指向數(shù)學(xué)“再創(chuàng)造”的具身認(rèn)知活動

滕玲 （江蘇省連云港市猴嘴中心小學(xué)）

高階思維是一種積極主動地分析、評價的思維活動。在小學(xué)數(shù)學(xué)學(xué)科教學(xué)中，培育學(xué)生的高階思維，關(guān)鍵是要引導(dǎo)學(xué)生經(jīng)歷數(shù)學(xué)知識的“再創(chuàng)造”。學(xué)生的數(shù)學(xué)知識再創(chuàng)造，不僅依靠學(xué)生的腦，而且依靠學(xué)生的眼、手等感官活動。具身認(rèn)知，是引導(dǎo)學(xué)生進(jìn)行數(shù)學(xué)“再創(chuàng)造”的重要方式?；诰呱碚J(rèn)知的數(shù)學(xué)“再創(chuàng)造”，應(yīng)當(dāng)指向?qū)W生高階思維的發(fā)展。具身認(rèn)知，要求教師要充分發(fā)揮學(xué)生的多種感官功能，讓學(xué)生的多種感官協(xié)同活動，從而促進(jìn)學(xué)生數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)力的發(fā)展、數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)的生成。

一、具身認(rèn)知視域下數(shù)學(xué)“再創(chuàng)造”的內(nèi)涵

所謂“再創(chuàng)造”，就是將要學(xué)習(xí)的知識自己生產(chǎn)出來?！霸賱?chuàng)造”應(yīng)當(dāng)是學(xué)生數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的最為重要的方式。根據(jù)荷蘭著名數(shù)學(xué)教育家弗賴登塔爾的觀點，“再創(chuàng)造”的過程就是讓學(xué)生將學(xué)習(xí)對象數(shù)學(xué)化的過程，它分為“橫向數(shù)學(xué)化”和“縱向數(shù)學(xué)化”。[1]所謂“橫向數(shù)學(xué)化”，也就是從生活、現(xiàn)實、對象到數(shù)學(xué)的一種提煉、抽象和概括；所謂“縱向數(shù)學(xué)化”，就是在數(shù)學(xué)學(xué)科世界中對相關(guān)的數(shù)學(xué)知識進(jìn)行再重塑。

（一）從形真到神真：引導(dǎo)學(xué)生經(jīng)歷“橫向數(shù)學(xué)化”

“橫向數(shù)學(xué)化”是一種從生活到數(shù)學(xué)的抽象。為此，教師要從學(xué)生的生活經(jīng)驗開始，引導(dǎo)學(xué)生進(jìn)行思考、探究。要將學(xué)習(xí)對象進(jìn)行抽象和提煉、抽象和概括。這個過程也就是形式化、公理化的過程。同時，教師還要引導(dǎo)學(xué)生善于應(yīng)用數(shù)學(xué)學(xué)科知識進(jìn)行解釋、應(yīng)用，將數(shù)學(xué)學(xué)科知識應(yīng)用到生活實踐中去。換言之，在引導(dǎo)學(xué)生“再創(chuàng)造”學(xué)習(xí)過程中，教師一方面要引導(dǎo)學(xué)生經(jīng)歷數(shù)學(xué)化過程；另一方面要催生學(xué)生進(jìn)行生活化應(yīng)用。如，教學(xué)“一一間隔”這一部分內(nèi)容時，我借助于多媒體課件，呈現(xiàn)了學(xué)生生活中的諸種“一一間隔”排列現(xiàn)象，引導(dǎo)學(xué)生逐步地抽象、概括。一開始，學(xué)生僅僅關(guān)注了特征現(xiàn)象，如“某某物體比某某物體多一個”。隨著觀察、比較、操作等具身認(rèn)知活動的深入，學(xué)生逐步抽象、概括出“兩端物體相同，兩端物體比中間物體多一個；兩端物體不同，兩種物體的個數(shù)相等”等。在此基礎(chǔ)上行，通過追問、成組的圈畫，能讓學(xué)生深刻認(rèn)識到“特征背后的數(shù)理”，即“兩端物體相同，整組圈畫最后一定剩下一個”“兩端物體不同，可以進(jìn)行整組圈畫”。由此，學(xué)生會用自己的方式進(jìn)行概括，如符號概括等。橫向數(shù)學(xué)化能發(fā)展學(xué)生的抽象思維。

（二）從表層到本質(zhì)：引導(dǎo)學(xué)生經(jīng)歷“縱向數(shù)學(xué)化”

“縱向數(shù)學(xué)化”是一種對數(shù)學(xué)知識的進(jìn)一步提煉、抽象和概括。縱向數(shù)學(xué)化，能讓學(xué)生的數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)從表層走向深層、從現(xiàn)象走向本質(zhì)?？v向數(shù)學(xué)化，要促進(jìn)學(xué)生對相關(guān)學(xué)科知識的深度理解。如教學(xué)“解決問題的策略——轉(zhuǎn)化”這一部分內(nèi)容時，學(xué)生遇到了這樣的問題：++……。有學(xué)生采用了“實算”的方法；有學(xué)生采用了“以小見大找規(guī)律”的策略等。但我認(rèn)為，這兩種方法都是一種“表層方法”，是一種通過觀察得到的方法。如何引導(dǎo)學(xué)生的數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)從表層走向本質(zhì)？我在教學(xué)中引導(dǎo)學(xué)生畫圖，讓學(xué)生邊畫邊思、邊思邊畫。通過學(xué)生具身認(rèn)知，促進(jìn)學(xué)生的認(rèn)知進(jìn)階、思維進(jìn)階。學(xué)生用正方形來表示整數(shù)“1”，然后依次表示在解決問題的過程中，抓住“分?jǐn)?shù)”“分?jǐn)?shù)算式”等的特點，引導(dǎo)學(xué)生逐步縱向數(shù)學(xué)化，讓學(xué)生建構(gòu)“算式”的圖式模型。學(xué)生借助于數(shù)學(xué)模型有效地解決了數(shù)學(xué)問題，同時對問題的數(shù)學(xué)本質(zhì)也有了深刻的感悟?？v向數(shù)學(xué)化，促進(jìn)了學(xué)生的數(shù)學(xué)認(rèn)知推進(jìn)。

（三）從低階到高階：引導(dǎo)學(xué)生經(jīng)歷“結(jié)構(gòu)數(shù)學(xué)化”

結(jié)構(gòu)數(shù)學(xué)化是一種基于學(xué)科系統(tǒng)的整體建構(gòu)。它往往是在學(xué)生經(jīng)歷了“橫向數(shù)學(xué)化”和“縱向數(shù)學(xué)化”的基礎(chǔ)上展開的。結(jié)構(gòu)化是將數(shù)學(xué)學(xué)科知識整合起來，成為一個系統(tǒng)性、結(jié)構(gòu)性的整體。瑞士教育心理學(xué)皮亞杰曾經(jīng)這樣說，“全部的數(shù)學(xué)都可以按照結(jié)構(gòu)的建構(gòu)來考慮”，而這種建構(gòu)始終是開放性、動態(tài)性、生成性的。皮亞杰認(rèn)為，“數(shù)學(xué)就是用更強(qiáng)的結(jié)構(gòu)來予以結(jié)構(gòu)化”。[2]如在教學(xué)“角的度量”這一部分內(nèi)容時，一方面，我依托學(xué)生的“認(rèn)識厘米”的學(xué)習(xí)經(jīng)驗，引導(dǎo)學(xué)生進(jìn)行知識建構(gòu)；另一方面，通過這一部分內(nèi)容的教學(xué)，引導(dǎo)學(xué)生樹立一種“包含”的大觀念，即“測量對象中包含多少個測量單位”。循著這一結(jié)構(gòu)化教學(xué)思路，就可以引導(dǎo)學(xué)生通過具身認(rèn)知活動來認(rèn)識“角的度量單位”“建構(gòu)量角尺的雛形”，并讓學(xué)生把握作為測量角的大小的工具——“量角器”以及測量角的活動的本質(zhì)。在此基礎(chǔ)上，引導(dǎo)學(xué)生學(xué)習(xí)其他相關(guān)數(shù)學(xué)與知識如“長方形的面積”“長方體的體積”“時分秒”等時，學(xué)生就能積極地實現(xiàn)知識遷移、方法遷移等。結(jié)構(gòu)數(shù)學(xué)化有助于學(xué)生對整個的數(shù)學(xué)學(xué)科系統(tǒng)進(jìn)行整體性建構(gòu)。

具身認(rèn)知視域下的數(shù)學(xué)與再創(chuàng)造，是一種手腦協(xié)同活動的再創(chuàng)造。借助于橫向數(shù)學(xué)化、縱向數(shù)學(xué)化和結(jié)構(gòu)數(shù)學(xué)化，學(xué)生的思維能有效地爬坡。作為教師，要激發(fā)學(xué)生具身認(rèn)知的興趣，調(diào)動學(xué)生的具身認(rèn)知積極性，讓學(xué)生的具身認(rèn)知喚醒、激發(fā)、生長學(xué)生的數(shù)學(xué)高階思維。

二、具身認(rèn)知視域下的數(shù)學(xué)“再創(chuàng)造”的策略

基于具身認(rèn)知的視域，教師在教學(xué)中要引導(dǎo)學(xué)生進(jìn)行積極的再創(chuàng)造。為此，教師要將教材中處于壓縮形態(tài)的數(shù)學(xué)學(xué)科知識解壓縮，通過學(xué)生的再創(chuàng)造活動，恢復(fù)其誕生時候的鮮活狀態(tài)。[3]實踐證明，只有讓學(xué)生進(jìn)行具身認(rèn)知、充分地經(jīng)歷數(shù)學(xué)學(xué)科知識的再創(chuàng)造，才能助推學(xué)生的數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)，才能讓學(xué)生掌握數(shù)學(xué)學(xué)科知識的本質(zhì)。

（一）先行組織，為學(xué)生數(shù)學(xué)“再創(chuàng)造”提供條件

學(xué)生的數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)再創(chuàng)造，不同于人類探索知識時候的原始創(chuàng)造。在引導(dǎo)學(xué)生進(jìn)行數(shù)學(xué)再創(chuàng)造的過程中，教師要創(chuàng)設(shè)平臺、提供條件，對學(xué)生的再創(chuàng)造進(jìn)行助推。同時，通過提供條件、搭建平臺、給予支架，能提高學(xué)生數(shù)學(xué)再創(chuàng)造的效能。為此，教師要對相關(guān)的內(nèi)容、素材、資源等進(jìn)行發(fā)掘，要對相關(guān)的內(nèi)容、資源、素材進(jìn)行先行組織。通過先行組織，幫助學(xué)生搭建再創(chuàng)造的橋梁。如教學(xué)“梯形的面積”這一部分內(nèi)容時，教師就可以應(yīng)用“平行四邊形的面積”“三角形的面積”等相關(guān)活動經(jīng)驗，搭建學(xué)生數(shù)學(xué)再創(chuàng)造的橋梁。如我在教學(xué)中首先引導(dǎo)學(xué)生復(fù)習(xí)“三角形的面積公式”“平行四邊形的面積公式”，回歸它們的推導(dǎo)過程，從而為學(xué)生創(chuàng)造梯形的面積公式奠定過程形態(tài)探究的基礎(chǔ)。在此基礎(chǔ)上，放手讓學(xué)生展開自主性、自能性的思考、探究。學(xué)生就主動調(diào)動自我的經(jīng)驗進(jìn)行積極的嘗試，并進(jìn)而搜索頭腦中的相關(guān)的經(jīng)驗線索、知識脈絡(luò)等。他們或畫圖推導(dǎo)，或操作推導(dǎo)。自行應(yīng)用相關(guān)的方法如“倍拼法”“剪拼法”“分割法”等借助于具身認(rèn)知活動，建構(gòu)、創(chuàng)造出梯形的面積公式。如此，學(xué)生對新知舊知以及相關(guān)聯(lián)的將來學(xué)習(xí)的未知就能形成一種有生命力的知識結(jié)構(gòu)，進(jìn)而形成有活力的認(rèn)知結(jié)構(gòu)。

（二）原型啟發(fā)，對學(xué)生數(shù)學(xué)“再創(chuàng)造”形成啟示

具身認(rèn)知視野下的再創(chuàng)造，應(yīng)當(dāng)是一種啟發(fā)、引導(dǎo)、點撥下的再創(chuàng)造。在學(xué)生的再創(chuàng)造過程中，教師不宜將數(shù)學(xué)再創(chuàng)造的方法直接告知、告訴，而應(yīng)當(dāng)借助于原型對學(xué)生進(jìn)行啟發(fā)，讓學(xué)生獲得啟示，如知識原型、生活原型等。如，教學(xué)“畫平行線”這一部分內(nèi)容時，很多教師往往苦口婆心地講解畫平行線的要領(lǐng)。學(xué)生盡管“記住”了所謂的“兩重合”等要點，但卻很容易遺忘。究其根本，是因為學(xué)生對“畫平行線”缺乏鮮活的操作表象。作為教師，不妨向?qū)W生展示推拉門、推拉窗戶的操作過程，幫助學(xué)生在頭腦中建立“生活原型”。然后，引導(dǎo)學(xué)生根據(jù)生活原型進(jìn)行數(shù)學(xué)再創(chuàng)造：畫平行線關(guān)鍵是什么？（讓三角尺或者支持能平移）如何讓三角尺或直尺平移？（建立軌道）如何建立軌道？（讓三角尺或直尺與所平行的直線重合）。如此，學(xué)生就會借助于生活原型進(jìn)行再創(chuàng)造，從而形成一種具身認(rèn)知的樣態(tài)。實踐證明，生活原型能固化學(xué)生的數(shù)學(xué)認(rèn)知，能推動學(xué)生的數(shù)學(xué)再創(chuàng)造。借助于生活原型等的經(jīng)驗性認(rèn)知，學(xué)生會找到新知與原型的關(guān)聯(lián)，找到問題解決的路徑，進(jìn)而能有效建構(gòu)新知。通過原型啟發(fā)，能有效發(fā)展學(xué)生的數(shù)學(xué)抽象、反思和創(chuàng)造能力。

（三）演繹修正，為學(xué)生數(shù)學(xué)“再創(chuàng)造”糾偏航向

學(xué)生的數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)“再創(chuàng)造”，是一種積極的嘗試、探索過程。在這個過程中，學(xué)生難免會發(fā)生錯誤。作為教師，可以通過邏輯演繹，對自我的數(shù)學(xué)猜想、類比等證實或證偽。演繹修正，就是要為學(xué)生的數(shù)學(xué)“再創(chuàng)造”糾偏航向。教學(xué)中，教師要引導(dǎo)學(xué)生將自我的直覺思維與演繹思維等結(jié)合起來，引導(dǎo)學(xué)生進(jìn)行合理性、合情性的猜測，對猜想等進(jìn)行驗證、檢驗。如，在教學(xué)“3 的倍數(shù)的特征”時候，學(xué)生會自然地隱喻類比“2 的倍數(shù)的特征”“5 的倍數(shù)的特征”等相關(guān)內(nèi)容，形成錯誤的猜想。面對學(xué)生的錯誤猜想，教師不必失措，而應(yīng)當(dāng)順著學(xué)生的思路，引導(dǎo)學(xué)生通過具身性的驗證實驗活動對自我進(jìn)行否定，從而糾正學(xué)生的錯誤猜想、激發(fā)學(xué)生新的猜想。借助于百數(shù)表的深度觀察，借助于“計數(shù)器聽音判定”等相關(guān)的游戲活動，學(xué)生能提出新的猜想，并積極主動驗證自己的猜想。在此基礎(chǔ)上，教師可以引導(dǎo)學(xué)生演繹證明，將一個數(shù)分成若干個9、99、999 等以及各個數(shù)位上數(shù)字的和。我們知道，若干個9、99、999 等一定是3 的倍數(shù)。因此，決定一個數(shù)是否3 的倍數(shù)關(guān)鍵是看這個數(shù)減去若干個9、99、999 等后余下的數(shù)，也就是各個數(shù)位上數(shù)字之和。在具身性的操作、演繹性的修正活動中，學(xué)生對數(shù)學(xué)學(xué)科知識的認(rèn)知達(dá)到本質(zhì)。

“再創(chuàng)造”的方式方法很多。作為教師，要引導(dǎo)學(xué)生充分經(jīng)歷數(shù)學(xué)化的過程。要創(chuàng)設(shè)條件、打造平臺、提供幫助，助推學(xué)生的數(shù)學(xué)再創(chuàng)造活動。通過數(shù)學(xué)“再創(chuàng)造”，提升學(xué)生的數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)力，讓學(xué)生學(xué)會思考、學(xué)會建構(gòu)、學(xué)會創(chuàng)造。實踐證明，“再創(chuàng)造”是學(xué)生數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的有效方式，能發(fā)展學(xué)生數(shù)學(xué)“核心素養(yǎng)”。

三、具身認(rèn)知視域下的數(shù)學(xué)“再創(chuàng)造”的價值

學(xué)生的數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)“再創(chuàng)造”對于學(xué)生的數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)而言具有重要的意義和價值。在小學(xué)數(shù)學(xué)學(xué)科教學(xué)中，教師要引導(dǎo)學(xué)生觀察、比較、猜想、驗證、推理、嘗試等“身心一體”的活動。具身認(rèn)知與學(xué)生的數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)有著天然的關(guān)聯(lián)。作為教師，要通過學(xué)生的數(shù)學(xué)化活動，通過學(xué)生的具身認(rèn)知活動，激發(fā)學(xué)生的學(xué)習(xí)興趣、深化學(xué)生的體驗、讓學(xué)生建立廣泛的認(rèn)知聯(lián)結(jié)。

（一）“再創(chuàng)造”學(xué)習(xí)能激發(fā)學(xué)生“高興趣”

相比較于說教性的數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)，“再創(chuàng)造學(xué)習(xí)”一種更高興趣的學(xué)習(xí)。再創(chuàng)造，讓學(xué)生真正成為數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的主體、主人。在數(shù)學(xué)“再創(chuàng)造”活動中，學(xué)生會積極主動地猜想、探究，將學(xué)習(xí)內(nèi)容作為研究對象。如此，數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)內(nèi)容在學(xué)生的眼里、心中就會變得有趣起來。對于學(xué)生來說，他們學(xué)習(xí)的動力不應(yīng)當(dāng)僅僅來自外部的壓力，更應(yīng)當(dāng)來自自身的一種內(nèi)在需要、興趣、欲望?！霸賱?chuàng)造”學(xué)習(xí)，就是給學(xué)生提供了更多的動腦、動手等的手腦協(xié)同認(rèn)知的機(jī)會，點燃了學(xué)生的內(nèi)在學(xué)習(xí)興趣、積極性、探索欲望等。如教學(xué)“長方體和正方體的認(rèn)識”這一部分內(nèi)容，如果教師僅僅讓學(xué)生觀察、歸納特征，整個學(xué)習(xí)就會顯得索然無味。如果教師引導(dǎo)學(xué)生具身認(rèn)知，讓學(xué)生動手做一個“長方體模型”，才會激發(fā)學(xué)生學(xué)習(xí)興趣。學(xué)生就會積極主動地尋找、探尋結(jié)構(gòu)性的小棒，進(jìn)而會將這些小棒搭建成長方體。在這個過程中，學(xué)生自然會認(rèn)識長方體的特征。這種對長方體特征的掌握，是學(xué)生的一種感受性、體驗性的認(rèn)知，是深刻的、持久的。

（二）“再創(chuàng)造”學(xué)習(xí)能引發(fā)學(xué)生“深體驗”

“再創(chuàng)造”活動是一種手腦一體化的活動。既然是“手腦協(xié)同”“手腦一體”化的活動，就一定能深化學(xué)生的“學(xué)習(xí)體驗”。[4]在數(shù)學(xué)“再創(chuàng)造”活動中，教師將學(xué)生的外在壓力轉(zhuǎn)化為自身的內(nèi)在需要，將單一的紙筆演算轉(zhuǎn)變?yōu)榫呱砘顒?，就能讓學(xué)生獲得深度體驗。作為教師，要給予學(xué)生更多的動腦思考、動手實踐機(jī)會。如，教學(xué)“可能性”這一部分內(nèi)容，如果僅僅指向結(jié)果，很多學(xué)生都會憑借自身的經(jīng)驗、直覺直接得出相關(guān)的“結(jié)論”。而如果教師引導(dǎo)學(xué)生開展 “摸球”的具身認(rèn)知實驗活動，就會深化學(xué)生的認(rèn)知體驗，讓學(xué)生生發(fā)出諸多的感悟。如有的學(xué)生認(rèn)為，每一次摸球，袋子中的每一個球被摸到的可能性是相等的；有的學(xué)生認(rèn)為，為了讓每一個球被摸到的機(jī)會均等，每一次摸球時應(yīng)當(dāng)搖一搖袋子；有的學(xué)生認(rèn)為，每一次摸球之后應(yīng)當(dāng)將被摸到的球放置到袋子中，等等。正是通過摸球的具身實踐，才能讓學(xué)生不僅對摸球的結(jié)果有了認(rèn)知，而且對摸球的過程也產(chǎn)生了科學(xué)性的見解、主張。具身認(rèn)知活動，讓學(xué)生對學(xué)習(xí)表現(xiàn)出強(qiáng)烈的探究興趣、探究愿望。

（三）“再創(chuàng)造”學(xué)習(xí)能促進(jìn)學(xué)生“廣聯(lián)結(jié)”

具身認(rèn)知視野下的數(shù)學(xué)“再創(chuàng)造”活動，能引導(dǎo)學(xué)生對之進(jìn)行深度加工、多變處理、靈活應(yīng)用。作為教師，要采用不同的方式進(jìn)行聯(lián)結(jié)，將學(xué)生頭腦中相關(guān)數(shù)學(xué)學(xué)科知識串接成線、連線成面、勾面成體。要通過具身認(rèn)知活動，引導(dǎo)學(xué)生對數(shù)學(xué)知識形成過程產(chǎn)生針對性、多層面的認(rèn)知。要通過經(jīng)驗豐富、擴(kuò)展、深化，對學(xué)生進(jìn)行經(jīng)驗的改造、重組。如，教學(xué)“異分母分?jǐn)?shù)加減法”這一部分內(nèi)容時，我就有意識地喚醒、激活學(xué)生的“整數(shù)加減法”“小數(shù)加減法”等相關(guān)活動經(jīng)驗，引導(dǎo)學(xué)生再創(chuàng)造“異分母加減法的法則”。在觀察、比較、演算、驗算的過程中，學(xué)生能積極主動地將“整數(shù)加減法”“小數(shù)加減法”“異分母分?jǐn)?shù)加減法”等相關(guān)內(nèi)容關(guān)聯(lián)起來，從而引導(dǎo)學(xué)生建構(gòu)一種整體性、上位性的認(rèn)知，即“只有計數(shù)單位相同才能直接相加減”。這樣的一種上位認(rèn)知，就是學(xué)生的高觀點、大觀念，對于學(xué)生后續(xù)學(xué)習(xí)相關(guān)加減法知識具有重要的啟發(fā)、遷移作用。

具身認(rèn)知視域下的“再創(chuàng)造”活動，能有效發(fā)展學(xué)生的高階思維。作為教師，要努力創(chuàng)設(shè)條件、打造平臺，讓學(xué)生成為數(shù)學(xué)學(xué)科知識的建構(gòu)者、創(chuàng)造者，成為數(shù)學(xué)定理、法則的發(fā)現(xiàn)者、探索者?；诰呱碚J(rèn)知視域下的“再創(chuàng)造”活動，旨在通過學(xué)習(xí)方式、學(xué)習(xí)理念等的轉(zhuǎn)變，來培育學(xué)生的數(shù)學(xué)素養(yǎng)，從而改變傳統(tǒng)數(shù)學(xué)教學(xué)“說教化”“紙筆化”現(xiàn)狀，從而更好地彰顯數(shù)學(xué)學(xué)科的育人功能，體現(xiàn)數(shù)學(xué)學(xué)科教育的時代性。