極值點偏移問題的破解策略

■江蘇省阜寧縣實驗高級中學 周 敏

極值點偏移問題是近幾年高考數(shù)學中比較經(jīng)常出現(xiàn)的一類熱點問題之一,也是考生比較難處理的一類常見問題。結合極值點偏移問題的三個常見破解策略,通過實例加以剖析,歸納總結破解的基本技巧與方法,引領并指導同學們進行復習備考。

若單峰函數(shù)f(x)的極值點為m,且函數(shù)f(x)滿足定義域內x=m左側的任意自變量x都有f(x)>f(2m-x)或f(x)

一、對稱變換

例1已知函數(shù)f(x)=xe-x。

(1)求函數(shù)f(x)的單調區(qū)間和極值;

(2)若x1≠x2,且f(x1)=f(x2),求證:x1+x2>2。

解析:(1)求導可得f′(x)=e-x(1-x)。令f′(x)>0,得x<1;令f′(x)<0,得x>1。所以函數(shù)f(x)在(-∞,1)上單調遞增,在(1,+∞)上單調遞減。所以f(x)有極大值f(1)=f(x)無極小值。

(2) 構造輔助函數(shù)F(x)=f(x)-f(2-x),x>1,求導得F′(x)=f′(x)+f′(2-x)=e-x(1-x)+ex-2(x-1)=(x-1)·(ex-2-e-x)。

因為當x>1 時,x-1>0,ex-2-e-x>0,所以F′(x)>0,所以F(x)在(1,+∞)上為增函數(shù),所以F(x)>F(1)=0,故當x>1時,f(x)>f(2-x)。 (*)

由f(x1)=f(x2),x1≠x2,可設x1<1f(2-x2)。

又因為f(x1)=f(x2),所以f(x1)>f(2-x2),又x1<1,2-x2<1,而f(x)在(-∞,1)上單調遞增,所以x1>2-x2,所以x1+x2>2。

點評:對稱變換策略主要是解決極值點偏移問題中與兩個極值點之和(或積)相關的不等式的證明問題。對稱變換策略的解題要點為:(1)定函數(shù)(極值點為x0);(2)構造函數(shù),即根據(jù)極值點構造對稱函數(shù)F(x)=f(x)-f(2x0-x),若證x1x2>,則令F(x)=;(3)判斷單調性;(4)比較大小;(5)轉化。

二、消參減元

例2已知函數(shù)f(x)=x2+2x-2lnx,若方程f(x)=x2+2m有兩個不等實數(shù)根x1,x2,求實數(shù)m的取值范圍,并證明:x1x2<1。

解析:方程f(x)=x2+2m,即x-lnx-m=0,令函數(shù)h(x)=x-lnx-m(x>0),求導得h′(x)=

當x∈(0,1)時,h′(x)<0,故h(x)單調遞減;當x∈(1,+∞)時,h′(x)>0,故h(x)單調遞增。

所以h(x)min=h(1)=1-m。

若方程f(x)=x2+2m有兩個不等實根,則有h(x)min<0,即m>1。當m>1時,00,h(em)=em-2m,令函數(shù)p(x)=ex-2x(x>1),求導得p′(x)=ex-2>0,即p(x)在(1,+∞)上是增函數(shù),所以p(x)>p(1)=e-2>0,所以h(em)>0,所以原方程有兩個不等實根,所以實數(shù)m的取值范圍為(1,+∞)。

點評:消參減元策略解決極值點偏移問題,結合所要證明的多變元(一般兩個及以上)關系式加以恒等變形,建立與所求解問題相關的函數(shù),結合消參并減元,合理構建關系式,通過研究函數(shù)的單調性、極值與最值等相關問題來恒等變換,進而得以解決對應的極值點偏移問題。

三、比(差)值換元

例3已知函數(shù)f(x)=ax2-ex(a∈R)在(0,+∞)上有兩個零點x1,x2(x1

(1)求實數(shù)a的取值范圍;

(2)求證:x1+x2>4。

當x∈(0,2)時,h′(x)<0,所以h(x)在(0,2)上單調遞減;當x∈(2,+∞)時,h′(x)>0,所以h(x)在(2,+∞)上單調遞增。

點評:比(差)值換元策略解決極值點偏移問題,比(差)值換元的目的也是消參、減元,就是根據(jù)已知條件首先建立極值點之間的關系,然后利用兩個極值點之比(差)作為變量,從而實現(xiàn)消參、減元的目的。設法用比值或差值(一般用t表示)表示兩個極值點,繼而將所求解問題轉化為關于t的函數(shù)問題。

熟練理解并把握極值點偏移問題的基本破解策略,著重抓住對稱變換、消參減元、比(差)值換元策略解決問題的實質,關鍵是以不同的策略巧妙通過消參或消元等方式,合理構建函數(shù),利用導數(shù)的運算與應用,以及函數(shù)的單調性、極值與最值等來綜合應用,合理化歸與轉化,借助數(shù)形結合思想,巧妙應用,合理破解。