水電站調(diào)壓室托馬臨界穩(wěn)定斷面公式再認識

張 健，姚天語，王沁怡，仇為鑫，陳 龍，陳 勝

(1.水災(zāi)害預(yù)防全國重點實驗室，江蘇 南京 210098；2.河海大學(xué) 水利水電學(xué)院，江蘇 南京 210098)

1 引言

動力系統(tǒng)運行穩(wěn)定性在數(shù)學(xué)上有嚴格的定義，最早由俄國數(shù)學(xué)家李雅普諾夫 1892 年提出平衡點穩(wěn)定、漸近穩(wěn)定、不穩(wěn)定概念，1933 年 Persidski 又提出了一致穩(wěn)定性的概念；針對實際工程中常遇到的小擾動穩(wěn)定、大擾動不穩(wěn)定現(xiàn)象，1949年Massera提出了定范圍漸近穩(wěn)定性概念，1952年Barbashin和 Krasovski 進一步提出了全局漸近穩(wěn)定性和全局一致漸近穩(wěn)定性概念[1]。實際工程中的穩(wěn)定性定義通常可這樣描述：處于平衡態(tài)的動力系統(tǒng)會不可避免的受到各種擾動影響，如擾動消失后，擾動所產(chǎn)生的影響也隨之逐漸消失，系統(tǒng)逐漸回復(fù)到未被擾動前的初始平衡態(tài)，則可認為該動力系統(tǒng)是穩(wěn)定的；如擾動消失后，擾動所產(chǎn)生的影響并沒有消失，而是導(dǎo)致系統(tǒng)越來越偏離初始平衡態(tài)，最終無法回復(fù)到未被擾動前的初始狀態(tài)，則認為該動力系統(tǒng)初始平衡狀態(tài)是不穩(wěn)定的。動力系統(tǒng)的穩(wěn)定性實際上是指動力系統(tǒng)某一工作狀態(tài)下的穩(wěn)定性。雖然實際應(yīng)用中，人們往往會關(guān)注擾動產(chǎn)生的方式與大小，但這個問題與穩(wěn)定性本質(zhì)無關(guān)，只要一時性的激勵產(chǎn)生了擾動就可以了，穩(wěn)定與否取決于擾動之后的系統(tǒng)響應(yīng)狀態(tài)[2]。檢驗一個動力系統(tǒng)是否穩(wěn)定，最簡單的方法是給處于初始動力平衡態(tài)的系統(tǒng)施加微小擾動，分析系統(tǒng)受擾動后的動力響應(yīng)，并判斷動力系統(tǒng)是否能夠恢復(fù)到初始平衡狀態(tài)。

含調(diào)壓室的水電站輸水發(fā)電系統(tǒng)穩(wěn)定性問題研究迄今已超過了百年。水電站輸水發(fā)電系統(tǒng)常見的布置如圖1所示，1904年德國Heimbach水電站在試運行中發(fā)現(xiàn)：當電站負荷較大時，調(diào)壓室水位波動異常，出現(xiàn)了發(fā)散現(xiàn)象。托馬(Thoma)教授針對該問題進行了研究，并于1910年提出了著名的調(diào)壓室臨界穩(wěn)定斷面公式——托馬公式[2]。托馬公式問世后百余年時間內(nèi)，大批學(xué)者對公式適用性展開了大量的研究，最終得到的結(jié)果形式均是在托馬斷面公式的基礎(chǔ)上加以改進，并乘以一個安全系數(shù)，而關(guān)于安全系數(shù)是否應(yīng)該大于1還是小于1的討論則一直延續(xù)至今。Schuller、Karas、Frank、Jaeger、季奎等人針對實際運行時調(diào)壓室水位可能產(chǎn)生的擾動范圍[3-4]，建議安全系數(shù)大于1.0，最大可達到2.0；董興林、索麗生、孔昭年、楊開林等人考慮了調(diào)速器調(diào)節(jié)方式的影響[5-8]，Calame、Garden、劉啟釗、楊建東、彭守拙、賴旭等人考慮了調(diào)壓室底部流速水頭及阻抗的影響[9-12]，均認為安全系數(shù)可小于1.0；Scimemi在3個帶調(diào)壓室的水電站開展了現(xiàn)場試驗，試驗結(jié)果表明，3個調(diào)壓室均不滿足托馬斷面，仍可穩(wěn)定運行[13]；劉丹總結(jié)了回龍山、太平哨兩座面積遠小于托馬斷面的調(diào)壓室實際運行情況，認為并網(wǎng)運行可以極大縮減托馬斷面[14]；1957年，Chevalier和Hug分析了Cordeac水電站的試驗結(jié)果，認為調(diào)速器不可能保持出力不變，而是滯后20 s左右，并提出了“亞托馬斷面(sub-Thoma Section)”概念[13]；Evangelisti與Gradel分別考慮了水輪機效率對托馬斷面的影響，認為安全系數(shù)由水輪機運行工況點的實際位置決定，大小在1左右[13]；我國水電站調(diào)壓室設(shè)計規(guī)范推薦的安全系數(shù)在1.0～1.1之間，如小于1.0，則需要進行運行穩(wěn)定性與調(diào)節(jié)品質(zhì)分析[15-16]。近年來，隨著溪洛渡、白鶴灘等巨型水電站的陸續(xù)運行，在水機電一體化的基礎(chǔ)上共同開展調(diào)壓室穩(wěn)定性問題的研究，已成為未來研究的發(fā)展趨勢[17]。

圖1 含調(diào)壓室的水電站輸水發(fā)電系統(tǒng)示意圖

本次研究在前人成果基礎(chǔ)上，仍采用托馬斷面推導(dǎo)過程中的假設(shè)，不同之處在于將托馬公式推導(dǎo)過程中忽略的調(diào)壓室后壓力管道與機組后尾水道水體慣性重新予以考慮，進行結(jié)果對比，討論托馬公式的合理性。

2 托馬(Thoma)臨界穩(wěn)定判別公式

2.1 含調(diào)壓室動力系統(tǒng)基本方程(組)圖1中，當水輪機引用流量發(fā)生變化時，調(diào)壓室中水位及隧洞中流速均將發(fā)生變化，根據(jù)水流連續(xù)性定律，調(diào)壓室處連續(xù)性方程為：

(1)

式中：Q1為調(diào)壓室上游引水道流量，m3/s；Q2為調(diào)壓室下游水道與機組的引用流量，m3/s；F為調(diào)壓室面積，m2；ZT為調(diào)壓室水位，m。機組處連續(xù)方程為：

Q2=Q3

(2)

式中Q3為機組下游尾水管道流量，m3/s。引水道至調(diào)壓室水流動力方程：

(3)

(4)

式中：HU為水輪機前測壓管水頭，m；hwm為調(diào)壓室后壓力管道水頭損失，m；f2為調(diào)壓室后壓力管道面積，m2；L2為調(diào)壓室后壓力管道長度，m。水輪機至下游尾水道水流動力方程：

(5)

式中：HD為水輪機后測壓管水頭，m；hwd為水輪機后壓力尾水管道水頭損失，m；ZD為水輪機下游尾水水位，m；f3為水輪機后壓力尾水管道面積，m2；L3為水輪機后壓力尾水管道長度，m。

當系統(tǒng)出現(xiàn)擾動后，為保證出力不變，機組采用等出力調(diào)節(jié)模式，并假設(shè)機組前后流速水頭相等、調(diào)節(jié)過程中效率不變，則等出力調(diào)節(jié)方程：

Q2(HU-HD)=Q20(HU0-HD0)=C

(6)

式中下標“0”表示對應(yīng)變量的初始狀態(tài)。

以上得到的6個方程中與常規(guī)教科書不同之處在于多了式(4)與式(5)，即考慮了調(diào)壓室后壓力管道與機組尾水管道的水體慣性。

未擾動前的初始恒定狀態(tài)(平衡態(tài))方程：

Q10=Q20=Q30=Q0

(7)

ZT0=ZU-hw0=HU0+hwm0

(8)

HD0=ZD+hwd0

(9)

HU0-HD0=ZU-ZD-hw0-hwm0-hwd0

(10)

2.2 含調(diào)壓室動力系統(tǒng)小波動穩(wěn)定分析方程(組)根據(jù)李雅普諾夫穩(wěn)定性定義，可在含調(diào)壓室的水電站輸水發(fā)電系統(tǒng)中施加微小擾動，并在平衡點處進行線性化處理，將式(1)至式(6)非線性方程(組)簡化為線性方程(組)。令：ZT=ZT0+z、Q1=Q10+q1、Q2=Q20+q2、Q3=Q30+q3、HU=HU0+hu、HD=HD0+hd。上述定義中，變量意義同前，擾動量均采用小寫字母表示。

對等出力控制方程(6)進行線性化處理后，可得：

(11)

考慮式(7)至式(10)以及水頭損失與流速的平方成正比，對式(1)至式(6)進行線性化處理后，并聯(lián)立式(11)，可得描述含調(diào)壓室的水電站輸水發(fā)電系統(tǒng)的三階線性常微分方程，其等價的一階線性常微分方程組為：

(12)

式(12)可以表示為如下向量形式：

(13)

式(13)對應(yīng)的特征方程為：

λ3+a1λ2+a2λ+a3=0

(14)

式(14)中：

(15)

(16)

(17)

忽略調(diào)壓室至機組之間壓力管道與機組之后尾水管道水體慣性，式(13)可簡化為二階動力系統(tǒng)：

(18)

式(18)對應(yīng)的特征方程為：

λ2+b1λ+b2=0

(19)

其中：

(20)

(21)

線性化后含調(diào)壓室水電站輸水發(fā)電動力系統(tǒng)是否與原非線性系統(tǒng)具有同樣的穩(wěn)定性，李雅普諾夫給出了以下兩個定理[1]：

定理一 若一次近似方程組的特征方程所有特征值實部均為負，則原方程零解漸近穩(wěn)定。

定理二 若一次近似方程組的特征方程至少有一特征值實部為正，則原方程零解不穩(wěn)定。

2.3 托馬臨界穩(wěn)定斷面判別公式討論采用赫爾維茨(Hurwitz)—魯歇(Rouche)判別法分別對動力系統(tǒng)式(13)、(18)進行穩(wěn)定性判斷。滿足二階系統(tǒng)穩(wěn)定性的充要條件為：b1>0、b2>0，即：

(22)

(23a)

hw0+3hwm0+3hwd0>ZU-ZD

(23b)

式(23a)與式(23b)是“或”的關(guān)系，即滿足其中任一式即可。對于水電站輸水發(fā)電系統(tǒng)，水頭損失過大是極不經(jīng)濟的，一般滿足式(23a)、不滿足式(23b)，條件b2>0可自動滿足。需說明的是，通常的教科書中往往不提式(23b)，這樣會給人造成誤解，似乎水頭損失大到一定程度，系統(tǒng)必將失穩(wěn)。從下述的式(24)可以知道，如果系統(tǒng)的水頭損失增大到能夠滿足式(23b)，則系統(tǒng)所需要的調(diào)壓室穩(wěn)定斷面為負值，即水頭損失大到一定程度，系統(tǒng)恒穩(wěn)定。式(22)是著名的托馬臨界穩(wěn)定條件，對應(yīng)的面積稱為托馬面積。即：

(24)

式(23a)意味著系統(tǒng)水頭損失增大到一定范圍，系統(tǒng)將失穩(wěn)，即水頭損失對系統(tǒng)穩(wěn)定的影響可能是不利的；而式(24)則表明，引水道水頭損失系數(shù)α越大，所需要的調(diào)壓室臨界斷面越小，即當調(diào)壓室面積確定后，引水道水頭損失的增加對穩(wěn)定是有利的；式(23)與式(24)一起構(gòu)成了系統(tǒng)穩(wěn)定的充要條件，但它們各自反映的水頭損失對穩(wěn)定的影響卻存在一定矛盾，這是托馬公式帶給人們的第一個困惑。其次，式(24)表明調(diào)壓室后的壓力管道與尾水道的水頭損失對穩(wěn)定是不利的，而幾乎所有針對實際系統(tǒng)的小波動過渡過程數(shù)值分析表明，壓力管道與尾水道水頭損失的增加可顯著加快波動衰減。調(diào)壓室后的壓力管道與尾水道的水頭損失對穩(wěn)定確實不利嗎？為什么與實際數(shù)值計算情況不符？這是托馬公式帶給人們的第二個困惑。

滿足三階系統(tǒng)穩(wěn)定性的充要條件為：a1>0、a1a2>a3、a3>0。這里我們重點關(guān)注條件a3>0，將其化簡后，可得：

(25)

比較式(23a)與式(25)，不難發(fā)現(xiàn)，二者是互相矛盾的，由于式(23a)與式(25)分別是二階系統(tǒng)與三階系統(tǒng)穩(wěn)定的充要條件，也就是說二階系統(tǒng)與三階系統(tǒng)穩(wěn)定性幾乎是截然相反的。對于實際輸水發(fā)電系統(tǒng)，水道水頭損失不可能超過靜水頭的1/3，即無論調(diào)壓室后的壓力管道與尾水道長短，只要構(gòu)成了三階系統(tǒng)，同時該三階系統(tǒng)采用等出力調(diào)節(jié)運行方式，無論調(diào)壓室斷面多大，系統(tǒng)是恒不穩(wěn)定的，調(diào)壓室臨界穩(wěn)定斷面不存在！這可能是托馬公式帶給人們最大的困惑。

本次統(tǒng)計主要涉及浙江省果樹產(chǎn)業(yè)相關(guān)的觀光采摘節(jié)的名稱、舉辦地點、舉辦時間、首屆舉辦時間、已舉辦屆數(shù)、節(jié)慶的主題、節(jié)慶活動的主要內(nèi)容等。

對于三階系統(tǒng)，如果調(diào)壓室面積無窮大，三階系統(tǒng)還可簡化為一階的水庫—水輪機系統(tǒng)，直接得到方程的擾動解：

(26)

式中：系統(tǒng)產(chǎn)生流量q0的初始擾動；qt為擾動產(chǎn)生后的發(fā)展過程，直接呈冪指數(shù)型式發(fā)散。式(26)從另一角度說明了等出力調(diào)節(jié)系統(tǒng)是不穩(wěn)定的動力系統(tǒng)，不存在調(diào)壓室臨界穩(wěn)定斷面。

二階系統(tǒng)來源于三階系統(tǒng)的簡化。教科書中曾經(jīng)解釋：對于含調(diào)壓室的輸水發(fā)電系統(tǒng)，L2、L3相對于L1較小，其內(nèi)水體慣性可忽略不計，由此三階系統(tǒng)可簡化為二階系統(tǒng)，從而在理論上得到了托馬臨界穩(wěn)定斷面。這種關(guān)于三階系統(tǒng)可簡化為二階系統(tǒng)的解釋比較牽強，從大量水電工程建設(shè)實際來看，L2與L3之和占比大都超過了L1的10%，對于抽水蓄能電站而言，由于水頭相對較高，占比甚至可能超過50%。當然，這并不是本質(zhì)性差別，L2與L3在電站輸水系統(tǒng)中是客觀存在的，將其忽略后得到的結(jié)論，如果只是涉及對結(jié)論的定量影響，而非顛覆性評價，這種忽略是可以接受的，但如果忽略后得到了完全相反的結(jié)論，這種忽略就值得商榷了。

3 彈性水體系統(tǒng)穩(wěn)定性判別準則

以上關(guān)于托馬斷面的分析中，動力方程采用了剛性水體假設(shè)。對于含調(diào)壓室的輸水發(fā)電系統(tǒng)，等出力調(diào)節(jié)模式下，剛性水體是不可能穩(wěn)定的，從式(26)的結(jié)果可以看出，這是一個顯見的結(jié)論。主流的學(xué)術(shù)觀點認為調(diào)壓室后的壓力管道與機組后的尾水道屬于彈性水體范疇，彈性水體中壓力變化主要由水錘波引起，水錘波在壓力管道中的傳播反射，導(dǎo)致了管道中的壓力、流量在空間上的不均勻分布，從而使研究變的非常復(fù)雜。直接采用調(diào)壓室水位變化近似反映機組水頭變化，盡管得到了一些與常識不符的結(jié)論，但畢竟也是解決問題的一種途徑，這估計是百余年來人們一直致力于托馬公式的改進而不愿意放棄的主要原因。

對于實際彈性水體的有壓輸水系統(tǒng)，如果考慮調(diào)節(jié)過程中壓力管道中水錘波的傳播與反射，等出力調(diào)節(jié)模式下，系統(tǒng)是否能夠穩(wěn)定，尚需要慎重分析。實際彈性水體的壓力管道水流動力方程與連續(xù)方程分別為[2]：

(27)

(28)

式中：H為測壓管水頭，m；D為管道直徑，m；f0為達西-威斯巴哈摩阻系數(shù)。式(27)、式(28)為一組雙曲偏微分方程，忽略管道摩阻后，其通解為：

(29)

(30)

(31)

(32)

(33)

式中γ為管道水錘傳播常數(shù)，s/m。式(31)(32)(33)聯(lián)立可得：

rUrD=e2γL

(34)

對于無摩阻系統(tǒng)，水力振動傳播常數(shù)γ可寫為：

(35)

式中：ω為管道中自由振動諧振頻率，弧度/s；σ為對應(yīng)諧振頻率的衰減因子，為實數(shù)；i為虛數(shù)單位。對于一個穩(wěn)定的系統(tǒng)，擾動所產(chǎn)生的水力自激振蕩均應(yīng)最終消失，即σ≤ 0。由式(34)(35)可得到考慮水錘傳播反射特性的彈性系統(tǒng)穩(wěn)定性判斷準則：

(36)

式中：水錘反射系數(shù)rU與rD均為復(fù)數(shù)；下標i為組成系統(tǒng)的各管段。式(36)表明，如系統(tǒng)穩(wěn)定，組成系統(tǒng)的各管段進、出口端水錘反射系數(shù)的乘積的模(絕對值)須小于1。式(36)雖然是針對無摩阻系統(tǒng)得到的，但對于實際的有壓水力輸送管道而言，摩阻并不大，該公式的適用范圍還是較廣的，是滿足有壓輸水系統(tǒng)不發(fā)生水力自激振動的充分條件。

含調(diào)壓室的水電站動力系統(tǒng)由上游引水道、壓力管道、下游尾水道組成，則式(36)可寫為：

|rU1rD1|<1

(37)

|rU2rD2|<1

(38)

|rU3rD3|<1

(39)

以上三式中，rU1、rD3分別為上、下游水庫端水錘反射系數(shù)，均為-1；rD1、rU2分別為調(diào)壓室上、下游水錘反射系數(shù)；rD2、rU3分別為機組上、下游水錘反射系數(shù)。調(diào)壓室處水力阻抗?jié)M足[2]：

(40)

式中ZRD1、ZRU2、ZRT分別為調(diào)壓室上、下游端與調(diào)壓室的水力阻抗，s/m2；調(diào)壓室處水力阻抗為：

(41)

式中s為拉普拉斯變量，s=σ+ iω，系統(tǒng)如穩(wěn)定，該值須小于0。根據(jù)水力阻抗與水錘反射系數(shù)之間的關(guān)系，由式(40)可以得到：

(42)

(43)

式中θD1、θU2分別為復(fù)變量rD1、rU2對應(yīng)的幅角。由于上游水庫端rU1=-1，如滿足條件式(37)，則：

|rD1|<1

(44)

由于式(43)中，ZRC1、ZRC2、1+|rD1|2+2|rD1|cosθD1、1+|rU2|2+2|rU2|cosθU2均大于0，σ小于0，故可得：

|rU2|>1

(45)

故如滿足條件式(38)，則：

|rD2|<1

(46)

等出力調(diào)節(jié)模式下，水輪機上、下游側(cè)的水力阻抗應(yīng)滿足：

(47)

(48)

式中θD2、θU3分別為復(fù)變量rD2、rU3對應(yīng)的幅角。由于下游水庫端rD3=-1，如滿足條件式(39)，則：

|rU3|<1

(49)

|rD2|>1

(50)

顯然，式(50)與式(46)是矛盾的，這也就證明了在等出力調(diào)節(jié)模式下，式(37)至式(39)不可能同時滿足，即對于實際彈性水體，系統(tǒng)一旦出現(xiàn)擾動，在等出力調(diào)節(jié)模式下，擾動引起的水錘波在管道中不斷傳播反射，最終會導(dǎo)致系統(tǒng)出現(xiàn)發(fā)散的水力振蕩。

式(36)雖然沒有直接體現(xiàn)出管道摩阻的影響，但反射系數(shù)的本質(zhì)與來源反映了擾動引起的水錘波在管道中來回反射，水錘波消失則擾動消失，管道中摩阻的存在是導(dǎo)致水錘波衰減的重要因素之一[2]，摩阻相應(yīng)起到了等效減少管道兩端水錘反射系數(shù)模大小的作用，由此可直觀上判明管道摩阻對系統(tǒng)穩(wěn)定性影響是有利的，并不存在教課書上“調(diào)壓室前的引水道摩阻對穩(wěn)定有利、調(diào)壓室后的壓力管道與尾水管道摩阻對穩(wěn)定不利”的結(jié)論，沒有考慮管道摩阻的彈性水體穩(wěn)定性判別公式(36)屬于偏安全的穩(wěn)定性判據(jù)，是系統(tǒng)穩(wěn)定的充分條件。

4 算例分析

采用圖1中含調(diào)壓室的水電站輸水發(fā)電系統(tǒng)，其中：

ZU=100.0 m，ZD=0.0 m，Q10=Q20=Q30=Q0=40.0 m3/s，L1=2000.0 m，L2=L3=200.0 m，f1=f2=f3=10.0 m2，hw0=2.0 m，α=0.125 s2/m，hwm0=0.5 m，hwd0=0.5 m，c1=c2=c3=1000.0 m/s，調(diào)壓室面積F=2.33×Fth=2.33×(2000.0×10.0)/[2.0×0.125×9.8×(100.0-2.0-3×0.5-3×0.5)]≈200.0 m2。

分別采用文中的二階剛性水體模型、三階剛性水體模型、彈性模型來驗證系統(tǒng)小波動穩(wěn)定性。其中彈性模型為式(27)(28)聯(lián)合構(gòu)建的偏微分方程組，通過特征線法數(shù)值求解；二階剛性水體模型與三階剛性水體模型均為常微分方程組，為了充分考慮實際系統(tǒng)中非線性項的影響，不采用式(12)、式(18)建立的線性化模型，而是直接通過式(1)至式(10)建立非線性模型，采用四階龍格—庫塔法進行數(shù)值求解。其中，二階剛性系統(tǒng)的動力模型為：

(51)

三階剛性系統(tǒng)的動力模型為：

(52)

三種模型的系統(tǒng)擾動均為上游水庫的水位變化，假設(shè)水庫水位先1 s內(nèi)線性上升5 m，然后1 s內(nèi)線性回落至原水位，如圖2。

圖2 水庫水位擾動過程

圖3與圖4反映了正常摩阻情況下，在系統(tǒng)發(fā)生小擾動時剛性二階模型的調(diào)壓室水位與機組流量變化過程。由于調(diào)壓室面積為托馬斷面的2.33倍，調(diào)壓室水位與機組流量變化過程均是收斂的，計算結(jié)果與理論分析相吻合。

圖3 調(diào)壓室水位變化過程(剛性二階模型)(F=200 m2)

圖4 機組流量變化過程(剛性二階模型)(F=200 m2)

圖5與圖6是人為將水頭損失加大后，系統(tǒng)發(fā)生小擾動時剛性二階模型的調(diào)壓室水位與機組流量變化過程。由于水頭損失分別達到hw0=10.0 m、hwm0=12.5 m、hwd0=12.5 m，簡單計算可以知道，此種水頭損失組合下既不能滿足式(23a)、也不能滿足式(23b)，其中：調(diào)壓室面積仍取200.0 m2，對應(yīng)的托馬面積安全系數(shù)約1.83，由于采用了非線性模型，擾動過程并沒有發(fā)散。但從模擬結(jié)果可以看出，初始工況點的調(diào)壓室水位90.0 m，機組流量40 m3/s，而擾動后終了工況點的調(diào)壓室水位90.94 m，機組流量38.06 m3/s，二者雖然差距不大，但初始工況點顯然不滿足李雅普諾夫穩(wěn)定性定義，這與二階系統(tǒng)理論預(yù)測是相符的。初始工況的總水頭損失：hw0+hwm0+hwd0=35 m>100/3 m，不滿足式(23a)，終了工況點總水頭損失：hw0+hwm0+hwd0=31.7 m<100/3 m，滿足式(23a)；對于二階系統(tǒng)而言，意味著隨著水頭損失加大，初始工況點逐漸不穩(wěn)定，最終會發(fā)散到另外一個穩(wěn)定的工況點。

圖5 調(diào)壓室水位變化過程(剛性二階模型)(F=200 m2)

圖6 機組流量變化過程(剛性二階模型)(F=200 m2)

圖7 調(diào)壓室水位變化過程(剛性三階模型)(F=200 m2)

圖8 機組流量變化過程(剛性三階模型)(F=200 m2)

圖9 調(diào)壓室水位變化過程(剛性三階模型)

圖10 機組流量變化過程(剛性三階模型)

圖11 調(diào)壓室水位變化過程(彈性模型)(F=200 m2)

圖12 機組流量變化過程(彈性模型)(F=200 m2)

圖13 調(diào)壓室水位變化過程(彈性模型)

圖14 機組流量變化過程(彈性模型)

圖7與圖8反映了正常摩阻情況下，在系統(tǒng)發(fā)生小擾動時剛性三階模型的調(diào)壓室水位與機組流量變化過程，由于采用了非線性模型，擾動過程并沒有發(fā)散。從模擬結(jié)果可以看出，初始工況點的調(diào)壓室水位98.0 m，機組流量40 m3/s，而擾動后終了工況點的調(diào)壓室水位45.75 m，機組流量208.33 m3/s，二者差距甚遠，顯然不滿足李雅普諾夫穩(wěn)定性定義，終了工況點的水頭損失遠超過了水頭(100 m)的1/3，雖然不具備現(xiàn)實意義，但卻恰反映了三階系統(tǒng)穩(wěn)定性判據(jù)式(36)正確性。

圖9與圖10是人為將水頭損失加大后，在系統(tǒng)發(fā)生小擾動時剛性三階模型的調(diào)壓室水位與機組流量變化過程，摩阻增大到特定程度(僅具有理論意義)后，系統(tǒng)得以穩(wěn)定。

圖11與圖12反映了正常摩阻情況下，在系統(tǒng)發(fā)生小擾動時彈性模型的調(diào)壓室水位與機組流量變化過程，考慮了水錘影響后的波形幾乎與剛性三階模型中的圖7與圖8完全一致，雖然沒有發(fā)散，但初始工況點出現(xiàn)了大幅轉(zhuǎn)移，同樣也是不穩(wěn)定的，結(jié)果符合彈性模型系統(tǒng)穩(wěn)定性判斷準則式(27)。

圖13與圖14是人為將水頭損失加大后，在系統(tǒng)發(fā)生小擾動時彈性模型的調(diào)壓室水位與機組流量變化過程，摩阻增大到特定程度(僅具有理論意義)后，系統(tǒng)得以穩(wěn)定。由于系統(tǒng)參數(shù)選取相同，計算得到的波形與剛性三階模型中的圖9與圖10非常相似。

從圖3至圖14可以看出：在等出力調(diào)節(jié)方式下，針對含調(diào)壓室的水電站輸水系統(tǒng)穩(wěn)定性判斷，剛性二階模型與剛性三階模型及彈性模型得到的結(jié)果完全相反，且只有將系統(tǒng)摩阻增大到特定程度(理論層面)后，剛性三階模型與彈性模型才能穩(wěn)定，且無論穩(wěn)定與否，剛性三階模型與彈性模型計算結(jié)果與波形都極其相似。剛性二階模型中，摩阻大系統(tǒng)反而失穩(wěn)，與人們的直觀認識相悖；剛性三階模型、彈性模型中，摩阻大系統(tǒng)穩(wěn)定性更好，說明摩阻有利于對穩(wěn)定，與人們的直觀認識相符。另外，彈性水體模型中由于水錘波與摩阻的綜合影響，無論是擾動過程中的調(diào)壓室水位波動過程還是機組流量變化過程，雖然收斂速度更快，但曲線的光滑性較剛性模型差，存在一定程度的“毛刺”現(xiàn)象，客觀上反映了短周期水錘波與長周期調(diào)壓室涌浪的共同作用，也與實際觀測結(jié)果相符。

圖9與圖10、圖13與圖14同時也反映了剛性三階模型與彈性模型下不同調(diào)壓室面積(30 m2、200 m2、300 m2)對穩(wěn)定的影響，結(jié)果表明，調(diào)壓室面積大范圍的變化并沒有給系統(tǒng)穩(wěn)定造成實質(zhì)性影響，只是在擾動周期、擾動衰減程度上存在一定差別。含調(diào)壓室的輸水發(fā)電系統(tǒng)內(nèi)水體振蕩類似常見的U型管振蕩，如要保證U型管內(nèi)水體在振蕩過程中不溢出來，首先是控制U型管振蕩方式(類似等出力調(diào)節(jié))；其次是對管內(nèi)水體運動的抑制(加大摩阻)，增加U型管面積并不是有效的方式。

5 結(jié)論

在理論上指出了托馬臨界穩(wěn)定斷面公式的缺陷：托馬公式基于剛性水體假設(shè)，忽略調(diào)壓室后壓力水道與尾水道的水體慣性，從而將實際上不可能穩(wěn)定的三階動力系統(tǒng)簡化為了相對穩(wěn)定的二階系統(tǒng)，由于壓力水道與尾水道是水力機組不可或缺的天然屬性，這樣得到的結(jié)論并不具備工程設(shè)計指導(dǎo)意義。

含調(diào)壓室的水電站輸水發(fā)電系統(tǒng)運行穩(wěn)定性主要取決于水輪機上下游側(cè)的水錘反射系數(shù)，而非調(diào)壓室面積；無論是調(diào)壓室前引水道還是調(diào)壓室后的壓力管道與尾水道，摩阻對穩(wěn)定性影響均是有利的，并不存在教科書上“調(diào)壓室前的引水道摩阻系數(shù)增加對穩(wěn)定有利、調(diào)壓室后的壓力管道與尾水管道摩阻對穩(wěn)定不利”的結(jié)論。

等出力調(diào)節(jié)模式下，無論是采用剛性水體假設(shè)還是針對實際彈性水體，實際工程中含調(diào)壓室的水電站輸水發(fā)電系統(tǒng)一定是不穩(wěn)定的，系統(tǒng)穩(wěn)定性意味著系統(tǒng)可實現(xiàn)性，一個不穩(wěn)定的系統(tǒng)不可能存在穩(wěn)定斷面，據(jù)此得到的托馬臨界穩(wěn)定斷面在理論上是不成立的。

取消托馬臨界穩(wěn)定斷面的制約，一方面可為水電站調(diào)壓室設(shè)計帶來了更高的靈活度與自由度，但另一方面也對水輪機調(diào)節(jié)控制機構(gòu)可靠性提出了更高的要求。調(diào)壓室設(shè)計需要結(jié)合工程實際布置與運行方式，具體問題具體分析，確保工程安全。