抓住圖形本質(zhì)，深度理解概念
——一道練習(xí)題引起的思考

□何優(yōu)優(yōu) 曹 炯 金 勤

“平行四邊形和梯形”單元是人教版教材四年級上冊的教學(xué)內(nèi)容。這個(gè)單元涉及的幾何概念比較多，教材中都是以一段文字?jǐn)⑹黾蛹t字強(qiáng)調(diào)的方式告訴學(xué)生各種概念的。其中，理解高的概念并畫出圖形中的高，是本單元學(xué)習(xí)的重難點(diǎn)。從教材編排來看，它是在學(xué)習(xí)了點(diǎn)到直線的距離之后引入高這個(gè)概念的。雖然教材在認(rèn)識平行四邊形時(shí)對平行四邊形的高有明確的定義，但在認(rèn)識梯形時(shí)卻沒有明確梯形的高（只在學(xué)習(xí)梯形各部分名稱的圖示中出現(xiàn)了高）。

基于上述背景，筆者設(shè)計(jì)了一道有關(guān)梯形的高的練習(xí)題，主要考查學(xué)生對梯形各部分名稱的認(rèn)識和對梯形中高的理解。題目中的四個(gè)選項(xiàng)分別是這個(gè)梯形的上底、下底、高和中位線。

下圖中，梯形的高是（ ）厘米。

A.4 B.3 C.2 D.6

教材中，“平行四邊形和梯形”單元的教學(xué)以畫垂線為開端，然后引導(dǎo)學(xué)生認(rèn)識點(diǎn)到直線的距離，逐步過渡到認(rèn)識并能畫出平行四邊形的高，再遷移到梯形（等腰梯形、直角梯形）中。筆者設(shè)計(jì)練習(xí)題時(shí)，把常見的直角梯形（上底、下底在上下）橫放（上底、下底在左右），并添加上底、下底和中位線三個(gè)干擾項(xiàng)。通過這樣的變式設(shè)計(jì)，考查學(xué)生找高時(shí)認(rèn)知結(jié)構(gòu)是否完整；在梯形的高沒有明確定義的情況下，能否從平行四邊形的高遷移到梯形的高。

一、發(fā)現(xiàn)難點(diǎn)，突破難點(diǎn)

在前期的抽樣測試中，該題的正確率約為47%，很多學(xué)生無法正確找到高。針對這道練習(xí)題對部分學(xué)生進(jìn)行訪談，發(fā)現(xiàn)學(xué)生出錯(cuò)的原因主要有以下兩方面。

（一）思維定式干擾正確認(rèn)知

基于對常見梯形（上底、下底在上下）的認(rèn)識，學(xué)生習(xí)慣性地認(rèn)為梯形的高是“豎的”。針對這道練習(xí)題，當(dāng)看到圖中有直角符號和虛線（學(xué)生平時(shí)學(xué)習(xí)時(shí)，教師會(huì)強(qiáng)調(diào)畫高時(shí)要先畫虛線，再標(biāo)注直角符號），很多學(xué)生便覺得它的高不是3厘米就是4厘米。

（二）數(shù)學(xué)本質(zhì)缺乏深刻解讀

多樣化的梯形表征會(huì)妨礙學(xué)生的判斷。由于教材中沒有明確給出梯形高的定義，所以學(xué)生對高的理解僅僅停留在對圖形的感知上。練習(xí)題中的這個(gè)梯形比較特殊，擺放方式比較少見，導(dǎo)致學(xué)生沒有想到平行線之間的距離才是梯形的高。這從另一個(gè)側(cè)面反映出，很多學(xué)生并不是從數(shù)學(xué)本質(zhì)思考問題的，而是憑對圖形的感知作出判斷。

二、豐富材料，理解概念

數(shù)學(xué)知識并不是孤立存在的，圖形的高其實(shí)就是基于學(xué)生已有認(rèn)知的“點(diǎn)到直線的垂直距離”發(fā)展而來的。

（一）由單一到多重，逐步豐富學(xué)習(xí)材料

教師應(yīng)豐富學(xué)習(xí)材料，加強(qiáng)概念變式的教學(xué)。在教學(xué)中，教師要改變梯形的位置和方向，讓學(xué)生經(jīng)歷“受到干擾—產(chǎn)生錯(cuò)誤—引發(fā)思考—調(diào)整錯(cuò)誤—正確認(rèn)知”的過程，幫助學(xué)生改變高是“豎的”的思維定式，認(rèn)識到高還可以是“橫的”，甚至是“斜的”，從而理解梯形高的本質(zhì)。

（二）從概念到運(yùn)用，理解概念本質(zhì)特點(diǎn)

建立對高的概念的深度理解，首先要讓學(xué)生理解三角形的一個(gè)頂點(diǎn)到對邊的垂直距離叫作三角形的高，并將高的本質(zhì)歸結(jié)為點(diǎn)到直線的垂直距離。接著讓學(xué)生抓住這個(gè)本質(zhì)特點(diǎn)，辨析平行四邊形和梯形的高，理解高的概念，認(rèn)識高的本質(zhì)。最后借助高的本質(zhì)，引導(dǎo)學(xué)生學(xué)會(huì)判斷哪些是真正的高，并會(huì)畫各種圖形（三角形、平行四邊形、梯形）的高。

三、抓住本質(zhì)，搭建橋梁

（一）提供任務(wù)，鼓勵(lì)學(xué)生大膽創(chuàng)新

好的任務(wù)可以牽一發(fā)而動(dòng)全身，為學(xué)生提供思考空間，調(diào)動(dòng)學(xué)生學(xué)習(xí)的積極性。因此在理解圖形的高時(shí)，教師要讓學(xué)生從整個(gè)知識體系建立對高的全面認(rèn)識。

教師可以設(shè)置“畫一畫三角形內(nèi)不同形狀的高”“畫一畫不同梯形的高”的任務(wù)，讓學(xué)生運(yùn)用高的本質(zhì)，創(chuàng)造性地畫出不一樣的高，完善對高的認(rèn)知。在探究過程中，通過改變圖形的位置和方向，學(xué)生體會(huì)到高可能是“豎的”，也可能是“橫的”，甚至是“斜的”，從而由淺顯認(rèn)識過渡到深刻思考。通過設(shè)置這樣的任務(wù)，教師將學(xué)生內(nèi)化的思維變得直觀化，從而加深了學(xué)生對高的理解。

（二）提供問題，全面激活學(xué)生認(rèn)知

教學(xué)中，教師可以將學(xué)生的錯(cuò)誤、失誤等作為學(xué)習(xí)資源，推進(jìn)其深度學(xué)習(xí)。針對筆者設(shè)計(jì)的練習(xí)題，教師借助學(xué)生的錯(cuò)誤引發(fā)學(xué)生的深度思考，在比較、辨析、修正中不斷完善學(xué)生對高的認(rèn)知。這樣的問題，能讓學(xué)生感受到思考的完整性以及理解的全面性。

綜上所述，筆者借助一道有關(guān)梯形的高的練習(xí)題，讓學(xué)生根據(jù)梯形位置的變化，厘清高的本質(zhì)。在相似概念的對比教學(xué)中，學(xué)生豐富和完善了對高的認(rèn)識，積累了數(shù)學(xué)基本活動(dòng)經(jīng)驗(yàn)，形成了系統(tǒng)化的知識結(jié)構(gòu)。