三角代數(shù)上的局部廣義李n導(dǎo)子

袁 鶴，俞慧玲，田 瑩

(吉林師范大學(xué) 數(shù)學(xué)學(xué)院，吉林 四平 136000)

1 預(yù)備知識(shí)

設(shè)R是含有單位元的交換環(huán)，A和B是R上含有單位元的代數(shù)，設(shè)M是非零(A,B)-雙模且既是左A-忠實(shí)模又是右B-忠實(shí)模，定義集合

容易看出，πA(Z(T))是Z(A)的子代數(shù)，πB(Z(T))是Z(B)的子代數(shù)，且存在唯一的代數(shù)同構(gòu)τ:πA(Z(T))→πB(Z(T))，滿足對(duì)于任意的a∈πA(Z(T)),m∈M，有am=mτ(a)[1].

本文提到的線性映射均為R-線性映射.若代數(shù)T上線性映射d:T→T滿足d(xy)=d(x)y+xd(y),x,y∈T，則稱d為導(dǎo)子.若對(duì)于線性映射g:T→T，存在導(dǎo)子d:T→T滿足g(xy)=g(x)y+xd(y),x,y∈T，則稱g為廣義導(dǎo)子，并稱d為g的伴隨導(dǎo)子.類似地，可以給出李導(dǎo)子及廣義李導(dǎo)子的定義.

若線性映射θ:T→T滿足

θ([x,y])=[θ(x),y]+[x,θ(y)],x,y∈T,

則稱θ為李導(dǎo)子.若對(duì)于線性映射φ:T→T，存在李導(dǎo)子θ:T→T，滿足

φ([x,y])=[φ(x),y]+[x,θ(y)],x,y∈T,

則稱φ為廣義李導(dǎo)子，并稱θ為φ的伴隨李導(dǎo)子.相應(yīng)地，可以定義李n導(dǎo)子及廣義李n導(dǎo)子.

設(shè)

若線性映射L:T→T滿足

則稱L為李n導(dǎo)子.同樣地，若對(duì)于線性映射G:T→T，存在李n導(dǎo)子L:T→T滿足：對(duì)于任意的x1,x2,…,xn∈T，有

則稱G為廣義李n導(dǎo)子，并稱L為G的伴隨李n導(dǎo)子.

2 主要結(jié)果

若對(duì)于線性映射δ:T→T及任意的x∈T，存在廣義李n導(dǎo)子Gx:T→T滿足δ(x)=Gx(x)，則稱δ為局部廣義李n導(dǎo)子.

由引理1知，只需研究三角代數(shù)上滿足eG(f)f=0的廣義李n導(dǎo)子的表達(dá)式便可以得到一般的廣義李n導(dǎo)子的表達(dá)式.因此，假設(shè)本文的局部廣義李n導(dǎo)子δ滿足：對(duì)于任意的x∈T，存在T上滿足eGx(f)f=0上的廣義李n導(dǎo)子Gx，使得

δ(x)=Gx(x).

(1)

( i )eZ(T)e=Z(T11),fZ(T)f=Z(T22);

(ii)Z(A)={a:[[a,x],y]=0,?x,y∈A}或Z(B)={b:[[b,x],y]=0,?x,y∈B}.

則T上廣義李n導(dǎo)子G可以表示成G(x)=g(x)+τ(x),x∈T，其中g(shù):T→T為廣義導(dǎo)子，τ:T→Z(T)滿足τ(pn(x1,x2,…,xn))=0,?x1,x2,…,xn∈T.

( i )A,B可由其中的冪等元生成;

(ii)eZ(T)e=Z(T11),fZ(T)f=Z(T22);

(iii)Z(A)={a:[[a,x],y]=0,?x,y∈A}或Z(B)={b:[[b,x],y]=0,?x,y∈B}.

則T上滿足(1)的局部廣義李n導(dǎo)子δ可以表示成δ(x)=G(x)+h(x),n≥2，其中G:T→T為廣義導(dǎo)子，h:T→Z(T)滿足h(pn(x1,x2,…,xn))=0,?x,x1,…,xn∈T.

根據(jù)文獻(xiàn)[8]引理2.2，結(jié)合引理3可得

其中P⊥=I-P,Q⊥=I-Q,τi滿足τi(pn(x1,…,xn))=0,i∈{1,2,3,4},x1,…,xn∈T.

證明對(duì)于任意的A12∈T12，由A12=pn(A12,f,…,f)及引理2可得

其中DA12為廣義李n導(dǎo)子GA12的伴隨李n導(dǎo)子.上式兩邊左乘e右乘f，可得e[A12,DA12(f)]f=0，因此δ(A12)=eδ(A12)f.】

引理6在定理1的假設(shè)條件下，局部廣義李n導(dǎo)子δ滿足：對(duì)于任意的A11∈T11,A22∈T22，有fδ(A11)f∈Z(T22),eδ(A22)e∈Z(T11).

證明對(duì)于任意的A11∈T11,A22∈T22,A12∈T12，由pn(A11,A22,A12,f,…,f)=0可得

其中DA11為GA11的伴隨李n導(dǎo)子，因此

即

因此，對(duì)于任意的A11∈T11,A22∈T22，有f[GA11(A11),A22]f=[fGA11(A11)f,A22]∈Z(T22)，由定理1的(iii)有fGA11(A11)f∈Z(T22)，即fδ(A11)f∈Z(T22).顯然n=2時(shí)上式仍成立.

同理可得eδ(A22)e∈Z(T11).】

根據(jù)引理6，定義f1(A11)=fδ(A11)f∈Z(T22),f2(A22)=eδ(A22)e∈Z(T11)，則對(duì)于任意的x1,x2,…,xn∈T11，有

其中Dpn為Gpn的伴隨李n導(dǎo)子.類似地，對(duì)于任意的y1,y2,…,yn∈T22有f2(pn(y1,y2,…,yn))=0.再定義h(x)=f1(exe)+η-1(f1(exe))+f2(fxf)+η(f2(fxf))，其中x∈T并且η為預(yù)備知識(shí)中的代數(shù)同構(gòu)，則

令

G=δ-h.

(4)

由引理5及h(A12)=h(pn(A11,A12,f,…,f))=0可知，對(duì)任意的A12∈T12,A11∈T11,A22∈T22，有

顯然，對(duì)于任意的廣義導(dǎo)子g:T→T，有

事實(shí)上，一方面，對(duì)于任意的A11∈T11,A12∈T12，有

另一方面，對(duì)于任意的A12∈T12,A22∈T22，有

比較上面兩式可得g(A12)∈T12.同時(shí)，對(duì)于任意的A11∈T11,A22∈T22，有

引理7在定理1的假設(shè)條件下，滿足(4)式的G為廣義導(dǎo)子，其伴隨導(dǎo)子為d(x)=G(x)-G(I)x,x∈T.

證明首先證明對(duì)于任意的A11∈T11,A22∈T22,A12∈T12，有

其中d(x)=G(x)-G(I)x.

由于T上存在滿足eGA11B11(f)f=0的廣義李n導(dǎo)子GA11B11，使得GA11B11(A11B11)=δ(A11B11)，所以由文獻(xiàn)[7]引理3.5可得δ(A11B11)∈T11+T22.根據(jù)文獻(xiàn)[8]引理2.5、本文引理5及(8)～(12)式，有

上式兩邊左乘e右乘f，則由δ(A11B11)∈T11+T22及引理5，有

將δ=G+h代入得到

令B11=e，則

下證對(duì)于任意的A11∈T11,A12∈T12，有

由(16)式可知，當(dāng)n=1時(shí)上式成立.設(shè)

于是結(jié)合(15)式可得

同理，對(duì)于任意的A12∈T12,A22∈T22，有

令d(x)=G(x)-G(I)x,x∈T，則d(A11A12)=d(A11)A12+A11d(A12).事實(shí)上，由(6),(7)及(17)式，有

其次，證明對(duì)于任意的A11,B11∈T11,A22,B22∈T22，有

一方面，對(duì)于任意的A11,B11∈T11,A12∈T12，有

另一方面，由(18)式可得

比較上面兩式，則有

(G(A11B11)-G(A11)B11-A11d(B11))A12=0.

由T12的忠實(shí)性可得

G(A11B11)=G(A11)B11+A11d(B11).

類似地，一方面，對(duì)于任意的A12∈T12,A22,B22∈T22，有

另一方面，

比較上面兩式，有

由T12的忠實(shí)性可得

G(A22B22)=G(A22)B22+A22d(B22).

最后，類似于(18)式的證明過程可得d為導(dǎo)子.】

定理1的證明由(3)及(4)式可知δ=G+h，其中h:T→Z(T)滿足：對(duì)于任意的x1,x2,…,xn∈T，有h(pn(x1,x2,…,xn))=0.再由引理7知，G為廣義導(dǎo)子.】