基于城軌列車單質(zhì)點(diǎn)動力學(xué)模型的滑模自適應(yīng)速度跟蹤控制

伍文豪，李潤梅，熊 剛

（1.北京交通大學(xué) 電子信息工程學(xué)院，北京 100044；2.中國科學(xué)院自動化研究所 多模態(tài)人工智能系統(tǒng)全國重點(diǎn)實(shí)驗(yàn)室，北京 100190）

列車自動駕駛（ATO，Automatic Train Operation）是指應(yīng)用人工智能、智能控制等技術(shù)，實(shí)現(xiàn)列車自動啟動、牽引、惰性、制動等基本的列車運(yùn)行作業(yè)，保障列車的準(zhǔn)點(diǎn)發(fā)車、安全運(yùn)行和精準(zhǔn)停車[1]。ATO分為4個自動化等級（GoA，Grade of Automatic），分別為：司機(jī)監(jiān)控列車運(yùn)行（GoA1）、半自動列車運(yùn)行（GoA2）、無司機(jī)駕駛（GoA3）和無人值守列車運(yùn)行（GoA4）[2]。目前，在我國已開通的350余條城市軌道交通（簡稱：城軌）線路中，由于地形、氣候和人口分布等復(fù)雜因素的影響，只有30余條線路實(shí)現(xiàn)了GoA4級自動駕駛，ATO系統(tǒng)應(yīng)用普及率較低，因此，對ATO的相關(guān)研究已成為列車運(yùn)行控制系統(tǒng)（簡稱：列控系統(tǒng)）研究的熱點(diǎn)。ATO需要對城軌列車運(yùn)行速度曲線進(jìn)行跟蹤控制，來實(shí)現(xiàn)城軌列車的自動駕駛。實(shí)現(xiàn)城軌列車運(yùn)行速度曲線跟蹤控制的關(guān)鍵在于建立準(zhǔn)確的城軌列車動力學(xué)模型和選擇合適的控制算法。

城軌列車動力學(xué)模型可分為單質(zhì)點(diǎn)模型和多質(zhì)點(diǎn)模型。單質(zhì)點(diǎn)動力學(xué)模型較簡單，適用于城軌列車的整體控制和調(diào)度，但對于城軌列車整體的輸入飽和約束及控制時滯問題考慮較少；多質(zhì)點(diǎn)動力學(xué)模型可體現(xiàn)城軌列車車廂間的相互作用力和相對位移關(guān)系，適用于對每一節(jié)車廂的控制，但由于其維數(shù)增大，導(dǎo)致計算復(fù)雜，難以融入復(fù)雜的非線性特性和系統(tǒng)時滯。文獻(xiàn)[3]對高速列車進(jìn)行單質(zhì)點(diǎn)動力學(xué)建模，但是未考慮到速度延時及輸入飽和約束；文獻(xiàn)[4]利用牛頓第二定律分別建立了高速列車的三質(zhì)點(diǎn)和八質(zhì)點(diǎn)動力學(xué)模型，并根據(jù)得到的各車廂間相互作用力進(jìn)行安全分析；文獻(xiàn)[5]利用單質(zhì)點(diǎn)動力學(xué)模型描述高速列車的位移與速度，并基于高速列車多質(zhì)點(diǎn)模型建立了一種多級牽引與制動的高速列車多質(zhì)點(diǎn)單位移模型，保留了多質(zhì)點(diǎn)特性且具有低維數(shù)特點(diǎn)，但并未考慮高速列車的速度時滯特性。

在控制算法的選擇方面，列車在實(shí)際運(yùn)行中常遇到參數(shù)突變和擾動的情況，經(jīng)典控制算法已無法滿足控制需求?；瑒幽B(tài)（簡稱：滑模）控制算法在實(shí)際工程中逐漸得到推廣應(yīng)用，具有快速響應(yīng)、對參數(shù)變化及擾動不靈敏、物理實(shí)現(xiàn)簡單等優(yōu)點(diǎn)，但對被控對象模型的精準(zhǔn)性有較高要求。因?yàn)槌擒壛熊噷?shí)際運(yùn)行環(huán)境復(fù)雜多變，其動力學(xué)模型中部分參數(shù)無法直接測量，具有不確定性，針對城軌列車動力學(xué)模型中的不確定性，有學(xué)者利用自適應(yīng)方法對城軌列車動力學(xué)模型中存在的不確定、非線性特性的參數(shù)進(jìn)行在線估計，并與期望的城軌列車速度指標(biāo)進(jìn)行對比，以此調(diào)整對城軌列車牽引力或制動力的控制策略，實(shí)現(xiàn)對城軌列車動力學(xué)模型不確定參數(shù)的實(shí)時補(bǔ)償[6]。

基于上述研究，本文以城軌列車運(yùn)行速度曲線的跟蹤控制為研究目的，建立城軌列車單質(zhì)點(diǎn)動力學(xué)模型。結(jié)合滑?？刂坪妥赃m應(yīng)控制的特點(diǎn)，設(shè)計滑模自適應(yīng)速度跟蹤控制器。

1 建立城軌列車單質(zhì)點(diǎn)動力學(xué)模型

將整組城軌列車當(dāng)作一個剛性的無尺寸質(zhì)點(diǎn)，利用牛頓定律對其進(jìn)行受力分析，考慮城軌列車的輸入飽和約束、控制延時及慣性環(huán)節(jié)，以微分方程的形式建立了城軌列車單質(zhì)點(diǎn)動力學(xué)模型。

1.1 城軌列車受力分析

本文采用單質(zhì)點(diǎn)模型對城軌列車運(yùn)行的縱向運(yùn)動特性進(jìn)行描述，僅考慮城軌列車在平直道上運(yùn)行的情況，根據(jù)牛頓第二定律對城軌列車進(jìn)行受力分析，如圖1所示。

圖1 城軌列車受力分析

圖1中，F(xiàn)為城軌列車牽引電機(jī)/制動裝置在運(yùn)行過程中提供的牽引力/制動力，牽引力和制動力不能同時存在；f為城軌列車受到的總運(yùn)行阻力，包括基本運(yùn)行阻力和附加阻力；N為軌面提供的支持力；Mg為城軌列車的重力。

1.1.1 城軌列車牽引力和制動力

城軌列車牽引力是驅(qū)動列車向前運(yùn)行的力，其產(chǎn)生的基本原理如圖2所示，由傳動系統(tǒng)對車輪產(chǎn)生旋轉(zhuǎn)力矩M而產(chǎn)生牽引力F1。F2為與F1大小相同、方向相反的相互作用力。

圖2 城軌列車牽引力基本原理

在ATO中，城軌列車牽引力的大小由列控系統(tǒng)計算產(chǎn)生。如要增大城軌列車牽引力，則要增加電動機(jī)的牽引功率。制動力是城軌列車運(yùn)行過程中阻礙其運(yùn)行、可調(diào)節(jié)的外力，只能在牽引力為零時產(chǎn)生，且與城軌列車運(yùn)行速度方向相反。牽引力僅產(chǎn)生在動力單元的動輪與軌道間，而制動力產(chǎn)生在所有車廂的動輪與軌道間。

1.1.2 基本運(yùn)行阻力

城軌列車受到的基本阻力包括機(jī)械阻力和氣動阻力，其中，機(jī)械阻力與城軌列車實(shí)際速度成正比，氣動阻力與城軌列車實(shí)際速度的平方成正比。但由于城軌列車運(yùn)行中影響基本阻力的因素較復(fù)雜，在實(shí)際運(yùn)用中很難用理論公式進(jìn)行計算，通常采用Davis公式[7]，可表示為

式中，fb(v)為基本運(yùn)行阻力；v(t) 表示城軌列車的運(yùn)行速度，單位為 km/h；a、b、c為基本阻力系數(shù)，其系數(shù)值主要與城軌列車類型、結(jié)構(gòu)及運(yùn)行條件（風(fēng)速、溫度等）有關(guān)。

1.1.3 附加阻力

城軌列車在某些特殊場景下（坡道、彎路、隧道、惡劣氣候等）運(yùn)行時，會受到除基本阻力外的阻力，稱為附加阻力。附加阻力的計算公式為

式中，wi為坡道附加阻力；wr為曲線附加阻力；ws為隧道附加阻力。坡道附加阻力指城軌列車在坡道狀況下運(yùn)行時，自身重力沿坡道斜面產(chǎn)生的分力，上坡時為正值（阻力），下坡時為負(fù)值（加速力）；曲線附加阻力指城軌列車在曲線上運(yùn)行比在直線上運(yùn)行時額外增加的阻力；隧道附加阻力指城軌列車進(jìn)入隧道時所受到的空氣阻力。為方便計算，本文只考慮城軌列車在平直道上運(yùn)行的場景，忽略其受到的坡道附加阻力和曲線附加阻力。因此，城軌列車受到的附加阻力即為隧道附加阻力，隧道附加阻力ws的經(jīng)驗(yàn)公式[8]為

式中，fa的單位為 N；0.00013為隧道附加阻力相關(guān)系數(shù)的一般取值；m為城軌列車的質(zhì)量，單位為 kg；g為重力加速度；Ls為隧道長度，單位為 m。

1.2 列車單質(zhì)點(diǎn)動力學(xué)模型

根據(jù)牛頓定律，城軌列車單質(zhì)點(diǎn)動力學(xué)模型可用微分方程描述，公式為

式中，t為城軌列車的運(yùn)行時間，S(t) 為城軌列車位移；F(t) 為牽引力或制動力輸入。

在實(shí)際工程中，由于信號傳輸和機(jī)械傳導(dǎo)，控制輸入需要經(jīng)過一定的延時才能作用于執(zhí)行機(jī)構(gòu)，即城軌列車的電機(jī)，其輸出量（城軌列車加速度）的變化需要一個過程，可用一階慣性環(huán)節(jié)來描述。城軌列車電機(jī)牽引或制動過程可用模型框圖描述，如圖3所示。

圖3 列車電機(jī)牽引/制動模型框圖

圖3中，s表示對微分方程進(jìn)行拉普拉斯變換的復(fù)變量；F(t) 為通過計算得到的輸入，即期望控制輸出；F1(t) 為實(shí)際控制輸出；e-τs為延時環(huán)節(jié)，τ 為時滯參數(shù)；F(t) 與F1(t) 間的關(guān)系可表示為

K為常數(shù)，表示比例環(huán)節(jié)；a(t) 為期望加速度，a1(t) 為實(shí)際加速度；為一階慣性環(huán)節(jié)，T為慣性環(huán)節(jié)時間常數(shù)；為積分環(huán)節(jié)，實(shí)際加速度a1(t)經(jīng)積分環(huán)節(jié)得到城軌列車運(yùn)行速度v(t)。

在城軌列車實(shí)際運(yùn)行中，應(yīng)考慮對牽引力或制動力的飽和約束，即存在上下界，公式為

式中，為施加飽和約束的輸入，F(xiàn)t?和Fb?分別為城軌列車的最大牽引力和最大制動力。同時，城軌列車在區(qū)間中運(yùn)行時，其質(zhì)量不會發(fā)生變化，但到站后由于乘客上/下車，導(dǎo)致其在每個站的質(zhì)量均不相同，模型中須考慮該因素。

綜上，聯(lián)立公式（4）～（6），帶入公式（1）和（3），考慮城軌列車到站時的質(zhì)量變化，設(shè)在第i區(qū)間運(yùn)行時，城軌列車質(zhì)量為mi，i=1, 2, ···,n，則城軌列車單質(zhì)點(diǎn)動力學(xué)模型的微分方程表示為

2 列車速度跟蹤控制器設(shè)計

2.1 滑?？刂圃?/h3>

滑模控制本質(zhì)上是一類特殊的非線性控制，可在動態(tài)過程中，迫使被控對象按照預(yù)定滑模的軌跡運(yùn)動[9]。

通常，在被控對象狀態(tài)空間中，存在一個超曲面如公式（8）所示

式中，x1,x2,···,xn表示被控對象的狀態(tài)變量，s(x) 表示超曲面的函數(shù)，該超曲面將狀態(tài)空間分為s(x)>0和s(x)<0 兩部分。在該超曲面上存在一類終止點(diǎn)，即狀態(tài)變量到達(dá)超曲面s(x)=0 附近時，從兩邊趨向于該點(diǎn)，這些終止點(diǎn)所在區(qū)域被稱為滑動模態(tài)區(qū)，即滑模面，公式為

式中，表示超曲面函數(shù)的一階導(dǎo)數(shù)，表示狀態(tài)變量的變化趨勢。

滑?？刂瞥４嬖诙墩瘳F(xiàn)象，影響被控對象的動態(tài)性能，為保證狀態(tài)變量在超曲面附近以較小的速度趨近，防止速度過快，造成抖振，需要設(shè)計合理的趨近律。

2.2 自適應(yīng)控制基本原理

自適應(yīng)控制是一種自動校正的控制形式，適用于模型中存在不確定性或時變參數(shù)的情況[10]。自適應(yīng)控制主要由參考模型、反饋控制器和調(diào)整機(jī)制實(shí)現(xiàn)。參考模型表示期望的輸入輸出行為，反饋控制器是一個參數(shù)可變的控制器，調(diào)整機(jī)制則對反饋控制器中的參數(shù)進(jìn)行實(shí)時更新，最終使得被控對象輸出跟蹤參考模型的輸出。

2.3 滑模自適應(yīng)速度跟蹤控制

2.3.1 被控對象數(shù)學(xué)模型

城軌列車單質(zhì)點(diǎn)動力學(xué)模型作為被控對象，設(shè)城軌列車的位移S(t) 為x1，速度v(t) 為x2，輸入為u，因此，公式（7）可表示為

因fb(v) 和fa具有不確定性，將設(shè)為不確定參數(shù) θ，表示基本運(yùn)行阻力和附加阻力對列車運(yùn)行時加速度的擾動，具有不確定性。公式（10）進(jìn)一步轉(zhuǎn)化為

2.3.2 滑模自適應(yīng)速度跟蹤控制器設(shè)計步驟

（1） 定義里程誤差為e=x1-xd，速度誤差為˙=x2-vd。其中，xd為期望里程；vd為期望速度。

（2） 定義滑模面函數(shù)s(x)，公式為

對滑模面求一階導(dǎo)，可得

式中，c為滑模參數(shù)，需滿足c>0。取 θ? 為 θ 的估計值。

（3）選擇合適的趨近律。常用的趨近律有等速趨近律和指數(shù)趨近律。指數(shù)趨近律相較于等速趨近律具有較快的趨近速度和較小的抖振，因此，本文選取指數(shù)趨近律進(jìn)行滑膜自適應(yīng)速度跟蹤控制器的設(shè)計，指數(shù)趨近律的表達(dá)式為

式中，ε 和k分別為等速趨近項和指數(shù)趨近項的參數(shù)，滿足 ε>0且k>0。

（4）為進(jìn)一步減小抖振，將公式（14）中的符號函數(shù)項 sgn(s(x)) 改進(jìn)為飽和函數(shù)項 sat(s(x))。

其表達(dá)式為

? 為邊界層厚度，如圖4所示，滑模自適應(yīng)速度跟蹤控制器在邊界層外采用切換控制，在邊界層內(nèi)采用線性化反饋控制[11]，調(diào)整邊界層厚度可減弱或避免切換控制帶來的抖振現(xiàn)象。優(yōu)化后的趨近律為

圖4 飽和函數(shù)示意

（5）聯(lián)立公式（13）和（16），可得

2.3.3 調(diào)整機(jī)制

設(shè)計自適應(yīng)律為

因需要滿足 θ>0，為防止出現(xiàn)控制輸入u過大或 θ?≤0 的情況，需要對自適應(yīng)律進(jìn)行修正，使得 θ?的變化在 [θmin,θmax]范圍內(nèi)，θmax和 θmin分別為不確定參數(shù) θ 的上下界。本文采用一種映射自適應(yīng)算法，對公式（18）所示的自適應(yīng)律進(jìn)行修正，修正后的自適應(yīng)律為

3 仿真分析

本文選用廣州22號線某三站兩區(qū)間的ATO數(shù)據(jù)，作為列車運(yùn)行期望速度曲線，在MATLAB的Simulink中[12]，使用本文設(shè)計的滑模自適應(yīng)速度跟蹤控制器對該路線區(qū)間內(nèi)的城軌列車運(yùn)行速度曲線進(jìn)行跟蹤控制仿真。

3.1 仿真條件

ATO 數(shù)據(jù)采樣總時長為340 s，采樣間隔為 0.05 s，共計 6 800組，擬合后的城軌列車運(yùn)行期望速度曲線如圖5所示。在Simulink仿真中設(shè)置固定步長為0.01s；延時環(huán)節(jié)中時滯參數(shù) τ 為0.2 s；一階慣性環(huán)節(jié)中時間常數(shù)T為0.4。

圖5 列車運(yùn)行期望速度曲線

城軌列車單質(zhì)點(diǎn)動力學(xué)模型相關(guān)參數(shù)設(shè)定為：第1區(qū)間運(yùn)行時城軌列車的質(zhì)量m1為400 t（空載情況下為378 t），第2區(qū)間運(yùn)行時城軌列車的質(zhì)量m2為450 t；城軌列車最大牽引/制動力均為 550 kN。

滑模自適應(yīng)速度跟蹤控制器相關(guān)參數(shù)設(shè)定為：滑模參數(shù)c為0.5；趨近律中等速趨近項參數(shù) ε 為0.5，指數(shù)趨近項參數(shù)k為0.1；自適應(yīng)律中自適應(yīng)參數(shù) γ為0.2；參數(shù) θ 的上下界 θmin和 θmax分別為0.01 m/s2和0.15 m/s2。

3.2 仿真結(jié)果分析

為進(jìn)行對比，本文使用滑?？刂扑惴ㄔO(shè)計了用于對比的列車運(yùn)行速度跟蹤控制器，其基本運(yùn)行阻力參數(shù)設(shè)定為a=9.888,b=0.05,c=0.00195，其他參數(shù)與3.1中設(shè)定的參數(shù)一致，并將2種速度跟蹤控制器的仿真結(jié)果與期望運(yùn)行速度進(jìn)行對比。2種速度跟蹤控制器輸出的城軌列車實(shí)際運(yùn)行速度曲線與期望運(yùn)行速度曲線對比如圖6所示，城軌列車運(yùn)行速度跟蹤誤差如圖7所示。

圖6 城軌列車實(shí)際運(yùn)行速度曲線與期望運(yùn)行速度曲線對比

圖7 城軌列車運(yùn)行速度跟蹤誤差對比

由圖6和圖7可以看出，在本文設(shè)計的滑模自適應(yīng)速度跟蹤控制器的控制下，城軌列車的速度跟蹤誤差較小，最大跟蹤誤差僅為0.7 m/s，城軌列車運(yùn)行速度的最大允許誤差在 2 m/s 左右。因此，本文設(shè)計的速度跟蹤控制器能夠滿足設(shè)計要求。同時，對比2種控制器的速度曲線和跟蹤誤差可發(fā)現(xiàn)，相比滑模速度跟蹤控制器，本文的滑模自適應(yīng)速度跟蹤控制器的誤差收斂速度更快，速度跟蹤效果更好。

4 結(jié)束語

本文針對城軌列車自動駕駛的速度跟蹤控制問題，考慮了輸入飽和約束、系統(tǒng)延時及慣性環(huán)節(jié)，建立了城軌列車單質(zhì)點(diǎn)動力學(xué)模型，并設(shè)計了滑模自適應(yīng)速度跟蹤控制器。仿真結(jié)果表明，本文設(shè)計的滑模自適應(yīng)速度跟蹤控制器在速度跟蹤誤差和收斂速度方面都有著較好的控制效果。