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      基于遺傳算法的線性二次型調(diào)節(jié)器抑制橋式起重機貨物擺動*

      2023-09-16 09:49:38宮厚華和大龍董明曉
      起重運輸機械 2023年17期
      關(guān)鍵詞:階躍小車遺傳算法

      宮厚華 和大龍 和 輝 杜 建 董明曉

      1 山東建筑大學(xué)機電工程學(xué)院 濟南 250101 2 山東龍輝起重機械有限公司 泰安 271224

      0 引言

      起重機是可以實現(xiàn)重物起升、運送和裝卸的特種機械設(shè)備,廣泛應(yīng)用于工廠、建筑工地、垃圾處理場等場所。然而橋式起重機系統(tǒng)存在撓性機械環(huán)節(jié),工作過程中大小車運行機構(gòu)頻繁地啟、制動會引起貨物的擺動,貨物長時間的擺動不僅會嚴(yán)重影響工作效率,而且會危及工人的安全[1]。

      國內(nèi)外研究人員為抑制橋式起重機貨物擺動做了大量研究。Maghsoudi M J 等[2]提出了改進輸入整形方案并設(shè)計了ZV 和DZV 整形器對非線性橋式起重機模型進行擺動控制。與基于線性二階模型設(shè)計的輸入整形方案相比,該方法可使橋式起重機有效載荷擺動大幅減?。籊iacomelli M 等[3]針對雙擺式高架起重機的開環(huán)控制提出了一種輸入輸出反演技術(shù),該方法是通過數(shù)學(xué)推導(dǎo),獲得參數(shù)軌跡,以確保減少貨物的殘余擺動,通過仿真驗證了該方法相較輸入整形技術(shù)有很強的魯棒性;李軍等[4]根據(jù)Lagrange 方程建立橋式起重機的三維動力學(xué)模型,設(shè)計模糊線性二次型調(diào)節(jié)器(Linear Quadratic Regulator,LQR)控制吊重擺動,仿真結(jié)果表明使用模糊LQR 控制器分別控制解耦后的大小車運動或者大小車聯(lián)合運動都能達到防擺定位的目的;張國振[5]采用Lagrange 方程建立橋式起重機吊重系統(tǒng)的動力學(xué)方程組,基于最優(yōu)控制理論設(shè)計LQR 控制器。仿真結(jié)果表明,LQR控制器能很好地跟蹤小車位移的變化,對擺角也有一定的控制效果,但該控制器中的加權(quán)矩陣Q和R的選擇具有任意性,需要進步一步優(yōu)化。

      為了實現(xiàn)橋式起重機小車運行機構(gòu)的定位和抑制貨物擺動的角度,基于最優(yōu)控制理論設(shè)計了LQR 控制器。然而,在LQR 控制器的設(shè)計中,加權(quán)矩陣QR的選取具有任意性。針對此問題,提出使用遺傳算法優(yōu)化LQR 控制器的加權(quán)矩陣QR,并設(shè)計了最優(yōu)LQR 控制器。在Matlab 中搭建橋式起重機的Simulink 仿真模型,對LQR 控制器和最優(yōu)LQR 控制器的控制效果進行仿真分析。仿真結(jié)果表明:與LQR 控制器相比,最優(yōu)LQR 控制器能夠縮短小車運行機構(gòu)的定位時間,大幅降低貨物擺動的角度。

      1 橋式起重機動力學(xué)模型

      1.1 非線性模型

      在實際工作中,橋式起重機的大車小車運行機構(gòu)往往同時運動,使貨物在空中做空間擺運動。由于大車運行機構(gòu)和小車運行機構(gòu)的運動方向相互垂直,故其動力學(xué)模型可以在這2 個方向上實現(xiàn)解耦[6]。解耦后,貨物的空間擺運動將轉(zhuǎn)化為平面擺運動。故對橋式起重機系統(tǒng)的研究可以簡化為對小車運行機構(gòu)-貨物系統(tǒng)的研究。

      小車運行機構(gòu)-貨物系統(tǒng)示意圖如圖1 所示。小車運行機構(gòu)沿導(dǎo)軌做變幅運動,同時起升機構(gòu)對貨物進行起升。小車運行機構(gòu)的初始位置為坐標(biāo)原點,小車運行機構(gòu)的運動軌跡延長線為x軸,y軸位于貨物擺動的平面上,且與x軸垂直。貨物在坐標(biāo)系xOy中的位置用廣義坐標(biāo)(x,l,θ)表示,x為小車的位移,l為起升鋼絲繩的長度,θ為貨物擺動角度,M為小車運行機構(gòu)的質(zhì)量,m為貨物的質(zhì)量,F(xiàn)X為小車運行機構(gòu)受到的驅(qū)動力,F(xiàn)1為起升機構(gòu)受到的驅(qū)動力。

      圖1 小車運行機構(gòu)-貨物系統(tǒng)示意圖

      橋式起重機是一個復(fù)雜的系統(tǒng),具有強耦合、不確定、非線性的特點,給橋式起重機的建模增加了難度。為了簡化橋式起重機系統(tǒng),給出如下假設(shè):1)忽略鋼絲繩的質(zhì)量,鋼絲繩與小車為點連接;2)假設(shè)貨物為只有質(zhì)量沒有體積的質(zhì)點;3)忽略空氣阻力和風(fēng)的干擾,不考慮系統(tǒng)的彈性形變。

      根據(jù)拉格朗日方程,建立小車運行機構(gòu)-貨物系統(tǒng)的非線性動力學(xué)模型

      式中:bx為小車運行機構(gòu)的阻尼系數(shù),b1為起升機構(gòu)運行時的阻尼系數(shù),g為重力加速度。

      該系統(tǒng)是一個非線性時變的系統(tǒng),其非線性動力學(xué)模型由小車運行機構(gòu)、起升機構(gòu)動力學(xué)方程和貨物擺動運動學(xué)方程組成。為了對系統(tǒng)的動力學(xué)特性進行分析,實現(xiàn)對小車運行機構(gòu)的定位和貨物的消擺控制,需要對非線性動力學(xué)模型進行線性化處理。

      1.2 線性化模型

      在平衡位置θ=0°附近,有sinθ=θ、cosθ=1??紤]到橋式起重機在實際工作時,通常先將貨物起升到一定的高度,再通過大小車運行機構(gòu)的運動將貨物運送到指定的位置,所以研究小車運行機構(gòu)的定位和貨物擺動問題時,可假設(shè)起升機構(gòu)不進行起升運動。故小車運行機構(gòu)-貨物系統(tǒng)的線性化模型為

      為研究系統(tǒng)的動力學(xué)特性,選取x、x·、θ、θ·作為狀態(tài)變量,將線性化模型轉(zhuǎn)化為狀態(tài)空間方程,形式為

      式中:z為狀態(tài)向量,y為輸出向量,u為輸入向量,A為系統(tǒng)矩陣,B為輸入矩陣,C為輸出矩陣。

      根據(jù)小車運行機構(gòu)-貨物系統(tǒng)的線性化模型,可知

      1.3 動力學(xué)分析

      橋式起重機參數(shù)為:M=500 kg,m=1000 kg,l=5 m,bx=0.5,g=9.8 m/s2。經(jīng)計算求得系統(tǒng)矩陣A和輸入矩陣B分別為

      使用Matlab 軟件可求得系統(tǒng)矩陣A的特征根、控制矩陣和可觀測矩陣的秩分別為

      系統(tǒng)矩陣A的特征根均有不大于零的實部,故系統(tǒng)是漸近穩(wěn)定的。同時,系統(tǒng)的控制矩陣和可觀測矩陣的秩與其本身的維數(shù)相同,故系統(tǒng)是完全可控、完全可觀測的。

      2 控制器設(shè)計

      2.1 LQR 控制器

      LQR 控制器是一種現(xiàn)代控制方法,其控制對象是以狀態(tài)空間方程給出的線性系統(tǒng),其目標(biāo)函數(shù)是以控制對象的狀態(tài)和控制輸入的二次型函數(shù)。LQR 控制器的設(shè)計就是求得反饋矩陣K使目標(biāo)函數(shù)J取最小值,而K又是由加權(quán)矩陣QR唯一決定的,故加權(quán)矩陣QR的選擇尤為重要。

      要實現(xiàn)小車運行機構(gòu)快速到達目標(biāo)位置的同時貨物擺動角度最小,選取小車運行機構(gòu)的位移和貨物擺動角度為優(yōu)化對象,得到一個理想的控制量,使得性能指標(biāo)J達到最小值。已知狀態(tài)量和控制量的二次型性能指標(biāo)函數(shù)為

      式中:加權(quán)矩陣Q為4×4 維的半正定對稱陣,加權(quán)矩陣R為1 維的正定對稱陣。

      根據(jù)極小值原理,最優(yōu)控制律為

      式中:K=R-1BTP為反饋矩陣,P為Riccati 代數(shù)方程的正定對稱解。

      Riccati 代數(shù)方程為

      最終,控制器的設(shè)計問題可歸結(jié)為求解反饋矩陣K的數(shù)學(xué)問題。

      根據(jù)實際工程的需要,通常將R矩陣選為單位陣,只調(diào)節(jié)Q矩陣值各元素的參數(shù)來獲得不同的控制效果。因此,本文將R陣設(shè)為單位陣,將Q陣設(shè)為主對角線元素為2 500,0,2 500,0 的對角陣,即Q=diag(2 500,0,2 500,0)。通過求解Raccati 方程,可求得控制矩陣K為

      從LQR 的控制原理中看,所設(shè)計控制器的控制效果完全取決于加權(quán)矩陣Q和R的選取,然而這2 個矩陣的選取完全取決于設(shè)計者的經(jīng)驗。若加權(quán)矩陣Q和R選取不當(dāng),將不會求得最優(yōu)的反饋矩陣K,更不能保證系統(tǒng)性能指標(biāo)達到最優(yōu)。

      2.2 基于GA 的LQR 控制器設(shè)計

      國外研究人員使用遺傳算法優(yōu)化LQR 控制器的參數(shù),并證明了該方法的可行性。Nagarkar M P 等[7]使用遺傳算法搜索LQR 控制器的最優(yōu)權(quán)重矩陣參數(shù),將優(yōu)化后的LQR 控制器應(yīng)用在麥弗遜式懸掛系統(tǒng),通過仿真驗證了優(yōu)化后的LQR 控制器能顯著提高懸掛系統(tǒng)的性能表現(xiàn);Bhushan R 等[8]將遺傳算法優(yōu)化后的LQR控制器應(yīng)用在倒立擺系統(tǒng),通過仿真驗證了優(yōu)化后的LQR 控制器相對于傳統(tǒng)LQR 控制器有更好的性能表現(xiàn)。

      本文將R矩陣設(shè)為單位陣,Q矩陣設(shè)為對角陣,使用遺傳算法僅對Q矩陣進行優(yōu)化,即

      遺傳算法的優(yōu)化流程圖如圖2 所示,具體操作步驟為:

      圖2 遺傳算法優(yōu)化流程圖

      1)產(chǎn)生初始種群;

      2)將種群中的個體賦值給加權(quán)矩陣Q中的對角線元素q11、q22、q33、q44;

      3)計算反饋矩陣K;

      4)運行橋式起重機模型,并計算個體的適應(yīng)度函數(shù)值;

      5)判斷是否滿足遺傳算法的終止條件。若滿足,則退出遺傳算法,并保存最優(yōu)個體。若不滿足,則執(zhí)行步驟6);

      6)對種群進行選擇、交叉和變異操作,產(chǎn)生新的種群,并重新從步驟2)開始運行遺傳算法。

      遺傳算法的參數(shù)設(shè)置如表1 所示。

      表1 遺傳算法參數(shù)設(shè)置

      遺傳算法優(yōu)化過程中,個體適應(yīng)度和當(dāng)前最優(yōu)個體如圖3 所示??梢钥闯?,隨著種群的不斷進化,最優(yōu)個體的適應(yīng)度逐漸減小,最終收斂到0.438 506。求得的最優(yōu)個體為2 498.9,5 000.8,1 044.2,2 793.3,代入加權(quán)矩陣Q中,可求得最優(yōu)反饋矩陣K為

      圖3 個體適應(yīng)度和當(dāng)前最優(yōu)個體

      3 仿真結(jié)果和分析

      選取小車運行機構(gòu)-貨物系統(tǒng)的動力學(xué)參數(shù)為:M=500 kg,m=1000 kg,l=5 m,bx=0.5,g=9.8 m/s2。根據(jù)狀態(tài)空間方程,在MatlabSimulink 中建立未加控制器時的小車運行機構(gòu)-貨物系統(tǒng)模型如圖4 所示。

      圖4 小車運行機構(gòu)-貨物系統(tǒng)模型

      設(shè)置仿真時間為10 s,給系統(tǒng)施加階躍信號,得到小車運行機構(gòu)-貨物系統(tǒng)響應(yīng)曲線如圖5 所示。由小車運行機構(gòu)-貨物系統(tǒng)響應(yīng)曲線可知,在階躍輸入下,小車運行機構(gòu)做變加速直線運動,其位移處于不穩(wěn)定狀態(tài)。小車運行機構(gòu)運動的同時引起了貨物的擺動,貨物擺動的最大幅度達到10°。由于貨物和小車運行機構(gòu)之間相互耦合,貨物的擺動導(dǎo)致了小車運行機構(gòu)的速度曲線呈現(xiàn)小幅波動上升的趨勢。

      圖5 小車運行機構(gòu)-貨物系統(tǒng)階躍響應(yīng)曲線

      將小車運行機構(gòu)-貨物系統(tǒng)模型封裝為子系統(tǒng),添加LQR 控制器并建立小車運行機構(gòu)-貨物防擺控制系統(tǒng)模型,如圖6 所示。

      圖6 小車運行機構(gòu)-貨物防擺控制系統(tǒng)模型

      根據(jù)工程經(jīng)驗,選擇Q=diag(2 500,0,2 500,0) ,R=1,計算獲得反饋矩陣K=[50 384.84 148.15 1 213.11]。設(shè)置仿真時間為50 s,給系統(tǒng)施加階躍信號,運行系統(tǒng)模型,得到小車運行機構(gòu)-貨物防擺控制系統(tǒng)響應(yīng)曲線如圖7 所示。

      圖7 小車運行機構(gòu)-貨物防擺控制系統(tǒng)階躍響應(yīng)曲線

      由小車運行機構(gòu)-貨物防擺控制系統(tǒng)階躍響應(yīng)曲線可知,加入LQR 控制器后,小車運行機構(gòu)經(jīng)過24.1 s 到達了目標(biāo)位置附近,這時小車運行機構(gòu)的速度并不為0,而是在一定范圍內(nèi)來回波動。小車運行機構(gòu)的運動引起了貨物的擺動,貨物在1.36 s 時達到最大擺角-8.9°。小車運行機構(gòu)在運動過程中最大位移達到11.81 m,其位移曲線具有18.1%的超調(diào)量,這給系統(tǒng)帶來了一定的沖擊。小車運行機構(gòu)到達目標(biāo)位置時,貨物擺角為-4°,之后貨物擺角曲線呈現(xiàn)衰減振蕩趨勢,但衰減幅度很小。由此可見,加入LQR 控制器后,系統(tǒng)性能有所改善,但是小車運行機構(gòu)位移和貨物擺角仍不能完全穩(wěn)定下來。這是由于設(shè)計LQR控制器時,其加權(quán)矩陣Q的選取具有任意性,不能使LQR 控制器的性能達到最優(yōu)。

      下面選用經(jīng)遺傳算法優(yōu)化后的加權(quán)矩陣Q設(shè)計LQR 控制器,使用該矩陣計算出的最優(yōu)反饋矩陣為K=[49.98 391.72 110.86 1 053.8]。設(shè)置仿真時間50 s,運行系統(tǒng)模型,得到優(yōu)化后的小車運行機構(gòu)-貨物防擺控制系統(tǒng)階躍響應(yīng)曲線如圖8 所示。

      圖8 優(yōu)化后的小車運行機構(gòu)-貨物防擺控制系統(tǒng)階躍響應(yīng)曲線

      在階躍輸入下,小車運行機構(gòu)的最大位移達到10.42 m,其位移曲線的超調(diào)量為4.2%。當(dāng)誤差帶取5%時,小車運行機構(gòu)在16.57 s 時到達目標(biāo)位置附近。貨物擺動角度在1.141 s 時達到最大值-6.87°。小車運行機構(gòu)到達目標(biāo)位置時,貨物擺角為-0.67°,此后貨物在0°附近小幅衰減振蕩且最大角度不超過±2.09°。經(jīng)遺傳算法優(yōu)化后,LQR 控制器的控制效果有了非常顯著的改善,基本可以實現(xiàn)小車運行機構(gòu)的定位和貨物的防擺控制。

      綜上所述,LQR 控制器可以較好地提高系統(tǒng)的穩(wěn)定性,使小車運行機構(gòu)處于穩(wěn)定狀態(tài)。但是人為選取的加權(quán)矩陣Q,并不能保證LQR 控制器的控制效果最優(yōu)。比較而言,基于遺傳算法的最優(yōu)LQR 控制器可以使小車運行機構(gòu)位移曲線的超調(diào)量和調(diào)節(jié)時間分別降低76.8%和30.7%,貨物最大擺動角度降低49.3%。由此可見,基于遺傳算法的最優(yōu)LQR 控制器能夠使橋式起重機系統(tǒng)的穩(wěn)定性和快速性得到提高。

      4 總結(jié)

      針對LQR 控制器的加權(quán)矩陣QR選取具有任意性的問題,設(shè)計基于遺傳算法的最優(yōu)LQR 控制器。應(yīng)用Matlab 軟件搭建小車運行機構(gòu)貨物系統(tǒng)的Simulink 模型,并對LQR 控制器和最優(yōu)LQR 控制器的控制效果進行仿真分析。結(jié)果表明:與LQR 控制器相比,基于遺傳算法的最優(yōu)LQR 控制器能夠更好地實現(xiàn)貨物的防擺定位,有更好的快速性和穩(wěn)定性,解決了依靠經(jīng)驗優(yōu)化方法產(chǎn)生的隨機性和耗時性等問題。

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