磨削加工工藝提供了重要信息。

3 直線導(dǎo)軌表面輪廓誤差分析實(shí)例

3.1 實(shí)驗(yàn)材料與實(shí)驗(yàn)儀器

本實(shí)驗(yàn)選用三坐標(biāo)測(cè)量機(jī)來測(cè)量3根直線導(dǎo)軌的表面形貌誤差,其型號(hào)為:Daisy564。實(shí)驗(yàn)材料為同一批加工的3根直線導(dǎo)軌,尺寸均為:400×20×20 mm,分別將其編號(hào)為:LG1,LG2,LG3。

三坐標(biāo)測(cè)量機(jī)在每根導(dǎo)軌上測(cè)量3個(gè)平行表面的輪廓,每個(gè)輪廓上選取41個(gè)測(cè)量點(diǎn),每個(gè)測(cè)量點(diǎn)的間距為10 mm。

3.2 實(shí)驗(yàn)結(jié)果與數(shù)據(jù)分析

從實(shí)驗(yàn)結(jié)果可知,同一根導(dǎo)軌上的3條輪廓曲線非常接近。因此將同一根導(dǎo)軌上的3條輪廓曲線取平均值,然后使用所提出的多尺度曲線擬合方法對(duì)導(dǎo)軌進(jìn)行曲線擬合。

導(dǎo)軌LG1、LG2、LG3表面輪廓的曲線擬合結(jié)果分別如圖4～圖6所示?？梢钥闯?使用多尺度曲線擬合方法對(duì)導(dǎo)軌表面輪廓進(jìn)行曲線擬合的效果很好。

圖4 導(dǎo)軌LG1的測(cè)量數(shù)據(jù)及擬合曲線

圖5 導(dǎo)軌LG2的測(cè)量數(shù)據(jù)及擬合曲線

圖6 導(dǎo)軌LG3的測(cè)量數(shù)據(jù)及擬合曲線

為了更準(zhǔn)確地說明擬合效果,將多尺度曲線擬合方法與二次多項(xiàng)式的曲線擬合進(jìn)行對(duì)比。結(jié)果如表1所示。

表1 兩種曲線擬合的對(duì)比

導(dǎo)軌LG1和導(dǎo)軌LG2使用多尺度曲線擬合方法的擬合效果要優(yōu)于二次多項(xiàng)式擬合,均方誤差分別減小了46%和41%。導(dǎo)軌LG3使用兩種擬合方法的區(qū)別不大,均方誤差幾乎不變。

4 結(jié)論

筆者選取了3根相同工藝的導(dǎo)軌作為實(shí)驗(yàn)樣件,分別測(cè)量每根導(dǎo)軌上的3個(gè)平行面的表面輪廓誤差。對(duì)比每根導(dǎo)軌上的3條輪廓曲線,發(fā)現(xiàn)3條輪廓曲線非常接近。這表明:導(dǎo)軌的輪廓誤差主要沿著導(dǎo)軌的長(zhǎng)度方向變化,在寬度方向上幾乎不變。

筆者建立了直線導(dǎo)軌的表面輪廓模型,然后使用多尺度曲線擬合方法對(duì)3根導(dǎo)軌的測(cè)量數(shù)據(jù)進(jìn)行擬合,同時(shí)對(duì)比傳統(tǒng)的二次多項(xiàng)式的曲線擬合方法?？梢园l(fā)現(xiàn),多尺度曲線擬合方法的擬合效果要優(yōu)于傳統(tǒng)的二次多項(xiàng)式擬合,均方誤差明顯減小,最大可以減小46%。值得注意的是,隨著導(dǎo)軌的形狀誤差越來越小,兩種擬合方法的差距越明顯。因此,多尺度曲線擬合方法更適用于直線導(dǎo)軌表面誤差的分解。