二階主共振下旋轉(zhuǎn)葉片振動(dòng)抑制器穩(wěn)定性研究

宋 洋, 張 博, 陳旭東, 丁 虎, 陳立群

(1. 上海大學(xué) 力學(xué)與工程科學(xué)學(xué)院,上海 200444; 2. 長(zhǎng)安大學(xué) 理學(xué)院,西安 710064; 3.西安熱工研究院有限公司,西安 710054)

旋轉(zhuǎn)葉片是燃?xì)廨啓C(jī)的核心部件,其在工作過(guò)程中常常因?yàn)閮?nèi)共振而發(fā)生大幅的有害的振動(dòng),導(dǎo)致其損壞,進(jìn)而令燃?xì)廨啓C(jī)無(wú)法正常使用。主動(dòng)控制作為一種精準(zhǔn)有效的減振措施,受到國(guó)內(nèi)外學(xué)者的廣泛關(guān)注。

一直以來(lái)都有學(xué)者針對(duì)旋轉(zhuǎn)葉片的非線性動(dòng)力學(xué)行為進(jìn)行了研究,通常將旋轉(zhuǎn)葉片建模為梁、板或殼。Yao等[1]利用多尺度法獲得了1∶2內(nèi)共振情形下的自治演化方程,并給出不同參數(shù)下數(shù)值模擬的相位圖、波形和功率譜,說(shuō)明了旋轉(zhuǎn)葉片同時(shí)存在周期性與混沌運(yùn)動(dòng)。Karimi等[2]將葉片建模為Eular-Bernoulli梁,用攝動(dòng)法研究了自由振動(dòng)的旋轉(zhuǎn)葉片在三種不同內(nèi)共振條件下的運(yùn)動(dòng)情況,揭示了不同模態(tài)之間的能量轉(zhuǎn)移現(xiàn)象。Zhang 等[3]用多尺度法得到了1∶2內(nèi)共振條件下考慮預(yù)變形的旋轉(zhuǎn)葉片的演化方程,研究了參數(shù)變化對(duì)系統(tǒng)響應(yīng)的影響,揭示了葉片運(yùn)動(dòng)過(guò)程中的跳躍現(xiàn)象和飽和現(xiàn)象。Zhang等[4]將亞音速氣流激勵(lì)下的旋轉(zhuǎn)預(yù)扭轉(zhuǎn)的復(fù)合材料葉片視作一個(gè)復(fù)合懸臂矩形板,利用三階剪切變形板理論von-Karman型非線性理論和Hamilton原理,推導(dǎo)出了葉片的控制方程。李紅影等[5]針對(duì)殼板凸肩葉片,應(yīng)用Donnell’s簡(jiǎn)化殼理論建立了其非線性振動(dòng)微分方程,并用伽遼金法對(duì)方程離散化,又用平均法分析了模態(tài)方程組。Roy等[6]將旋轉(zhuǎn)葉片建模為T(mén)imoshenko梁,分析了系統(tǒng)參數(shù)對(duì)固有頻率和系統(tǒng)響應(yīng)的影響。文獻(xiàn) [7-12]用對(duì)葉片不同內(nèi)共振情形進(jìn)行了研究,探索出了葉片的非線性動(dòng)力學(xué)行為。

有關(guān)旋轉(zhuǎn)葉片的振動(dòng)控制也吸引著很多學(xué)者的關(guān)注。主動(dòng)控制具有附加質(zhì)量小的優(yōu)點(diǎn),適合用于旋轉(zhuǎn)葉片高溫高壓特殊的工作環(huán)境。智能材料常作為作動(dòng)器用于主動(dòng)控制當(dāng)中。對(duì)主動(dòng)控制的研究多是在對(duì)隔振系統(tǒng)的主動(dòng)控制方法的開(kāi)發(fā)和應(yīng)用上[13],針對(duì)旋轉(zhuǎn)葉片主動(dòng)控制方面的研究較少。駝海濤等[14]用試驗(yàn)研究的方法,基于壓電纖維復(fù)合材料(macro fiber composite,MFC)設(shè)計(jì)了一款PID(proportional integral differential)自整定控制器,降低了太陽(yáng)電池陣帆板在各種外激勵(lì)作用下的振動(dòng),并且加快了帆板趨于穩(wěn)定的時(shí)間,使帆板的振動(dòng)得以有效的控制。宋奎輝等[15]設(shè)計(jì)了一套旋轉(zhuǎn)力發(fā)生器原理樣機(jī),用主動(dòng)控制試驗(yàn)驗(yàn)證了其對(duì)旋翼槳轂的振動(dòng)有著顯著的控制效果。楊理華等[16]提出了一種不需要外界參考信號(hào)的自適應(yīng)控制策略,可以應(yīng)用于復(fù)雜安裝環(huán)境下旋轉(zhuǎn)機(jī)械的振動(dòng)主動(dòng)控制。張仕明等[17]提出了一種迭代-二次規(guī)劃算法,進(jìn)一步減小了控制信號(hào)的保守,提升了控制性能。張博等[18]將壓電纖維復(fù)合材料應(yīng)用于旋轉(zhuǎn)葉片,用多尺度法分析了1∶2內(nèi)共振條件下的一階主共振的情形下的主動(dòng)控制,分析了控制器參數(shù)對(duì)葉片振動(dòng)及其穩(wěn)定性的影響。利用壓電纖維復(fù)合材料可以在幾乎沒(méi)有附加質(zhì)量的條件下完成對(duì)旋轉(zhuǎn)葉片的振動(dòng)控制。雖然主動(dòng)控制方法適合用于在非線性結(jié)構(gòu)中,但是在信號(hào)傳遞過(guò)程中,不可避免得會(huì)產(chǎn)生時(shí)滯。Xu等[19]研究了考慮時(shí)間延遲的van der Pol-Duffing振蕩器,研究了時(shí)間延遲對(duì)平衡點(diǎn)的穩(wěn)定性和分岔的影響。Xu等[20]考慮了一類同時(shí)具有線性和非線性反饋的一階時(shí)滯微分方程,從定性和定量?jī)煞矫嫜芯苛藢?duì)具有時(shí)滯反饋的非線性系統(tǒng)分岔引起的動(dòng)力學(xué)問(wèn)題。以上研究說(shuō)明了時(shí)間延遲給系統(tǒng)的動(dòng)力學(xué)行為帶來(lái)的影響是復(fù)雜的,如何利用時(shí)間延遲帶來(lái)的有利因素,也是重點(diǎn)研究的方向之一。

長(zhǎng)期以來(lái),對(duì)旋轉(zhuǎn)葉片的研究大多通過(guò)研究其不同條件下的振動(dòng)特性,優(yōu)化結(jié)構(gòu)參數(shù)設(shè)計(jì)或調(diào)整轉(zhuǎn)速以降低葉片的振動(dòng),少有通過(guò)主動(dòng)控制的方法來(lái)控制葉片振動(dòng)的研究。故本文基于梯度環(huán)境下旋轉(zhuǎn)葉片動(dòng)力學(xué)模型,引入MFC傳感器和作動(dòng)器建立閉環(huán)受控系統(tǒng)。近期Lu等[21]利用MFC壓電纖維復(fù)合材料,設(shè)計(jì)了自適應(yīng)控制系統(tǒng),用試驗(yàn)驗(yàn)證了控制效果的有效性。本文采用PD(proportional differential)控制,控制效果明顯,控制過(guò)程簡(jiǎn)單。采用多尺度的方法分析了受控葉片在二階主共振情形下穩(wěn)態(tài)響應(yīng),揭示了葉片的響應(yīng)隨控制參數(shù)演變的規(guī)律。

1 模型描述和控制系統(tǒng)運(yùn)動(dòng)方程

本文研究的基于MFC壓電纖維復(fù)合材料的旋轉(zhuǎn)葉片振動(dòng)控制系統(tǒng),如圖1所示。在葉片兩側(cè)對(duì)稱地布置MFC傳感器和作動(dòng)器?？刂破鞴ぷ鲿r(shí),MFC傳感器測(cè)量葉片位移信號(hào)并傳輸給計(jì)算機(jī),經(jīng)過(guò)分析運(yùn)算后得到控制信號(hào),并將控制力信號(hào)輸出給MFC作動(dòng)器,通過(guò)作動(dòng)器的響應(yīng)實(shí)現(xiàn)對(duì)旋轉(zhuǎn)葉片的振動(dòng)控制。

圖1 包含MFC傳感器和作動(dòng)器的旋轉(zhuǎn)葉片示意圖Fig.1 Schematic of a rotating blade containing an MFC sensor and actuator

葉片模型如圖2所示。本文采用2016年Zhang等研究中的利用Lagrange原理結(jié)合假設(shè)模態(tài)法再通過(guò)模態(tài)變換得到的葉片旋轉(zhuǎn)時(shí)的動(dòng)力學(xué)方程?？刂七^(guò)程如圖3所示。在2019年Zhang等和顧偉等的研究中,立方非線性項(xiàng)對(duì)系統(tǒng)響應(yīng)的影響很小,所以本文不計(jì)立方非線性項(xiàng),運(yùn)動(dòng)微分方程為

圖2 模型坐標(biāo)選取與受力示意圖Fig.2 Schematic diagram of model coordinate selection and force

圖3 控制過(guò)程方框圖Fig.3 Control process block diagram

(1)

(2)

式中:q1,q2分別為弦向和翼向模態(tài)坐標(biāo);cd為無(wú)量綱阻尼系數(shù);ω1,ω2為葉片前兩階無(wú)量綱固有頻率;u(t)具體表達(dá)式為

(3)

式中:kp為位移反饋增益;kd為速度反饋增益;τ為信號(hào)采集、傳輸、運(yùn)算、響應(yīng)等環(huán)節(jié)產(chǎn)生的時(shí)間延遲,通常是一個(gè)小量;其他參數(shù)的意義可以參考張博等的研究。

2 多尺度法的攝動(dòng)分析

對(duì)方程進(jìn)行重刻度,并引入兩個(gè)時(shí)間尺度

q1,2?εq1,2,cd?εcd,f1,2?ε2f1,2,
kp?εkp,kd?εkd,T0=t,T1=εt

(4)

式中,ε為無(wú)量綱小參數(shù)。采用多尺度法,假設(shè)式(1)和式(2)的解分別為

q1(t)=q10(T0,T1)+εq11(T0,T1),
q2(t)=q20(T0,T1)+εq21(T0,T1)

(5)

后文會(huì)利用數(shù)值積分驗(yàn)證近似解的合理性。

則考慮延遲效應(yīng)下,采集到的弦向位移信號(hào)

q1(t-τ)=q10(T0-τ,T1-ετ)+

εq11(T0-τ,T1-ετ)=

q10τ(T0,T1)+εq11τ(T0,T1)

(6)

將式(5)、式(6)代入式(1)、式(2)并對(duì)比同冪次系數(shù)

ε項(xiàng)

(7)

ε2項(xiàng)

(8)

式(7)的通解為

q10=A1(T1)eiω1T0+cc,
q20=A2(T1)eiω2T0+cc

(9)

式中:cc為前面各項(xiàng)的共軛復(fù)數(shù);A1,A2為T(mén)1的復(fù)函數(shù),寫(xiě)成極坐標(biāo)形式

(10)

由式(6)和式(9)得

q10τ(T0,T1)=A1(T1-ετ)eiω1(T0-τ)+cc=

A1τeiω1(T0-τ)+cc

(11)

根據(jù)假設(shè)τ為小量,Taylor展開(kāi),因?yàn)?/p>

A1τ(T1)=A1(T1-ετ)=

A1(T1)-ετD1A1+o(ε2)

(12)

本文討論1∶2內(nèi)共振條件下的二階主共振,引入解諧參數(shù)

ω2=2ω1+εσ1,ω=ω2+εσ2

(13)

將式(9)～式(13)代入式(8)得

kpA1eiω1(T0-τ)-kdD0A1eiω1(T0-τ)+cc

(14)

避免久期項(xiàng)的出現(xiàn),需滿足

kpA1e-iω1τ-kdiω1A1e-iω1τ=0,

(15)

分離實(shí)部和虛部,得到受控系統(tǒng)自治演化方程

(16)

(17)

(18)

(19)

式中,φ1=σ1T1-2β1+β2,φ2=σ2T1-β2為了研究該受控系統(tǒng)的穩(wěn)態(tài)響應(yīng),可令受控系統(tǒng)演化方程等號(hào)左側(cè)為0。本文采用Mathematica研究受控系統(tǒng)的動(dòng)力學(xué)行為。

用李雅普諾夫穩(wěn)定性理論研究演化方程的穩(wěn)定性。

3 受控系統(tǒng)響應(yīng)演化規(guī)律

采用張仕明等研究中的參數(shù),如表1所示。

表1 算例系統(tǒng)計(jì)算參數(shù)Tab.1 Parameters of example toroidal drive system

與一階主共振不同的是,二階主共振時(shí)的解析解分為單模態(tài)解和雙模態(tài)解。

為求出穩(wěn)態(tài)響應(yīng)時(shí)振幅的解析解,令式(16)～式(19)的左側(cè)等于0,解出a1,a2的解析解。

單模態(tài)解:

對(duì)于式(16),a1=0顯然是式(16)的一個(gè)解。故將a1=0代入式(18)和式(19),得

(20)

根據(jù)式(20)解得

(21)

進(jìn)而可得到關(guān)于a2的響應(yīng)方程

由式(22)可解得穩(wěn)態(tài)響應(yīng)的單模態(tài)解

a1=0

(23)

(24)

非線性方程通常伴隨著多解,當(dāng)a1≠0時(shí),可以得到方程的雙模態(tài)解。

雙模態(tài)解:

根據(jù)式(16)～式(19),解得

再令式(25)左側(cè)φ1與φ2對(duì)應(yīng)的正余弦平方和等于1,可消去φ1與φ2,得到響應(yīng)方程

(26)

其中,

(27)

解得

(28)

(29)

當(dāng)穩(wěn)定在雙模態(tài)解時(shí),前兩階模態(tài)都有響應(yīng)。用a1,a2穩(wěn)態(tài)時(shí),的解析解分析旋轉(zhuǎn)葉片發(fā)生1∶2內(nèi)共振時(shí),受控旋轉(zhuǎn)預(yù)變形葉片的穩(wěn)態(tài)動(dòng)力學(xué)響應(yīng),圖中穩(wěn)定部分用粗線畫(huà)出,不穩(wěn)定部分用細(xì)線畫(huà)出。

如圖4所示,在關(guān)于σ2=0對(duì)稱的激勵(lì)頻率范圍出現(xiàn)兩次跳變現(xiàn)象,兩個(gè)峰向相反的方向彎曲,這被稱為雙跳躍現(xiàn)象。從圖4中可以看到,當(dāng)速度增益kd增加時(shí),能使方程達(dá)到雙模態(tài)解的激勵(lì)頻率范圍變窄,系統(tǒng)更容易收斂到單模態(tài)解,并且雙模態(tài)解的最值也隨著kd的增大而減小,這說(shuō)明速度增益可以有效地抑制兩階模態(tài)的振幅,這相當(dāng)于增加了系統(tǒng)的阻尼。

圖4 不同速度增益kd下受控系統(tǒng)頻響應(yīng)曲線(τ=0)Fig.4 Frequency response curve of the controlled system for different speed gains kd(τ=0)

如圖5所示,曲線不再以σ2=0為對(duì)稱軸對(duì)稱,說(shuō)明引入位移增益相當(dāng)于破壞了系統(tǒng)1∶2內(nèi)共振的條件,峰值出現(xiàn)在V形曲線的最左端。隨著位移增益kp增大,雙模態(tài)解的最低點(diǎn)逐漸向右偏移。從圖5中發(fā)現(xiàn),在一定的頻率范圍增大kp反而會(huì)使振幅增大。這說(shuō)明位移增益需要適當(dāng)選取。此外,從圖5(a)還可以看出,當(dāng)σ2=0時(shí),V形曲線都交于一點(diǎn),說(shuō)明此時(shí)位移增益對(duì)葉片沒(méi)有控制效果。

圖5 不同位移增益kp下受控系統(tǒng)頻響應(yīng)曲線(τ=0)Fig.5 Frequency response curves of controlled systems for different displacement gains kp(τ=0)

如圖6所示,第一階模態(tài)響應(yīng)隨kp變化的曲線朝左側(cè)彎曲,出現(xiàn)多值現(xiàn)象,且峰值隨著時(shí)間延遲τ增大而減小,曲線的峰值到0值中間出現(xiàn)一段不穩(wěn)定區(qū)域,且隨著τ增大,不穩(wěn)定區(qū)間逐漸減小。但是當(dāng)τ增大到0.03時(shí),系統(tǒng)在一定kp范圍內(nèi)出現(xiàn)所有的解都不穩(wěn)定的情況。不穩(wěn)定時(shí)系統(tǒng)可能會(huì)是發(fā)散的,這種情況應(yīng)該被避免。第二階模態(tài)隨kp變化的曲線也在一段區(qū)間內(nèi)出現(xiàn)多值情況,并且峰值隨著τ增大而減小。

圖6 不同時(shí)間延遲τ下a1,a2隨kp的變化曲線(kd=0)Fig.6 The curve of a1,a2 with kp for different time delay τ(kd=0)

如圖7所示,當(dāng)kd為在一段取值為負(fù)數(shù)的區(qū)間內(nèi),會(huì)令系統(tǒng)不穩(wěn)定,隨著時(shí)滯量增加,系統(tǒng)的穩(wěn)定部分逐漸向右側(cè)偏移。當(dāng)取值達(dá)到穩(wěn)定后,kd增大,會(huì)降低第一階模態(tài)的響應(yīng),第二階模態(tài)響應(yīng)先減小后增大,繼續(xù)增大kd,兩階模態(tài)都將穩(wěn)定至單模態(tài)解。

圖7 不同時(shí)間延遲τ下a1,a2隨kd的變化曲線(kp=2)Fig.7 The curve of a1,a2 with kd for different time delay τ(kp=2)

如圖8所示,適當(dāng)選取kp的值,可以有效降低在kd變化過(guò)程中的峰值。

圖8 不同位移增益kp下a1,a2隨kd的變化曲線(τ=0)Fig.8 The curve of a1,a2 with kd for different displacement gains kp(τ=0)

4 時(shí)滯量對(duì)控制器穩(wěn)定性的影響

圖9繪制了不同時(shí)滯量下受控系統(tǒng)在速度-位移增益平面內(nèi)的穩(wěn)定區(qū)域與不穩(wěn)定區(qū)域圖,其中:區(qū)域A為不穩(wěn)定區(qū)域;區(qū)域B為單模態(tài)解穩(wěn)定但是雙模態(tài)解不穩(wěn)定的區(qū)域;區(qū)域C為雙模態(tài)解穩(wěn)定但是單模態(tài)解不穩(wěn)定的區(qū)域;區(qū)域D為單模態(tài)解和雙模態(tài)解都穩(wěn)定的區(qū)域。 從圖9中可見(jiàn),隨著時(shí)滯量增大,不穩(wěn)定區(qū)域的邊界逐漸傾斜。

圖9 不同時(shí)滯量下受控系統(tǒng)增益穩(wěn)定性區(qū)域Fig.9 Area of gain stability of the controlled system for different time delays

如圖10所示,在圖9(c)中穩(wěn)定區(qū)域與不穩(wěn)定區(qū)域的交界處取一點(diǎn)kd=0.216 4,kp=3.322, (在圖9(c)中用黑色的點(diǎn)標(biāo)出)繪制了穩(wěn)態(tài)響應(yīng)隨時(shí)時(shí)滯量的變化曲線。發(fā)現(xiàn)在不同頻率下的臨界時(shí)滯相差較小。

圖10 穩(wěn)態(tài)響應(yīng)隨時(shí)滯量的變化曲線(kd=0.216 4,kp=3.322)Fig.10 The curve of the steady-state response with time delay(kd=0.216 4,kp=3.322)

5 數(shù)值積分

如圖11所示,為驗(yàn)證多尺度法的正確性,用龍格庫(kù)塔法對(duì)式(1)、式(2)進(jìn)行數(shù)值積分。時(shí)滯量τ接近0.1的過(guò)程中控制效果逐漸減弱;當(dāng)時(shí)滯量τ達(dá)到0.1時(shí),失去控制效果;當(dāng)時(shí)滯量τ超過(guò)0.1時(shí),將時(shí)間延長(zhǎng)5倍,發(fā)現(xiàn)系統(tǒng)變得不再穩(wěn)定,系統(tǒng)的振幅急劇增加。

圖11 不同時(shí)滯量下受控系統(tǒng)響應(yīng)的時(shí)間歷程Fig.11 The time history of the controlled system for different time delay

如圖12所示,用龍格庫(kù)塔法對(duì)式(1)、式(2)進(jìn)行數(shù)值積分,并把時(shí)間選取得足夠長(zhǎng)讓系統(tǒng)進(jìn)入穩(wěn)態(tài),對(duì)原系統(tǒng)進(jìn)行正反掃頻,其中:圓圈代表正向掃頻時(shí)的數(shù)值積分點(diǎn);方塊代表反向掃頻時(shí)的數(shù)值積分點(diǎn);曲線代表多尺度法求出的解析解。 發(fā)現(xiàn)正反掃頻時(shí)發(fā)生跳躍現(xiàn)象的跳躍點(diǎn)不同,在跳躍點(diǎn)處響應(yīng)發(fā)生突變。數(shù)值積分與解析解吻合良好,驗(yàn)證了多尺度法的正確性。

圖12 正反向掃頻數(shù)值積分結(jié)果與解析解的對(duì)比(kd=0.1, kp=0.2, τ=0.05, cd=0.05)Fig.12 Comparison between the integral result of forward and reverse sweep frequency values and the analytical solution (kd=0.1, kp=0.2, τ=0.05, cd=0.05)

6 結(jié) 論

本文研究了旋轉(zhuǎn)葉片的閉環(huán)控制系統(tǒng),采用多尺度法得到了1∶2內(nèi)共振的二階主共振時(shí)受控系統(tǒng)的自治演化方程,通過(guò)演化方程得到了系統(tǒng)穩(wěn)態(tài)響應(yīng)的一階近似振幅的解析解,用解析解進(jìn)行后續(xù)的參數(shù)分析,分析了系統(tǒng)的動(dòng)力學(xué)行為,研究了時(shí)滯對(duì)系統(tǒng)穩(wěn)定性的影響。通過(guò)數(shù)值驗(yàn)證,一階近似振幅與原系統(tǒng)響應(yīng)振幅吻合較好,也證明了多尺度法的準(zhǔn)確性。得到如下結(jié)論:

(1)1∶2內(nèi)共振的二階主共振的演化方程具有兩對(duì)平衡點(diǎn),響應(yīng)曲線會(huì)出現(xiàn)多值現(xiàn)象。

(2)位移增益使頻響曲線的峰值偏移,因?yàn)槲灰圃鲆婵梢越瓶醋魇歉淖兞甩?的值,這相當(dāng)于破壞了系統(tǒng)1∶2內(nèi)共振的條件。

(3)在接近臨界時(shí)滯的過(guò)程中控制效果逐漸減弱,超過(guò)臨界時(shí)滯后系統(tǒng)發(fā)散。

(4)數(shù)值積分驗(yàn)證了多尺度法的正確性,正反向掃頻的跳躍點(diǎn)不同。

(5)展望:葉片在特定轉(zhuǎn)速下,前兩階固有頻率會(huì)出現(xiàn)公度關(guān)系,此時(shí)前兩階模態(tài)會(huì)存在能量交換,形成內(nèi)共振。本文針對(duì)1∶2情形的內(nèi)共振,分析了考慮時(shí)滯效應(yīng)的PD反饋控制對(duì)葉片控制效果,驗(yàn)證其可在幾乎不影響葉片質(zhì)量的前提下對(duì)葉片的振動(dòng)進(jìn)行控制,可以有效地避免葉片振動(dòng)帶來(lái)的危害,具有工程應(yīng)用價(jià)值。日后將會(huì)對(duì)1∶3內(nèi)共振,諧波共振等不同共振情況的主動(dòng)控制進(jìn)行研究。