點接觸軸承接觸應力可靠性及靈敏度分析

趙振秀，劉軍

（224057 江蘇省 鹽城市 鹽城工學院 機械工程學院）

0 引言

滾動軸承作為機械系統(tǒng)支承與傳遞載荷關鍵的旋轉(zhuǎn)元件，其可靠性決定了旋轉(zhuǎn)機械系統(tǒng)的使用壽命，疲勞磨損和點蝕失效會造成滾動軸承失效，無法正常使用。因此軸承的可靠性直接決定了軸承和機械系統(tǒng)的運行可靠性。國內(nèi)外很多學者對軸承接觸應力進行了深入研究，主要基于Hertz 理論研究了軸承內(nèi)部的應力分布情況[1-3]。張廣萍等[4]采用Hertz 理論并考慮實際工況研究了軸承的應力分布；張勝倫等[5]研究并優(yōu)化了結(jié)構(gòu)參數(shù)對接觸應力的影響。目前，鮮有學者針對軸承接觸應力的可靠性及其靈敏度展開研究，其中在軸承接觸應力的可靠性定量分析方面研究更少[6-10]。本文基于Hertz理論對接觸應力計算方法進行精度研究，結(jié)合應力-強度干涉理論和二階矩法研究點接觸軸承的動態(tài)可靠性；對3 種接觸應力計算方法進行精度驗證和誤差分析，建立點接觸軸承動態(tài)可靠性模型，并進行動態(tài)可靠性及靈敏度計算與分析。

1 點接觸軸承接觸應力計算

1.1 接觸應力計算模型

根據(jù)Hertz 理論，假定球軸承的滾動體與內(nèi)外圈接觸的表面區(qū)域為一旋轉(zhuǎn)橢圓形，最大壓應力出現(xiàn)在幾何中心，其大小為

接觸區(qū)域與接觸應力分布如圖1 所示。由圖1可知，接觸區(qū)域SC除中心點最大應力處以外其余點的法向應力為

圖1 點接觸軸承接觸區(qū)域與接觸應力分布Fig.1 Contact area and contact stress distribution of point-contact bearing

式中：Q——承受載荷；a、b——接觸橢圓的長、短半軸。

式中：a*、b*——接觸橢圓半軸系數(shù)；Σρ——曲率和函數(shù)；E'——綜合彈性模量。

在載荷Q的作用下，兩物體由于彈性變形而形成接觸區(qū)域SC。接觸體表面的位移δ稱為彈性趨近量，定義為

式中：δ*——彈性趨近系數(shù)。

式中：v1、v2——彈性接觸體的泊松比；E1、E2——彈性接觸體的彈性模量。

式中：Rix、Riy——滾動體和內(nèi)（外）圈曲率半徑；i=1、2，1 代表滾動體，2 代表滾道。Rix、Riy示意如圖2 所示。

圖2 Hertz 點接觸曲率示意圖Fig.2 Point-contact curvature diagram of Hertz

確定橢圓半軸系數(shù)a*、b*和彈性趨近系數(shù)δ*為

式中：e——橢圓參數(shù)；K(e)，E(e)——第1 類和第2 類完全橢圓積分函數(shù)。

1.2 接觸應力的數(shù)值計算法

求解軸承接觸應力問題的關鍵是根據(jù)曲率函數(shù)F(ρ)的值確定橢圓參數(shù)e，以及K(e)和E(e)。根據(jù)Hertz 理論模型，曲率函數(shù)F(ρ)是橢圓半軸a、b的函數(shù)

將式（14）變換成式（15）的形式以便求解橢圓參數(shù)e

式中：ε——一個微小誤差控制量。

可通過牛頓迭代法求解式（15），獲得e、K(e)和E(e)的值。

1.3 Hamrock-Dowson 經(jīng)驗法

從式（12）可以看出，當b/a無窮小時，K(e)的收斂很慢，但球軸承點接觸問題恰巧屬于此類情況，因此求解式（15）比較耗時。Hamrock 和Dowson 通過曲線擬合的方法給出了球軸承接觸問題的近似經(jīng)驗公式為

由式（11）可知

1.4 拉格朗日插值法

基于數(shù)值計算法，羅繼偉等[2]設計了一種單向均分法，便捷地獲取軸承點接觸參數(shù)；楊咸啟[1]、Harris 等[3]給出了點接觸半軸系數(shù)的參數(shù)表。根據(jù)上述學者的參數(shù)表繪制出觸參數(shù)變化曲線，如圖3所示，可見3 種參數(shù)表的變化趨勢一致。采用拉格朗日二次插值公式，根據(jù)上述3 個參數(shù)表對半軸系數(shù)直接插值計算對應的y。由于點接觸軸承的橢圓參數(shù)e接近于1，所以取部分參數(shù)如表1 所示，表中的第1 列數(shù)據(jù)標記為xi，需計算的某一列數(shù)據(jù)標記為yi，當已知x（xi-1＜x＜xi+1）時可以計算對應的y值

表1 無量綱接觸參數(shù)Tab.1 Dimensionless contact parameters

圖3 無量綱接觸參數(shù)變化Fig.3 Changes of dimensionless contact parameters

根據(jù)上述3 種不同的參數(shù)表結(jié)合Harris 等[3]的研究，對B218 角接觸球軸承，計算點接觸參數(shù)和內(nèi)、外滾道最大法向接觸應力，結(jié)果如表2 所示。對比結(jié)果可知：與數(shù)值解相比，3 種參數(shù)表的誤差均不超過3%。其中文獻[1]的參數(shù)表計算的結(jié)果更加準確。點接觸軸承內(nèi)滾道接觸應力大于外滾道，這與文獻[3]研究結(jié)果一致，因此，可靠性及靈敏度分析部分僅討論內(nèi)滾道接觸應力。

表2 拉格朗日插值法參數(shù)表誤差分析Tab.2 Error analysis of Lagrange interpolation parameters

1.5 方法驗證及誤差分析

某機械旋轉(zhuǎn)系統(tǒng)中，鋼球與內(nèi)滾道接觸過程中，深溝球軸承鋼球承受徑向載荷為Q=1.5 kN 的靜態(tài)載荷，系統(tǒng)運行過程中，同時承受最大徑向載荷為2 kN 的動態(tài)載荷。已知鋼球與內(nèi)滾道的參數(shù)如表3 所示。采用上節(jié)所述3 種方法求解得出鋼球與內(nèi)滾道的最大接觸應力隨徑向載荷的變化趨勢如圖4 所示。

表3 隨機變量參數(shù)表Tab.3 Random variable parameters

圖4 3 種方法計算的最大接觸應力對比 Fig.4 Comparison of the maximum contact stress calculated by three methods

由圖4 可知，拉格朗日插值法相較Hamrock-Dowson 經(jīng)驗法更加逼近數(shù)值計算法計算的點接觸軸承接觸應力。兩者相對誤差如圖5 所示，2 種方法的相對誤差均小于0.4%，其中拉格朗日插值法的相對誤差小于0.1%。因此，2 種方法均可代替數(shù)值計算法用于計算點接觸軸承接觸應力，其中拉格朗日插值法計算結(jié)果更加準確。

圖5 接觸應力相對誤差Fig.5 Relative error of contact stress

2 動態(tài)可靠性分析

由上述分析可知點接觸軸承最大接觸應力呈逼近線性趨勢，因此采用二階矩方法可以滿足其最大接觸應力可靠性及靈敏度分析。

2.1 動態(tài)可靠性模型

根據(jù)赫茲接觸應力計算理論[3]，點接觸軸承滾動體與滾道的最大接觸應力為

根據(jù)應力-強度干涉理論建立機械系統(tǒng)的狀態(tài)方程

式中：r——屈服強度；g(X)≤0 時表示結(jié)構(gòu)功能失效。

引入動態(tài)可靠性指標β(t)簡化可靠性的分析計算，可靠性指標β(t)的定義為

式中：E[g(X,t)]——狀態(tài)函數(shù)g(X,t)的平均值；Var[g(X,t)]——狀態(tài)函數(shù)g(X,t)的方差。

如果基本隨機變量X服從正態(tài)分布，則可以計算出結(jié)構(gòu)的可靠度R(t)為

式中：φ(·)——標準正態(tài)分布函數(shù)。

當強度和所受應力服從正態(tài)分布時，采用二階矩法，只需要知道隨機變量的均值和方差，即可計算出系統(tǒng)的可靠度[6]。

不考慮g(X) 2 階以上的部分，取近似的g(X) 2 階均值和1 階方差

式中：Var(X)——隨機變量的方差矩陣。

狀態(tài)函數(shù)g(X)對隨機變量X的偏導數(shù)為

這種求解方式得出的是近似結(jié)果，其最大特點是求解過程簡便，具備較強的適應能力，當非線性不是太高時，其求解的精度可以滿足工程實際的要求。

2.2 點接觸軸承動態(tài)可靠性分析

根據(jù)應力-強度干涉可靠性模型，結(jié)合最大接觸應力模型，設動態(tài)載荷Q在[0，1]s 內(nèi)隨時間線性遞增并達到最大值，選取隨機變量X=[r Q E v R1x R1y R2x R2y]。在缺乏充足的實驗數(shù)據(jù)的前提下，可以通過變異系數(shù)C估計隨機設計參數(shù)的標準方差[10]，具體見表3。采用該模型作為基于應力-強度干涉理論的狀態(tài)方程，可以獲得點接觸軸承的應力-強度可靠性模型。

利用式（22）獲取最大接觸應力隨時間變化的曲線如圖6 所示。由圖6 可知，軸承最大接觸應力在2.69 kN 時超出其屈服強度，根據(jù)應力-強度干涉理論建立的動態(tài)可靠性模型定義，判定此時的軸承處于失效狀態(tài)。

圖6 軸承點接觸應力-強度狀態(tài)圖Fig.6 Stress-strength state diagram of point-contact bearing

根據(jù)式（24）、式（25）計算動態(tài)可靠度，可靠度隨時間變化曲線如圖7 所示。由圖7 可知，軸承的可靠度在22 ms 時出現(xiàn)下降趨勢，說明其在22 ms 時已經(jīng)出現(xiàn)了早期失效的可能。采用蒙特卡洛法對隨機變量X抽樣后，根據(jù)狀態(tài)方程計算的基于蒙特卡洛法的可靠度驗證了二階矩法計算的動態(tài)可靠度結(jié)果的精度。

圖7 動態(tài)可靠度曲線Fig.7 Dynamic reliability curve

3 動態(tài)可靠性靈敏度分析

3.1 動態(tài)可靠性靈敏度理論

機械結(jié)構(gòu)可靠性靈敏度分析基于可靠性的敏感度分析，通過計算得出隨機變量對機械結(jié)構(gòu)可靠性的影響，能較好地反映各隨機變量對機械結(jié)構(gòu)的影響[7]。

機械結(jié)構(gòu)的可靠性靈敏度分為對隨機變量X的均值可靠度靈敏度dR(t)/d和方差可靠性靈敏度dR(t)/dVar(X),計算公式分別為

3.2 動態(tài)可靠性靈敏度分析

通過式（30）計算均值靈敏度隨時間變化的曲線，如圖8 所示。由圖8 可知，隨機變量鋼球半徑R1x、R1y和滾道曲率半徑R2y對動態(tài)可靠性模型的靈敏程度呈正相關趨勢，即增大隨機變量的均值，可提高系統(tǒng)運行的可靠性，反之亦然。在安全域內(nèi)，各隨機變量靈敏度相差不大；當軸承失效后，軸承材料泊松比ν對系統(tǒng)運行的影響最大，隨機變量鋼球半徑R1x、R1y次之，再次是滾道曲率半徑R2y，而其他隨機變量對系統(tǒng)的影響均可忽略不計。因此在生產(chǎn)制造過程中，通過增大軸承的鋼球半徑R1x、R1y和滾道曲率半徑R2y、減小軸承材料的泊松比ν可以提高機械系統(tǒng)運行的可靠性。

通過式（31）計算軸承方差靈敏度隨時間變化的曲線，如圖9 所示。由圖9 可知，在系統(tǒng)運行完全失效前，增大各隨機變量的標準差會降低系統(tǒng)可靠性；失效后，增大各隨機變量的標準差會提高系統(tǒng)可靠性。因此在設計制造過程中，可通過減小軸承材料泊松比ν的標準差提高系統(tǒng)運行的可靠度。

圖9 隨機變量方差靈敏度Fig.9 Sensitivity of variance of random variables

4 結(jié)論

（1）基于Hertz 理論研究了點接觸軸承最大接觸應力3 種不同的計算方法：數(shù)值計算法、Hamrock-Dowson 經(jīng)驗法和拉格朗日插值法研究了拉格朗日插值法中3 種計算點接觸的無量綱參數(shù)表。結(jié)果表明：拉格朗日插值法計算結(jié)果更加準確。

（2）根據(jù)應力-強度干涉理論建立了點接觸軸承的最大接觸應力動態(tài)可靠性模型，采用二階矩法對軸承動態(tài)可靠性進行求解，并采用蒙特卡洛法驗證。結(jié)果表明：點接觸軸承的可靠度隨動態(tài)載荷增加而減小。結(jié)合文中算例，軸承承受最大徑向載荷不能高于2.69 kN。

（3）根據(jù)可靠性靈敏度分析相關理論，求得點接觸軸承動態(tài)可靠性模型中隨機變量對模型的靈敏度。結(jié)果表明：增大軸承的鋼球半徑和滾道曲率半徑、減小軸承材料的泊松比及其標準差可以提高機械系統(tǒng)運行的可靠性。