基于UPS-RPU-PU并聯(lián)機(jī)構(gòu)的液壓支架試驗(yàn)臺(tái)多目標(biāo)優(yōu)化

彭斯洋，程志紅，車林仙，黃鑫，崔松

(1. 中國礦業(yè)大學(xué) 機(jī)電工程學(xué)院，江蘇 徐州，221116；2. 重慶工程職業(yè)技術(shù)學(xué)院 智能制造學(xué)院，重慶，402260；3. 重慶工商大學(xué) 制造裝備機(jī)構(gòu)設(shè)計(jì)與控制重慶市重點(diǎn)實(shí)驗(yàn)室，重慶，400067)

液壓支架試驗(yàn)臺(tái)是礦用液壓支架型式試驗(yàn)和力學(xué)特性分析的專用設(shè)備，具有內(nèi)加載和外加載兩種型式。內(nèi)加載試驗(yàn)臺(tái)與液壓支架在井下實(shí)際承受頂板礦壓的工況存在較大差異，僅能檢測液壓支架部分性能，且無法滿足最新國家標(biāo)準(zhǔn)GB/T 25974.1—2010《煤礦用液壓支架第一部分：通用技術(shù)條件》中新增的讓縮性能、復(fù)合加載等試驗(yàn)項(xiàng)目需求[1-2]。為此，國家煤礦支護(hù)設(shè)備質(zhì)量監(jiān)督檢驗(yàn)中心研制了30 MN 內(nèi)外加載重型液壓支架試驗(yàn)臺(tái)，兼具內(nèi)、外加載功能，但其垂直外加載系統(tǒng)為下置式，即由重型液壓缸作用于液壓支架底座，該方式在進(jìn)行讓縮性能試驗(yàn)時(shí)存在一定局限性[3]。目前，液壓支架試驗(yàn)臺(tái)的研究較少，這是因?yàn)榇笮椭剌d裝備研發(fā)成本過高、結(jié)構(gòu)復(fù)雜、安裝維護(hù)不便等?，F(xiàn)有的液壓支架試驗(yàn)臺(tái)均為單自由度運(yùn)動(dòng)模式，即被試支架與試驗(yàn)臺(tái)本體之間僅存在垂直往復(fù)的相對運(yùn)動(dòng)，導(dǎo)致對掩護(hù)梁、尾梁、連桿(或擺桿)等主體結(jié)構(gòu)件測試相對困難，且無法檢測出液壓支架在不同位姿工況下的受力特征。同時(shí)，所有試驗(yàn)臺(tái)的加載梁與門架梁之間采用插銷(或卡環(huán))-孔聯(lián)接，只能實(shí)現(xiàn)有級調(diào)高，不能完全達(dá)到被試支架的試驗(yàn)高度[4]。由此可見，液壓支架試驗(yàn)臺(tái)仍存在尚待解決的技術(shù)難題。

并聯(lián)機(jī)構(gòu)具有結(jié)構(gòu)緊湊、剛度大、承載強(qiáng)、易實(shí)現(xiàn)多維運(yùn)動(dòng)等優(yōu)點(diǎn)，宜應(yīng)用于重載操作手、攪拌摩擦焊、航天器灌注、多維力加載等重載工業(yè)領(lǐng)域[5-7]。文獻(xiàn)[8]應(yīng)用并聯(lián)機(jī)構(gòu)理論，設(shè)計(jì)出一種新型大型鍛造機(jī)；文獻(xiàn)[9]提出一種含恰約束支鏈的3(2UPS-R)/PU 并聯(lián)重載穩(wěn)定平臺(tái)；文獻(xiàn)[10]提出一種基于并聯(lián)機(jī)構(gòu)的TBM 支撐—推進(jìn)—換步裝置；文獻(xiàn)[11]設(shè)計(jì)了一種含冗余支鏈的3-RPS/3-SPS 并聯(lián)機(jī)構(gòu)，作為海浪發(fā)電裝置的波能轉(zhuǎn)換設(shè)備。以上研究表明，并聯(lián)機(jī)構(gòu)在重載工業(yè)領(lǐng)域具有廣闊應(yīng)用前景。鑒于此，本文提出一種基于并聯(lián)機(jī)構(gòu)的新型液壓支架試驗(yàn)臺(tái)設(shè)計(jì)方案，兼具外加載、多維運(yùn)動(dòng)以及無級調(diào)高功能。

尺度優(yōu)化是并聯(lián)機(jī)構(gòu)應(yīng)用的關(guān)鍵環(huán)節(jié)。單目標(biāo)優(yōu)化往往很難滿足工程實(shí)際需求，故需進(jìn)行尺度參數(shù)多目標(biāo)優(yōu)化。文獻(xiàn)[12]以實(shí)現(xiàn)規(guī)則工作空間和全局傳遞性能最大化為目標(biāo)，應(yīng)用多目標(biāo)粒子群算法求解2PUR-PSR并聯(lián)機(jī)構(gòu)的尺度參數(shù)多目標(biāo)優(yōu)化問題；文獻(xiàn)[13]針對用于高速分揀裝置的3T1RZ型4-PRPaR 并聯(lián)機(jī)構(gòu)尺度優(yōu)化問題，以實(shí)現(xiàn)有效傳遞工作空間及其平均傳遞指標(biāo)最大化為目標(biāo)，建立尺度參數(shù)多目標(biāo)優(yōu)化模型，應(yīng)用NSGA-II獲得多組備選解；文獻(xiàn)[14]以實(shí)現(xiàn)工作空間、全域剛度、靈巧度與可操作度最大化為目標(biāo)，建立全對稱1T2R(T表示移動(dòng)，R表示轉(zhuǎn)動(dòng))型3PSU-PU并聯(lián)機(jī)構(gòu)尺度參數(shù)的4目標(biāo)優(yōu)化模型，采用多目標(biāo)遺傳算法求得多組候選解。文獻(xiàn)[15]以實(shí)現(xiàn)傳遞指標(biāo)、工作空間與可達(dá)工作空間比值最大化為目標(biāo)，運(yùn)用多目標(biāo)進(jìn)化算法(multi-objective evolutionary algorithm, MOEA)求解Delta 機(jī)器人的尺度參數(shù)多目標(biāo)優(yōu)化問題。

本文在前期研究[16]基礎(chǔ)上，依據(jù)液壓支架加載試驗(yàn)需求，建立UPS-RPU-PU 并聯(lián)機(jī)構(gòu)尺度參數(shù)昂貴約束多目標(biāo)優(yōu)化(expensive constrained multiobjective optimization, ECMO)模型，應(yīng)用多目標(biāo)進(jìn)化算法(MOEA)求得多組Pareto 最優(yōu)解，以期為新型液壓支架試驗(yàn)臺(tái)的實(shí)際應(yīng)用提供理論指導(dǎo)。

1 新型液壓支架試驗(yàn)臺(tái)及其加載裝置

1.1 新型試驗(yàn)臺(tái)結(jié)構(gòu)及加載原理

圖1(a)所示為新型液壓支架試驗(yàn)臺(tái)結(jié)構(gòu)簡圖，試驗(yàn)臺(tái)整體為“三梁四柱”式結(jié)構(gòu)，其機(jī)身由上梁、立柱和底梁焊接而成。UPS-RPU-PU并聯(lián)加載裝置(見圖1(b))安裝于浮動(dòng)梁上，且可沿Y軸獨(dú)立移動(dòng)，以滿足對被試支架不同部位的加載試驗(yàn)要求。為便于標(biāo)定控制，浮動(dòng)梁通過4 個(gè)舉升液壓缸，可沿機(jī)身進(jìn)行有級調(diào)高(每級500 mm)，而并聯(lián)加載裝置自身沿Z軸的移動(dòng)自由度可實(shí)現(xiàn)在浮動(dòng)梁每級高度下的無級調(diào)高，以達(dá)到所有被試支架的試驗(yàn)高度。據(jù)國家標(biāo)準(zhǔn)GB/T 25974.1—2010，液壓支架強(qiáng)度試驗(yàn)重點(diǎn)檢測其頂梁和底座的力學(xué)性能，采用墊塊加載方式模擬支架在井下承受的各種頂板壓力特性。

圖1 新型液壓支架試驗(yàn)臺(tái)Fig. 1 Schematic diagrams of novel hydraulic support test-bed

圖1(c)所示為液壓支架頂梁縱向中間加載示意圖。加載時(shí)，先將浮動(dòng)梁調(diào)至合適高度等級，將被試支架置于試驗(yàn)臺(tái)機(jī)身內(nèi)，并升至其試驗(yàn)高度(最大支護(hù)高度的2/3)，護(hù)幫板和伸縮梁處于收縮狀態(tài)，再按照具體試驗(yàn)要求將墊塊置于規(guī)定位置，驅(qū)動(dòng)并聯(lián)加載頭接觸墊塊，完成相應(yīng)試驗(yàn)。據(jù)壓架試驗(yàn)規(guī)程，通過改變墊塊位置方式可完成不同力學(xué)性能檢測試驗(yàn)，相關(guān)加載圖例參見GB/T 25974.1—2010。

目前，因現(xiàn)有試驗(yàn)臺(tái)本體結(jié)構(gòu)存在局限性，尚未制定掩護(hù)梁、尾梁、連桿以及支架在不同位姿工況下的外加載試驗(yàn)方法?；诓⒙?lián)加載裝置可實(shí)現(xiàn)多維運(yùn)動(dòng)的優(yōu)勢，給出針對掩護(hù)梁結(jié)構(gòu)件及支架傾斜位姿時(shí)(稱為大傾角液壓支架)的外加載方法及圖例，如圖2所示。

圖2 轉(zhuǎn)動(dòng)加載圖例Fig. 2 Rotational loading test legends

1.2 機(jī)構(gòu)描述

試驗(yàn)臺(tái)并聯(lián)加載裝置的原始構(gòu)型為USP-RPUPU 并聯(lián)機(jī)構(gòu)，如圖3 所示，該機(jī)構(gòu)由定平臺(tái)、動(dòng)平臺(tái)與3條不同拓?fù)浣Y(jié)構(gòu)支鏈組成。為避免相似奇異，定、動(dòng)平臺(tái)分別設(shè)計(jì)為等腰三角形△A1A2A3和等邊三角形△B1B2B3，其底邊分別為2l2和2l4，高分別為l1和l3。支鏈1為{-U1-P1-S1-}鏈(下標(biāo)表示支鏈序號，下同)，U1副由轉(zhuǎn)動(dòng)副R11和R12垂直鉸接而成，其中R11副固聯(lián)于定平臺(tái)，R12副與驅(qū)動(dòng)副P1相連，P1副與動(dòng)平臺(tái)則通過球副S1連接，A1和B1分別為U1和S1副中心。支鏈2 拓?fù)浣Y(jié)構(gòu)為{-R2-P2-U2-}，R2副固結(jié)于定平臺(tái)，其轉(zhuǎn)動(dòng)中心為A2，U2副由轉(zhuǎn)動(dòng)副R21和R22垂直相交而成，交點(diǎn)為B2，且轉(zhuǎn)動(dòng)副R21與R2平行裝配，P2通過R2副與R21副分別接于定、動(dòng)平臺(tái)。支鏈3 構(gòu)型為{-P3-U3-}鏈，P3副導(dǎo)軌方向垂直于平面A1A2A3，垂足為A3，U3副鉸接中心為B3，其結(jié)構(gòu)與U2副的完全相同，即R22副與R32副共軸裝配。

圖3 UPS-RPU-PU并聯(lián)機(jī)構(gòu)運(yùn)動(dòng)簡圖Fig. 3 Parallel loading device of UPS-RPU-PU test-bed

為便于后續(xù)描述，在定平臺(tái)上建立如下定坐標(biāo)系{f}：A0XYZ，其中A0為底邊A2A3中點(diǎn)。X軸與Y軸正向沿A0A1和A0A2方向，則R2、R21和R31副軸線均恒平行于X軸，Z垂直于定平臺(tái)(即平行于P3副移動(dòng)方向)。在動(dòng)平臺(tái)上建立動(dòng)坐標(biāo)系{m}：B3xyz，x軸正向平行于B0B1，B0為B3B2中點(diǎn)，y軸正向沿B3B2方向，即與R22和R32副共軸，z軸由右手定則確定。

參照文獻(xiàn)[16]的結(jié)論，該機(jī)構(gòu)動(dòng)平臺(tái)具有2 轉(zhuǎn)動(dòng)1移動(dòng)混合自由度，其中2轉(zhuǎn)動(dòng)自由度的轉(zhuǎn)軸為U3副兩軸軸線，移動(dòng)自由度導(dǎo)軌沿Z軸方向。機(jī)構(gòu)末端的轉(zhuǎn)動(dòng)運(yùn)動(dòng)可滿足掩護(hù)梁、尾梁結(jié)構(gòu)件以及大傾角液壓支架的外加載試驗(yàn)，移動(dòng)運(yùn)動(dòng)可實(shí)現(xiàn)浮動(dòng)梁在每級檔位下的無級調(diào)高，以完全適應(yīng)被試支架的試驗(yàn)高度。

1.3 位置逆解

UPS-RPU-PU并聯(lián)機(jī)構(gòu)位置逆解可定義為：已知機(jī)構(gòu)尺度參數(shù)(l1，l2，l3，l4)與輸出位姿(Zp，θ，ψ)，反求解驅(qū)動(dòng)位移qi(i=1，2，3)。其中，Zp為動(dòng)平臺(tái)沿Z軸方向的移動(dòng)位移。

點(diǎn)Ai(i=1，2，3)在{f}中的坐標(biāo)矢量為

點(diǎn)Bi(i=1，2，3)在{m}中的坐標(biāo)矢量為

因2個(gè)轉(zhuǎn)動(dòng)自由度為繞支鏈3中U3副兩軸線的轉(zhuǎn)動(dòng)，故可用X-Y-Z型Euler 角(θ，ψ， 0)表示動(dòng)平臺(tái)姿態(tài)。動(dòng)坐標(biāo)系{m}相對于定坐標(biāo)系{f}的姿態(tài)矩陣可表示為

式中：frot為轉(zhuǎn)動(dòng)函數(shù)。

由矢量關(guān)系可知，動(dòng)平臺(tái)參考點(diǎn)B3在{f}中的坐標(biāo)矢量為

進(jìn)而可得點(diǎn)Bi(i=1，2)在{f}中的坐標(biāo)矢量為

式中：wi為沿驅(qū)動(dòng)連桿AiBi(i=1，2，3)移動(dòng)方向的單位矢量，、和分別為慣性坐標(biāo)軸的單位矢量。

據(jù)桿長約束條件，并結(jié)合式(4)和式(5)可得

由此可得UPS-RPU-PU機(jī)構(gòu)位置逆解方程為

式(7)表明，若給定末端位姿參數(shù)(Zp，θ，ψ)，則該機(jī)構(gòu)僅存在1組位置逆解，且動(dòng)平臺(tái)位置參數(shù)Zp完全解耦，由支鏈3獨(dú)立驅(qū)動(dòng)控制，表明該非對稱1T2R并聯(lián)機(jī)構(gòu)具有部分解耦運(yùn)動(dòng)特性。

2 優(yōu)質(zhì)傳遞姿態(tài)工作空間

2.1 運(yùn)動(dòng)/力傳遞指標(biāo)

性能分析旨在研究并聯(lián)機(jī)構(gòu)在其工作空間內(nèi)能否滿足相應(yīng)工程任務(wù)需求，是其投入工程應(yīng)用的必要前提?；谘趴吮染仃嚨男阅苤笜?biāo)如靈巧度、可操作度等應(yīng)用于具有混合自由度的并聯(lián)機(jī)構(gòu)時(shí)，會(huì)出現(xiàn)量綱不統(tǒng)一、物理意義不明確等問題[17]。為此，本文采用陳祥等[18]提出的運(yùn)動(dòng)/力傳遞性能指標(biāo)評價(jià)機(jī)構(gòu)性能，該指標(biāo)具有量綱為一、與坐標(biāo)選取無關(guān)的優(yōu)點(diǎn)。機(jī)構(gòu)運(yùn)動(dòng)/力傳遞性能指標(biāo)是以輸入運(yùn)動(dòng)螺旋(input twist screw, ITS)、輸出運(yùn)動(dòng)螺旋(output twist screw, OTS)與約束力螺旋(constrained screw theory, CWS)為基礎(chǔ)。這里，所有螺旋均在定系{f}系表示。

據(jù)文獻(xiàn)[16]，UPS-RPU-PU 機(jī)構(gòu)末端輸出為：繞U3副兩軸轉(zhuǎn)動(dòng)以及沿Z軸方向移動(dòng)，故機(jī)構(gòu)約束力螺旋可表示為

因各支鏈均由移動(dòng)副驅(qū)動(dòng)，故支鏈i(i=1，2，3)的輸入運(yùn)動(dòng)螺旋為

支鏈i(i=1，2，3)的傳遞力螺旋(transmission wrench screw, TWS)為過點(diǎn)Ai且沿wi方向的純力，即

運(yùn)動(dòng)/力傳遞特性可衡量能量從各支鏈i輸入端到輸出端傳遞效率，分為輸入傳遞指標(biāo)和輸出傳遞指標(biāo)，其表達(dá)式為

式中：|·|max為互易積的潛在最大值，按文獻(xiàn)[19]的方法計(jì)算；“?”為互易積運(yùn)算符號；i=1，2，3。

為綜合評價(jià)機(jī)構(gòu)在某瞬時(shí)位姿的傳遞特性，進(jìn)一步定義UPS-RPU-PU 并聯(lián)機(jī)構(gòu)的局部傳遞指標(biāo)(local transmission index, LTI)為

2.2 偏置式末端輸出軸的姿態(tài)描述

UPS-RPU-PU機(jī)構(gòu)兩轉(zhuǎn)動(dòng)自由度的轉(zhuǎn)軸均位于動(dòng)平臺(tái)平面內(nèi)，故可用方位角ζ和傾擺角ξ描述機(jī)構(gòu)末端輸出軸B3H的姿態(tài)。定義輸出軸B3H相對于Z軸的傾擺角ξ范圍為機(jī)構(gòu)姿態(tài)能力，ξ越大，機(jī)構(gòu)姿態(tài)能力也就越強(qiáng)。非對稱機(jī)構(gòu)的工作空間也不對稱，導(dǎo)致任意方位角下的傾擺角極值亦不對稱，限制了機(jī)構(gòu)姿態(tài)能力。為此，將該機(jī)構(gòu)末端輸出加載頭設(shè)計(jì)為偏置式(如圖4 所示)，即輸出軸B3H相對于z軸偏置角度λ，?為其在動(dòng)系{m}中的方位角。圖4 中，坐標(biāo)系{m′}:B3X′Y′Z′恒平行于定系{f}，輸出軸B3H在系{m′}和{m}中的投影分別為B3H′和B3H″。

圖4 動(dòng)平臺(tái)輸出軸B3H在{m′}和{m}中的姿態(tài)Fig. 4 Orientation of output axis B3H attached to the moving platform in {m′} and {m}

利用文獻(xiàn)[19]的推導(dǎo)方法，已知機(jī)構(gòu)末端輸出軸的方位角ζ、傾擺角ξ以及偏置參數(shù)λ、?，其Euler角θ和ψ可表示為

式中：ζ∈[0，2π]；ξ∈[0，π/2]；?∈[0，π/2]；λ∈[0，π/2)；ψ∈(-π/2，π/2)；arctan2(·)為4象限內(nèi)取值的雙變量反正切函數(shù)。

若以(Zp，ζ，ξ)作為機(jī)構(gòu)末端輸出參數(shù)，則在給定尺度參數(shù)時(shí)，可由式(13)求得Euler 角(θ，ψ)，再由式(6)求得驅(qū)動(dòng)位移(q1，q2)，最后按文獻(xiàn)[18]中步驟求解各支鏈ITS、TWS和OTS，進(jìn)而求得ITI、OTI 和LTI。于是，機(jī)構(gòu)LTI 可視為其位姿參數(shù)(Zp，ζ，ξ)的函數(shù)，即ηLTI=ηLTI(Zp，ζ，ξ)。

2.3 優(yōu)質(zhì)傳遞姿態(tài)工作空間

機(jī)構(gòu)可達(dá)工作空間可定義如下：在滿足P副行程、U副和S副擺角限制且不發(fā)生桿件干涉的條件下，其動(dòng)平臺(tái)參考點(diǎn)B3可達(dá)位姿(Zp，ζ，ξ)構(gòu)成的點(diǎn)集記為Ωrea。由于可達(dá)位置Zp與可達(dá)姿態(tài)(ζ，ξ)完全獨(dú)立，只影響Ωrea截面高度，故后續(xù)分析中，可預(yù)設(shè)Zp為一定值。此時(shí)，Ωrea定截面姿態(tài)工作空間記為ΩO，ΩO應(yīng)滿足以下約束條件。

1) 驅(qū)動(dòng)副位移限制。支鏈驅(qū)動(dòng)位移qi應(yīng)滿足qi∈[qmin，qmax](其中，i=1，2)。

2) 萬向節(jié)(U副)擺角限制。設(shè)θi和ψi分別為Ui副第1軸和第2軸轉(zhuǎn)角，應(yīng)滿足：|θi|≤δU，max，|ψi|≤δU，max(i=1，2，3)，δU，max為U副擺角上限。

3) 球副擺角限制。設(shè)δS，max為S 副擺角上限，則支鏈中S1副擺角應(yīng)滿足|δS，1|≤δS，max。

4) 桿件不發(fā)生干涉。工程實(shí)踐表明，通過合理布置桿件分布和設(shè)定δS，max和δU，max，機(jī)構(gòu)在遠(yuǎn)離奇異位姿時(shí)，可有效避免桿件之間發(fā)生干涉。

為便于定量分析ΩO性能，現(xiàn)引入如下定義。

定義1：設(shè)機(jī)構(gòu)許用傳遞指標(biāo)為[η]，本文取[η]=sin45o≈0.7。由ΩO內(nèi)所有滿足ηLTI＞[η]的姿態(tài)(ζ，ξ)構(gòu)成的集合，稱為優(yōu)質(zhì)傳遞姿態(tài)工作空間(good transmission orientation workspace, GTOW)，記作ΩGTOW。

定義2：以姿態(tài)(0，0)為圓心，作ΩGTOW的最大內(nèi)切圓，該最大內(nèi)切圓內(nèi)所有姿態(tài)(ζ，ξ)構(gòu)成的集合稱為規(guī)則優(yōu)質(zhì)傳遞姿態(tài)工作空間(regular good transmission orientation workspace, RTOW)，記為ΩRTOW，相應(yīng)傾擺角記為ξR。ξR表征機(jī)構(gòu)姿態(tài)能力，即在任意方位角ζ下，機(jī)構(gòu)末端輸出軸均可達(dá)最大傾擺角。

定義3：為定量分析評價(jià)ΩRTOW性能，對ΩRTOW內(nèi)所有姿態(tài)(ζ，ξ)求均值和方差，分別稱為機(jī)構(gòu)全域傳遞指標(biāo)ηGTI及傳遞波動(dòng)指標(biāo)ση，其表達(dá)式為

ηGTI和ση為ΩRTOW性能評價(jià)指標(biāo)，其中ηGTI反映機(jī)構(gòu)在ΩRTOW內(nèi)的整體輸出力傳遞性能，其值越大，力傳遞性能越好，機(jī)構(gòu)承載能力越強(qiáng)；ση則反映力傳遞穩(wěn)定性，其值越小，力傳遞性越平穩(wěn)。

機(jī)構(gòu)工作空間分析實(shí)例如下。

例1：設(shè)機(jī)構(gòu)尺度參數(shù)l1=l2=100 mm，l3=l4=80 mm；偏置式輸出軸方位角?=60°，偏置角λ=15°；支鏈1中球鉸S1基座法矢在動(dòng)坐標(biāo)系{m}中相對于z軸的方位角和偏置角分別為?1=125°、λ1=115°。該并聯(lián)加載裝置應(yīng)用于液壓支架型式試驗(yàn)，屬于重型設(shè)備，各支鏈需采用液壓缸驅(qū)動(dòng)，故支鏈1 和2 中P 副行程范圍可取qmin=350 mm，qmax=650 mm。S副和U副擺角上限分別取δS，max=45°和δU，max=65°。

依據(jù)上述給定經(jīng)驗(yàn)尺寸，取Zp=450、550、650、750 mm，分析各截面GTOW 性能。利用離散—解析原理，作出各截面在極坐標(biāo)形式下的ΩO及其內(nèi)部LTI 分布圖(如圖5 所示)，其中，極坐標(biāo)極角與極徑分別對應(yīng)機(jī)構(gòu)末端偏置式輸出軸方位角ζ和傾擺角ξ。圖中紅色粗實(shí)線為ηLTI=[η]=0.7對應(yīng)的等高線，藍(lán)色點(diǎn)劃線為其最大內(nèi)切圓。由定義1和2可知，紅色粗實(shí)線和藍(lán)色點(diǎn)劃線圍成區(qū)域?yàn)棣窯TOW和ΩRTOW?？瞻讌^(qū)域代表由約束條件(1)～(3)引起的不可達(dá)姿態(tài)空間。由圖5(a)～5(d)可知，機(jī)構(gòu)姿態(tài)工作空間內(nèi)部無空洞，性能良好，且絕大部分區(qū)域的ηLTI大于0.7。據(jù)文獻(xiàn)[18]可知，當(dāng)ηLTI=0 或接近于0 時(shí)，機(jī)構(gòu)將處于輸入或輸出奇異，故圖5 中著色部分內(nèi)所有姿態(tài)均遠(yuǎn)離奇異位形，可有效避免桿件干涉。從圖5還可發(fā)現(xiàn)，各截面GTOW 形狀和尺寸幾乎相同，表明Zp對機(jī)構(gòu)LTI以及GTOW無影響。

圖5 GTOW性能圖譜Fig. 5 Performance atlas of GTOW

采用極坐標(biāo)搜索法與二分法結(jié)合，可搜索得到各截面對應(yīng)的傾擺角ξR，再通過式(14)求得各截面GTWO性能指標(biāo)ηGTI和ση，如表1所示。各截面GTOW 傳遞性能指標(biāo)ηGTI和ση幾乎不變，表明該機(jī)構(gòu)在整個(gè)工作空間內(nèi)具有良好且穩(wěn)定的運(yùn)動(dòng)/力傳遞特性。同時(shí)，各截面之間的ξR變化甚微。綜上可知，該非對稱1T2R機(jī)構(gòu)在其整體工作空間內(nèi)具有良好的運(yùn)動(dòng)性能。據(jù)文獻(xiàn)[1]知，現(xiàn)有大傾角液壓支架的適用傾角已達(dá)65°，且隨著西部煤田的開發(fā)，該值會(huì)進(jìn)一步提高。因此，該并聯(lián)加載裝置的姿態(tài)能力及其相關(guān)性能指標(biāo)需進(jìn)一步優(yōu)化。

表1 GTOW性能指標(biāo)Table 1 Performance indices of GTOW

3 機(jī)構(gòu)尺度參數(shù)多目標(biāo)優(yōu)化模型

3.1 優(yōu)化變量

新型液壓支架試驗(yàn)臺(tái)加載裝置原型為UPSRPU-PU并聯(lián)機(jī)構(gòu)，其性能優(yōu)化往往通過結(jié)構(gòu)參數(shù)優(yōu)化設(shè)計(jì)實(shí)現(xiàn)。機(jī)構(gòu)尺度參數(shù)按比例縮放不影響性能指標(biāo)。因此，可預(yù)先給定尺度參數(shù)l1，以(l2，l3，l4)為優(yōu)化變量。

圖6 所示為機(jī)構(gòu)GTOW 性能指標(biāo)隨末端輸出軸方位角?和偏置角λ變化的曲線。由圖6 可知，給定工作空間截面高度ZP時(shí)，?和λ變化會(huì)引起GTOW 性能指標(biāo)發(fā)生變化，故姿態(tài)參數(shù)(?，λ)應(yīng)作為優(yōu)化變量。

圖6 GTOW性能指標(biāo)變化曲線Fig. 6 Change curve of GTOW performance indices

S1副擺動(dòng)范圍對機(jī)構(gòu)動(dòng)平臺(tái)的姿態(tài)空間有較大影響，且該范圍與其基座法矢在{m}中的姿態(tài)相關(guān)。設(shè)S1副基座法向量在{m}中的方位角與偏置角為(?1，λ1)，則S1副基座法矢在動(dòng)坐標(biāo)系{m}中可表示為n1=(sinλ1cos?，sinλ1sin?，cosλ1)T，其相應(yīng)擺角為，故S1副基座法矢在{m}中的姿態(tài)參數(shù)(?1，λ1)亦需作為優(yōu)化變量。

3.2 目標(biāo)函數(shù)

為適應(yīng)液壓支架掩護(hù)梁、尾梁以及大傾角液壓支架的外加載試驗(yàn)需求，并聯(lián)加載裝置須具備盡可能大的姿態(tài)能力ξR。另外，若期望加載時(shí)機(jī)構(gòu)具有較大且穩(wěn)定的力傳遞性能，則全域傳遞指標(biāo)ηGTI應(yīng)盡可能大，而傳遞波動(dòng)指標(biāo)ση應(yīng)盡可能小。因此，機(jī)構(gòu)尺度參數(shù)多目標(biāo)優(yōu)化的目標(biāo)函數(shù)可歸納為：ξR和ηGTI最大化，同時(shí)ση最小化。

3.3 約束條件

姿態(tài)能力和全域傳遞性能指標(biāo)過小或傳遞波動(dòng)指標(biāo)過大均影響機(jī)構(gòu)實(shí)際應(yīng)用，故應(yīng)對目標(biāo)函數(shù)優(yōu)化結(jié)果進(jìn)行相應(yīng)約束。同時(shí)，還應(yīng)考慮2.3節(jié)中機(jī)構(gòu)自身結(jié)構(gòu)約束限制。

綜上所述，UPS-RPU-PU并聯(lián)機(jī)構(gòu)尺度參數(shù)多目標(biāo)優(yōu)化模型可表示如下

綜上可知，UPS-RPU-PU并聯(lián)機(jī)構(gòu)多目標(biāo)優(yōu)化模型帶有7個(gè)決策變量、3個(gè)目標(biāo)函數(shù)和12個(gè)約束條件，屬于一類昂貴約束多目標(biāo)優(yōu)化問題，這類問題計(jì)算開銷很大，且尋優(yōu)過程會(huì)產(chǎn)生眾多局部最優(yōu)解，故需借助多目標(biāo)進(jìn)化算法進(jìn)行求解。

4 多目標(biāo)優(yōu)化設(shè)計(jì)結(jié)果分析

4.1 優(yōu)化設(shè)計(jì)算法

由DEB等[20]提出的第二代非支配排序遺傳算法(nondominated sorted genetic algorithm II, NSGA-II)，具有計(jì)算復(fù)雜度較低、種群分布性較廣、保留精英個(gè)體等優(yōu)點(diǎn)，是當(dāng)前應(yīng)用最廣的MOEA，其具體計(jì)算流程詳見文獻(xiàn)[20]。為此，本文采用NSGAII 算法求解UPS-RPU-PU 并聯(lián)機(jī)構(gòu)尺度參數(shù)ECMOP。

4.2 參數(shù)設(shè)置

預(yù)先設(shè)定尺度參數(shù)l1和Zp分別為100 mm 和450 mm。并聯(lián)機(jī)構(gòu)各支鏈驅(qū)動(dòng)副行程范圍取qmin=350 mm，qmax=650 mm。U 副和S 副擺角上限可取為δS，max=45°和δU，max=65°。決策空間范圍設(shè)置見表2。

表2 決策變量取值范圍Table 2 Interval ranges of decision variables

為提高求解效率，本文利用差分進(jìn)化(differential evolution, DE)算法替代NSGA-II算法中的遺傳算子，形成NSDE-II多目標(biāo)進(jìn)化算法，該算法控制參數(shù)設(shè)置如下：種群規(guī)模NP=100，非支配解集規(guī)模Nns=40，最大進(jìn)化代數(shù)T=100，縮放因子F=0.5，交叉概率CR=0.85。離散搜索時(shí)，角度間隔取1°。

4.3 優(yōu)化結(jié)果分析

NSDE-II 獨(dú)立運(yùn)行1 次耗時(shí)約285 min，其Pareto 前沿如圖7 所示，10 組典型Pareto 最優(yōu)解見表3。

圖7 NSDE-II求解所得Pareto前沿Fig. 7 The Pareto fronts obtained by NSDE-II

表3 NSDE-II求解所得典型Pareto最優(yōu)解Table 3 Typical Pareto optimal solutions obtained by NSDE-II

圖7所示Pareto前沿分布較廣，表明種群多樣性較好，可為工程應(yīng)用提供多組備選解。但40 組Pareto最優(yōu)解均勻程度較差，故需進(jìn)一步提高算法均布性。由表3可知，第1組解ξR取得極小值，基本接近由第1 個(gè)約束不等式所確定的下限，而ηGTI和ση分別取得極大值和極小值。第10組解ξR取得極大值，但ση已接近第3個(gè)約束函數(shù)的上限。以上2組解可視為極端解，均存在1個(gè)指標(biāo)較差的情況，不宜用于指導(dǎo)工程應(yīng)用。40組Pareto最優(yōu)解的ηGTI均明顯大于約束函數(shù)的下限，表明該機(jī)構(gòu)經(jīng)優(yōu)化后具有較好的全域傳遞特性。由上述分析推知，第7組解為較好的折中解，其綜合性能最優(yōu)，下面選用該組解定量分析機(jī)構(gòu)姿態(tài)工作空間及其性能指標(biāo)。

由例1 可知，各層之間GTOW 性能指標(biāo)相差甚小，故此處取Zp=450 mm 進(jìn)行研究。將第7 組尺度參數(shù)圓整化，繪制機(jī)構(gòu)GTOW 性能圖譜，如圖8 所示。從圖8 可見：相較于圖5，機(jī)構(gòu)ΩGTOW和ΩRTOW內(nèi)部均無空洞，GTOW邊界曲線輪廓更加圓潤光滑。不難發(fā)現(xiàn)，ΩGTOW和ΩRTOW之間的切點(diǎn)數(shù)增多，且一些切點(diǎn)之間具有對稱性。以上結(jié)果表明，經(jīng)優(yōu)化后，機(jī)構(gòu)GTOW姿態(tài)能力得到提升，且保持良好穩(wěn)定的全域運(yùn)動(dòng)/力傳遞特性。另外，第7 組解對應(yīng)的機(jī)構(gòu)姿態(tài)能力已達(dá)40°，意味著并聯(lián)加載裝置的偏置式加載頭在任意方位角下連續(xù)擺動(dòng)范圍為-40°～40°(達(dá)80°)，該傾擺范圍可以滿足液壓支架掩護(hù)梁、尾梁等結(jié)構(gòu)件以及極傾斜煤層大傾角液壓支架試驗(yàn)外加載試驗(yàn)要求。相較于表1 中Zp=450 mm 對應(yīng)的性能指標(biāo)，表3 中第7 組對應(yīng)的全域傳遞指標(biāo)ηGTI有小幅度提高，且傳遞波動(dòng)指標(biāo)ση降低了18%，表明優(yōu)化后的并聯(lián)加載裝置具有更強(qiáng)的全域力傳遞性和承載能力，加載機(jī)構(gòu)的運(yùn)動(dòng)/力傳遞性能也更加穩(wěn)定。

圖8 極坐標(biāo)形式的GTOW性能圖譜Fig. 8 Performance atlas of GTOW in the polar coordinate

5 仿真試驗(yàn)

對于此類重型裝備，還需進(jìn)行必要的剛度和強(qiáng)度分析。為此，本文借助ANSYS 軟件對1.1 節(jié)中提及的3種典型加載工況下的試驗(yàn)臺(tái)進(jìn)行仿真試驗(yàn)。選用Q460鋼板作為試驗(yàn)臺(tái)主體結(jié)構(gòu)材料，其彈性模量為210 GPa，泊松比為0.3，強(qiáng)度極限為460 MPa，密度為7 850 kg/m3。垂直于偏置式加載頭輸出面施加10 MN 作用力，結(jié)果分別如圖9～11所示。

圖9 頂梁縱向中間加載有限元分析Fig.9 Finite element analysis of transverse intermediate loading of canopy

圖10 掩護(hù)梁加載有限元分析Fig. 10 Finite element analysis of shield beam loading

圖11 大傾角液壓支架加載有限元分析Fig. 11 Finite element analysis of large inclination hydraulic support loading

據(jù)圖9(a)、圖10(a)和圖11(a)可知，試驗(yàn)臺(tái)在3種工況下的最大總變形量分別為1.192 3 mm，1.410 1 mm和1.744 4 mm。上述變形量均可滿足實(shí)際應(yīng)用中的靜剛度要求。同理，由圖9(b)、圖10(b)和圖11(b)可得，試驗(yàn)臺(tái)在3 種工況下產(chǎn)生的最大應(yīng)力均在所選材料強(qiáng)度極限范圍內(nèi)，滿足強(qiáng)度要求。因此，本文設(shè)計(jì)的新型液壓支架試驗(yàn)臺(tái)在3種典型工況下均具有良好的運(yùn)動(dòng)性能和靜態(tài)特性，亦表明非對稱UPS-RPU-PU 并聯(lián)機(jī)構(gòu)在液壓支架性能測試設(shè)備方面具有潛在的應(yīng)用價(jià)值。

6 結(jié)論

1) 本文提出一種非對稱1T2R 型UPS-RPU-PU并聯(lián)機(jī)構(gòu)，并基于該機(jī)構(gòu)設(shè)計(jì)了一種新型外加載液壓支架試驗(yàn)臺(tái)，兼具外加載、轉(zhuǎn)動(dòng)加載以及無級調(diào)高能力，適用于最新標(biāo)準(zhǔn)中的液壓支架型式試驗(yàn)要求。

2) 利用矢量方程推導(dǎo)出并聯(lián)機(jī)構(gòu)位置逆解解析式，并通過方位角ζ與傾擺角ξ描述偏置式動(dòng)平臺(tái)輸出姿態(tài)，進(jìn)而建立Euler 角(θ，ψ)與(ζ，ξ)之間的解析關(guān)系式。

3) 以螺旋理論為數(shù)學(xué)工具，建立各支鏈輸入和輸出傳遞指標(biāo)以及機(jī)構(gòu)局部傳遞指標(biāo)的數(shù)學(xué)模型，在此基礎(chǔ)上，給出優(yōu)質(zhì)傳遞姿態(tài)空間、規(guī)則優(yōu)質(zhì)傳遞姿態(tài)空間、全域傳遞性能及傳遞波動(dòng)指標(biāo)的定義和計(jì)算方法。

4) 依據(jù)壓架試驗(yàn)實(shí)際需求，建立并聯(lián)加載裝置尺度參數(shù)昂貴約束多目標(biāo)優(yōu)化模型，并采用NSGA-II算法求得多組Pareto備選解。選取綜合性能較優(yōu)的一組折中解，設(shè)計(jì)出新型液壓支架試驗(yàn)臺(tái)虛擬樣機(jī)，并進(jìn)行3 種典型工況下的仿真試驗(yàn)。結(jié)果表明，新型液壓支架試驗(yàn)臺(tái)具有良好的運(yùn)動(dòng)學(xué)和靜力學(xué)性能。