一道聯(lián)考題的命題背景及拓展*

湖南省常寧市第六中學(xué) (421099) 王 麗

湖南省衡東縣第一中學(xué) (421400) 朱亞旸

湖南省常寧市第二中學(xué) (421500) 王小國

一、考題再現(xiàn)

二、背景分析

本題的背景在人教A版教材有四處,分別如下:

背景1 (選擇性必修二第88頁綜合運(yùn)用)已知圓的一條直徑的端點(diǎn)分別是A(x1,y1),B(x2,y2),求證此圓的方程為(x-x1)(x-x2)+(y-y1)(y-y2)=0.

圖1

圖2

背景4 (選擇性必修二第146頁第11題)已知ΔABC的兩個(gè)頂點(diǎn)A,B的坐標(biāo)分別是(-5,0),(5,0),且AC,BC所在直線的斜率之積等于m(m≠0),求頂點(diǎn)C的軌跡.

以上四道教材習(xí)題都有共同的特征,存在關(guān)于軌跡的對(duì)稱中心對(duì)稱的兩點(diǎn)A,B,對(duì)軌跡上任意點(diǎn)P,都有直線PA,PB的斜率之積為一個(gè)定值,其一般情形可以歸結(jié)為:

定理2 若AB為“有心圓錐曲線”的直徑,點(diǎn)M為曲線上異于A,B的任一點(diǎn),則kAM·kBM=e2-1.(圓可視為離心率為0)如圖3.

圖3

推論2若點(diǎn)M是“有心圓錐曲線”的弦AB的中點(diǎn),其中AB不平行于對(duì)稱軸且不過曲線中心O,則kAM·kBM=e2-1.如圖4.

圖4

我們現(xiàn)在用點(diǎn)差法對(duì)橢圓進(jìn)行證明,雙曲線、圓可類似證明.

其本質(zhì)與定理2是一致的,即kOM·kPB=kPA·kPB=e2-1.

利用上述結(jié)論,我們可容易給出考題的答案.

圖5

三、試題鏈接

圖6

圖7

四、結(jié)語

中學(xué)數(shù)學(xué)教材中的習(xí)題凝聚了幾代數(shù)學(xué)教育家的智慧,具有典型性、示范性、遷移性等特點(diǎn).其背后隱藏著深遠(yuǎn)的數(shù)學(xué)背景,是高考數(shù)學(xué)試題命題的附著點(diǎn)與根源,具有深刻的研究?jī)r(jià)值.縱觀近十年的高考數(shù)學(xué)題,大量命題都與教材關(guān)聯(lián)密切.因而,作為教師在指導(dǎo)學(xué)生高三數(shù)學(xué)復(fù)習(xí)時(shí)要適時(shí)回歸教材,通過對(duì)教材中有價(jià)值的材料以及拓展資源,鏈接歷年高考試題,培養(yǎng)學(xué)生能系統(tǒng)地對(duì)教材進(jìn)行深入思考,深度挖掘,延申拓展的意識(shí),深度整合并展示其共性規(guī)律,幫助學(xué)生完善知識(shí)網(wǎng)絡(luò),促進(jìn)深度學(xué)習(xí).也讓教材成為提升學(xué)生思維能力的一種工具,基于此,在數(shù)學(xué)問題求解中,便能借助模型、規(guī)律的敏感性,既使得問題化繁為簡(jiǎn),事半功倍!也能火眼金睛,看清問題之本質(zhì).