通向?qū)崝?shù)的第三條路
——《算術(shù)的基本規(guī)律》中的實(shí)數(shù)理論

石偉軍

導(dǎo)言

實(shí)數(shù)理論是實(shí)分析的基礎(chǔ)。19 世紀(jì)實(shí)分析的發(fā)展迫切要求嚴(yán)格的實(shí)數(shù)理論。為了回應(yīng)這一要求，很多數(shù)學(xué)家提出了自己的實(shí)數(shù)理論。它們可以分為兩類：實(shí)數(shù)的算術(shù)化和實(shí)數(shù)的幾何化。實(shí)數(shù)的幾何化利用實(shí)數(shù)和直線之間的關(guān)系。實(shí)數(shù)的算術(shù)化路徑包括康托的基本列理論、戴德金的分割理論和魏爾斯特拉斯的理論。海涅和托馬的形式主義實(shí)數(shù)理論，可視為在形式主義指導(dǎo)下對(duì)康托基本列理論的一個(gè)改編。

然而，在弗雷格看來(lái)，這些理論存在種種問(wèn)題，特別是其無(wú)法說(shuō)明實(shí)數(shù)的應(yīng)用性。鑒于此，弗雷格提出了自己的實(shí)數(shù)理論。這個(gè)理論是實(shí)數(shù)算術(shù)化和幾何化之外的第三條路。和實(shí)數(shù)的幾何化一樣，弗雷格打算將實(shí)數(shù)定義為量的比例；但是，他并不將實(shí)數(shù)等同為幾何量——線段——的比例，因?yàn)樗J(rèn)為實(shí)數(shù)理論本質(zhì)上是邏輯的，而幾何理論的實(shí)質(zhì)是直觀。和實(shí)數(shù)算術(shù)化一樣，弗雷格需要某種在先被給予的數(shù)的理論；因?yàn)樗膶?shí)數(shù)定義需要正類的存在，而要證明其存在就必須使用自然數(shù)（或基數(shù)）理論。

為了完成他的實(shí)數(shù)理論，弗雷格需要完成三個(gè)任務(wù)：第一，說(shuō)明什么是量；第二，說(shuō)明什么是實(shí)數(shù)，即如何理解量的比例；第三，證明關(guān)于實(shí)數(shù)的基本定理。然而，弗雷格并沒(méi)有完成所有的任務(wù)。（[11]，第69-243 頁(yè)）弗雷格給出了量的定義，從而完成了第一個(gè)任務(wù)，并且證明了一些對(duì)于第三個(gè)任務(wù)必不可少的關(guān)于量的命題。（[11]，第165-243 頁(yè)）至于其它一些關(guān)于量的非常重要的命題（見(jiàn)第4節(jié)），盡管他未直接證明，但其要么是他已經(jīng)證明的某些命題的推論，要么使用他的方法就可加以證明。關(guān)于第二個(gè)任務(wù)，他充其量給出了一些不具有決定性作用的暗示。（[11]，第164 頁(yè)）對(duì)于第三個(gè)任務(wù)，他完全沒(méi)有觸及。

本文旨在完成如上第二和第三個(gè)任務(wù)。本文結(jié)構(gòu)組織如下：第1 和2 節(jié)將扼要介紹實(shí)數(shù)的算術(shù)化理論以及弗雷格的批評(píng)。如果這些理論以適當(dāng)?shù)姆绞叫拚?，弗雷格的有些批評(píng)就會(huì)失去力量。然而，他的有些批評(píng)，特別是他關(guān)于這些實(shí)數(shù)理論的應(yīng)用性的批評(píng)，無(wú)論如何都非常具有說(shuō)服力。正如基數(shù)的應(yīng)用為基數(shù)的定義提供了線索一樣，實(shí)數(shù)的應(yīng)用同樣會(huì)為其定義提供線索。第3 節(jié)討論實(shí)數(shù)是如何被應(yīng)用的，以及實(shí)數(shù)應(yīng)用所涉及的概念，特別地，量的概念。在庫(kù)契拉和塔爾斯基的研究基礎(chǔ)上，第4 節(jié)將證明弗雷格的量域是戴德金連續(xù)的阿基米德有序域。第5 節(jié)關(guān)注庫(kù)契拉所給出的“量的比例”的定義，即實(shí)數(shù)定義，并指出他的實(shí)數(shù)定義和實(shí)數(shù)的加法定義中存在致命的錯(cuò)誤，而這些錯(cuò)誤可通過(guò)本文中“s-上界”和“s-上確界”的概念加以消除。本文將證明，不僅弗雷格的量域，而且弗雷格的實(shí)數(shù)構(gòu)成的集合，同樣是戴德金連續(xù)的阿基米德有序域，以及弗雷格的實(shí)數(shù)理論要求正類的存在。第6 節(jié)簡(jiǎn)略討論利用自然數(shù)理論證明正類存在的方法，并展示本文給出的實(shí)數(shù)定義如何為實(shí)數(shù)的應(yīng)用提供根據(jù)。最后一節(jié)是總結(jié)。

1 實(shí)數(shù)的算術(shù)化和弗雷格的批評(píng)

康托使用基本列定義實(shí)數(shù)。他假定有理數(shù)和其性質(zhì)已經(jīng)被給定。（[3]，第898頁(yè)）假定(av)是一個(gè)有理數(shù)列，其中，av是有理數(shù)，v=1,2,...。(av)是一個(gè)基本列，如果如下條件成立：對(duì)于任意的有理數(shù)?＞0，都存在一個(gè)自然數(shù)n，使得對(duì)于任意的自然數(shù)ν,μ＞n，|aν-aμ|＜?（或者等價(jià)的，|aν+μ-aμ|＜?）。關(guān)于實(shí)數(shù)和基本列，康托說(shuō)：

我將任何同樣能用條件

描述的集合(av)，稱為一個(gè)基本列，并且將一個(gè)由它定義的數(shù)b和它聯(lián)系在一起。方便起見(jiàn)，我們可以用(av)這個(gè)符號(hào)自身指稱這個(gè)數(shù)（正如同海涅在同我就這個(gè)主題進(jìn)行了多次討論之后而建議的那樣）。1在此，康托應(yīng)該想說(shuō)的是：我們可以用“(av)”這個(gè)符號(hào)，而非(av)這個(gè)符號(hào)，指稱這個(gè)數(shù)。因?yàn)?av)是一個(gè)數(shù)列，而非一個(gè)符號(hào)。2說(shuō)基本列同樣可以用條件(ii)aν+μ -aν=0（對(duì)于任意的μ）描述（定義），就是說(shuō)基本列的定義(i)和(ii)是等價(jià)的。如果(ii)中的符號(hào)“l(fā)im”指的是實(shí)數(shù)上的極限概念，那么(i)和(ii)不可能等價(jià)，這是因?yàn)?ii)存在著重大錯(cuò)誤。康托假定(iii) 有理數(shù)序列(aν+μ - aν) 存在極限，并且認(rèn)為(iv) 假如(av) 是基本列，那么(aν+μ-aν)的極限等于0。(ii)錯(cuò)誤的原因有兩個(gè)。首先，并且最重要的是，在證明無(wú)理數(shù)的存在，從而實(shí)數(shù)（無(wú)理數(shù)和有理數(shù)的并集）存在之前，我們不可能證明一個(gè)有理數(shù)序列具有極限。因?yàn)闃O限的存在需要確界原理（或者與其等價(jià)的原理，例如戴德金完備性），而任意有理數(shù)的集合并不滿足確界原理。因此，這個(gè)等價(jià)如果成立，那么(ii)中的符號(hào)“l(fā)im”指稱的應(yīng)該不是實(shí)數(shù)上的極限概念。因此，(ii)應(yīng)該是對(duì)(i)的另一種更簡(jiǎn)單的表述而已。（[3]，第899 頁(yè)）

接下來(lái)，康托定義了實(shí)數(shù)之間的各種運(yùn)算和性質(zhì)。（[3]，第899-901 頁(yè)）例如，對(duì)于任意兩個(gè)基本列(an)和(bn)，由其定義的實(shí)數(shù)——用a和b表示——之間的加法定義如下：

a+b=:基本列(av+bv)定義的數(shù)。

類似的，實(shí)數(shù)的減法定義如下：

a-b=:基本列(av+(-bv))定義的數(shù)。3關(guān)于利用基本列定義實(shí)數(shù)，并且進(jìn)一步定義實(shí)數(shù)的各種性質(zhì)和運(yùn)算，這方面更系統(tǒng)的介紹見(jiàn)[27]第107-177頁(yè)。但是，注意：康托定義正實(shí)數(shù)、負(fù)實(shí)數(shù)和0（作為實(shí)數(shù)）的方法和陶哲軒的稍有不同。

這些定義的基礎(chǔ)是實(shí)數(shù)自身，因?yàn)槲覀儽仨氈缹?shí)數(shù)是什么，然后才能定義實(shí)數(shù)的性質(zhì)和運(yùn)算。因此，讓我們回到康托的實(shí)數(shù)定義自身。

康托說(shuō)，他將數(shù)b和基本列(av)聯(lián)系在一起，或者，這個(gè)基本列定義（define）了一個(gè)數(shù)b。對(duì)此，弗雷格提出了正確的批評(píng)。如何理解“它定義的與它聯(lián)系在一起的數(shù)b”？弗雷格說(shuō)，只有兩種情況：第一，這個(gè)和基本列聯(lián)系在一起的數(shù)b是符號(hào)（語(yǔ)言實(shí)體）；第二，b是抽象的思想對(duì)象——我們叫做實(shí)數(shù)的東西。正如席恩（Schirn）正確地指出的那樣，康托拒絕第一種情況。（[20]，第52 頁(yè)）但是，第二種情況存在嚴(yán)重的問(wèn)題：

在第二種情況下，有的只是一個(gè)將新數(shù)分配給這個(gè)基本列的意圖而已。我們還沒(méi)能把握這個(gè)抽象的觀念4在此，“抽象的觀念”（“the abstract ideas”）和上文的“思想的抽象對(duì)象”（the abstract object of the thought）指的是同一種東西，即康托想稱之為數(shù)的東西。這個(gè)腳注不屬于原文。，在我們擁有它們之前，我們不能將它們分配給基本列?？低杏袝r(shí)確實(shí)宣稱他的基本列決定了數(shù)，但是他自己卻自相矛盾。他所實(shí)現(xiàn)的無(wú)非是將有理數(shù)分配給某些基本列……（[11]，第95 頁(yè)）

在此，弗雷格指出了康托的實(shí)數(shù)定義中的最致命的問(wèn)題：我們——包括康托自己——不知道這個(gè)被分配給基本列的數(shù)b是什么。它是凱撒嗎？如果這個(gè)b是一個(gè)數(shù)，而非凱撒，那么正如弗雷格所說(shuō)，b只能是有理數(shù)；因?yàn)樽鳛槠溲芯康那疤?，康托只假定了有理?shù)的存在，而實(shí)數(shù)是否存在，若存在是什么，這康托尚且不知道。當(dāng)然，我們或許會(huì)替康托辯護(hù)說(shuō)：b的身份不重要，重要的是，無(wú)論它是什么，它和這個(gè)基本列聯(lián)系在一起。但是，這個(gè)辯護(hù)是徒勞的；如果b的身份不重要，那和基本列聯(lián)系在一起的b可以是一個(gè)有理數(shù)，從而導(dǎo)致引進(jìn)無(wú)理數(shù)的努力就徹底失敗了。

弗雷格對(duì)康托的實(shí)數(shù)定義的另一個(gè)批評(píng)是：康托所定義的實(shí)數(shù)之間的運(yùn)算不滿足完備性要求。弗雷格要求每一個(gè)函數(shù)必須滿足完備性。（[11]，第69-78 頁(yè)）以一階函數(shù)為例，一個(gè)一階函數(shù)是完備的，當(dāng)且僅當(dāng)它對(duì)所有的對(duì)象都有定義。5完備性要求是弗雷格的邏輯普遍主義的推論：弗雷格要求量詞在符合其類型的所有存在者上量化。例如，一階量詞在所有對(duì)象上，而非某些對(duì)象上量化；約束一階一元函數(shù)的二階量詞在所有的一階一元函數(shù)上量化。關(guān)于完備性和邏輯普遍主義之間的關(guān)系，見(jiàn)[12]。完備性要求對(duì)于基數(shù)的應(yīng)用極其重要。弗雷格將自然數(shù)n+1 定義為所有和概念x=0 ∨...∨x= n 等勢(shì)的概念構(gòu)成的集合。現(xiàn)在，假如有一個(gè)概念F，在所有的對(duì)象中，它只對(duì)其中的n 個(gè)有定義，且這n 個(gè)對(duì)象都具有性質(zhì)F，而它對(duì)剩下的對(duì)象沒(méi)有定義。這樣一來(lái)，我們無(wú)法確定F 是否有n 個(gè)，因?yàn)槲覀儫o(wú)法確定這些余下的對(duì)象是否具有性質(zhì)F，從而基數(shù)的應(yīng)用成了不可能的。但是，顯然，在“a+b=:基本列(av+bv)定義的數(shù)”中，加法只對(duì)實(shí)數(shù)有定義。

我們可以拒絕弗雷格的第二個(gè)批評(píng)，因?yàn)榭低械膶?shí)數(shù)理論，并不要求每個(gè)函數(shù)或者運(yùn)算都是完備的。但是，我們?cè)撊绾位貞?yīng)第一個(gè)批評(píng)呢？我們必須說(shuō)：每一個(gè)基本列就是一個(gè)實(shí)數(shù)。根據(jù)康托，“(av)”這個(gè)符號(hào)被用來(lái)指稱基本列定義的數(shù)b，當(dāng)然它也指稱基本列(av)自身，因此b就是基本列(av)。這樣一來(lái)，弗雷格的批評(píng)就無(wú)效了。

和康托一樣，戴德金假定了有理數(shù)Q的存在和其各種性質(zhì)和運(yùn)算。對(duì)于任意兩個(gè)有理數(shù)的子集A1和A2，(A1,A2) 是有理數(shù)的一個(gè)分割，如果：(1)A1≠?，A2≠?；(2)A1∪A2=Q；(3)?x ∈A1y ∈A2，x ＜y。對(duì)于有理數(shù)的一個(gè)分割(A1,A2)，A1稱為下類，A2稱為上類。有理數(shù)的所有分割可以分為三類：第一類分割，這種分割的下類有最大元，即存在一個(gè)x ∈A1使得A1中的所有元素都小于等于x；第二類分割，這種分割的上類有最小元，即存在一個(gè)x ∈A2使得A2中的所有元素都大于等于x；第三類分割，這種分割的下類無(wú)最大元，上類無(wú)最小元。例如，對(duì)于A1={x ∈Q:x≤0∨(x ＞0∧x2＞2)}，A2={x ∈Q:x ＞0∧x2＞2}，(A1,A2)是第三類分割。

鑒于第一類和第二類分割要么包含最大元，要么包含最小元，因此它們可以被視為是這個(gè)最大元或者最小元產(chǎn)生的；而第三類分割不是由任意的有理數(shù)產(chǎn)生的?，F(xiàn)在，戴德金認(rèn)為，我們可以通過(guò)第三類分割構(gòu)造無(wú)理數(shù)6關(guān)于戴德金的分割法，更系統(tǒng)的介紹見(jiàn)[28]第289-302 頁(yè)。盧?。≧udin）關(guān)于分割的定義和戴德金自己的略有不同，但兩者沒(méi)有沒(méi)有本質(zhì)區(qū)別。關(guān)于前者，詳見(jiàn)[19]第17-21 頁(yè)。：

無(wú)論何時(shí)我們有一個(gè)不是由有理數(shù)產(chǎn)生的分割(A1,A2)，我們創(chuàng)造（create）一個(gè)新的數(shù)，一個(gè)無(wú)理數(shù)α，這個(gè)無(wú)理數(shù)我們視為是這個(gè)分割(A1,A2)完全定義的；我們說(shuō)這個(gè)數(shù)α對(duì)應(yīng)于這個(gè)分割，或者它產(chǎn)生了這個(gè)分割。因此，從現(xiàn)在開(kāi)始，對(duì)于任意一個(gè)確定的分割，都有一個(gè)確定的有理數(shù)或者無(wú)理數(shù)和其對(duì)應(yīng)，并且我們將兩個(gè)數(shù)視為不同的或者不相等的，當(dāng)且僅當(dāng)它們對(duì)應(yīng)這本質(zhì)上不同的兩個(gè)分割。（[17]，第773 頁(yè)）康托將某個(gè)預(yù)先存在的對(duì)象（其身份不得而知）和一個(gè)基本列聯(lián)系在一起。和康托不同，戴德金沒(méi)有假定存在著某個(gè)和有理數(shù)不同的對(duì)象，然后將這個(gè)對(duì)象和一個(gè)第三類分割相聯(lián)系，而是為第三類分割創(chuàng)造了一個(gè)對(duì)象。

由于創(chuàng)造這一操作，弗雷格對(duì)康托的實(shí)數(shù)定義提出的第一個(gè)批評(píng)，對(duì)戴德金定義無(wú)理數(shù)的方式完全不起作用。但是，很自然的，弗雷格將其批判的火力對(duì)準(zhǔn)了戴德金的那一操作本身——?jiǎng)?chuàng)造無(wú)理數(shù)。弗雷格批評(píng)數(shù)學(xué)家使用“創(chuàng)造性定義”（creative definition）的做法——給定某個(gè)性質(zhì)，我們創(chuàng)造一個(gè)滿足這個(gè)性質(zhì)的對(duì)象。他正確地指出，數(shù)學(xué)家并不能隨意創(chuàng)造數(shù)學(xué)對(duì)象，正如物理學(xué)家并不能創(chuàng)造一個(gè)具有某種性質(zhì)的天體一樣。例如，數(shù)學(xué)家并不能創(chuàng)造一個(gè)既具有某個(gè)性質(zhì)又不具有這個(gè)性質(zhì)的對(duì)象。我們或許會(huì)辯護(hù)說(shuō)：的確，數(shù)學(xué)家不能隨意創(chuàng)造數(shù)學(xué)對(duì)象，不過(guò)在某些條件下，數(shù)學(xué)家確實(shí)可以創(chuàng)造某些對(duì)象。然而，在這種情況下，我們必須在創(chuàng)造無(wú)理數(shù)前就事先說(shuō)明這些條件。

弗雷格對(duì)戴德金的批評(píng)是令人信服的。然而，和康托的情況類似，對(duì)于戴德金的實(shí)數(shù)定義而言，我們的確沒(méi)有必要?jiǎng)?chuàng)造一個(gè)和分割相對(duì)應(yīng)的數(shù)；我們可以將分割自身當(dāng)作數(shù)，正如我們可以將基本列當(dāng)作數(shù)一樣。這樣一來(lái)，弗雷格的批評(píng)就無(wú)效了。無(wú)論是將無(wú)理數(shù)當(dāng)作基本列，或者當(dāng)作第三類劃分，以此為基礎(chǔ)，添加適當(dāng)?shù)亩x，都可以證明實(shí)數(shù)集是戴德金連續(xù)的阿基米德有序域。7關(guān)于此證明，詳細(xì)的討論見(jiàn)[28]第289-302 頁(yè)，[19]第17-21 頁(yè)，[27]第107-177 頁(yè)。

除了康托和戴德金的實(shí)數(shù)理論，事實(shí)上，魏爾斯特拉斯的實(shí)數(shù)理論同樣走了算術(shù)化的道路。不過(guò)，魏爾斯特拉斯自己并未出版過(guò)任何關(guān)于實(shí)數(shù)的理論；現(xiàn)存的只有他的學(xué)生們所做的筆記。弗雷格討論并且批評(píng)了魏爾斯特拉斯的自然數(shù)觀點(diǎn)，而只字未提后者的實(shí)數(shù)理論。（[11]，第149-154 頁(yè)）8簡(jiǎn)要來(lái)說(shuō)，假定自然數(shù)和有理數(shù)（其可以由前者構(gòu)造而來(lái)）已經(jīng)被給定。魏爾斯特拉斯將實(shí)數(shù)定義為級(jí)數(shù)，其中，所有的an 要么是大于0 的自然數(shù)，要么所有的an 等于0。現(xiàn)在，我們需要定義任意兩個(gè)具有如上形式的級(jí)數(shù)（實(shí)數(shù)）在什么情況下相等，之后定義其它性質(zhì)和運(yùn)算。關(guān)于魏爾斯特拉斯的的實(shí)數(shù)理論，一個(gè)非常簡(jiǎn)短的討論見(jiàn)[24]第102-105 頁(yè)，更詳細(xì)的討論見(jiàn)[2]。鑒于此，我們?cè)诖瞬辉儆懻摵笳叩膶?shí)數(shù)理論。

2 形式主義實(shí)數(shù)理論和弗雷格的批評(píng)

弗雷格反對(duì)海涅和托馬的形式主義（[11]，第96-140 頁(yè)；[9]，第112-121 頁(yè)）；他也反對(duì)希爾伯特的形式主義。（[9]，第274-284，293-340 頁(yè)；[8]，第31-52 頁(yè)）海涅的形式主義被稱為“項(xiàng)形式主義”（[16]，第54 頁(yè)），而托馬的形式主義被稱為“游戲形式主義”。（[22]，第41-48 頁(yè)）如下，我們稱他們的形式主義為“項(xiàng)-游戲形式主義”。

弗雷格做出了符號(hào)（signs）和圖形(figures)的區(qū)別：符號(hào)是有內(nèi)容的（有reference 和sense）圖形，而圖形僅僅是一種物理存在。根據(jù)項(xiàng)-游戲形式主義，數(shù)是圖形：“關(guān)于數(shù)的定義，我的立場(chǎng)是純粹形式的，我把某些可感知的符號(hào)稱為數(shù)，從而這些數(shù)的存在是不成問(wèn)題的”。（[11]，第97 頁(yè)）數(shù)（圖形）對(duì)于數(shù)學(xué)而言，就如同棋盤上的棋子對(duì)于游戲一樣。數(shù)（圖形）除了其物理性質(zhì)之外，其唯一（外在）性質(zhì)就是服從某些規(guī)則（這些規(guī)則就是形式理論中構(gòu)成項(xiàng)、公式和句子以及進(jìn)行推理的規(guī)則），而后者類似棋盤游戲中移動(dòng)棋子的規(guī)則。

這兩種形式主義在很多方面有差別。特別的，希爾伯特的形式主義，具備項(xiàng)-游戲形式主義沒(méi)有的兩個(gè)特征。第一，前者明確區(qū)分了元數(shù)學(xué)（元理論）和數(shù)學(xué)（理論），區(qū)分了數(shù)學(xué)的實(shí)在（real）的部分和理想（ideal）的部分，并且明確承認(rèn)證明數(shù)學(xué)一致性的重要性。第二，希爾伯特明確指出，數(shù)學(xué)中的推理規(guī)則不是任意的，而是人類思維的基本規(guī)則；證明數(shù)學(xué)的一致性的附帶效果就是證明了這些基本規(guī)則的正確性。

正是因?yàn)檫@兩種特征，德特勒夫森（M.Detlefson）認(rèn)為，給希爾伯特的數(shù)學(xué)哲學(xué)——希爾伯特的證明論——貼上“項(xiàng)-游戲形式主義”這個(gè)標(biāo)簽是錯(cuò)誤的。（[4]，第29-301 頁(yè)）對(duì)于希爾伯特來(lái)說(shuō)，數(shù)論（形式化系統(tǒng)，作為元數(shù)學(xué)的對(duì)象）的對(duì)象是符號(hào)（sign）自身9希爾伯特使用的是“sign”這個(gè)詞，但是，很明顯，他將數(shù)字視為圖形而非符號(hào)。德特勒夫森以1904 年為界限，將希爾伯特的形式主義區(qū)分成了兩個(gè)階段：早期形式主義和后期性形式主義。被形式化的數(shù)學(xué)，作為元數(shù)學(xué)的對(duì)象，其中包括兩類符號(hào)：邏輯的和非邏輯的。在前期，希爾伯特已經(jīng)將非邏輯的符號(hào)當(dāng)成了圖形（[13]，第1121頁(yè)），并將其視為數(shù)學(xué)的對(duì)象；在后期，邏輯符號(hào)也被視為圖形。，換言之，數(shù)就是數(shù)字，從而是圖形；在數(shù)論中，從一個(gè)命題——根據(jù)規(guī)則而組成的一串圖形——到另一個(gè)命題的推演是根據(jù)規(guī)則而實(shí)行的機(jī)械過(guò)程。海涅和托馬同樣持這樣的觀點(diǎn)。因此，盡管希爾伯特的形式主義具有更加豐富的內(nèi)容，但是，在將數(shù)學(xué)的對(duì)象視為圖形——將數(shù)等同為圖形——這方面，從而將數(shù)學(xué)視為一個(gè)純粹的形式系統(tǒng)（其中出現(xiàn)的所有圖形沒(méi)有內(nèi)容）這方面，它和項(xiàng)-游戲主義是完全一致的。

項(xiàng)-游戲形式主義的最大好處是避免了數(shù)的形而上學(xué)問(wèn)題。如果數(shù)是圖形，其存在是毫無(wú)疑問(wèn)的。但是，形式主義在形而上學(xué)方面的優(yōu)勢(shì)，并不能抵消它在其它方面的不足：第一，其不能解釋數(shù)學(xué)的應(yīng)用性（applicability）；第二，其無(wú)法解釋無(wú)理數(shù)的存在。

弗雷格將應(yīng)用性視為算術(shù)的本質(zhì)特征：“將算術(shù)從游戲提升到科學(xué)地位的只有應(yīng)用性。因此，應(yīng)用性必然地屬于算術(shù)”。（[11]，第100 頁(yè)）（關(guān)于應(yīng)用性是如何編碼進(jìn)基數(shù)和實(shí)數(shù)的定義的，見(jiàn)本文第3 和5 節(jié)。）然而，項(xiàng)-游戲形式主義，同樣的，希爾伯特的形式主義，無(wú)法說(shuō)明算術(shù)的應(yīng)用性。這是因?yàn)?，?duì)于形式主義而言，算術(shù)的項(xiàng)，例如，數(shù)字“2”，只是一個(gè)圖形，而非符號(hào)；“1+1=2”只是圖形構(gòu)成的無(wú)內(nèi)容的東西，從而沒(méi)有表達(dá)任何“思想”。如果算術(shù)沒(méi)有內(nèi)容——數(shù)字沒(méi)有指稱，算術(shù)命題沒(méi)有表達(dá)思想，它就不能被應(yīng)用。希爾伯特說(shuō)任何形式理論，例如，皮亞諾算術(shù)（PA），都是一個(gè)“腳手架”（scaffolding）——一個(gè)形式理論中的概念允許任意的解釋，任何東西只要滿足其公理，那么其同樣滿足其定理。（[8]，第40 頁(yè)）不過(guò)，“解釋”這個(gè)概念，在說(shuō)明算術(shù)的應(yīng)用性方面，實(shí)質(zhì)上無(wú)助于形式主義。我們要如何解釋PA，從而使得它能夠用來(lái)回答“《數(shù)學(xué)原理》的作者有幾個(gè)？”這樣的問(wèn)題呢？我們或許會(huì)說(shuō)：將PA 的項(xiàng)，按照某種方式，解釋為弗雷格的算術(shù)理論中的東西。例如，將PA 中的圖形“1”解釋為弗雷格的數(shù)1，將PA 中的圖形“數(shù)”解釋為弗雷格的數(shù)?？墒?，如此一來(lái)，形式主義的PA 是可有可無(wú)的東西，因?yàn)槲覀冏罱K還是回到了弗雷格的算術(shù)理論。10形式主義將算術(shù)的項(xiàng)視為沒(méi)有指稱的東西；但是，如果算術(shù)的項(xiàng)沒(méi)有指稱，算術(shù)的句子就不能表達(dá)思想，從而算術(shù)里就不存在真正的證明。但是，德特勒夫森不認(rèn)為希爾伯特的形式主義中的證明是無(wú)內(nèi)容的。（[5]，第303頁(yè)）他說(shuō)，希爾伯特一方面并不否認(rèn)數(shù)學(xué)證明必須展示有內(nèi)容的前提和結(jié)論之間的邏輯關(guān)系，并不否認(rèn)證明的最終目的是為判斷提供保障；但是，另一方面，元數(shù)學(xué)中證明的前提和結(jié)論都是關(guān)于數(shù)學(xué)的，元數(shù)學(xué)允許數(shù)學(xué)的命題是空無(wú)內(nèi)容的。德特勒夫森的辯護(hù)難以成立；由于數(shù)學(xué)的項(xiàng)是圖形，希爾伯特不能承認(rèn)前一方面。

項(xiàng)-游戲形式主義無(wú)法解釋實(shí)數(shù)的存在。如前所說(shuō)，康托用基本列定義實(shí)數(shù)，任意實(shí)數(shù)都是一個(gè)基本列。托馬試圖給基本列一個(gè)形式主義的解釋?；玖?av)含有無(wú)限多個(gè)項(xiàng)。我們只能為其中的有限多個(gè)提供名字，因?yàn)槊肿鳛榉?hào)，也是圖形，而不可能存在無(wú)限個(gè)圖形；但是，這絲毫不影響基本列含有無(wú)限多個(gè)項(xiàng)，即有理數(shù)。托馬將基本列視為一個(gè)滿足某種條件的含有無(wú)限多個(gè)數(shù)的東西；不過(guò)，由于他將數(shù)等同于圖形，因此他將基本列視為滿足某種條件的含有無(wú)限個(gè)圖形的東西。不難看出，不可能存在這樣的基本列。

3 實(shí)數(shù)是量的比例

從歐幾里得一直到戴德金和康托，全體實(shí)數(shù)構(gòu)成的集合往往被等同為或者比作一條直線。給定一條直線，我們隨便指定其上的某個(gè)點(diǎn)o為原點(diǎn)，將這個(gè)點(diǎn)的右側(cè)規(guī)定為正方向，左側(cè)規(guī)定為負(fù)方向。然后，我們隨便規(guī)定這條直線上的某兩點(diǎn)x和y之間的線段為單位線段。給定任意線段ou(u為正方向上的任意點(diǎn))和線段ov（v為負(fù)方向上的任意點(diǎn)），ou:xy（ou和xy之間的比）被視為一個(gè)正實(shí)數(shù)，ov:xy（ov和xy之間的比）被視為一個(gè)負(fù)實(shí)數(shù)。這種定義實(shí)數(shù)的方法被稱為幾何路徑。弗雷格的實(shí)數(shù)理論與實(shí)數(shù)的算術(shù)化和幾何化都不一樣。他認(rèn)為實(shí)數(shù)是量的比例（the ratios of quantities），但是他不同意將量（quantities）等同于幾何的量，即線段。這是因?yàn)?，由于他認(rèn)為算術(shù)是邏輯，因此如果將量等同于幾何的量，并且將實(shí)數(shù)定義為幾何量的比例，那么，某種直觀的東西就被引入了算術(shù)。

弗雷格為何將實(shí)數(shù)定義為量的比例呢？正如在第2 節(jié)中所說(shuō)，這是因?yàn)樗J(rèn)為，應(yīng)用性應(yīng)該被編碼進(jìn)數(shù)的定義?；鶖?shù)的應(yīng)用是計(jì)數(shù)。我們是如何計(jì)數(shù)的呢？根據(jù)弗雷格，基數(shù)的應(yīng)用范式是這樣的：

(i)說(shuō)“有n個(gè)F”，就意謂著“F的數(shù)=n”；

(ii)F的數(shù)=G的數(shù)當(dāng)且僅當(dāng)F和G一一對(duì)應(yīng)。

用“F”和“G”表示一階概念，“U”表示二階概念，“?F”表示“概念F的數(shù)”，“F≈G”表示“F和G一一對(duì)應(yīng)”，“extU”表示“U”的外延。弗雷格以如下方式定義基數(shù)：

(i)和(ii)被編碼進(jìn)了數(shù)（“概念的數(shù)”）的定義。

弗雷格將實(shí)數(shù)定義為量的比例，因?yàn)閷?shí)數(shù)的應(yīng)用是度量（measure）。我們是如何用實(shí)數(shù)來(lái)度量的呢？給定兩個(gè)量t和r，例如，長(zhǎng)度，質(zhì)量，速度，密度，強(qiáng)度等等，我們將r當(dāng)作為單位量（units），相對(duì)于r，另一個(gè)量t是x個(gè)單位，其中x是實(shí)數(shù)。例如，當(dāng)我們說(shuō)“√對(duì)象A 的質(zhì)量是√”的時(shí)候，我們說(shuō)的是“對(duì)象A 的質(zhì)量是對(duì)象B 的質(zhì)量的倍”，其中B 的質(zhì)量被規(guī)定為單位質(zhì)量，即1g。正如在“地球有1 個(gè)衛(wèi)星”這個(gè)句子中，“1”沒(méi)有以專名的形式出現(xiàn)，在“對(duì)象A的質(zhì)量是對(duì)象B 的質(zhì)量的倍”中，“”同樣沒(méi)有以專名的形式出現(xiàn)。然而，正如前一個(gè)句子可以被理解為“地球的衛(wèi)星的數(shù)是1”，從而“1”以專名的形式出現(xiàn)一樣，后一個(gè)句子可以被理解為“是A 的質(zhì)量和B 的質(zhì)量的比例”，從而“”以專名的形式出現(xiàn)。一般地，給定兩個(gè)量t和r（屬于同一種量），實(shí)數(shù)的應(yīng)用范式的一個(gè)組成部分是：

(AR)量t是量r的x倍當(dāng)且僅當(dāng)x是量t與量r之間的比例。

(AR)類似于(i)。根據(jù)(i)，基數(shù)要被定義為概念的數(shù)；根據(jù)(AR)，實(shí)數(shù)要被定義為量的比例。

現(xiàn)在弗雷格需要完成兩件事情：第一，說(shuō)明什么是量；第二，說(shuō)明什么是量的比例。

什么是量呢？弗雷格將一階二元關(guān)系的值域（value-range）稱為“Relation”。11以下我們用“R-關(guān)系”翻譯“Relation”。用“關(guān)系”這個(gè)詞翻譯“relation”（“Beziehung”）。弗雷格將所有存在者分為函數(shù)和對(duì)象。關(guān)系是以真值為函數(shù)值的函數(shù)，而值域是對(duì)象。此外，他將一階概念（以真值為函數(shù)值的一階一元函數(shù)）的值域稱為“類”（class）。量是R-關(guān)系，但并非任何一個(gè)R-關(guān)系都是量。為了定義量，弗雷格認(rèn)為，我們要先定義量域（a domain of quantities），然后將這個(gè)域中的每一個(gè)元素視為量。我們將在第4 節(jié)介紹弗雷格的量域的定義。

因?yàn)閷?shí)數(shù)是量的比例，而量是R-關(guān)系，所以實(shí)數(shù)是R-關(guān)系的比例。如果所有的R-關(guān)系都是空的R-關(guān)系，那么無(wú)論“實(shí)數(shù)是R-關(guān)系的比例”是什么意思，我們無(wú)法定義實(shí)數(shù)；因?yàn)榭誖-關(guān)系只有一個(gè)，而實(shí)數(shù)有無(wú)限多個(gè)。因此，如果沒(méi)有對(duì)象，那么我們就不能定義實(shí)數(shù)，至少不能定義所有的實(shí)數(shù)。為了定義實(shí)數(shù)，我們需要多少個(gè)對(duì)象呢？弗雷格說(shuō)：

如果q是空R-關(guān)系（Relation），那么q是同一個(gè)空關(guān)系；qq同樣如此。另外，我們的量域上的R-關(guān)系的復(fù)合，不應(yīng)該導(dǎo)致空R-關(guān)系；但是，這種情況會(huì)發(fā)生，如果不存在對(duì)象，使得某個(gè)對(duì)象和它處于第一個(gè)R-關(guān)系，且它和某個(gè)對(duì)象處于第二個(gè)關(guān)系。

因此，我們需要一群對(duì)象，它們彼此具有我們的量域中的R-關(guān)系，并且，特別的，這個(gè)群必須包含無(wú)限多個(gè)對(duì)象。（[11]，第161 頁(yè)）

很難看出“因此”之后的結(jié)論是如何推出的；即便在所有的R-關(guān)系中，存在兩個(gè)R-關(guān)系，使得其復(fù)合是一個(gè)空R-關(guān)系，這也不意謂著，實(shí)數(shù)不能定義為這樣的量域中的R-關(guān)系的比例。既然如此，弗雷格為何認(rèn)為，定義實(shí)數(shù)需要無(wú)限個(gè)對(duì)象？

我認(rèn)為原因有兩個(gè)。第一，弗雷格將實(shí)數(shù)視為對(duì)象，而實(shí)數(shù)有無(wú)限多個(gè)（）。因此，無(wú)論如何理解“實(shí)數(shù)是R-關(guān)系的比例”，必須要有無(wú)限個(gè)對(duì)象。第二，弗雷格將“實(shí)數(shù)是R-關(guān)系的比例”等同為“R-關(guān)系上的R-關(guān)系”（Relations on Relations）。因此，如果對(duì)象只有有限個(gè)，那么R-關(guān)系上的R-關(guān)系只有有限個(gè)，從而我們只能定義有限個(gè)實(shí)數(shù)。

現(xiàn)在，去哪里找無(wú)限多個(gè)對(duì)象呢？在[10]中，弗雷格將自然數(shù)理論還原為了邏輯，而自然數(shù)有無(wú)限個(gè)。因此，我們有無(wú)限個(gè)對(duì)象可供使用。不過(guò)，如何利用自然數(shù)構(gòu)造一個(gè)量域呢？

由于所有的R-關(guān)系rB和構(gòu)成一個(gè)量域（這需要證明），因此量域存在。在此基礎(chǔ)上可定義實(shí)數(shù)。但是，不難看出這種做法存在循環(huán)：在證明這個(gè)量域存在的時(shí)候，我們就假設(shè)了實(shí)數(shù)的存在。不過(guò)，弗雷格說(shuō)，不需要實(shí)數(shù)就能定義R-關(guān)系rB和。（[11]，第161 頁(yè)）在第6 節(jié)中，我們將簡(jiǎn)要討論這如何可行。

如前所說(shuō)，為了給實(shí)數(shù)理論奠定基礎(chǔ)，弗雷格需要先完成兩個(gè)任務(wù)。然而，弗雷格只完成了第一個(gè)任務(wù)——給出了量的定義，而沒(méi)有完成第二個(gè)——定義實(shí)數(shù)。下面我們介紹弗雷格的量域概念，然后考慮如何定義實(shí)數(shù)。

4 量域

《算術(shù)的基本規(guī)律》中的邏輯系統(tǒng)GG 由二階邏輯+第五公理構(gòu)成。GG 的語(yǔ)言中的名字分為兩類：函數(shù)名字和對(duì)象名字（值域的名字和真值的名字）。這種分類和弗雷格的本體論相對(duì)應(yīng)：一切存在者要么是函數(shù)要么是對(duì)象。量域是類（一階概念的值域），而類是對(duì)象。(*)假設(shè)D是一個(gè)量域，從而是某個(gè)概念C的值域，對(duì)于任意一階二元關(guān)系的R-關(guān)系R，R是D的元素當(dāng)且僅當(dāng)R落入C之下。值域受第五公理的轄制。由于第五公理和二階邏輯不一致，為了重建弗雷格關(guān)于量域從而關(guān)于實(shí)數(shù)的理論，我們必須對(duì)弗雷格的二階語(yǔ)言進(jìn)行修改。

我們有兩種選擇。要么保留第五公理，將GG 的內(nèi)涵公理替換為直謂的（predicative）內(nèi)涵公理，從而得到一個(gè)系統(tǒng)GG*，要么刪除它，從而將值域名字從GG的語(yǔ)言中刪除。第一種選擇行不通。這是因?yàn)?，盡管GG*沒(méi)有矛盾，但是在GG*中不能推演出通常的自然數(shù)理論，而如在第3 節(jié)中所說(shuō)，自然數(shù)是證明量域存在的基礎(chǔ)。

第二個(gè)選擇行得通。在這種情況下，我們不能談?wù)揜-關(guān)系滿足什么條件才是量，或者等價(jià)的，一個(gè)類滿足什么條件是量域，不能談?wù)搶?shí)數(shù)是R-關(guān)系的比例；因?yàn)楸硎局涤虻捻?xiàng)已經(jīng)從GG 的語(yǔ)言中刪除了。不過(guò)，我們可以談?wù)搶?shí)數(shù)是一階二元關(guān)系的比例。當(dāng)然，在這種情況下，要談?wù)撨@些，我們需要一個(gè)高于二階的語(yǔ)言。在[1]中，博客尼（Boccuni）和潘薩（Panza）采用的就是這個(gè)選項(xiàng)，而在[18]中，羅珀（Roeper）同樣如此。

在如上高階語(yǔ)言中定義量域，從而定義實(shí)數(shù)（實(shí)數(shù)不以對(duì)象的形式出現(xiàn)），這固然可行，但這不是第二個(gè)選擇中唯一的選項(xiàng)。事實(shí)上，一階集合論語(yǔ)言同樣能滿足我們的目的。我們使用集合論ZF。對(duì)于我們的目的而言，對(duì)于ZF 的任何子理論，只要從其中能推出自然數(shù)理論，其都滿足我們的目的。為了方便，我們使用ZF。

在定義與量和實(shí)數(shù)有關(guān)的概念——(D1)-(D5)、(D14)-(D17) 以及下一段中出現(xiàn)的概念——的時(shí)候，本文使用[15]中的符號(hào)。之所以如此，是因?yàn)楸疚闹赜懻搸?kù)契拉（Kutschera）對(duì)弗雷格的實(shí)數(shù)理論的重構(gòu)。

ZF 的語(yǔ)言的非邏輯詞包括表示集合的變?cè)獂,y,z,...和二元謂詞∈。我們約定：字母t,r,p,q表示有序?qū)?gòu)成的集合——這種集合就是R-關(guān)系在ZF 中的對(duì)應(yīng)物；u,v,s表示由有序?qū)?gòu)成的集合構(gòu)成的集合；ιxφ(x)表示滿足公式φ(x)的唯一的x；λxφ(x)表示滿足公式φ(x)的x構(gòu)成的集合。作為弗雷格的量域概念的預(yù)備，我們需要如下定義：

Rel(r)=:r是二元關(guān)系，即r是有序?qū)Φ募稀?/p>

r(x,y)=:(x,y)∈r，即x和y具有r關(guān)系。

r-1(x,y)=:r(y,x)，即r-1是r的逆關(guān)系。

Ne(r)=:?x,y,z(r(x,y)∧r(x,z)→y=z)，即r是單值關(guān)系。

r|t(x,y)=:?z[r(x,z)∧t(z,y)]，即r|t是r和t的復(fù)合。

rm=:r|rm-1，即rm是r的m(m ＞1)次復(fù)合。

r-m=:(rm)-1，即r-m是r的m(m ＞1)次復(fù)合的逆關(guān)系。

0=:r0=λz?x(z=(x,x))，即0 是單位關(guān)系。

弗雷格將量域定義為“屬于正類的域”。為了定義量域，他首先定義了如下幾個(gè)概念。

關(guān)系r ∈當(dāng)且僅當(dāng)r ∈s，或r是單位關(guān)系0，或r的逆關(guān)系r-1∈s。

(D2)s是正向類（positival class）：

s是正向類P(s)，當(dāng)且僅當(dāng)關(guān)系r和其逆關(guān)系r-1具有單值性，r和t的復(fù)合屬于s，單位關(guān)系0 不屬于s，r和t-1的復(fù)合屬于，t-1和r的復(fù)合屬于。

(D3)集合s中，r小于t：

集合s中，r小于t，當(dāng)且僅當(dāng)s是正向類，且中的關(guān)系t和r的逆關(guān)系的復(fù)合屬于s。

(D4)t是u在s中的上界（upper limit）：

t是u在s中的上界，當(dāng)且僅當(dāng)s中比t小的關(guān)系都是u中的關(guān)系，且對(duì)于比t大的任意關(guān)系r，都存在一個(gè)比r小的關(guān)系q，且q不屬于u。

(D5)s是正類（positive class）：

s是正類，當(dāng)且僅當(dāng)對(duì)于s中的任意關(guān)系r，s中都有一個(gè)比它小的關(guān)系；且對(duì)于任意的關(guān)系集u，如果s中存在一個(gè)關(guān)系r使得比它小的關(guān)系都在u之中，且s中存在一個(gè)不在u中的關(guān)系，那么u在s中存在一個(gè)上界。

如果s是正類，那么是屬于s的量域。13弗雷格用自己的符號(hào)定義了這些概念：(D1)是[11]第169 頁(yè)的定義X；(D2)是[11]第171 頁(yè)的定義Φ；(D3)在[11]第185 頁(yè)中；(D4)是[11]第187 頁(yè)的定義AA；(D5)是[11]第187 頁(yè)的定義AB。

(T6)p ＜s r ∧r ＜s t →p ＜s t。14在這些命題中，(A1)是[11]第187 頁(yè)的命題588；(A2)是[11]第187 頁(yè)的命題589；(T1)是[11]第243 頁(yè)的命題689；(T2)是[11]第233 頁(yè)的命題670。而剩下的命題，盡管弗雷格沒(méi)有直接證明，但庫(kù)契拉在證明的時(shí)候，使用了弗雷格已經(jīng)證明的其它命題。（[15]，第108-109 頁(yè)）(A1)(A2) 表明量域滿足三歧性；(A3) 表明量域是稠密的；(A4) 表明是連續(xù)的。

這個(gè)公理被稱為“連續(xù)性公理”。其第六公理為：

關(guān)于A＇，有兩點(diǎn)需要特別指出。首先，根據(jù)塔爾斯基，(斷言1)A＇的第四個(gè)公理就是戴德金連續(xù)(DC)，只是比后者“在形式上稍微復(fù)雜”。（[26]，第203 頁(yè)）我們知道，戴德金連續(xù)說(shuō)的是：如果R的任意子集有上界，其有上確界，其中，

(D7)x ∈R和u ?R，x是u的上界=:?y(y ∈u →y≤x)。

(D8)x是u的上確界=:x是u的上界且?z(z ＜x →?w(w ∈u ∧z ＜w))。因此，(斷言1)意謂著DC 是A＇的定理。其次，根據(jù)塔爾斯基，(斷言2)A＇和另一個(gè)系統(tǒng)A＇＇=〈R,＜,+,×,1,0〉在如下意義上等價(jià)：如果在A＇上以適當(dāng)?shù)姆绞蕉x零元和乘法，那么A＇＇中的任意涉及零元和乘法的公理，都是A＇的定理。（[26]，第208 頁(yè)）15A＇＇ 是一個(gè)連續(xù)的阿基米德有序域。阿基米德公理是A＇＇ 的定理。關(guān)于此證明，見(jiàn)[19]第9 頁(yè)。從(斷言1)和(斷言2)可推出如下兩個(gè)結(jié)論：

(C1)A＇是一個(gè)戴德金連續(xù)的阿基米德有序域。

(C2)A＇是F的模型，反之亦然。

(C1)和(C2)蘊(yùn)含一些重要的結(jié)論。如果將(D7)和(D8)中出現(xiàn)的“＜”和“R”分別替換為“＜s”和“”，那么我們就得到s的任意子集的“s-上界”和“s-上確界”的定義：

(D9)t ∈和u ?，t是u的上界=:?r(r ∈u →r≤s t)。16“r ≤s t”是“r ＜s t ∨r= t”的簡(jiǎn)寫。

(D10)t是u的上確界=:t是u的上界且?r(r ＜s t →?p(p ∈u ∧r ＜s p))。17定義(D9)和(D10)，所有涉及它們的命題，均未出現(xiàn)在[15]中?，F(xiàn)在，如果用“”、“s-上界”和“s-上確界”替換(DC)中的“R”、“上界”和“上確界”，我們就得到如下命題：

因?yàn)?C1)，所以(DC)是A＇的定理；又因?yàn)?C2)，所以

(C3)(DC*)是F的定理。

利用A＇的第六個(gè)公理，我們可在A＇上定義“0“，從而定義“正實(shí)數(shù)”：x是正實(shí)數(shù)=:x ＞0。然后，將“s”解釋為“正實(shí)數(shù)”，那么A＇是(T2)和(T3)的模型。從(C1)可知R中的元素對(duì)加法滿足交換律和保序性，且關(guān)系＜滿足傳遞性，從而

(C4)(T2)(T3)(T6)是F的定理。

不過(guò)，我必須強(qiáng)調(diào)，如上論證只是為了使我們相信(C3)，而絕不是說(shuō)，(C3)的證明在任何實(shí)質(zhì)的意義上需要A＇。因?yàn)?DC)是A＇的定理，所以只要將(DC)的證明中出現(xiàn)的A＇中的概念替換為F中的概念，我們就能得到(DC*)從F的證明。這同樣適合于(C4)。從(C3)和(C4)可推出：

(T4)r ∈s ∧t ∈s →?n(r ＜s n·t)。（[11]，第203 頁(yè)，命題635）

其中，自然數(shù)n和r ∈之間的運(yùn)算·按如下方式定義：

(D11)n·r=:rn。

在我們將F當(dāng)做一個(gè)公理系統(tǒng)的時(shí)候，“s”只是一個(gè)符號(hào)而已（和A＇中的“正實(shí)數(shù)”對(duì)應(yīng)），它并不是正類。然而，我們已經(jīng)看到，假定s是正類，那么(A1)-(A9)、(T1)-(T3)(T6)都成立。因此，如下結(jié)論成立：

(C6)如果s是正類，那么量域是一個(gè)戴德金連續(xù)的阿基米德有序域。

既然量域是一個(gè)戴德金連續(xù)的阿基米德有序域，弗雷格為何不直接將量域中的每一個(gè)量視為一個(gè)實(shí)數(shù)呢？原因有三個(gè)。首先，弗雷格打算將實(shí)數(shù)定義為量的比例（或者R-關(guān)系的R-關(guān)系）；中的每一個(gè)量固然是R-關(guān)系，但卻不是量的比例。其次，如果實(shí)數(shù)是某個(gè)特定的量域中的量，那么，如果有很多個(gè)不同的量域，那么我們就有不同種類的實(shí)數(shù)。第三，從弗雷格反對(duì)實(shí)數(shù)理論的幾何化可以看出，他反對(duì)將實(shí)數(shù)等同于任何一個(gè)量域中的量。

5 實(shí)數(shù)

弗雷格將實(shí)數(shù)定義為“量的比例”，但他并未明確說(shuō)明如何理解它。這為不同的解釋提供了空間。這些解釋可以分為兩類。19在[21]中，夏丕羅提出了一種使用抽象原則（principle of abstraction）定義實(shí)數(shù)的方法。首先，定義基數(shù)，用休謨?cè)瓌t做為基數(shù)相等的標(biāo)準(zhǔn)。然后用自然數(shù)定義整數(shù)，即任意兩個(gè)自然數(shù)a 和b 決定一個(gè)整數(shù)Int(a,b)，而判定整數(shù)相等的標(biāo)準(zhǔn)是：Int(a,b)= Int(c,d)≡(a+d)=(b+c)。接著，用整數(shù)定義有理數(shù)，即任意兩個(gè)整數(shù)m 和n 決定一個(gè)有理數(shù)Q(m,n)，而判定有理數(shù)相等的標(biāo)準(zhǔn)是：Q(m,n)= Q(p,q)≡(n=0 ∧q=0)∨(n ≠0 ∧q ≠0 ∧m·q= n·p)。最后，使用有理數(shù)定義實(shí)數(shù)，任意一個(gè)有理數(shù)集合P 決定一個(gè)實(shí)數(shù)C(P)，而判定實(shí)數(shù)相等的標(biāo)準(zhǔn)是：?P ?Q(C(P)= C(Q) ≡?r(P ≤r ≡Q ≤r)。這種構(gòu)造實(shí)數(shù)的方法雖然可行，但卻和《算術(shù)的基本規(guī)律》中的精神不一致。首先，弗雷格沒(méi)有提到用遞進(jìn)的方式，從自然數(shù)開(kāi)始一步一步定義實(shí)數(shù)。其次，這種方法完全不涉及量。第一類解釋是這樣的。假定a和b是某個(gè)量域中的任意兩個(gè)元素，我們將“a:b”，即“量的比例”，當(dāng)作一個(gè)不可被定義的項(xiàng)。不過(guò)，我們要提供一個(gè)判定兩個(gè)量的比例相等的標(biāo)準(zhǔn)。準(zhǔn)確來(lái)說(shuō)，令D和D＇為任意兩個(gè)量域（不一定是同一個(gè)量域），對(duì)于a,b ∈D和c,d ∈D＇，我們需要判定a:b和c:d相等的標(biāo)準(zhǔn)：a:b=c:d當(dāng)且僅當(dāng)Φ(a,b,c,d)?，F(xiàn)在的問(wèn)題是如何刻畫Φ(a,b,c,d)。關(guān)于這個(gè)問(wèn)題，有幾種不同的選項(xiàng)。一個(gè)選項(xiàng)為歐幾里得的“正比”概念（proportionality）。例如，西門（Simons）就建議用它作為量的比例相等的標(biāo)準(zhǔn)：

a和b的比例等于c和d的比例，當(dāng)且僅當(dāng)，對(duì)于所有的自然數(shù)n和m，an大于，等于，或者小于bn，如果相應(yīng)地，cn分別大于，等于，或者小于dn。（[23]，第40 頁(yè)）在[1]中，博客尼和潘薩認(rèn)同西門的觀點(diǎn)，并且給出了如何在高階語(yǔ)言中將這個(gè)概念形式化。在[18]中，羅珀建議用“同構(gòu)”刻畫它：Φ(a,b,c,d)當(dāng)且僅當(dāng)D和D＇同構(gòu)，且a和b在同構(gòu)函數(shù)下的象分別是c和d。

第二類解釋是庫(kù)契拉的。他在集合論中重構(gòu)弗雷格的實(shí)數(shù)理論，從而實(shí)數(shù)被當(dāng)作集合。毫無(wú)疑問(wèn)，集合的相等標(biāo)準(zhǔn)就是外延公理。因此和第一種解釋不同，在庫(kù)契拉那里，判定量的比例相等的標(biāo)準(zhǔn)是已經(jīng)被給予了的，即外延公理?，F(xiàn)在，重要的是如何在集合論中定義“量的比例”。如下，我們深入考察庫(kù)契拉的解釋。

給定一個(gè)正類s的量域，我們定義幾種量的運(yùn)算。對(duì)于任意的r,t ∈,p ∈s：

庫(kù)契拉為何認(rèn)為(D14) 中的量t和r應(yīng)該滿足等式呢？他沒(méi)有提供理由。弗雷格說(shuō)，每一個(gè)正實(shí)數(shù)都可以表示為的形式。（[11]，第161 頁(yè)）庫(kù)契拉的觀點(diǎn)可能基于弗雷格的這一評(píng)論。

然而，定義(D14)有三個(gè)問(wèn)題。第一，且最重要的是，(D14)中出現(xiàn)的庫(kù)契拉給出的定義是錯(cuò)誤的。由于我們已經(jīng)假定存在正類，即存在s使得P*(s)。現(xiàn)在我們需要保證，對(duì)于r ∈s，有定義，即它是一個(gè)量。

究竟該如何定義C∞呢？根據(jù)(C6)，是戴德金連續(xù)的。庫(kù)契拉的意思有可能是根據(jù)(A4)，C∞應(yīng)該被定義為u的s-上確界嗎？庫(kù)契拉絕無(wú)這樣的意思，因?yàn)樗緵](méi)有“s-上確界”這個(gè)概念，盡管我們確實(shí)應(yīng)該這樣定義C∞。為了證明u有s-上確界，只需證明u有s-上界。我們證明，r就是u的一個(gè)s-上界。令其中n ∈N-{0}。根據(jù)(D14)，r ∈s。不難證明，(i)bn+1＜s bn。另外，不難看出，(ii)Cn≤s b1+...+bn+1。根據(jù)(i)和(T3)有：

根據(jù)(ii)，對(duì)于任意的n ＞0，Cn ＜s r。

(D14)所面臨的第二問(wèn)題是，它所定義的所有實(shí)數(shù)，其基數(shù)是2?0嗎？這個(gè)問(wèn)題答案是肯定的。用|x|表示x的基數(shù)。令R是實(shí)數(shù)集。不難證明，|{M:0M∧M ?N ∧|M|=?0}|=|R|。20令M1= {M ?N : |M|= ?0}，M2= {M ?N : |M| ＜?0}。因此N 的冪集P(N)= M1 ∪M2。令mn= {M ?N : |M|= n}，F(xiàn)= {mn : n ＜?0}。因此，M2=∪F。因?yàn)閨 F |= ?0，且|mn|= ?0，根據(jù)[14]第71 頁(yè)的定理I.12.14，|∪F| ≤?0。因?yàn)镸1 ∩M2= ?，所以|M1 ∪M2|= |M1|+|M2|=。根據(jù)基數(shù)的加法，|M1|=。此外，容易證明，|M1|= |{M :0M ∧M ?N ∧|M|= ?0}|。因此，|{(m,M):0|M|=?0}|=|R|；這意味著R(m,M)和R一一對(duì)應(yīng)。

(D14) 面臨的第三個(gè)問(wèn)題是，實(shí)數(shù)被定義為了正類中的量的比例，而非量域中的量的比例。但是，弗雷格的計(jì)劃是將實(shí)數(shù)定義為“屬于正類的域中的量的比例”。（[11]，第243 頁(yè)）(D14)符合弗雷格的計(jì)劃嗎？現(xiàn)在對(duì)于量域中的任意兩個(gè)量，總共有9 種情況：(1)t,r ∈s；(2)t-1,r-1∈s；(3)t ∈s,r-1∈s；(4)t-1∈s,r ∈s；(5)t=r=0；(6)t ∈s,r=0；(7)t-1∈s,r=0；(8)t=0,r ∈s；(9)t=0,r-1∈s。因?yàn)榱康谋壤坏韧瑸橛行驅(qū)Γㄆ涞谝缓偷诙€(gè)元素是量）構(gòu)成的集合，所以實(shí)數(shù)作為這樣的集合，它必須滿足如下條件（還有其它條件）：它的有序?qū)Φ牡谝缓偷诙乜梢允侨缟? 種情況的任意一種。但是，在(D14)中，(5)-(9) 被排除了。排除(5)-(7) 是合理的，因?yàn)槿绻縯和r之間滿足條件，那么在r=0 的情況下，沒(méi)有定義。因?yàn)镸是由不包括0 的自然數(shù)構(gòu)成的無(wú)限集合，所以在(8)-(9)中，如果t=0 而r ∈s（或者r-1∈s），那么，不可能是0，因?yàn)镸是一個(gè)無(wú)限集合。因此，如果M是由不包括0 的自然數(shù)構(gòu)成的無(wú)限集合，那么(D14)和弗雷格的計(jì)劃——實(shí)數(shù)是“屬于正類的域中的量的比例”——是一致的。

現(xiàn)在，為了證明(D17)是一個(gè)良好的定義，我們需要證明：存在m＇＇和M＇＇滿足(Eq)且滿足(Eq)的m＇＇和M＇＇是唯一的。因?yàn)槭谴鞯陆疬B續(xù)的，所以存在性滿足。如下我們證明唯一性。

證明：反設(shè)存在(m,M)和(m＇,M＇)滿足(Eq)，且m≠m＇或者M(jìn)≠M(fèi)＇。因此，

如下三種情況至少有一種成立：

[情況1]m≠m＇且M=M＇?

[情況2]m=m＇且M≠M(fèi)＇?

[情況3]m≠m＇且M≠M(fèi)＇。

假定(a)。在這種情況下，Ck=Ck-1+0=Ck-1，而Bk=Bk-1+bk=Ck-1+bk?，F(xiàn)在我們證明(d):對(duì)于任意n ＞0，Ck+n ＜s Bk。Ck+n≤s Ck-1+bk+1+...+bk+n。根據(jù)(c)，Ck-1+bk+1+...+bk+n ＜s Ck-1+bk=Bk。于是(d)得證。

現(xiàn)在可以證明Bk是{Cn}的一個(gè)s-上界。顯然，Ck ＜s Bk；利用(c)，對(duì)于?i ＜k，Ci≤s Bk。再根據(jù)(d)，Ck+n ＜s Bk。此外，因?yàn)镸是無(wú)限集合，所以M中一定存在大于k的自然數(shù)j，從而Bk ＜s Bj。因?yàn)閎是{Bn}的s-上確界，所以Bj≤s b。于是Bk ＜s b。因?yàn)锽k是{Cn}的一個(gè)s-上界，而是戴德金連續(xù)的，所以其s-上確界≤s Bk。因?yàn)閎是{Cn}的s-上確界，所以b≤s Bk ＜s b。但是b ＜s b和0s矛盾。

類似的，假定(b)會(huì)導(dǎo)致矛盾。因此我們證明了：如果[情況1]或[情況2]成立，那么有序?qū)?m,M)和(m＇,M＇)不滿足(Eq)。顯然，如果[情況3]成立，這個(gè)結(jié)論也成立。Q.E.D.

6 正類的存在和實(shí)數(shù)的應(yīng)用

對(duì)于弗雷格的實(shí)數(shù)理論而言，我們必須證明正類的存在。在第4 節(jié)中，在給定實(shí)數(shù)的前提下，我們陳述了弗雷格構(gòu)造正類的思路。不過(guò)，這個(gè)思路只有教育啟迪的作用，因?yàn)閷?duì)他的實(shí)數(shù)理論而言，實(shí)數(shù)自身是它的終點(diǎn)而非起點(diǎn)。我們要做的是如何從自然數(shù)理論出發(fā)，構(gòu)造出一個(gè)正類。

顯然，從ZF 中可以推演出自然數(shù)理論。辛德和夏丕羅認(rèn)為，達(dá)米特以自然數(shù)為基礎(chǔ)構(gòu)造正類的方法（[6]，第284-285 頁(yè)）可行。（[25]，第354 頁(yè)）23令A(yù)、B 和C 為任意的由大于0 的自然數(shù)構(gòu)成的無(wú)限集合，a、b 和c 是任意的自然數(shù)。對(duì)于任意的自然數(shù)n，我們首先定義“n 對(duì)于A 和B 是自由的”：

每一個(gè)有序?qū)?

b

,

B

)決定一個(gè)關(guān)系

R

(

b

,

B

)

。達(dá)米特?cái)嘌?，所有?/p>

R

(

b

,

B

)

構(gòu)成一個(gè)正類。 在不做出更進(jìn)一步討論的前提下，我滿足于指出，達(dá)米特的方法似乎不可行。

24

在我們驗(yàn)證所有的R(b,B)構(gòu)成的集合是正類，即滿足(D5)中的條件的時(shí)候，我們會(huì)遇到困難。

不過(guò)，我認(rèn)為，西門提到的方法（[23]，第38 頁(yè)）——其用自然數(shù)構(gòu)成的無(wú)限集合模擬實(shí)數(shù)，并以此貫徹弗雷格的思路（[11]，第161 頁(yè)）——是可行的，盡管據(jù)它而構(gòu)造正類在技術(shù)上比較繁瑣。

正如在第2 節(jié)所言，弗雷格認(rèn)為，數(shù)的應(yīng)用必須在數(shù)的定義中找到根據(jù)，而實(shí)數(shù)的應(yīng)用是度量。25不難看出，弗雷格的邏輯主義——將基數(shù)理論和實(shí)數(shù)理論還原為邏輯——是有層次的:前者比后者更加根本，即正類的存在——對(duì)實(shí)數(shù)定義必不可少——是在基數(shù)理論上加以證明的。實(shí)數(shù)和基數(shù)不屬于同一種類，這一斷言對(duì)于邏輯主義具有重大意義。對(duì)于弗雷格而言，基數(shù)和實(shí)數(shù)的不同，根本上是因?yàn)槠鋺?yīng)用不同：前者用來(lái)計(jì)數(shù)，后者用來(lái)度量。這種不同被弗雷格植入基數(shù)和實(shí)數(shù)的定義中了。如果基數(shù)可以用來(lái)度量，實(shí)數(shù)可以用來(lái)計(jì)數(shù)，那么弗雷格再不能以他定義基數(shù)和實(shí)數(shù)的方式定義它們了。關(guān)于數(shù)的應(yīng)用和數(shù)的定義之間的聯(lián)系，詳細(xì)的討論見(jiàn)[25]第357-368 頁(yè)。定義(D14)如何是如何為實(shí)數(shù)的應(yīng)用提供根據(jù)的？根據(jù)第3 節(jié)中的(AR)，說(shuō)量t是r的x倍，就是說(shuō)x是量t與r之間的比例。每個(gè)實(shí)數(shù)x都和某個(gè)有序?qū)?m,M)一一對(duì)應(yīng)。根據(jù)(D14)，說(shuō)x是量t與r之間的比例，就是說(shuō)x=R(m,M)，即存在一個(gè)正類s使得t,r ∈s且

實(shí)數(shù)的應(yīng)用中涉及理想化。如果說(shuō)長(zhǎng)度t和長(zhǎng)度r的比例是x，那么，根據(jù)上一段所說(shuō)，存在一個(gè)包括t和r的正類，即長(zhǎng)度構(gòu)成的正類。但是，我們無(wú)法確定這個(gè)正類的存在，而這也是我們以自然數(shù)為基礎(chǔ)構(gòu)造正類的原因。因此，在做出“某物的長(zhǎng)度是x 米”這種陳述的時(shí)候，我們假定了一個(gè)由長(zhǎng)度構(gòu)成的正類。事實(shí)上，這種理想化的假定同樣發(fā)生在基數(shù)的應(yīng)用中。應(yīng)用基數(shù)的前提是概念的完備性。然而，我們所使用的概念不具有完備性；我們只是假定它具有這種性質(zhì)。

7 結(jié)論

本文詳細(xì)討論了庫(kù)契拉在集合論的框架中對(duì)于弗雷格的實(shí)數(shù)理論的重構(gòu)。除了如下兩點(diǎn)之外,這個(gè)重構(gòu)是成功的。第一，庫(kù)契拉對(duì)于“C∞”的定義是錯(cuò)誤的。它無(wú)法用(D4)中的“上界”這個(gè)概念加以定義，而只能用“s-上界”和“s-上確界”這兩個(gè)概念加以定義。第二，他對(duì)實(shí)數(shù)加法的定義同樣是錯(cuò)誤的，因?yàn)槠湓谶壿嬌项A(yù)先假定了實(shí)數(shù)。在庫(kù)契拉的重構(gòu)中，他只證明了量域和實(shí)數(shù)集是稠密連續(xù)有序且具有阿基米德性的阿貝爾群。借助于塔爾斯基的(斷言1)和(斷言2)，我們可進(jìn)一步推出量域和實(shí)數(shù)集是戴德金連續(xù)的阿基米德有序域。