基于非凸懲罰融合套索模型的電機(jī)軸承復(fù)合故障診斷

王凡，馬軍,2※，熊新,2，李祥

（1. 昆明理工大學(xué)信息工程與自動(dòng)化學(xué)院，昆明 650500；2. 昆明理工大學(xué)云南省人工智能重點(diǎn)實(shí)驗(yàn)室，昆明 650500）

0 引言

三相異步電機(jī)作為現(xiàn)代農(nóng)業(yè)生產(chǎn)活動(dòng)中電動(dòng)力農(nóng)業(yè)機(jī)械裝置的核心部件之一，常被應(yīng)用于電動(dòng)碾米機(jī)、榨油機(jī)、粉碎機(jī)等各類固定作業(yè)機(jī)械中進(jìn)行電力驅(qū)動(dòng)，它具有效率高、污染小、噪聲低、操作方便等優(yōu)點(diǎn)，因此被廣泛運(yùn)用于農(nóng)業(yè)工程領(lǐng)域[1-3]。電機(jī)內(nèi)部的滾動(dòng)軸承在設(shè)備運(yùn)轉(zhuǎn)過程中起著支撐和導(dǎo)向的作用，滾動(dòng)軸承安裝簡(jiǎn)單使用方便，產(chǎn)生的摩擦力小，能夠提高機(jī)械的工作效率，軸承的健康狀態(tài)影響著設(shè)備機(jī)組的運(yùn)轉(zhuǎn)性能甚至決定著整個(gè)運(yùn)行過程是否可以正常進(jìn)行[4]。電機(jī)軸承屬于旋轉(zhuǎn)機(jī)械中的易損零部件，由于運(yùn)行環(huán)境和工況復(fù)雜多變，當(dāng)軸承形成一個(gè)故障形態(tài)后容易惡化并導(dǎo)致其他位置的故障并發(fā)，多種故障信號(hào)彼此耦合給檢測(cè)帶來了巨大的困難[5-6]。因此，如何在復(fù)合微弱故障相互耦合以及強(qiáng)烈外界噪聲的環(huán)境下，精確提取微弱故障特征是電機(jī)故障診斷領(lǐng)域亟待攻克的難題[7-9]。

信號(hào)稀疏表示方法作為一種新興的信號(hào)壓縮與重構(gòu)方法，已成功地應(yīng)用于旋轉(zhuǎn)機(jī)械的故障診斷領(lǐng)域，該方法使一維信號(hào)矩陣用盡可能少的原子來構(gòu)造稀疏字典，在保留特征信息的同時(shí)降低信號(hào)復(fù)雜度，從而使我們簡(jiǎn)單有效地獲取復(fù)雜信號(hào)中所蘊(yùn)含的特征信息。但是構(gòu)建懲罰函數(shù)的好壞會(huì)影響稀疏結(jié)果，若懲罰函數(shù)設(shè)計(jì)的不理想會(huì)導(dǎo)致函數(shù)在表達(dá)過程中失去物理意義，且獲得的信號(hào)稀疏表示結(jié)果容易存在與原有信號(hào)脈沖不匹配的問題[10]。為使信號(hào)通過稀疏表示方法獲得更準(zhǔn)確的重構(gòu)結(jié)果，近年來，學(xué)者提出了稀疏正則化方法，該方法的核心思想是把原始振動(dòng)信號(hào)與待提取的故障脈沖看作一維矩陣或向量，引入正則化項(xiàng)來對(duì)稀疏過程進(jìn)行約束，增強(qiáng)了模型的泛化能力和魯棒性，并通過求解稀疏正則化的反問題，近似得到故障脈沖信號(hào)[11]。目前，稀疏正則化方法有L0正則、L1正則、L2正則、Lp正則以及全變差正則（total variation，TV）。其中，L0正則可求解x中有多少個(gè)非零元素，但此求解方法是NP 難問題（nondeterministic polynomial-hard problem，NP-hard problem）；L1正則表示各個(gè)參數(shù)的絕對(duì)值之和，L1范數(shù)不可導(dǎo)且是一個(gè)有偏估計(jì)，難以對(duì)較大的稀疏解實(shí)現(xiàn)精確估計(jì)[12]；L2正則即歐氏距離，規(guī)則化能力強(qiáng)但特征選擇能力弱；Lp正則的構(gòu)。上述稀疏正則化方法在故障診斷領(lǐng)域廣泛應(yīng)用，但仍存在難以優(yōu)化求解的問題。TV 正則因其目標(biāo)函數(shù)保持強(qiáng)凸性，且求解過程較為簡(jiǎn)單，為振動(dòng)信號(hào)的稀疏重構(gòu)提供了新的途徑，TV 正則通常指凸懲罰全變分去噪方法（total variation denoising，TVD），最早被應(yīng)用于圖像噪聲去除，F(xiàn)IGGUEIREDO等[13]提出構(gòu)造TVD模型對(duì)圖像中的噪聲進(jìn)行去除，并利用MM（majorization-minimization，MM）算法求解該模型。LAURENT[14]首次將TVD 應(yīng)用于一維信號(hào)降噪并取得了較好的濾波效果，YOU等[15]為了減弱機(jī)械振動(dòng)信號(hào)中背景噪聲的干擾并準(zhǔn)確提取時(shí)頻譜中的特征脊線，引入TVD 方法進(jìn)行降噪處理，數(shù)值仿真和實(shí)測(cè)結(jié)果表明該方法較好地增強(qiáng)了復(fù)雜信號(hào)的時(shí)頻表示能力；JIANG等[16]提出一種VMD（variational mode decomposition，VMD）和TVD 相結(jié)合的方法，利用信噪比選取參數(shù)，并證明該方法優(yōu)于小波閾值去噪算法。雖然上述TVD 方法的目標(biāo)函數(shù)具有嚴(yán)格凸性且可以有效保留邊緣特征，但在實(shí)際運(yùn)用過程中易低估稀疏系數(shù)、丟失高幅值特征成分并難以選取正則化參數(shù)[17]。

為了避免上述問題并有效提高信號(hào)特征的提取精度，一些學(xué)者提出了 NCTVD（non-convex total variation denoising，NCTVD）非凸正則方法能更準(zhǔn)確地估計(jì)信號(hào)值并增強(qiáng)沖擊成分的特征，如LP(p＜1)方法[18]、重賦權(quán)L2/L1方法[19]、對(duì)數(shù)懲罰函數(shù)、反正切懲罰函數(shù)、極小極大凹懲罰函數(shù)等。有學(xué)者通過加入新的懲罰函數(shù)項(xiàng)來提升NCTVD 模型稀疏分解效果，如LIN等[20]將莫羅增強(qiáng)函數(shù)融合至非凸懲罰模型中，增強(qiáng)了軸承微弱故障特征，同時(shí)利用包絡(luò)譜識(shí)別故障特征頻率；HE等[21]將可調(diào)小波基因子與廣義極小極大凹函數(shù)相結(jié)合成功應(yīng)用于旋轉(zhuǎn)機(jī)械的微弱故障診斷；TRIPATHI[22]利用對(duì)數(shù)懲罰函數(shù)構(gòu)造非凸正則化項(xiàng)，并證明了此方法優(yōu)于其他懲罰函數(shù)項(xiàng)和小波閾值去噪；WANG等[23]利用極小極大凹函數(shù)結(jié)合小波函數(shù)構(gòu)造非凸小波全變分模型成功提取了滾動(dòng)軸承的微弱故障特征，并應(yīng)用于實(shí)測(cè)健康狀態(tài)數(shù)據(jù)，驗(yàn)證了該方法的低誤報(bào)率。還有學(xué)者通過構(gòu)建新的非凸懲罰模型和改進(jìn)稀疏系數(shù)的求解方法來解決原模型難以診斷復(fù)雜微弱故障的問題，如WANG等[24]利用k-稀疏性策略來求解NCTVD 模型中的稀疏參數(shù)，通過仿真實(shí)驗(yàn)和實(shí)際測(cè)試證明了該方法可以顯著提高軸承故障信號(hào)的估計(jì)精度，HE等[25]將觀測(cè)到的噪聲信號(hào)建模為兩個(gè)重復(fù)群稀疏分量與高斯白噪聲的和，并采用非凸正則化重復(fù)瞬態(tài)提取算法對(duì)機(jī)車軸承的復(fù)合故障進(jìn)行診斷；LI等[26]提出交替方向乘子算法與二分量稀疏低秩矩陣分離方法，對(duì)減速機(jī)齒輪箱復(fù)合故障進(jìn)行診斷；HUANG等[27]將稀疏表示和傅里葉變換融合構(gòu)成一個(gè)緊湊框架，避免了高維逆矩陣的計(jì)算，之后通過分割增廣拉格朗日收縮算法迭代求解得到兩種混合分量的稀疏系數(shù)，從而有效地從齒輪箱振動(dòng)信號(hào)提取出復(fù)合故障瞬態(tài)成分。

雖然上述非凸懲罰稀疏正則化方法例如反正切懲罰函數(shù)模型[28]（arctan non-convex total variation denoising）在故障診斷方面取得了良好的效果，但是在實(shí)際應(yīng)用于電機(jī)軸承復(fù)合故障診斷時(shí)仍然存在著如下問題：稀疏后的數(shù)據(jù)原子復(fù)雜度較大，模型稀疏性能較差；不能充分反映信號(hào)的稀疏特征成分，無法提取復(fù)合故障特征。

基于此，本文提出基于NCFLM（non-convex fused lasso model，NCFLM）的電機(jī)軸承復(fù)合故障診斷方法，核心思想是將構(gòu)造融合套索模型的思想應(yīng)用到基于arctan 非凸懲罰函數(shù)的NCTVD 模型中，構(gòu)建對(duì)L0范數(shù)逼近程度高且能保持較高稀疏性的信號(hào)分解模型，針對(duì)復(fù)合故障的振動(dòng)信號(hào)需準(zhǔn)確分離的工程需求，引入具有良好保幅值能力的GMC（generalized minimax concave，GMC）函數(shù)優(yōu)化稀疏懲罰函數(shù)項(xiàng)，在使模型保持強(qiáng)凸性狀態(tài)的正則化參數(shù)和凸性參數(shù)取值范圍內(nèi)，進(jìn)一步利用遍歷尋參方法確認(rèn)最優(yōu)的參數(shù)組合，并通過試驗(yàn)驗(yàn)證該模型對(duì)電機(jī)復(fù)合故障診斷的有效性。

1 基于TVD 改進(jìn)的NCFLM 模型

1.1 TVD 的基本原理

全變分去噪模型包含保真項(xiàng)和凸正則化項(xiàng)，可實(shí)現(xiàn)對(duì)原始信號(hào)的稀疏表示。定義一維信號(hào)為x(n)(0≤n≤N-1)，n為信號(hào)中的第n個(gè)原子，N為信號(hào)長(zhǎng)度，該信號(hào)的一階全變分為

式中Dx表示一階微分，||·||p（p≥1）為L(zhǎng)p范數(shù)，p表示階數(shù)，其中矩陣D的定義如下：

三對(duì)角矩陣DDT表示為

且||x||p為

當(dāng)p=1 或者p=2 時(shí)，一階和二階范數(shù)分別定義如下：

信號(hào)x(n)加入高斯白噪聲w(n)，可得到合成的原始噪聲信號(hào)y(n)：

定義全變分去噪模型的目標(biāo)函數(shù)為

式中‖y-表示信號(hào)保真項(xiàng)，λ‖Dx‖1表示正則化項(xiàng)，λ為正則化參數(shù)，TVD 的目的是找到信號(hào)x從而最小化目標(biāo)函數(shù)：

采用MM 算法對(duì)式（9）進(jìn)行求解，以xk+1表示F(x)經(jīng)MM 算法而產(chǎn)生的第k+1個(gè)子序列，diag 表示對(duì)角矩陣，求解方程如下：

式（10）迭代求解后得到經(jīng)TVD 模型處理的重構(gòu)信號(hào)，但通過比較式（8）可以發(fā)現(xiàn)正則化參數(shù)λ調(diào)控著正則化項(xiàng)的懲罰程度：λ越小，懲罰程度越小，重構(gòu)信號(hào)x可能會(huì)更接近原始信號(hào)y，從而失去稀疏表示的意義；λ越大，懲罰程度越大，當(dāng)λ大于某個(gè)閾值后可能會(huì)使信號(hào)失真。

1.2 NCTVD 與NCFLM 的基本原理

式（8）中正則化項(xiàng)本質(zhì)上是L1范數(shù)，L1范數(shù)在凸函數(shù)中有效地增強(qiáng)了稀疏性，但作為懲罰函數(shù)的L1范數(shù)往往低估了較大的信號(hào)值。在誘導(dǎo)信號(hào)的稀疏性和估計(jì)信號(hào)值方面，非凸懲罰函數(shù)通常優(yōu)于L1范數(shù)，將λ‖Dx‖1變?yōu)榉峭拐齽t化項(xiàng)形式，式（8）轉(zhuǎn)化為

式中?表示參數(shù)化非凸懲罰函數(shù)，正則化項(xiàng)用反正切懲罰函數(shù)（arctangent penalty，arctan）來表示，即可得到arctan-NCTVD 模型：

式中參數(shù)a控制模型的凸性程度，一般來說，非凸懲罰函數(shù)項(xiàng)還包括對(duì)數(shù)懲罰函數(shù)項(xiàng)（logarithmic penalty，log）和一階有理懲罰函數(shù)項(xiàng)（first order rational penalty，rat）如下所示：

SELESNICK 利用MC 非凸懲罰函數(shù)和線性最小二乘Huber 函數(shù)推導(dǎo)出GMC 非凸懲罰函數(shù)，該模型能更精確地估計(jì)稀疏解的高振幅分量和誘導(dǎo)稀疏性[29]。本文以文獻(xiàn)[28]中的arctan-NCTVD 模型為原始模型，融合GMC 函數(shù)對(duì)模型進(jìn)行套索化處理，此步驟的GMC 是由卷積下定義的Huber 泛化推導(dǎo)得到，設(shè)一元Huber 函數(shù)s(x)的表達(dá)式為

設(shè)b為壓縮尺度變量，若b=0，則s(x)=0；若b≠0，則尺度Huber 函數(shù)sb(x)為

設(shè)A,B∈RM×N，A、B、R為實(shí)數(shù)矩陣，v表示靠近x兩側(cè)鄰域內(nèi)的點(diǎn)，M和N為矩陣行數(shù)和列數(shù)，對(duì)式（17）進(jìn)行變尺度處理，將其轉(zhuǎn)化為變尺度Huber 函數(shù)sB(x)，表示為

利用式（18）定義的sB(x)進(jìn)行泛化推導(dǎo)得到GMC懲罰函數(shù)PB(x)為

融合套索模型是非凸懲罰模型的擴(kuò)展，將式（12）按式（20）的形式拓展后并代入式（19），此稀疏優(yōu)化問題可轉(zhuǎn)化為如式（21）的鞍點(diǎn)近似求解問題，此問題可通過FBA 算法求解，該算法具體步驟見文獻(xiàn)[29]，其中 β為數(shù)據(jù)原子，(xopt,vopt)為迭代處理后得到的鞍點(diǎn)坐標(biāo)，嚴(yán)格凸函數(shù)的參數(shù)取值范圍如圖1 所示，可以看出，參數(shù)需在三角形內(nèi)部取值才能保證模型為嚴(yán)格凸。NCFLM 與常規(guī)非凸懲罰模型的區(qū)別在于它同時(shí)對(duì)信號(hào)數(shù)據(jù)原子本身及其差分的絕對(duì)值之和進(jìn)行懲罰控制，減少了具有相同特征鄰近原子之間的差值，并統(tǒng)籌兼顧了所有原子的順序聯(lián)系性，使得不同特征成分更容易區(qū)分。也可以說，融合套索模型處理后的原子不僅是稀疏的，原子之間的連續(xù)性差異也是稀疏的，因此在原子和連續(xù)性差異之間產(chǎn)生稀疏解，更能促進(jìn)模型的稀疏性。

圖1 強(qiáng)凸函數(shù)的參數(shù)取值范圍Fig.1 Value range of parameters for strong convex function

1.3 NCFLM 與其他非凸懲罰函數(shù)的函數(shù)值變化曲線分析

為驗(yàn)證本文模型在重構(gòu)性能方面比常規(guī)非凸懲罰函數(shù)更具優(yōu)勢(shì)，將NCFLM 模型與初始L1范數(shù)模型、log模型、rat 模型、arctan 模型的函數(shù)值變化曲線進(jìn)行對(duì)比分析。

圖2a 為不同懲罰因子的懲罰函數(shù)值對(duì)比，L0范數(shù)雖稀疏特征明顯但因其較難優(yōu)化求解而被稱為NP 難問題，L1范數(shù)被稱為L(zhǎng)0的最優(yōu)凸近似并且比其更容易優(yōu)化求解而得到了廣泛應(yīng)用，log、rat 以及arctan 非凸懲罰因子作為L(zhǎng)1范數(shù)的改進(jìn)，比L1范數(shù)更能實(shí)現(xiàn)對(duì)L0范數(shù)的逼近，以x=3 為例，R1、R2、R3、R4、R5的懲罰函數(shù)值與R0分別相差1.5、0.89、0.83、0.7、0.25，R5與R0最為接近，即NCFLM 函數(shù)曲線與L0范數(shù)的函數(shù)曲線最為相近，逼近程度最高。

圖2 基于不同懲罰因子的函數(shù)值及模型近端算子函數(shù)值對(duì)比Fig.2 Comparison of function values and proximal operator function values based on different penalty factors

圖2b 為不同懲罰因子的近端算子對(duì)比，懲罰因子?(x,a)的近端算子θ為

當(dāng)0≤a≤1/λ時(shí)，近端算子θ變?yōu)檫B續(xù)的非線性閾值函數(shù)：

若a=0，近端算子轉(zhuǎn)化為軟閾值函數(shù)，基于L1范數(shù)的近端算子是軟閾值函數(shù)，其低估了較大的非零奇異值。這些懲罰因子的近端算子都是固定閾值函數(shù)，sign 為符號(hào)函數(shù)，當(dāng)閾值變化時(shí)θ可轉(zhuǎn)化為

由圖2 可知，在信號(hào)系數(shù)較大時(shí)，NCFLM與L0范數(shù)的曲線重合，而其他懲罰因子的近端算子曲線都與L0范數(shù)所對(duì)應(yīng)的θ=y處存在一個(gè)固定的距離，證明在y較大時(shí)，NCFLM 的稀疏能力與L0范數(shù)持平，由此可知，融合套索化后的NCFLM 有更加優(yōu)秀的稀疏性能。以斜率作為接近L0范數(shù)程度的評(píng)判標(biāo)準(zhǔn)，NCFLM 的逼近性能比arctan 懲罰函數(shù)提高了15%。以y=-3 為例，在y值相同時(shí)，NCFLM 具有最小的θ值，由式（21）可知，此時(shí)在argmin 條件下能取得更合適的x值；以θ=-3 為例，θ相同時(shí)，只需要取絕對(duì)值更小的y值就可以滿足式（21）相同的稀疏重構(gòu)結(jié)果。由上述分析可知，相比于其他模型，本文的NCFLM 懲罰因子更接近理想的L0范數(shù)，逼近程度更高，能更好地反映信號(hào)的稀疏特征。

2 模型對(duì)比試驗(yàn)

2.1 試驗(yàn)平臺(tái)

為驗(yàn)證基于NCFLM 的電機(jī)軸承復(fù)合故障診斷方法的可行性，使用昆明理工大學(xué)旋轉(zhuǎn)機(jī)械故障綜合模擬試驗(yàn)平臺(tái)對(duì)外圈和內(nèi)圈軸承故障電機(jī)進(jìn)行試驗(yàn)驗(yàn)證。圖3為試驗(yàn)平臺(tái)，包括變頻調(diào)速三相異步電機(jī)（型號(hào)為101-19-01，額定轉(zhuǎn)速為3 000 r/min，最高轉(zhuǎn)速為5 000 r/min）、彈性聯(lián)軸器（型號(hào)為d14-e18+d18-e18）、磁粉制動(dòng)器（額定扭矩12 N·m）、加速度傳感器（型號(hào)為JF2100）、電機(jī)控制儀和負(fù)載控制儀。故障電機(jī)右側(cè)的旋轉(zhuǎn)軸通過彈性聯(lián)軸器與磁粉制動(dòng)器左側(cè)的制動(dòng)器軸相連，故障電機(jī)電源線接在電機(jī)控制儀的“電機(jī)電源”孔位，磁粉制動(dòng)器線纜接在負(fù)載控制儀的“磁粉制動(dòng)器”孔位，加速度傳感器安裝于故障電機(jī)上的傳感器接口位置，采集振動(dòng)信號(hào)并傳輸至數(shù)據(jù)采集儀中，再通過數(shù)據(jù)采集儀傳輸至電腦終端進(jìn)行數(shù)據(jù)分析。

圖3 故障電機(jī)模擬試驗(yàn)平臺(tái)Fig.3 Faulty motor simulation experiment platform

表1 電機(jī)軸承參數(shù)Table 1 Motor bearing parameters

2.2 基于NCFLM 模型的復(fù)合故障診斷流程

基于NCFLM 的電機(jī)軸承復(fù)合故障診斷方法的流程圖如圖4 所示，主要包括以下步驟：

圖4 基于 NCFLM 的電機(jī)軸承復(fù)合故障診斷方法流程圖Fig.4 Flow chart of motor bearing compound fault diagnosis method based on NCFLM

1）通過試驗(yàn)平臺(tái)采集三相異步電機(jī)軸承復(fù)合故障的振動(dòng)信號(hào)；

2）對(duì)arctan-NCTVD 模型中的懲罰函數(shù)項(xiàng)進(jìn)行基于GMC 非凸懲罰函數(shù)的融合套索化處理，構(gòu)造新的NCFLM 模型；

3）通過一系列稀疏性能指標(biāo)評(píng)判NCFLM 模型與arctan-NCTVD 模型的優(yōu)劣性；

4）將采集到的復(fù)合故障信號(hào)導(dǎo)入新模型中，并引入FBA 算法進(jìn)行求解，同時(shí)約束正則化參數(shù)和凸性參數(shù)，即可得到可準(zhǔn)確識(shí)別復(fù)合故障的稀疏字典。

2.3 結(jié)果與分析

圖5 為各模型對(duì)采集信號(hào)進(jìn)行稀疏重構(gòu)后的原子分布情況，為避免幅值較小的原子造成信息冗余，將幅值絕對(duì)值小于0.2 的原子定義為零原子，圖5a、圖5b 和圖5c 中的零原子數(shù)目分別為8 600、9 269 和10 125個(gè)，NCFLM 模型處理后的結(jié)果更為稀疏，其原子壓縮數(shù)目比arctan-NCTVD 增大了9.2%。NCFLM 的懲罰項(xiàng)在相鄰原子之間進(jìn)行相似估計(jì)，融合一些特征相同的原子，并將幅值絕對(duì)值較小的原子向原點(diǎn)壓縮，在一定程度上減少了信息量較少的原子數(shù)目，降低運(yùn)算復(fù)雜度。圖5a和圖5b 中的模型原子過于稠密，原子復(fù)雜度較大，難以滿足解非凸優(yōu)化的稀疏性要求。由圖6 中3 種模型的收斂曲線對(duì)比可知，NCFLM 模型收斂速度快于其他模型，在函數(shù)值收斂時(shí)，arctan-NCTVD 和NCFLM 的初始函數(shù)值分別為10 000 和9 297，收斂函數(shù)值分別為1 482 和174，NCFLM 的收斂速度比arctan-NCTVD 提高了6.6%。

圖5 經(jīng)不同模型稀疏重構(gòu)后的原子分布圖Fig.5 Atomic distribution diagram after sparse reconstruction by different models

圖6 不同模型的收斂曲線Fig.6 Convergence curves of different models

圖7 為2 種模型的重構(gòu)誤差M隨正則化參數(shù)λ1和λ2的變化曲線。隨著λ1從0 增加到2，arctan-NCTVD的M值從0.154 增大到0.903，NCFLM的M值從0 緩慢增加到0.683 且一直比前者??；arctan-NCTVD 沒有λ2項(xiàng)因此其M值保持在0.45，隨著λ2從0 增加到2，NCFLM的M值從0.165 緩慢減小到0.043，NCFLM 的重構(gòu)誤差更小。圖8 為2 種模型的稀疏度k和正則化參數(shù)λ1和λ2的變化關(guān)系。信號(hào)的稀疏度是指信號(hào)向量中非0 元素的個(gè)數(shù)，隨著λ1從0 增加到2，arctan-NCTVD 的稀疏度從32 768 緩慢下降到7 277，而NCFLM 從32 768 下降到1 822，NCFLM 比arctan-NCTVD 需要更少的元素來進(jìn)行稀疏表示。同理，λ2相同時(shí)也可得到相同的結(jié)論。在重構(gòu)誤差為0～1 時(shí)，分別計(jì)算圖7a、圖7b在λ1從0到2和λ2從0 到0.8 時(shí)各模型重構(gòu)誤差的變化值，結(jié)果取平均值，可得NCFLM 的重構(gòu)準(zhǔn)確度比arctan-NCTVD 提高了10%；同上，在稀疏度方面NCFLM 的性能比arctan-NCTVD 提高了46.2%，由上可知，NCFLM 的稀疏性能更優(yōu)。

圖7 不同模型的重構(gòu)誤差與正則化參數(shù)的關(guān)系對(duì)比Fig.7 Comparison of relationship between reconstruction errors and regularization parameters of different models

圖8 不同模型的稀疏度與正則化參數(shù)的關(guān)系對(duì)比Fig.8 Comparison of the relationship between sparsity and regularization parameters of different modelss

綜上所述，NCFLM 的原子壓縮數(shù)目、收斂速度、重構(gòu)準(zhǔn)確度、稀疏度和L0范數(shù)逼近程度分別比arctan-NCTVD 提高了9.2%、6.6%、10%、46.2%和15%，因此NCFLM 模型更具優(yōu)越性。

3 診斷結(jié)果與分析

前面已證明NCFLM 在稀疏性能指標(biāo)方面比arctan-NCTVD 更具優(yōu)勢(shì)，本節(jié)展示NCFLM 的最優(yōu)參數(shù)選取方法和復(fù)合故障診斷結(jié)果。

3.1 遍歷尋找最優(yōu)參數(shù)

圖9 為電機(jī)外內(nèi)圈復(fù)合故障軸承振動(dòng)信號(hào)標(biāo)準(zhǔn)化處理后得到的時(shí)域及頻域波形，可見頻譜中識(shí)別不了fo和fI，因此無法識(shí)別軸承復(fù)合故障特征頻率及其倍頻成分。

圖9 電機(jī)軸承復(fù)合故障信號(hào)波形圖Fig.9 Waveform diagram of motor bearing compound fault signal

在進(jìn)行NCFLM 處理前，需要對(duì)模型進(jìn)行正則化參數(shù)選取。本文采用遍歷尋參的方法來確定最優(yōu)正則化參數(shù)λ1和λ2。

對(duì)圖9a 的觀測(cè)信號(hào)進(jìn)行分析，試驗(yàn)中發(fā)現(xiàn)若λ1選取較大值，會(huì)抑制沖擊成分導(dǎo)致結(jié)果失真，本文選取λ1范圍為[0,2]，尋參過程中步長(zhǎng)設(shè)置為0.2，文獻(xiàn)[29]算法中參數(shù)λ2范圍為[0,1)，步長(zhǎng)設(shè)置為0.1，通過相關(guān)峭度CK刻畫總體重構(gòu)效果，如圖10 所示，最大相關(guān)峭度CK=10.2，此時(shí)λ1=2，λ2=0.8。

圖10 遍歷尋找最優(yōu)參數(shù)過程Fig.10 Traversal to find optimal parameter procedure

3.2 復(fù)合故障診斷結(jié)果

arctan-NCTVD 模型和NCFLM 模型的外內(nèi)圈復(fù)合故障結(jié)果如圖11 所示，圖11a 表明arctan-NCTVD 模型雖然可初步提取外圈故障沖擊成分，但是會(huì)淹沒內(nèi)圈故障特征；并且在恢復(fù)信號(hào)特征的過程中大量衰減信號(hào)能量，從而導(dǎo)致故障特征不明顯。

圖11 不同模型的復(fù)合故障診斷信號(hào)頻域波形圖Fig.11 Frequency domain waveform diagram of composite fault diagnosis signal with different models

圖11b 表明NCFLM 可檢測(cè)到外圈和內(nèi)圈故障特征頻率以及轉(zhuǎn)頻的調(diào)制邊頻帶，且幅值更大，噪聲更少。綜上，NCFLM 在處理軸承外圈和內(nèi)圈復(fù)合故障信號(hào)時(shí)比arctan-NCTVD 模型更具有優(yōu)越性。

4 結(jié)論

本文基于arctan-NCTVD 模型并借鑒融合套索模型的思想，將原模型進(jìn)行GMC 套索化構(gòu)造了NCFLM 模型，解決了原模型無法準(zhǔn)確識(shí)別復(fù)合故障和稀疏性能欠佳的問題，通過對(duì)自制故障電機(jī)試驗(yàn)平臺(tái)的實(shí)測(cè)信號(hào)驗(yàn)證、對(duì)比和分析得到了如下有益結(jié)論：

1）NCFLM 的原子壓縮數(shù)目、收斂速度、重構(gòu)準(zhǔn)確度、稀疏度、L0范數(shù)逼近程度分別比原始arctan-NCTVD 模型提高了9.2%、6.6%、10%、46.2%和15%，驗(yàn)證了NCFLM 的優(yōu)越性；

2）所提的NCFLM 方法成功提取了由外圈和內(nèi)圈局部損傷引起的周期性沖擊特征，驗(yàn)證了本文方法的可行性和工程實(shí)用性。

NCFLM 作為一種基于信號(hào)稀疏表示的方法，其分析結(jié)果往往會(huì)受到電機(jī)軸承的時(shí)變轉(zhuǎn)速和負(fù)載的影響，定工況下的復(fù)合故障診斷方法失效，故障類型會(huì)更加難以評(píng)估。因此，如何根據(jù)變工況下復(fù)合故障演變規(guī)律以及該振動(dòng)信號(hào)的時(shí)頻域特征構(gòu)造出重構(gòu)性能更強(qiáng)的稀疏分解模型和指標(biāo)，并針對(duì)重構(gòu)結(jié)果獲得更準(zhǔn)確的故障識(shí)別和分類效果，這將是之后研究工作中的重點(diǎn)之一。