注塑機筒疲勞強度計算的設計準則

袁衛(wèi)明，成明祥

(德清申達機器制造有限公司，浙江 湖州 313205)

0 引言

注塑機機筒是注射機構中的重要零部件，在工作中其要承載注射高壓的沖擊，當前注塑機的注射壓力已從傳統(tǒng)的170 MPa發(fā)展到270 MPa以上。面對機筒在高壓和超高壓中出現(xiàn)的失效現(xiàn)象，沿用傳統(tǒng)的注塑機筒強度理論[1]，不能圓滿解釋機筒失效的實際現(xiàn)象。本文從厚壁圓筒的彈塑性力學理論[2]分析研究注塑機筒的工作特性，闡述以往用彈性力學角度分析研究機筒強度的局限性，提出了符合實際的注塑機筒疲勞強度的設計準則，并用實例加以論證。

1 厚壁圓筒

1.1 厚壁圓筒的應力分析

根據(jù)厚壁圓筒體[3]的應力變形特點，我們假設將厚壁圓筒看成是由許多個薄壁圓筒相互連在一起所組成，如圖1所示，當厚壁圓筒內(nèi)徑承受內(nèi)壓力后，其組成的各層薄壁圓筒由里至外逐步受力，其變形受到里層薄壁圓筒的約束和受到外層薄壁圓筒的限制，因此各個單元薄壁圓筒體都會受到內(nèi)外側變形的約束和限制所引起的均布壓力作用，從里往外各層薄壁圓筒體的變形被受到的約束和限制是不同的，環(huán)向應力沿壁厚方向分布是不均勻的，這是厚壁圓筒形變和應力的一個基本特點。

圖1 厚壁圓筒應力分布圖

厚壁圓筒應力、應變的另一個特點是：由于厚壁圓筒是由多個薄壁圓筒組成，在多層材料變形的相互約束和限制下，沿徑向方向產(chǎn)生了徑向應力，沿壁厚方向徑向應力分布是不均勻的。厚壁圓筒和薄壁圓筒在兩端封閉狀態(tài)時，沿軸線方向產(chǎn)生的軸向應力則是相同的，且軸向應力沿壁厚方向分布是均勻的。

在厚壁圓筒受內(nèi)壓力時，各應力分量沿壁厚分布[4]情況如圖2、3所示，其中最大環(huán)向應力點發(fā)生在內(nèi)壁，最小環(huán)向應力點發(fā)生在外壁[3]。

圖2 受內(nèi)壓厚壁圓筒應力分量沿壁厚分布圖

圖3 受內(nèi)壓厚壁圓筒中各應力分量分布圖

σθ—環(huán)向應力，沿壁厚方向非均勻分布；

σr—徑向應力，沿壁厚方向非均勻分布；

σz—軸向應力，沿壁厚方向均勻分布。

由于環(huán)向、徑向和軸向三個應力分量的存在，并且徑向應力σr和環(huán)向應力σθ分布又是非均勻性的，因此厚壁和薄壁圓筒的應力分析方法會有較大的差異。在計算應力強度時，必須分別求出三個主應力σθ、σz、σr，再根據(jù)第三或第四強度理論公式計算得出應力強度值，計算結果與許用應力進行比較判斷。

1.2 厚壁圓筒應力計算公式

厚壁圓筒應力計算公式既適用于厚壁也適用于薄壁圓筒。下面將厚壁圓筒中的最大環(huán)向應力σθmax與最小環(huán)向應力σθmin作一比計算較分析，厚壁圓筒受內(nèi)壓力時其值按表1 所示。

表1 受內(nèi)壓力的厚壁圓筒應力計算公式

兩者之比：

式中：Pi—圓筒所受內(nèi)壓力；

Da—圓筒內(nèi)徑；

Db—圓筒外徑；

K—徑比。

當圓筒壁較薄時，Db≈Da、K≈1,則(K2+l)/2≈1。即σθmax≈σθmin，即圓筒內(nèi)外徑趨于接近時，內(nèi)外壁的應力也趨于相等，應力沿壁厚方向趨于均勻分布。

當圓筒的壁厚增加時，徑比值K也增加，最大與最小的環(huán)向應力比值 (K2+1) / 2 也隨著增加，即σθmax與σθmin的差值越來越大。亦即應力σθ沿壁厚方向分布的非均勻性增加。當K=1.1時，內(nèi)外壁的應力值會相差10%，當K=1.3時，內(nèi)外壁的應力值就會相差35%。因此工程上一般用徑比值K=1.1～1.2來規(guī)定厚壁與薄壁圓筒的界限區(qū)分。

2 傳統(tǒng)機筒疲勞強度設計

2.1 注塑機筒疲勞強度分析對象

注塑機在注射過程中一般可分額定注射行程段為壓力注射，注射至結束段為高壓注射。機筒疲勞失效主要現(xiàn)象是頭部高壓區(qū)的徑向平面內(nèi)產(chǎn)生徑向裂紋由內(nèi)到外延伸，并在該平面內(nèi)沿徑向一直擴展至機筒外壁，裂紋1～2條，表觀顯示出機筒疲勞強度不足。因機筒頭部處于高壓段是機筒疲勞強度最薄弱處，因此是機筒分析疲勞強度的重點[5]。

目前機筒頭部結構與噴嘴座連接一般分兩種形式：直筒型螺釘聯(lián)接如圖4和階梯式螺釘聯(lián)接如圖5。圖示中的（網(wǎng)格區(qū)）是疲勞強度薄弱處的計算截面。圖中，r1為機筒疲勞強度計算截面內(nèi)半徑，r2為截面外半徑。

圖4 機筒頭部螺釘聯(lián)接式的直筒型機筒

圖5 機筒頭部螺釘聯(lián)接式的階梯型機筒

2.2 注塑機筒彈性力學分析

機筒為兩端通孔的厚壁圓筒，設內(nèi)半徑為r1，外半徑為r2，機筒任意點半徑為r，受均勻工作內(nèi)壓力P作用，外壓為0。機筒應力應變是厚壁圓筒的一個軸對稱的平面應變，其應力分析模型[6]見圖6，其σθ、σz、σr沿壁厚的分布[7]見圖7。機筒的應力計算見表1厚壁圓筒應力(σθ、σz、σr)公式。

圖6 機筒應力分析模型

圖7 機筒應力σθ、σz、σr沿壁厚的分布

2.3 傳統(tǒng)注塑機筒疲勞強度理論

根據(jù)塑料機械設計教材[1]資料，對機筒受力狀況，可按厚壁筒計算中的能量理論，校核其強度或計算壁厚。

機筒的總應力：

機筒壁厚：

式中：P—注射壓力；

Da—機筒內(nèi)徑；

[σ]—材料許用應力；

σs—材料屈服極限；

n—安全系數(shù)，一般取1.5～2。

以傳統(tǒng)的注塑機為例，機筒材料38CrMoAL，注射壓力P=170 MPa，機筒頭部為疲勞強度薄弱處，結構如圖4所示，機筒徑比K值按塑料機械設計教材，表2的數(shù)值代入公式（3），可得機筒應力值如下表2：

表2 注塑機筒應力值

根據(jù)文獻[1]推薦材料的屈服強度σS=575 MPa，安全系數(shù)n=1.65，則許用應力[σ]=348 MPa。從表2計算結果可知機筒應力值σ＞[σ]，結果為不安全，這個與實際使用情況不相符存在矛盾。

3 厚壁圓筒的彈塑性力學分析

厚壁圓筒是高壓和超高壓工程中的主要承壓容器，由于其承受的壓力較高，因而一般均用強度和韌性較好的有強化材料制成。厚壁圓筒在承受內(nèi)壓力作用時，隨著壓力的增加筒壁應力也不斷增高。當三個應力分量達到某一組合值時，厚壁圓筒發(fā)生的變形會由彈性狀態(tài)進入塑性變形狀態(tài)，從厚壁圓筒的截面上看有塑性變形出現(xiàn)，由內(nèi)壁開始形成塑性區(qū)逐漸向外壁表面擴展，直到筒壁全部被屈服。

從彈性力學角度分析，當材料處于彈性范圍時，物體受載后的應力-應變服從虎克定律，同時加載、卸載時的應力和應變始終保持一一對應的線性關系。當應力超過屈服點而處于塑性狀態(tài)時，需用塑性力學進行分析，由于應力和應變關系呈非線性，且不相互對應，即應力不僅取決于最終的應變，而且也跟加載的方法有關[2]。

排除材料在塑性變形過程中的塑性強化因素，將厚壁圓筒作為理想彈塑性體，那么以筒體的內(nèi)半徑為Ri，外半徑為Ro，筒體僅受內(nèi)壓Pi作用時需按彈性極限、彈塑性應力和塑性極限三方面加以分析。

為了充分發(fā)揮材料的承載潛力，在高壓尤其是超高壓場合，厚壁圓筒的靜態(tài)強度設計，一般采用彈性準則、塑性準則或爆破準則。根據(jù)所采用的塑性屈服條的不同，塑性準則有兩種形式：基于Tresca屈服條件的塑性準則和基于Mises屈服條件的塑性準則[8]。

3.1 彈性極限設計準則

按彈性極限理論分析[2]：當厚壁圓筒體僅受內(nèi)壓力Pi作用時，在內(nèi)壓力Pi較小時，圓筒體處于彈性狀態(tài)，當內(nèi)壓力升高到達圓筒體的某一極限壓力Pi=Pe時，圓筒體的內(nèi)壁首先會開始產(chǎn)生屈服現(xiàn)象。如將圓筒體總體部位的初始屈服視為失效，則工程中，常常將等效應力控制在許用應力之內(nèi)，即σ≤［σ］。

按第四強度理論（變形能理論）[9]：

將表1中受內(nèi)壓厚壁圓筒的內(nèi)壁應力σ1、σ2、σ3代入公式（6）可得內(nèi)壓厚壁圓筒的合成應力：

內(nèi)壓厚壁圓筒能夠承受的壓力：

相應的筒體計算厚度為：

試驗發(fā)現(xiàn)：基于拉美公式和第四強度理論預測的圓筒初始屈服壓力與實測值最為接近，因此與第四強度理論對應的等效應力能較好地反映圓筒的實際應力水平[10]。

3.2 彈塑性應力設計準則

按彈塑性應力分析[2]：當Pi＞Pe時，圓筒體內(nèi)壁屈服的區(qū)域就會向外擴展，沿圓筒體壁厚方向就會形成兩個不同區(qū)域如圖8，內(nèi)側為塑性區(qū)，外側為彈性區(qū)[4]。圓筒體的彈性和塑性區(qū)會形成一個交界面，并且是一個與圓筒體同心的圓柱面，界面圓柱的半徑為Rc。由于在塑性區(qū)域存在塑性變形，圓筒體內(nèi)壁應力會發(fā)生重新分布，圓筒體內(nèi)壁表面應力會有所下降，見圖9彈-塑性區(qū)的應力分布。

圖8 處于彈塑性狀態(tài)的厚壁圓筒

圖9 彈-塑性區(qū)的應力分布

彈性失效設計準則是以危險點的等效應力達到許用應力作為失效判據(jù)的。對于應力分布不均勻的構件，如厚壁圓筒，由于材料塑性較好，當內(nèi)壁材料屈服時，內(nèi)壁面以外的材料仍處于彈性狀態(tài)，故不會導致整個截面屈服，圓筒仍能繼續(xù)承載[11]。因此，在這種情況下，彈性失效設計準則顯得有所保守。

3.2.1 塑性區(qū)（Ri ≥r≤ Rc）

材料處于塑性狀態(tài)時，設材料塑性變形時應力

若符合Tresca屈服條件，則彈-塑性區(qū)交界面Rc壓力為：

若符合Mises屈服條件，則彈-塑性區(qū)交界面Rc壓力為：

3.2.2 彈性區(qū)（Rc ≥r≤ R0）

彈性區(qū)的內(nèi)壁面為彈-塑性區(qū)交界面，即彈性區(qū)的內(nèi)壁面呈塑性狀態(tài)。

若符合Tresca屈服條件則：

內(nèi)壓力Pi與所對應的塑性區(qū)圓柱面半徑Rc之間的關系：

若符合Mises屈服條件則：

內(nèi)壓力Pi與之所對應的塑性區(qū)圓柱面半徑Rc之間的關系：

3.3 塑性極限設計準則

按塑性極限理論分析[2]：當內(nèi)壓力p不斷增大時，塑性區(qū)域會不斷的擴大，彈性區(qū)域則不斷的縮小。當內(nèi)壓力增大到某一值時，塑性區(qū)就會被擴展到整個圓筒體，即RC=R0時，則圓筒體全部進入塑性狀態(tài)。塑性極限設計準則假設材料為理想彈塑性，以整個危險截面屈服作為失效狀態(tài)的設計準則。

3.3.1 基于Tresca 全屈服壓力

按Tresca 屈服失效判據(jù)，可得內(nèi)壓厚壁圓筒能夠承受的壓力：

相應的筒體計算厚度為：

3.3.2 基于Mises 全屈服壓力

按Mises 屈服失效判據(jù)，可得內(nèi)壓厚壁圓筒能夠承受的壓力：

相應的筒體計算厚度為：

圖10示出按塑性失效設計準則時，圓筒的承載能力和徑比 k 的關系[11]?？梢钥闯?，按塑性失效準則在同一承載能力下，Tresca 全屈服壓力算出的壁厚較厚，Mises 全屈服壓力算出的壁厚較?。划攺奖容^小時，兩種設計準則差別不大。

圖10 塑性失效準則時圓筒承載能力和徑比關系

4 分析討論

對比公式（3）和（7）可知，其表達內(nèi)容是一致的，由此可知塑料機械設計教材[1]關于機筒強度的計算校核是基于彈塑性力學中的彈性極限設計準則判據(jù)的，即以危險點的等效應力達到許用應力作為失效判據(jù)。由于注塑機筒屬于厚壁圓筒，機筒材料受力關系是非線性的，因此用彈性失效分析具有保守性和局限性，不能充分發(fā)揮材料的強度潛力。

根據(jù)對三種“失效”的理論分析，彈性失效雖然比較成熟，但是，還是采用塑性失效設計準則計算的圓筒體強度作為依據(jù)比較合理[12]。近年來，由于厚壁圓筒的廣泛應用和對其研究的重視，提出運用按塑性失效準則對其進行彈塑性力學行為分析[13]。若表2按塑性極限準則的Tresca屈服失效判據(jù)計算，可得表3結果。

表3 注塑機筒能承受的壓力值

由表3可知，各機筒直徑的承壓值均大于實際注射壓力170 Mpa，因此上述機筒壁厚可以滿足實際使用。由此推斷在注塑機筒設計中對于k＞1.5(即p＞0.4[σ]）的機筒，可以采用Tresca 全屈服壓力進行其壓力、壁厚計算校核，符合機筒實際運用狀態(tài)。

5 計算實例

以文獻資料[14]例1，機筒頭部疲勞強度薄弱區(qū)最大內(nèi)徑Da=40 mm，工作壓力P0=275 MPa，材料38CrMoAL屈服極限σS＝575 Mpa，安全系數(shù)n=1.5，則許用應力 [σ]=385 Mpa。

由式（16）、（17）計算可得：

機筒徑比：K=2.042；

機筒壁厚：S=22.22 mm；

機筒外徑：Db=Da+2S=40+2×22.22=84.44 m。

計算結果與文獻資料作者提出的機筒壁厚（徑比K值）設計準則基本相一致，符合實際。

6 結論

注塑機筒材料塑性較好，采用傳統(tǒng)的彈性失效設計準則具有所保守，而按塑性極限設計中的Tresca 全屈服失效準則可得到較正確的計算結果，符合機筒的一般設計分析。由于機筒疲勞強度問題受材料工藝、熱處理等影響較復雜，在理論上較難獲得一個普遍適用的設計準則，對當前一些設計準則難以得出定量、準確的結論，但對從事相關研究者具有很大的價值意義。