Mathematic軟件在單螺桿容積計算中的應用分析研究

凌永驤，張華宗

(1.沈陽空氣壓縮機制造有限公司，遼寧 沈陽 440141；2.日立壓縮機(蘇州)有限公司，江蘇 蘇州 215024)

1 引言

目前工業(yè)用空氣壓縮機主要分為活塞式、螺桿式，其中螺桿式分為雙螺桿式、單螺桿式，但是目前單螺桿式壓縮機主機設計資料沒有完整的設計過程及較準確的設計計算方法。

本文的重點是通過實際工作中所積累的相關(guān)資料，同時集合了相關(guān)資料總結(jié)出比較實用的設計方法及計算公式。通過Mathematic軟件工具，能夠快速準確地計算出單螺桿壓縮機的基元容積，這樣可以避免實際工程中由于基元容積的計算涉及到多重積分所涉及到繁瑣的計算步驟。

另外根據(jù)相關(guān)資料中數(shù)學模型的建立，推導出單螺桿容積計算的相關(guān)公式，基于Mathematic軟件，從而實現(xiàn)對目前單螺桿容積計算難點的解決。

2 單螺桿基本型線的成型分析和型面方程分析與介紹

在不考慮螺桿進氣口缺口的影響，圖1中為一完整的螺桿與星輪組合，并假定二者之間的接觸線(葉片二側(cè)接觸線相當于刀刃直線)與螺桿軸線處于同一平面，在螺桿與星輪間的嚙合運轉(zhuǎn)中，由于星輪葉片上的接觸線始終為同一條直線，而在螺桿槽的二側(cè)面上接觸線卻在不斷移動。因此星輪葉片的接觸線上任一點在螺桿槽螺旋面上的嚙合軌跡即為一條曲線。換句話說，螺桿與星輪二者間的嚙合點B對于星輪來說，其位置始終固定在接觸線的某一點上，而對于螺桿來說，此嚙合點是不斷移動的，其移動的軌跡為空間螺旋線，則進一步可確定整條嚙合線(即接觸線)在螺桿上移動的軌跡為一空間螺旋面。

圖1

此接觸線一方面在垂直于星輪軸的平面內(nèi)繞著星輪軸線轉(zhuǎn)動，另一方面又繞著螺桿軸線轉(zhuǎn)動。這二個轉(zhuǎn)速之比等于二者的齒數(shù)之比Zr/ZR。根據(jù)這個分析和其他既定的幾何參數(shù)，就可確定任一嚙合點B在螺桿上的移動軌跡(螺旋線)方程。進一步推論下去(使B沿接觸線移動)，即可得到整個接觸線上的移動軌跡(螺旋面方程)。螺旋槽二側(cè)螺旋面形狀完全相同，僅僅相差一個隨半徑變化的相位角。于是，根據(jù)同一個型面代入不同的起始條件，即可求出二側(cè)型面的參數(shù)坐標。

由于螺桿為圓柱形，其螺旋面是母線，按一定規(guī)律繞自身軸線旋轉(zhuǎn)形成的，故采用圓柱坐標(不用直角坐標)。根據(jù)母線又在星輪葉片二側(cè)星輪軸線轉(zhuǎn)動這一特點，采用星輪轉(zhuǎn)角θ和母線上各點與星輪中心的距離——轉(zhuǎn)動半徑r為參變數(shù)，求解型線方程最為簡單。

圖1上個符號參數(shù)解釋如下：

Br——星輪葉片右側(cè)接觸線(母線)上任意點

BR——螺桿螺旋槽側(cè)面上與Br相嚙合的螺旋線上的任意一點

B——當OrBr轉(zhuǎn)至θ角時，Br剛好與BR相互嚙合的位置

Or——星輪旋轉(zhuǎn)中心

OR1OR2——螺桿旋轉(zhuǎn)軸線

OrQ——通過Or點與OR1OR2平行的直線(OrQ與OR1OR2組成的平面與星輪軸線垂直，Br始終在這個平面內(nèi)移動)

θ——Br繞Or點轉(zhuǎn)動的角度(以OrQ為θ角的起始位置)

A——Or與OR1OR2的垂直距離(即螺桿與星輪間的中心距離)

hr——Or與螺桿外圓柱面的垂直距離

r——Br至Or的回轉(zhuǎn)半徑

r0——星輪葉片外圓半徑

R——BR繞OR1OR2的回轉(zhuǎn)半徑

R0——螺桿外圓半徑

φ——螺桿與星輪相互嚙合時 ，Br由θ1轉(zhuǎn)至θ剛好與BR繞嚙合，在這同一段時間內(nèi)，BR繞OR1OR2轉(zhuǎn)過的角度(φ角度在OR1OR2的垂直平面內(nèi)，圖上畫法為非正規(guī)投影 )

L——BR繞OR1OR2的旋轉(zhuǎn)平面與通過右端點F且垂直于OR1OR2的平面間的距離

Zr——星輪葉片數(shù)

ZR——螺桿頭數(shù)

b0——葉片寬度(即葉片二側(cè)相互平行的接觸線間的距離)

α——螺桿螺旋面上任一點BR之螺旋角(螺旋角的定義為通過BR的螺旋面之切線與葉片旋轉(zhuǎn)平面間的夾角。當螺桿上的BR繞點與星輪葉片上的Br點在B點嚙合時，該切線必須與OrB垂直)

α0——θ=90°時的α0

求解由嚙合點B走出的以BR點的圓柱坐標來表示的螺旋面方程：

以星輪葉片上的點Br的極坐標(r，θ)為參量變數(shù)，由圖1的幾何關(guān)系和前述運動分析得嚙合點B在螺桿上移動的軌跡，空間螺旋面上任一點BR的圓柱坐標參數(shù)方程：

(1)L=r0cos(θ1)-rcos(θ)

(2)R=A-rsin(θ)

(3)φ=(Zr/ZR.)·(θ-θ1)

再求解Br點斜率tanα及螺旋角α：

設UBR、UBr分別為BRBr在B點嚙合時刻各自繞螺桿軸和星輪軸旋轉(zhuǎn)的圓周線速度。

則得：tanα=(UBR/UBr)=(R/r)·(ωR/ωr)

式中ωR——螺桿轉(zhuǎn)動角速度

ωr——星輪轉(zhuǎn)動角速度

ωR/ωr=Zr/ZR；

得

tanα=(Zr/ZR)·(R/r)=(Zr/ZR)·((A-rsin(θ))/r)

根據(jù)求出不同(r，θ)處的螺旋角α、β，可初步設計出能在螺旋槽內(nèi)來回自由滑動的星輪葉片截面形狀。如圖2所示，二側(cè)BB′點表示二條接觸線(二條母線通過這二點而相互平行)。BB′連線在OrQ與OR1OR2構(gòu)成的基準平面內(nèi)。為避免葉片與螺旋槽的相互干涉，則在BB′上下兩段厚度內(nèi)，葉片側(cè)面與通過BB′的基準平面的夾角應以α0、β為界

圖2

(即≤α0和≥β)。由此得出與基本型線螺桿相配合的葉片截面形狀。

3 單螺桿基元容積計算數(shù)學公式實際應用

本文的重點是分析介紹Mathematics基元容積計算過程中實際應用問題。為了計算方便起見，不在過多的介紹具體計算公式推導過程。如需了解具體推導過程可以參考相關(guān)介紹的參考文獻資料。

根據(jù)引用的相關(guān)將單螺桿容積計算參考資料，可將需要計算的基元容積資料分為二部分：

(1)第一部分容積計算公式

第一部分為葉片從剛開始封閉螺桿θ1時，掃描的容積過程中葉片所旋轉(zhuǎn)的角度到θ21，

(2)第二部分容積計算公式

第二部分為葉片從前側(cè)邊開始脫離螺槽的旋轉(zhuǎn)角度θ21時，直至后側(cè)邊完全脫離螺槽后旋轉(zhuǎn)角度θ3時，即為整個葉片轉(zhuǎn)過的角度。

具體容積公式推導為了簡單起見，現(xiàn)對其過程不再分析講解。只針對現(xiàn)有容積計算公式的實際應用集合具體的算例進行分析，以方便更多人員在實際中解決單螺桿容積計算繁瑣的問題。

同時現(xiàn)以相關(guān)實際數(shù)據(jù)進行實際計算容積并驗證對比其正確性。

星輪半徑：r0=115；螺桿半徑R0=115；星輪葉片數(shù)Zr=6；螺桿頭數(shù)ZR=11；h=70；葉片寬度；b0=34；θf=60°；

=60.645°=1.059弧度

=134°=2.338弧度

則根據(jù)以上第一部分容積計算公式：

=292.718 cm3

第二部分容積計算公式：

θ21=134°=2.338弧度

=151°=2.635弧度

(Acosθi-r0sinθicosθi)dθidθ)

(185cosθi-115sinθicosθi)dθidθ)

=14.02 cm3

最后單個螺旋槽的總?cè)莘e

V=V1+V2=292.718+14.02=306.7383 cm3

整個螺桿6個螺旋槽容積之和為

V0=6V=306.738=1840.428 cm3

目前需將相關(guān)公式即數(shù)據(jù)代入Mathematics軟件，并且按照軟件使用方法計算容積數(shù)據(jù)，并且根據(jù)計算所得結(jié)果與實際計算數(shù)據(jù)進行對比，進而也進一步驗證采用此軟件計算與人工計算相比的準確性，也進一步較少人工計算的復雜性，從而提高實際設計效率。