星冕儀制冷機黏彈性隔振平臺的非線性振動建模分析

張 宏，劉寶祿，許明明*，竇江培

（1.中國科學院 南京天文光學技術研究所，南京 210042；2.中國科學院 天文光學技術重點實驗室，南京 210042；3.中國科學院大學 天文與空間科學學院，北京 100049）

0 引言

太陽系外生命及系外行星的探測一直都是國際天文學領域研究的熱點之一[1-3]。星冕儀作為系外行星直接成像的關鍵部件之一[4]，其穩(wěn)定性要求極高，因為如需探測到距離觀測儀器10 pc 處的類地行星系統(tǒng)，則角分辨率需達0.1″，也就是說，星冕儀模塊目標成像對比度將高達10-8及以上。提高星冕儀光學穩(wěn)定性的方式主要有主動光學矯正、熱控和微振動抑制3 種。本文主要論及微振動抑制。

在軌航天載荷的微振動抑制技術主要有主動隔振、被動隔振、主被動混合隔振以及半主動隔振技術，其中，被動隔振技術因無需外部能源，在空間任務中能有效壓縮載荷質(zhì)量，且具有可靠性高、穩(wěn)定性強的優(yōu)點，故應用較為普遍。目前工程上常用的被動隔振系統(tǒng)物理模型通常為彈簧與阻尼元件的并聯(lián)組合[5-7]，其與黏彈性材料的Kelvin-Voigt 本構模型一致，能夠在一定程度上反映隔振器的動力學特性，有助于對隔振系統(tǒng)進行理論分析。然而，隨著空間載荷的指向精度要求越來越高，對于隔振系統(tǒng)的要求愈發(fā)嚴苛，相關研究從傳統(tǒng)的線性隔振系統(tǒng)紛紛轉向非線性的振動設計領域[8]，并大量使用黏彈性阻尼材料[9]以及記憶合金[10]等新型材料進行微振動抑制。例如：鄒元杰等[11]設計了用于大型環(huán)形天線的黏彈性阻尼器和金屬橡膠阻尼器，試驗結果表明被動隔振方案下振動幅值分別下降了78.7%和66%；龐世偉等[12]針對高分辨率遙感衛(wèi)星設計了黏彈性隔振方案，隔振器在軌工作正常，滿足各項功能指標要求；Uchida 等[13]研究了超彈性合金在航天器微振動隔離器中的應用，并研制了支柱式隔離器，結果表明其在室溫下滿足傳遞率要求?？紤]到在諸如黏彈性材料的非線性領域中繼續(xù)使用線性的振動模型可能會使得研究數(shù)據(jù)精度下降，因此需要拓展傳統(tǒng)的線性物理模型以適應非線性的微振動隔振理論研究。

本文基于中國空間站巡天望遠鏡（CSST）星冕儀制冷機振動模塊，對傳統(tǒng)的黏彈性材料彈簧-阻尼并聯(lián)模型進行非線性擴展，假設模型所含彈簧元件提供三階多項式的彈性恢復力，通過改變外界激勵條件，研究擴展后的模型在受迫振動時的動力學行為，旨在提高黏彈性隔振平臺的設計精度，進一步理解空間制冷機隔振器的微振動特性，為愈發(fā)復雜的微振動隔振設計提供新思路。

1 隔振器物理模型

通常，CSST 星冕儀制冷機產(chǎn)生的微振動經(jīng)連接螺栓傳遞至間隔結構，隔振器即安裝于連接螺栓上（如圖1 所示）。該隔振系統(tǒng)由上平臺及基座組成，制冷機剛性安裝于上平臺，上平臺與基座中間由4 組隔振單元連接，隔振單元垂直高度為H。假設平臺以及制冷機是總質(zhì)量為m的剛體，則4 組隔振單元的質(zhì)量遠小于m，故不考慮隔振單元的質(zhì)量。P-xyz為原點固定于上平臺質(zhì)心的定坐標系，即該坐標系不隨上平臺的移動而改變；B-xyz為實驗室定參考坐標系。系統(tǒng)內(nèi)所有坐標系及旋轉角都遵循右手法則。

圖1 星載制冷機模型隔振示意Fig.1 Schematic diagram of vibration isolation for a spaceborne cryocooler model

由于所采用的隔振器為硅橡膠材質(zhì)，故作黏彈性材料假設，物理模型如圖2 所示，用單自由度運動方程來離散連續(xù)系統(tǒng)。

圖2 隔振系統(tǒng)物理模型示意Fig.2 Schematic diagram of the physical model of the vibration isolation system

該線性固體黏彈性材料的本構方程為

式中：σ為應力；E為彈簧的彈性模量；ε為應變；μ為阻尼的黏度參數(shù)；t為時間。

2 硅橡膠隔振器準靜態(tài)試驗分析

硅橡膠具有良好的隔振、耐高溫及耐低溫等特性，因此常被用于空間載荷的隔振系統(tǒng)。使用試驗機測試單個硅橡膠隔振墊在不同壓縮載荷下的變形（如圖3 所示），其中，壓縮載荷采用位移方法控制，直到位移達到-5 mm。測試得到的載荷-變形曲線如圖4 所示，可觀察到非線性荷載位移特征。以導出非線性阻尼的表達式。圖5 為一個擴展的非線性實體模型，其中彈簧是非線性的，故將其命名為非線性實體模型。非線性彈簧表示系統(tǒng)的剛度是非線性的，提供彈性力k1x+k2x2+k3x3，其中：k1是彈簧的線性剛度；k2是二次剛度系數(shù)；k3是立方剛度系數(shù)；x是質(zhì)量塊的動態(tài)位移。

圖3 硅橡膠隔振墊壓縮試驗Fig.3 Compression test of a silicone rubber isolator

圖4 硅橡膠隔振墊位移-負載特性曲線Fig.4 Load-displacement characteristic curve of a silicone rubber isolator

圖5 Kelvin-Voigt 模型與非線性實體模型Fig.5 Kelvin-Voigt model and nonlinear solid model

橡膠材料屬于一種高分子材料，其分子微觀結構是由卷曲的長分子鏈鉸接形成的結構。當受到外界載荷拉伸時，卷曲的長分子鏈逐漸伸直，從宏觀上看，這種長分子鏈的伸直可以表現(xiàn)為尺寸高達幾倍的大變形；當外界拉伸載荷消失后，伸直的長分子鏈又可以恢復原狀[14]。因此，與傳統(tǒng)圓柱螺旋彈簧相比，硅橡膠隔振器呈現(xiàn)出明顯的非線性特征。

對實驗數(shù)據(jù)進行多項式函數(shù)擬合，迭代次數(shù)13 次，達到10-9的Chi-sqr 的容差值，擬合收斂。其負載與形變的關系為y=a0+a1x+a2x2+a3x3+…，其中：a0=0.8，a1=-24.7，a2=177.8，a3=-329。

與線性振動方程相比，非線性的彈性力關系更適宜建立振動控制方程。

3 非線性振動建模

考慮到材料模型的非線性，對式(1)加以擴展，

式中：τ=μ/E為黏彈性松弛時間常數(shù)；x是描述質(zhì)量位移的坐標。本構方程(2)是一個常微分方程，它給出了施加在質(zhì)量上的黏彈性動力F(t)。

系統(tǒng)的運動微分方程為

式中：m表示模塊的質(zhì)量；f～為激勵力的振幅；ω為激勵頻率；φ為相位角。

對于周期激勵，通過諧波平衡法可得x的前三階表達形式如下：

由于位移分量并非全部同相，所以不再可能對彈性力和阻尼力進行簡單解釋，故在此引入所有項同相的簡化表達式。同時，式(2)的解有如下形式：

式(4)和式(5)中，a0,a1,a2,f0,f1s,f1c, …皆為待確定系數(shù)。

忽略式(3)與式(4)中激勵頻率高于三次的亞諧波與超諧波，將式(4)和(5)代入式(2)，則對于式(2)的零階項，有代數(shù)方程

式(7)給出了系統(tǒng)的彈性響應，它是與x同相的機械力。式(8)給出了系統(tǒng)的阻尼力，與頻率相關，相對于位移x具有相位差。同理可得出二階與三階對應的項：

同理可得二階、三階項的控制方程，通過這6 個控制方程，可找到未知參數(shù)a0,a1,a2,a3的數(shù)值解。

阻尼力可寫為

其中，剛度呈現(xiàn)出經(jīng)典的線性、二次和三次項，與線性黏彈性中獲得的動態(tài)剛度一致。事實上，目前的方法是將系統(tǒng)的非線性行為考慮在內(nèi)的線性彈性系數(shù)的擴展。

式中ζ是阻尼比。將式(12)和式(13)引入式(3)，則有

式(15)是具有二次和三次非線性的單自由度非線性系統(tǒng)對黏彈性行為的推廣。涉及二階時間導數(shù)的項是慣性力；第二項表示恒定剛度（具有線性、二次和三次分量）；第三項與一階時間導數(shù)相關，表示非線性阻尼；等號右端為外部激勵項。式(15)可直接進行數(shù)值求解，不必再利用諧波平衡法進行計算。

4 模型分析

根據(jù)硅橡膠隔振器準靜態(tài)試驗分析（如圖4 所示）可知，線性剛度應用于振動模型時省略了更高階的彈性分量，顯然與實際不符，會導致線性擬合黏彈性材料的載荷-變形特性出現(xiàn)極大偏差（如圖6所示），數(shù)據(jù)分析精度下降。

圖6 硅橡膠隔振墊載荷形變特性的線性擬合Fig.6 Linear fitting of the load-deformation of a silicone rubber isolator

擴展后的非線性實體模型主要適用于采用黏彈性材料的微振動隔振系統(tǒng)。在黏彈性材料呈現(xiàn)較強的非線性彈性行為時，二次及更高階次的剛度分量會對該模型的精度產(chǎn)生顯著影響；然而更多的高階項意味著求解時的計算量大幅上升，會對數(shù)值求解造成阻礙。因此，選用合適的階數(shù)是平衡精度需求與計算量的關鍵。

隔振器組件的阻尼特性可通過對硅橡膠隔振墊施加循環(huán)應力得出。設計特定工裝夾具，首先控制壓縮位移到-1 mm，隨后釋放，再施加拉伸負載到1 mm，通過該位移控制方法循環(huán) 0.1 Hz 的準靜態(tài)載荷，結果如圖7 所示。

圖7 循環(huán)載荷測試結果Fig.7 Test results of cyclic load

當黏彈性阻尼材料受到交變應力時，其應變滯后于應力德爾塔相位角，從而產(chǎn)生滯后效應。單個循環(huán)中拉伸-壓縮變形模式下阻尼材料單位體積的能量損失為ΔW=πγ2E1tanδ=πγ2E2，其中：E1為儲能模量；E2為損耗模量；γ為應變幅度。

一個循環(huán)中阻尼材料每單位體積的總應變能為W=(γ2E1)/2，因此，黏彈性阻尼材料的損耗因子可定義為tanδ=ΔW/(2πW)=2ζ，根據(jù)該式即可得出測試材料的阻尼比ζ。

為分析該動力學模型的動力學行為，將式(15)用一階方程組表示，即

圖8 為隔振系統(tǒng)隨外部激勵幅值f變化的相軌跡曲線，可見系統(tǒng)在該條件下表現(xiàn)出復雜的運動行為。

圖8 不同受迫激勵幅值f 下的系統(tǒng)相平面Fig.8 Phase plane of the system with different forcing excitation amplitude f

圖9 為隔振系統(tǒng)隨外部激勵幅值f變化的幅頻曲線，可見：激勵幅值的增加導致系統(tǒng)的振幅隨之增大。由圖9 可見特有的跳躍現(xiàn)象，即隨著激勵頻率增大，隔振系統(tǒng)的振幅沿幅頻曲線變化：當達到點2 時，振幅則從點2 跳躍至點3；若激勵頻率ω逐漸減小，振幅從點4 開始沿曲線的下半分支變化至點5 處；再減小ω，振幅則從點5 躍至點6，然后沿曲線的上半分支向點1。因此受迫振幅在點2～3的振動是不穩(wěn)定的，這說明外部激勵幅值f對整個系統(tǒng)影響很大。在實際隔振系統(tǒng)中，應當盡量控制激勵振幅的大小，從而保證系統(tǒng)的平穩(wěn)運行或工作。

圖9 外部激勵幅值對系統(tǒng)振幅的影響Fig.9 The influence of external excitation amplitude on the vibration amplitude of the system

固定激勵幅值，初始值取x1=0,x2=0，外部激勵頻率變化對系統(tǒng)的影響如圖10 所示，可見：隨著外部激勵頻率的逐漸增大，全部相軌跡漸進趨于一條封閉曲線；而當激勵頻率繼續(xù)增大時，軌跡線逐漸退化為以原點為中心的圓。這表明系統(tǒng)有著穩(wěn)態(tài)的周期運動。

圖10 外部激勵頻率對系統(tǒng)相軌的影響Fig.10 The influence of external excitation frequency on the phase track of the system

5 結束語

本文以中國空間站巡天望遠鏡（CSST）星冕儀制冷機的被動隔振系統(tǒng)為研究對象，通過在標準線性固體材料中引入彈性力獲得了單自由度的非線性振動模型，從而對Kelvin 模型進行了擴展，并從中導出非線性阻尼；然后以微分形式獲得了擴展后的幾何非線性Kelvin 模型振動運動方程。該模型能夠補充現(xiàn)如今常用隔振系統(tǒng)的振動理論所涉及的非線性項內(nèi)容，適用于非線彈性明顯的結構假設。

下一步研究將考慮在理論分析的基礎上進行更全面的實驗以及優(yōu)化設計，通過設計新的非線性振動試驗裝置來驗證該模型的精確度。