考慮落角約束和氣動(dòng)不確定性的固定時(shí)間制導(dǎo)控制一體化設(shè)計(jì)方法

胡誠(chéng)偉，韋 悠，汪學(xué)平

(西安現(xiàn)代控制技術(shù)研究所，陜西 西安 710065)

0 引言

現(xiàn)代戰(zhàn)爭(zhēng)中更加能動(dòng)的戰(zhàn)場(chǎng)戰(zhàn)術(shù)和精度要求的提高使得經(jīng)典控制系統(tǒng)設(shè)計(jì)方法在很多應(yīng)用中不能滿(mǎn)足要求。通常來(lái)說(shuō),制導(dǎo)系統(tǒng)和控制系統(tǒng)可以通過(guò)解耦分為兩個(gè)獨(dú)立的子系統(tǒng),從而形成典型的兩回路控制方案[1-2]?；谶@種設(shè)計(jì)思路,已經(jīng)有文獻(xiàn)提出了包括比例導(dǎo)引[3-4]、魯棒制導(dǎo)律[5-6]和滑模制導(dǎo)律[7-8]等多種有效的制導(dǎo)控制方法。上述方法雖然已成功應(yīng)用于目標(biāo)攔截,但采用分離設(shè)計(jì)的制導(dǎo)和控制系統(tǒng),其攔截高機(jī)動(dòng)目標(biāo)時(shí)性能可能會(huì)嚴(yán)重下降。

為了提高導(dǎo)彈的殺傷效能,制導(dǎo)控制一體化設(shè)計(jì)已成為戰(zhàn)術(shù)導(dǎo)彈制導(dǎo)與控制系統(tǒng)設(shè)計(jì)的新趨勢(shì)。一般來(lái)說(shuō),現(xiàn)有制導(dǎo)控制一體化設(shè)計(jì)方法可以分為基于自動(dòng)駕駛補(bǔ)償?shù)闹茖?dǎo)律設(shè)計(jì)方法和完全制導(dǎo)控制一體化設(shè)計(jì)方法[9]。對(duì)于第一類(lèi)方案,通常將自動(dòng)駕駛儀假設(shè)為一階或二階環(huán)節(jié),然后在制導(dǎo)律設(shè)計(jì)中加入補(bǔ)償來(lái)處理自動(dòng)駕駛儀帶來(lái)的響應(yīng)滯后[10-11]。盡管這些算法能夠?qū)崿F(xiàn)目標(biāo)攔截,但其性能?chē)?yán)重依賴(lài)于對(duì)自動(dòng)駕駛儀近似估計(jì)的準(zhǔn)確性。然而,對(duì)于大空域機(jī)動(dòng)的導(dǎo)彈,其空氣動(dòng)力學(xué)特性本身就存在著較大的不確定性,這使得自動(dòng)駕駛儀很難被精確地近似為簡(jiǎn)單的一階或二階環(huán)節(jié)。而完全制導(dǎo)控制一體化設(shè)計(jì)方法能夠避免對(duì)自動(dòng)駕駛儀的近似估計(jì),直接針對(duì)完全非線(xiàn)性導(dǎo)彈動(dòng)力學(xué)模型設(shè)計(jì)制導(dǎo)控制方法,其中典型的方法包括反饋線(xiàn)性化方法[12]、狀態(tài)依賴(lài)Riccati方法[13]、θ-D方法[14]、模型預(yù)測(cè)靜態(tài)規(guī)劃方法[15]和有限時(shí)域最優(yōu)控制[16]。然而,完全制導(dǎo)控制一體化設(shè)計(jì)方法計(jì)算較為復(fù)雜,且大都無(wú)法保證閉環(huán)系統(tǒng)的魯棒性[17]。

由于導(dǎo)彈制導(dǎo)和控制系統(tǒng)具有嚴(yán)格的反饋形式[18],因此反步設(shè)計(jì)思想在制導(dǎo)控制一體化設(shè)計(jì)中也被廣泛應(yīng)用。然而,在反步設(shè)計(jì)過(guò)程中對(duì)虛擬控制量進(jìn)行重復(fù)微分會(huì)導(dǎo)致“微分膨脹”問(wèn)題[19]。為了解決這個(gè)問(wèn)題,動(dòng)態(tài)面控制技術(shù)被用于制導(dǎo)控制一體化設(shè)計(jì)中。文獻(xiàn)[20]針對(duì)慢機(jī)動(dòng)目標(biāo),基于自適應(yīng)動(dòng)態(tài)面控制給出了一種制導(dǎo)控制一體化設(shè)計(jì)方法。文獻(xiàn)[21]通過(guò)引入了模糊系統(tǒng)來(lái)估計(jì)和補(bǔ)償不確定性,提出了一種基于自適應(yīng)模糊動(dòng)態(tài)面的制導(dǎo)控制方法。文獻(xiàn)[22]提出了一種二階滑模微分器來(lái)估計(jì)虛擬控制量的導(dǎo)數(shù),實(shí)現(xiàn)了考慮氣動(dòng)不確定性和落角約束的制導(dǎo)控制一體化設(shè)計(jì)。然而,上述基于反步控制和動(dòng)態(tài)面思想給出的方法只能實(shí)現(xiàn)半全局漸近最終有界穩(wěn)定,而非有限時(shí)間穩(wěn)定[23]。因此研究有限時(shí)間收斂的制導(dǎo)控制一體化設(shè)計(jì)方法具有重要的實(shí)際意義。作為有限時(shí)間穩(wěn)定性理論的擴(kuò)展,固定時(shí)間穩(wěn)定性引起收斂時(shí)間上界不依賴(lài)于初始條件而被廣泛的關(guān)注。然而,固定時(shí)間制導(dǎo)方法僅適用于二階系統(tǒng),無(wú)法直接應(yīng)用到導(dǎo)彈的制導(dǎo)控制一體化設(shè)計(jì)問(wèn)題。

基于上述分析,文中研究考慮落角約束和氣動(dòng)不確定性的固定時(shí)間制導(dǎo)控制一體化設(shè)計(jì)問(wèn)題?；诜床椒ㄌ岢隽斯潭〞r(shí)間滑模制導(dǎo)控制一體化設(shè)計(jì)方法,并借助于固定時(shí)間微分器解決了傳統(tǒng)反步設(shè)計(jì)中存在的“微分膨脹”問(wèn)題,最終實(shí)現(xiàn)了閉環(huán)系統(tǒng)的半全局固定時(shí)間一致最終有界穩(wěn)定。主要價(jià)值在于:1)提出了一種固定時(shí)間制導(dǎo)控制一體化設(shè)計(jì)方法,并實(shí)現(xiàn)了不受初始條件影響的半全局固定時(shí)間一致最終有界穩(wěn)定;2)在制導(dǎo)控制一體化設(shè)計(jì)中考慮了目標(biāo)機(jī)動(dòng)不確定性和導(dǎo)彈氣動(dòng)不確定性,使得所提出方法更加適用于實(shí)際應(yīng)用。

1 問(wèn)題描述和預(yù)備知識(shí)

考慮鉛垂面內(nèi)落角約束的制導(dǎo)控制一體化設(shè)計(jì)問(wèn)題。圖1為導(dǎo)彈與目標(biāo)相對(duì)運(yùn)動(dòng)示意圖,其中VM和VT為導(dǎo)彈和目標(biāo)速度且滿(mǎn)足VT/VM>1;aM和aT為導(dǎo)彈和目標(biāo)垂直于速度方向的加速度;γM和γT為導(dǎo)彈和目標(biāo)彈道傾角;r和λ分別表示導(dǎo)彈與目標(biāo)之間的相對(duì)距離和視線(xiàn)角。為簡(jiǎn)單起見(jiàn),導(dǎo)彈和目標(biāo)被視為勻速運(yùn)動(dòng)的點(diǎn)質(zhì)量。

圖1 導(dǎo)彈與目標(biāo)相對(duì)運(yùn)動(dòng)Fig.1 Relative motion between missile and target

導(dǎo)彈和目標(biāo)間相對(duì)運(yùn)動(dòng)可以表示為:

(1)

(2)

(3)

(4)

(5)

文中所研究的帶落角約束的制導(dǎo)控制一體化設(shè)計(jì)問(wèn)題可以表述為設(shè)計(jì)控制輸入δz使得導(dǎo)彈以期望視線(xiàn)角λd與目標(biāo)交會(huì)。

為了給出主要結(jié)果,考慮以下系統(tǒng):

(6)

(7)

2 集成制導(dǎo)與控制律設(shè)計(jì)及穩(wěn)定性分析

2.1 制導(dǎo)控制一體化設(shè)計(jì)

為了給出制導(dǎo)控制一體化設(shè)計(jì)方法,需借助于以下假設(shè):

基于上述假設(shè),下面將根據(jù)典型的反步設(shè)計(jì)過(guò)程逐步給出制導(dǎo)控制方法。

步驟1:令s1=λ-λd,s1對(duì)時(shí)間求導(dǎo)可得:

(8)

其中,Δ1=-aT/VT被視為外部干擾,其上界d1>0,即|Δ1|≤d1。

為式(8)選擇以下虛擬控制律:

(9)

其中:k1,c1,p,q是正實(shí)數(shù);ρ1≥d1。

(10)

步驟2:令s2=Vλ-Vλ,d,s2對(duì)時(shí)間求導(dǎo)得出:

(11)

(12)

其中:k2和c2為正數(shù);ρ2≥d2。引入新?tīng)顟B(tài)變量αd其動(dòng)力學(xué)由式(13)給出:

(13)

其中τ2>0為時(shí)間常數(shù)。

步驟3:令s3=α-αd,并對(duì)s3求導(dǎo)得出:

(14)

(15)

其中k3和c3為正數(shù),且ρ3≤d3。引入新?tīng)顟B(tài)變量ωd,其動(dòng)力學(xué)滿(mǎn)足:

(16)

其中τ3>0為時(shí)間常數(shù)。

步驟4:令s4=ωz-ωz,d,并對(duì)s4求導(dǎo)得:

(17)

對(duì)于子系統(tǒng)式(16),考慮控制律:

(18)

其中:k4和c4是正數(shù);ρ4≥d4。

2.2 穩(wěn)定性分析

給出穩(wěn)定性分析,以證明提出方法具有半全局固定時(shí)間穩(wěn)定性。首先定義以下誤差變量:

(19)

對(duì)于使用文中所提控制律的閉環(huán)系統(tǒng),存在足夠大的正常數(shù)ki,ci(i=1,2,3,4)、足夠小的正常數(shù)τi(i=1,2,3)和正奇數(shù)p,q,滿(mǎn)足p>q且(p+q)/2是正奇數(shù),使得閉環(huán)系統(tǒng)是半全局一致最終有界的,同時(shí)在任意初始條件下所有誤差均可以在固定時(shí)間Ts內(nèi)穩(wěn)定在原點(diǎn)任意小的鄰域中。

考慮以下李雅普諾夫函數(shù):

(20)

選擇設(shè)計(jì)參數(shù)使得:

令

(21)

(22)

(23)

計(jì)算所定義李雅普諾夫函數(shù)的導(dǎo)數(shù)。

假設(shè)Ω>0為閉環(huán)系統(tǒng)的初始條件的邊界,即V1(0)≤Ω。因此總可選擇合適的參數(shù),使得以下不等式成立:

(24)

因此,{V1≤Ω}是一個(gè)不變集,并且對(duì)于所有t>0,V1(t)≤Ω都成立,這表明整個(gè)閉環(huán)系統(tǒng)是最終有界的。閉環(huán)系統(tǒng)可以固定時(shí)間內(nèi)穩(wěn)定在原點(diǎn)的一個(gè)小鄰域中,收斂時(shí)間上界為:

(25)

3 仿真結(jié)果

3.1 參數(shù)設(shè)置

假設(shè)空氣動(dòng)力系數(shù)相對(duì)于標(biāo)稱(chēng)值有30%的不確定性。不失一般性,設(shè)計(jì)參數(shù)可選擇為p=9,q=6,k1=1,k2,=2,k3=5,k4=10,ci=0.08(i=1,2,3,4),τi=0.01(i=1,2,3)。導(dǎo)彈和目標(biāo)的初始條件見(jiàn)表1。

表1 初始條件Table 1 Initial condition

3.2 不同落角約束仿真

給出不同落角約束下機(jī)動(dòng)目標(biāo)攔截的仿真結(jié)果。期望落角γd分別選擇為0°、30°、60°和90°。仿真結(jié)果如圖2所示。

圖2 不同落角約束下的仿真結(jié)果Fig.2 Simulation result of different impact angle constraint

末端脫靶量和落角誤差如表2所示。從表2和圖2可以看出,文中所提出的制導(dǎo)控制一體化設(shè)計(jì)方法針對(duì)不同落角約束下的目標(biāo)攔截問(wèn)題,都能夠取得較小的脫靶量和落角誤差。具體而言,在所有攔截場(chǎng)景中落角誤差和脫靶量分別小于0.004°和0.4 m。從圖2還可以看出,在攔截過(guò)程中舵偏角在允許的最大值范圍內(nèi)且較為平滑。

表2 脫靶量與落角誤差Table 2 The miss distance and impact angle error

3.3 對(duì)比仿真

為了突出文中所提出的制導(dǎo)控制一體化設(shè)計(jì)方法的優(yōu)越性,給出了與非奇異終端滑模制導(dǎo)律文獻(xiàn)[7]和固定時(shí)間非奇異終端滑模制導(dǎo)律文獻(xiàn)[8]的對(duì)比仿真。加速度約束為|aM|≤200 m/s2,期望落角為γd=45°仿真結(jié)果如圖3所示。

圖3 對(duì)比仿真Fig.3 Comparative simulation

從圖中可以看出與文獻(xiàn)[7-8]中提出的方法相比,文中所設(shè)計(jì)的制導(dǎo)控制一體化方法能夠以相對(duì)更小的加速度和更短的攻擊時(shí)間獲得相對(duì)較高的命中精度。

4 結(jié)論

文中針對(duì)考慮氣動(dòng)不確定性和落角約束的機(jī)動(dòng)目標(biāo)攔截問(wèn)題,基于固定時(shí)間穩(wěn)定性理論提出了一種制導(dǎo)控制一體化設(shè)計(jì)方法。利用典型的反步設(shè)計(jì)思想構(gòu)建了滑?？刂破?實(shí)現(xiàn)半全局固定時(shí)間一致最終有界穩(wěn)定;同時(shí)通過(guò)引入固定時(shí)間微分器避免了典型反步設(shè)計(jì)存在的“微分膨脹”問(wèn)題;并給出了李雅普諾夫函數(shù)框架下的穩(wěn)定性分析。仿真結(jié)果與對(duì)比實(shí)驗(yàn)充分證明了文中所提出的制導(dǎo)控制一體化設(shè)計(jì)方法的有效性。