小學(xué)數(shù)學(xué)學(xué)與教的結(jié)構(gòu)化：內(nèi)涵、價(jià)值與途徑*

陳六一

課程內(nèi)容的結(jié)構(gòu)化是《義務(wù)教育數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)（2022 年版）》（以下簡(jiǎn)稱“新課標(biāo)”）的基本理念，也是其相對(duì)于《義務(wù)教育數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)（2011 年版）》的主要變化之一。于是，以“結(jié)構(gòu)化”為關(guān)鍵詞的教學(xué)實(shí)踐與理論探討，成了近來(lái)的教育熱詞。筆者認(rèn)為，我們需要思考如下問(wèn)題：第一，結(jié)構(gòu)化是要從純數(shù)學(xué)的角度對(duì)待具體的數(shù)學(xué)結(jié)構(gòu)嗎？盡管強(qiáng)調(diào)結(jié)構(gòu)化體現(xiàn)在將具有一致性學(xué)科本質(zhì)特征的內(nèi)容整合成一個(gè)主題，有助于學(xué)生整體把握和理解數(shù)學(xué)，但波及全球的“新數(shù)運(yùn)動(dòng)”已經(jīng)給了我們足夠的教訓(xùn)，即這條路徑已經(jīng)超越了小學(xué)生的學(xué)習(xí)程度。第二，結(jié)構(gòu)化是要將學(xué)生的認(rèn)知建構(gòu)視同課程內(nèi)容的結(jié)構(gòu)化嗎？盡管學(xué)生有無(wú)限可能，但“最近發(fā)展區(qū)”理論啟示我們，教必須跑到學(xué)的前面，因?yàn)橐粋€(gè)人難以獨(dú)自學(xué)習(xí)處在“最近發(fā)展區(qū)”的系列知識(shí)。更何況，從學(xué)科發(fā)展史可見，數(shù)學(xué)是按照一定的秩序與內(nèi)部聯(lián)系，對(duì)已經(jīng)積累的經(jīng)驗(yàn)、知識(shí)進(jìn)行歸類、整理或加工，組合成的一個(gè)有機(jī)邏輯體系?？梢赃@樣說(shuō)，學(xué)生要洞見數(shù)字，就需要教師的示范、啟發(fā)、指導(dǎo)、點(diǎn)撥。因此，筆者從學(xué)的結(jié)構(gòu)化與教的結(jié)構(gòu)化兩個(gè)維度重新理解教學(xué)，以期通過(guò)教的結(jié)構(gòu)化更好地促進(jìn)學(xué)的結(jié)構(gòu)化，從而讓學(xué)生更好地理解數(shù)學(xué)，感受數(shù)學(xué)思維是理解世界的一種重要方式，進(jìn)而發(fā)展學(xué)生的核心素養(yǎng)。

一、學(xué)的結(jié)構(gòu)化的內(nèi)涵與價(jià)值

學(xué)的結(jié)構(gòu)化是指要對(duì)學(xué)生的學(xué)習(xí)內(nèi)容作結(jié)構(gòu)化的分析和設(shè)計(jì)，從而促進(jìn)學(xué)生形成更好的思維結(jié)構(gòu)，習(xí)得數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的方法論，這既是為了回應(yīng)新課標(biāo)中內(nèi)容的結(jié)構(gòu)化要求，也是對(duì)學(xué)習(xí)理論的實(shí)踐性反思。

1.變革學(xué)習(xí)方式

學(xué)的結(jié)構(gòu)化首先是針對(duì)內(nèi)容結(jié)構(gòu)在學(xué)習(xí)形式上的分析。當(dāng)下的基本教學(xué)流程是：?jiǎn)栴}（聚焦某一個(gè)知識(shí)點(diǎn)）→解題（一種方式主要是教師講解，一種方式主要是少部分學(xué)生講解）→練習(xí)（基礎(chǔ)練習(xí)、變式練習(xí)、拓展練習(xí)）。反思上述教學(xué)流程，由于其具有孤立性與碎片化的特點(diǎn)，使得課時(shí)學(xué)習(xí)仿佛永遠(yuǎn)都在解決全新的問(wèn)題，連續(xù)的內(nèi)容學(xué)習(xí)卻不能產(chǎn)生連貫的整體認(rèn)知；縱然后續(xù)有大量的練習(xí)加以串聯(lián)，學(xué)生通過(guò)熟能生巧也許會(huì)舉一反三，但也有可能熟能生“笨”，從而喪失學(xué)習(xí)的熱情；另外，還會(huì)在教師與優(yōu)秀生介入的共識(shí)與大量練習(xí)中，失卻面對(duì)復(fù)雜問(wèn)題嘗試舉三反一的能力。

為此，筆者試圖革新針對(duì)內(nèi)容學(xué)習(xí)的課堂進(jìn)程：?jiǎn)栴}（開展基于內(nèi)容單元與素養(yǎng)目標(biāo)的問(wèn)題任務(wù)群活動(dòng)）→回溯與喚醒（引導(dǎo)學(xué)生進(jìn)行個(gè)性化表達(dá)與多元表征，喚醒其已有學(xué)習(xí)經(jīng)驗(yàn)）→識(shí)別與歸類（識(shí)別模式、辨析比較）→自反抽象（讓概念回到背景意義）。當(dāng)學(xué)生發(fā)現(xiàn)每天解決的問(wèn)題只是“數(shù)學(xué)樹”上的一根枝條，即數(shù)學(xué)結(jié)構(gòu)上的一個(gè)結(jié)點(diǎn)或者結(jié)點(diǎn)與結(jié)點(diǎn)之間的一條“鏈”，學(xué)生便能悟出今天的所學(xué)與昨天的所學(xué)之間有所關(guān)聯(lián)，并能想象出未來(lái)相關(guān)所學(xué)。如此，每一次新學(xué)便可以退回到舊知之中，或者改造舊知的局限。于是，喚醒學(xué)生過(guò)往的學(xué)習(xí)經(jīng)歷便能作為他們新知學(xué)習(xí)的支架，繼而在對(duì)數(shù)學(xué)內(nèi)容變與不變、靜與動(dòng)的觀察、操作、協(xié)商、爭(zhēng)論、建構(gòu)、變構(gòu)過(guò)程中，將數(shù)學(xué)經(jīng)歷凝練為數(shù)學(xué)經(jīng)驗(yàn)，進(jìn)而指導(dǎo)其未來(lái)的自學(xué)行為。

為了讓形式上的變化能促進(jìn)學(xué)生的數(shù)學(xué)理解，還要對(duì)學(xué)科本質(zhì)進(jìn)行分析，如“數(shù)與運(yùn)算”的教學(xué)，就要引導(dǎo)學(xué)生“感悟數(shù)概念本質(zhì)上的一致性”“體會(huì)數(shù)的運(yùn)算本質(zhì)上的一致性”。當(dāng)然，學(xué)科本質(zhì)不可能通過(guò)一節(jié)課（甚至不可能通過(guò)一個(gè)自然單元、一個(gè)年級(jí)）的學(xué)習(xí)就能感悟到，我們要在本質(zhì)的統(tǒng)領(lǐng)下，分側(cè)面、分層級(jí)地引導(dǎo)學(xué)生以長(zhǎng)時(shí)間的數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)通達(dá)數(shù)學(xué)的理想狀態(tài)。同時(shí)，每一個(gè)單元、每一個(gè)課時(shí)的學(xué)習(xí)都要分析單元、課時(shí)內(nèi)容的縱向關(guān)聯(lián)，找到所學(xué)知識(shí)所處的位置。另外，還要分析單元、課時(shí)內(nèi)容的橫向關(guān)聯(lián)，以學(xué)生的數(shù)學(xué)經(jīng)驗(yàn)、數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)經(jīng)驗(yàn)為基點(diǎn)，將新知、未知納入已知模式，或者暫時(shí)不能解決問(wèn)題，但是可以思考可能抵達(dá)問(wèn)題解決的路徑。如圖1所示的“分?jǐn)?shù)除法”的學(xué)習(xí)，其中的橢圓內(nèi)容指向縱向結(jié)構(gòu)，即內(nèi)容本身的前后關(guān)聯(lián)；方形內(nèi)容指向橫向結(jié)構(gòu)，即數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)經(jīng)驗(yàn)的關(guān)聯(lián)。

圖1 “分?jǐn)?shù)除法”學(xué)習(xí)內(nèi)容的縱橫結(jié)構(gòu)

2.設(shè)計(jì)學(xué)習(xí)路徑

如果說(shuō)上述分析試圖在啟迪學(xué)生思考什么是數(shù)學(xué)、數(shù)學(xué)有什么用、數(shù)學(xué)為什么是今天這個(gè)樣子。教學(xué)則要引導(dǎo)學(xué)生學(xué)會(huì)思考怎樣才能更好地學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)、怎樣在學(xué)習(xí)中更好地培養(yǎng)理性思維。如“分?jǐn)?shù)除法”的學(xué)習(xí)，課程目標(biāo)指向運(yùn)算能力素養(yǎng)培育。目標(biāo)對(duì)應(yīng)的學(xué)業(yè)質(zhì)量標(biāo)準(zhǔn)是：能進(jìn)行簡(jiǎn)單的分?jǐn)?shù)除法運(yùn)算，感悟運(yùn)算的一致性，形成數(shù)感和運(yùn)算能力。具體來(lái)說(shuō)，就是要做到以下幾點(diǎn)：明晰分?jǐn)?shù)除法運(yùn)算的對(duì)象，知道為何用分?jǐn)?shù)除法進(jìn)行運(yùn)算，理解分?jǐn)?shù)除法可以用被除數(shù)乘除數(shù)的倒數(shù)來(lái)計(jì)算這一算法和算理之間的聯(lián)系；會(huì)選擇合理簡(jiǎn)潔的運(yùn)算策略，有基于自己思維經(jīng)驗(yàn)的問(wèn)題解決方法；形成規(guī)范化的思考，養(yǎng)成求實(shí)的科學(xué)態(tài)度。

其教學(xué)目標(biāo)的實(shí)現(xiàn)過(guò)程，幾乎可以看作學(xué)習(xí)沿階而行的路徑。也就是說(shuō)，一旦厘定了教學(xué)內(nèi)容所承載的素養(yǎng)目標(biāo)，我們便可以將目標(biāo)細(xì)化，同時(shí)賦予其可以量化的質(zhì)量描述，再以此設(shè)計(jì)教學(xué)程序。繼續(xù)以“分?jǐn)?shù)除法”為例，為了實(shí)現(xiàn)前面所描述的目標(biāo)與質(zhì)量要求，課堂可以分三步走，在多個(gè)課時(shí)的連續(xù)學(xué)習(xí)中實(shí)現(xiàn)目標(biāo)。第一步學(xué)習(xí)“分?jǐn)?shù)除以整數(shù)”；第二步學(xué)習(xí)“整數(shù)除以分?jǐn)?shù)”，含“整數(shù)除以幾分之一”“整數(shù)除以幾分之幾”；第三步學(xué)習(xí)“分?jǐn)?shù)除以分?jǐn)?shù)”，如圖2 所示。需要注意的是，在第一步的學(xué)習(xí)伊始，學(xué)生依據(jù)情境能夠發(fā)現(xiàn)，分?jǐn)?shù)除以整數(shù)、整數(shù)除以分?jǐn)?shù)、分?jǐn)?shù)除以分?jǐn)?shù)講述著相同的數(shù)學(xué)故事，只是解決問(wèn)題時(shí)數(shù)字不同而已；辨析不同的解釋，學(xué)生能夠發(fā)現(xiàn)，盡管每一步都有不同的解題方法，但每一種解題方法都能在乘除法之間建立聯(lián)系。

圖2 “分?jǐn)?shù)除法”的學(xué)習(xí)路徑

二、教的結(jié)構(gòu)化的內(nèi)涵與價(jià)值

教的結(jié)構(gòu)化是指教師以結(jié)構(gòu)化的方式表達(dá)自己對(duì)教學(xué)的思考，建構(gòu)“從一節(jié)課到一類課”的整體教學(xué)設(shè)計(jì)框架。具體而言，即對(duì)于數(shù)與運(yùn)算的教學(xué)、數(shù)量關(guān)系的教學(xué)、圖形的認(rèn)識(shí)與測(cè)量的教學(xué)等，都能在框架下進(jìn)行教學(xué)思考。畢竟每一個(gè)主題的學(xué)習(xí)都不是一節(jié)課就能完成的，每一個(gè)結(jié)構(gòu)也不是靠教師的告知學(xué)生就能掌握的。

繼續(xù)以“分?jǐn)?shù)除法”的教學(xué)為例，在分?jǐn)?shù)范圍內(nèi)理解除法的意義應(yīng)該是這幾節(jié)課的教學(xué)起點(diǎn)，等分模型和包含除模型分別對(duì)應(yīng)理解分?jǐn)?shù)除法的兩種思考過(guò)程，估算是運(yùn)算教學(xué)不可分割的一部分。這樣的教學(xué)經(jīng)驗(yàn)當(dāng)然來(lái)自整數(shù)除法、小數(shù)除法的課堂，由此就構(gòu)成了運(yùn)算教學(xué)的基本樣態(tài)。具體展開來(lái)講，可以從以下四個(gè)方面來(lái)建構(gòu)“分?jǐn)?shù)除法”的教學(xué)框架。

其一，使用情境任務(wù)。有關(guān)分?jǐn)?shù)的情境問(wèn)題有助于加深學(xué)生對(duì)分?jǐn)?shù)的理解，形成他們自己的解題方法。問(wèn)題情境不需要太復(fù)雜，但必須是學(xué)生熟悉的，符合分?jǐn)?shù)在日常生活中的實(shí)際運(yùn)用情況。如用千克、米等為單位進(jìn)行測(cè)量，用語(yǔ)中含有二分之一、四分之一、八分之一這樣的分?jǐn)?shù)，而非三分之一、五分之一這樣的人為刻意規(guī)定。

其二，運(yùn)用多種模型探索。面積、長(zhǎng)度和集合模型可以從不同角度刻畫分?jǐn)?shù)，幫助學(xué)生深入理解分?jǐn)?shù)除法的意義。特別要強(qiáng)調(diào)的是，模型既要與情境建立聯(lián)系，也要與除法運(yùn)算相關(guān)聯(lián)。

其四，討論計(jì)算過(guò)程中遇到的挑戰(zhàn)。學(xué)生會(huì)在新的學(xué)習(xí)中運(yùn)用他們已經(jīng)掌握的知識(shí)，如除法運(yùn)算的意義在整數(shù)與分?jǐn)?shù)范圍內(nèi)相同，看似遷移促進(jìn)了分?jǐn)?shù)除法的學(xué)習(xí)，但它們的計(jì)算過(guò)程不同，也就意味著用整數(shù)知識(shí)來(lái)解決分?jǐn)?shù)除法問(wèn)題會(huì)導(dǎo)致困惑。教師應(yīng)該把常見的誤解呈現(xiàn)給學(xué)生，并組織學(xué)生討論：為什么有些方法可以直接推廣，有些方法卻會(huì)導(dǎo)致錯(cuò)誤？

由以上“分?jǐn)?shù)除法”教學(xué)的結(jié)構(gòu)化分析，其實(shí)可以反推數(shù)運(yùn)算教學(xué)的基本框架；或者說(shuō)，關(guān)于數(shù)的運(yùn)算在每個(gè)學(xué)段（乃至每個(gè)具體的教學(xué)單元）的教學(xué)，都可以從如圖3 所示的框架中得到啟示。

圖3 運(yùn)算教學(xué)的基本框架

三、學(xué)與教的結(jié)構(gòu)化的實(shí)現(xiàn)途徑

教的結(jié)構(gòu)化，是為了從一類課上構(gòu)建學(xué)習(xí)框架；學(xué)的結(jié)構(gòu)化，是將框架變成學(xué)生課堂學(xué)習(xí)的具體過(guò)程。因?yàn)榻虒W(xué)的立足點(diǎn)與落腳點(diǎn)都是學(xué)生的學(xué)，所以教的結(jié)構(gòu)化與學(xué)的結(jié)構(gòu)化是讓數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)成為可能的一體兩面，而這無(wú)疑考驗(yàn)教師對(duì)數(shù)學(xué)及數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的理解。為了讓教師的理解更好地支持學(xué)生的數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)，踐行教學(xué)相長(zhǎng)的理念，筆者在實(shí)踐中探尋出以下幾種途徑。

1.建立聯(lián)結(jié)

在新知和舊知之間建立聯(lián)結(jié)，可以增進(jìn)理解。一如學(xué)生在學(xué)習(xí)“分?jǐn)?shù)除法”時(shí)，能主動(dòng)關(guān)聯(lián)圖1 中縱向結(jié)構(gòu)的上半部分，這無(wú)疑可以促進(jìn)學(xué)生對(duì)分?jǐn)?shù)除法的意義、算理、算法的全面理解。當(dāng)然，教師在課堂中還要鼓勵(lì)學(xué)生根據(jù)已有的想法來(lái)構(gòu)建新的想法。如此，想法之間就建立了聯(lián)結(jié)網(wǎng)絡(luò)，聯(lián)結(jié)越多，理解就越深入。

2.工具探索

工具是指日常生活用品、數(shù)學(xué)圖形以及學(xué)具等。工具不僅可以用來(lái)解釋說(shuō)明概念，也可以具象地表達(dá)數(shù)學(xué)概念，促進(jìn)大腦建立起數(shù)學(xué)思維。還是以“分?jǐn)?shù)除法”的教學(xué)為例，比如計(jì)算，教師不急著揭示標(biāo)準(zhǔn)算法——“被除數(shù)乘除數(shù)的倒數(shù)”，而是要求學(xué)生展示自己個(gè)性化的理解，在等待中，學(xué)生誕生了很多精彩的想法：（1）把15粒豆子看作“1”，對(duì)應(yīng)20粒，便指6 粒，就是算20 里有幾個(gè)6，或者20是6 的多少倍，即里有（4×5）個(gè)里有（2×3）個(gè)÷（2×3）=；（3）把和放到數(shù)軸上，將自然數(shù)1 平均分成15 份，占有這樣的20 份；占有這樣的6 份，6 份一數(shù)，數(shù)出了3 次余下2 份，2 份占6份的……

過(guò)分強(qiáng)調(diào)標(biāo)準(zhǔn)算法，實(shí)際上對(duì)學(xué)生提高運(yùn)算能力有負(fù)面干擾。學(xué)生需要構(gòu)建自己的解決方案，這些屬于自己的方案和標(biāo)準(zhǔn)算法同樣有效，而且對(duì)學(xué)生而言更有意義。另外需要提醒的是，教師告訴學(xué)生跟著我來(lái)做，是常見的誤用工具探索，既不能促進(jìn)學(xué)生思考，也不能幫助學(xué)生理解概念。當(dāng)然，我們也要引導(dǎo)學(xué)生關(guān)注用不同工具探索所體現(xiàn)的共同數(shù)學(xué)特征。

3.經(jīng)歷困境

有時(shí)候?qū)W生想一個(gè)人安靜地思考問(wèn)題，但課堂上有些教師總是會(huì)“好心”地給予講解、提醒。雖然教師的初衷是讓學(xué)生更快地獲得答案，然而并不能幫助學(xué)生學(xué)會(huì)思考。正如皮亞杰所指出的：學(xué)習(xí)者在獲取新知時(shí)會(huì)經(jīng)歷不平衡，通過(guò)順應(yīng)與同化，讓認(rèn)知重新平衡，正是構(gòu)建知識(shí)結(jié)構(gòu)不可或缺的。因此，教師要引導(dǎo)學(xué)生認(rèn)識(shí)到，錯(cuò)誤、誤解、思慮不周都是學(xué)習(xí)的機(jī)會(huì)。例如，學(xué)生計(jì)算，發(fā)現(xiàn)商遠(yuǎn)遠(yuǎn)大于被除數(shù)，學(xué)生陷入了認(rèn)知困境。教師要注意引導(dǎo)學(xué)生理解除數(shù)是個(gè)單位量，即用來(lái)度量。當(dāng)用來(lái)度量1 時(shí)，就需要次，由此推理出用小于1 的數(shù)度量1，必然要多于1 次。另外，學(xué)生經(jīng)歷了分?jǐn)?shù)除以整數(shù)、整數(shù)除以分?jǐn)?shù)、分?jǐn)?shù)除以分?jǐn)?shù)的持久“失衡—平衡”狀態(tài)，能漸漸感悟分?jǐn)?shù)除法不管用包含除還是等分除來(lái)解釋，分母所表達(dá)的都是到底要分成多大的分?jǐn)?shù)單位，反映在算法上就是乘分母；分子表達(dá)的是每份是多少，反映在算法上就是除以分子；然后在某個(gè)時(shí)間節(jié)點(diǎn)，突然發(fā)現(xiàn)直接用顛倒除數(shù)相乘更簡(jiǎn)單。需要注意的是，教師一定要表?yè)P(yáng)學(xué)生在問(wèn)題探索過(guò)程中的努力和堅(jiān)持。

當(dāng)我們通過(guò)教的結(jié)構(gòu)化更好地實(shí)現(xiàn)了學(xué)的結(jié)構(gòu)化，當(dāng)我們?cè)谡n堂上以學(xué)的結(jié)構(gòu)化幫助學(xué)生感悟到學(xué)好數(shù)學(xué)的方法論，教學(xué)也就實(shí)現(xiàn)了通過(guò)例子學(xué)會(huì)數(shù)學(xué)思維，通過(guò)數(shù)學(xué)學(xué)會(huì)思維，具體表現(xiàn)為：學(xué)生會(huì)發(fā)現(xiàn)和提出問(wèn)題，能嘗試運(yùn)用多種策略、借助直觀尋找規(guī)律，會(huì)在聯(lián)系中推理，并能理性地表達(dá)與交流。