基于優(yōu)化MCMC算法的地震彈性阻抗反演方法

趙 晨, 郭淑文, 金鳳鳴, 韓國猛,于 超, 邢 興, 國春香, 周淑慧

(中國石油大港油田公司,天津 300280)

0 引言

物探技術(shù)是實現(xiàn)油氣田勘探的重要手段,主要分為重力勘探、電法勘探、磁法勘探以及地震勘探等。其中地震勘探技術(shù)是解決油氣勘探問題最為廣泛、有效的方法。當(dāng)前,石油勘探已從簡單的構(gòu)造識別轉(zhuǎn)向復(fù)雜構(gòu)造、薄儲層的識別,儲層埋藏深,且地下構(gòu)造較為復(fù)雜,以地震反演為核心的地震物探技術(shù)可以充分利用地震數(shù)據(jù)在整個三維空間的振幅以及相位特征,實現(xiàn)地下儲層參數(shù)的有效預(yù)測。在地震反演過程中,選取合適的儲層敏感參數(shù)對于儲層識別來說是極其重要的。傳統(tǒng)的疊后反演僅能反演縱波阻抗信息,難以預(yù)測較為復(fù)雜的儲層[1],而彈性阻抗反演利用疊前角度部分疊加道集進行反演,即提高了反演的穩(wěn)定性,又可以直接反演得到拉梅參數(shù)、縱波模量和流體因子等其他反映巖性和流體信息的儲層參數(shù)[2]。1999年,Connolly[3]首次提出了彈性阻抗的概念,并給出了彈性阻抗方程。Whitcombe[4]對Connolly彈性阻抗方程進行了標(biāo)準(zhǔn)化處理。彈性阻抗反演采用疊前角度部分疊加道集,具有較強的抗噪能力。

與傳統(tǒng)的確定性反演方法相比,隨機反演對于具有薄層特征的優(yōu)質(zhì)儲層的識別具有一定優(yōu)勢[5-6]。隨機地震反演方法是以地質(zhì)統(tǒng)計學(xué)為基礎(chǔ),其技術(shù)關(guān)鍵在于分析并擬合儲層地球物理特性的分布規(guī)律,并對不同地球物理參數(shù)進行研究,以獲得這些參數(shù)與地層巖性的關(guān)系[7]。由于隨機反演方法可以同時滿足實際地震觀測數(shù)據(jù)和測井?dāng)?shù)據(jù),且可以有效地利用測井?dāng)?shù)據(jù)中所包含的高頻信息提高反演的分辨率[8-9],因此其具有較為重要的實際意義。

馬爾科夫鏈蒙特卡洛方法(MCMC)是主要的隨機反演方法之一,其可以提供反演參數(shù)后驗概率密度的一系列樣本[10],通過對這些樣本進行統(tǒng)計分析,可以獲得滿足要求的反演結(jié)果?；贛etropolis算法[11],Hasting[12]提出了Metropolis-Hastings(MH)算法,這是最常見的MCMC方法;Alberto等[13-14]采用基于貝葉斯理論的Metropolis-Hastings算法來估計飽和度前緣的位置,并研究了該問題的不確定性;Tiancong Hong等[15]提出基于馬爾科夫鏈蒙特卡洛算法的Multi-scale GA方法,提高了計算效率以及估值精度。Chen等[16]發(fā)現(xiàn)MCMC反演方法能提供大量與未知參數(shù)有關(guān)的全局信息,與確定性反演方法相比,能得到更好的估計值;王丹陽等[17]研究了基于MCMC方法的疊后及疊前地震反演方法;潘新朋等[18-19]將AM策略與DR策略相結(jié)合,提出了AMDR-MCMC算法,將DR策略融入AM策略,克服AM策略過度依賴初始協(xié)方差的劣勢。

綜合前人研究成果,可以發(fā)現(xiàn)傳統(tǒng)的MCMC算法較為依賴初始模型及搜索策略,當(dāng)計算時間有限或搜索策略設(shè)置不當(dāng)時,對于一個較為復(fù)雜的參數(shù)空間, MCMC算法往往不能對反演參數(shù)空間進行充分的搜索[20],且收斂速度較慢。這是由于在反演初期,接受概率略大,導(dǎo)致許多不必要接受的狀態(tài)得到了接受,使得前期的馬爾科夫鏈產(chǎn)生了較大偏差。針對該問題,筆者引入一個逐漸減小的變量來調(diào)整狀態(tài)接受的概率,提高算法的穩(wěn)定性和收斂性。本文對傳統(tǒng)的MCMC算法的接受概率表達式進行了改進,提出了新的優(yōu)化MCMC算法,并將其應(yīng)用于疊前彈性阻抗反演中,利用測井信息獲得多個角度彈性阻抗的先驗信息,利用角度疊加數(shù)據(jù)及正演關(guān)系獲得似然函數(shù),并添加反射系數(shù)約束信息,可以提高反演的可靠性。

1 基于優(yōu)化MCMC算法的彈性阻抗反演方法

1.1 MCMC算法

MCMC方法的核心是構(gòu)造一個平穩(wěn)分布且與所求后驗分布相同的馬爾科夫鏈,反復(fù)迭代至平穩(wěn)狀態(tài),從而得到后驗分布的樣本,再基于這些樣本計算統(tǒng)計參數(shù)[21]。

其主要步驟:首先由建議分布q(xt,x*),產(chǎn)生一個潛在的轉(zhuǎn)移xt→x*,然后根據(jù)概率α(xt,x*)來決定是否接受。從[0,1]的均勻分布上抽取隨機數(shù)u,則馬爾科夫鏈下一時刻的狀態(tài)為[22]

(1)

式中:t表示馬爾科夫鏈的當(dāng)前時刻;xt表示在t時刻的值;x*表示由建議分布產(chǎn)生的候選抽樣值;α(xt,x*)代表轉(zhuǎn)移核函數(shù),常用的形式為

(2)

當(dāng)目標(biāo)分布取為似然函數(shù)L(x),且建議分布為對稱分布時,則式(2)可改寫為

(3)

因此,對于反演問題,MCMC算法的接受概率可改寫為

α(xt,x*)=exp{min[0,J(x*)-J(xt)]}

(4)

式中:J表示所構(gòu)建的目標(biāo)函數(shù)。

經(jīng)過多次迭代,可以獲得后驗概率分布的一系列樣本,對這些樣本進行篩選,可獲得滿足要求的反演結(jié)果。

1.2 優(yōu)化MCMC算法

MCMC算法屬于蒙特卡洛算法,MCMC算法通過對先驗分布進行抽樣得到新的樣本,可獲得收斂于后驗概率分布的一系列反演結(jié)果的樣本,因此可以對反演結(jié)果進行不確定性分析。

參照式(6),引入一個逐漸減小的變量,可將式(4)改寫為

(5)

式中:φ是一個隨著迭代次數(shù)增加而逐漸趨近于0的正變量,將其稱為衰減函數(shù),其具體形式如下:

φ=φ0q

(6)

式中:φ0為上次迭代的衰減函數(shù)值,q為衰減因子,一般取為[0,1]的常數(shù)。

φ0取值大小與算法在運算過程中的目標(biāo)函數(shù)值之差有關(guān),一般可以選取算法運算過程中較大的目標(biāo)函數(shù)值之差,使算法在前期階段快速收斂,其與算法收斂速度有著較為密切的關(guān)系。q的取值控制著φ衰減的速度,其需要確保當(dāng)解收斂到真值附近時,φ的取值已對接受概率影響不大。

衰減函數(shù)值對于接受概率來說,起到了一個調(diào)節(jié)的作用,其主要發(fā)揮作用在算法前期,該階段解與真實值差距較大,而φ的存在可以使解更加快速的收斂到真值附近。后期φ對算法幾乎沒有影響,因此確保了平衡狀態(tài)下對后驗概率的采樣。對于優(yōu)化MCMC算法來說,φ的引入可以適當(dāng)減少當(dāng)前狀態(tài)的不必要的轉(zhuǎn)移,使馬爾科夫鏈能夠更加快速、穩(wěn)定地收斂于后驗概率密度。

參照傳統(tǒng)的MCMC算法,給出優(yōu)化MCMC算法的實現(xiàn)流程(圖1),圖中rand為0到1之間的隨機數(shù)。其與MCMC算法的主要區(qū)別在于優(yōu)化MCMC算法采用了新的接受概率表達形式。

圖1 優(yōu)化MCMC算法流程圖

1.3 彈性阻抗反演方法

在本文研究工區(qū),縱波模量可以較好地識別優(yōu)質(zhì)儲層,因此筆者利用基于縱波模量的彈性阻抗方程來實現(xiàn)彈性阻抗反演。

基于Connolly彈性阻抗公式,宗兆云等[23]改用縱波模量M,剪切模量μ,密度ρ來表示Connolly彈性阻抗方程:

(7)

式中:Ie表示計算的彈性阻抗,M0、μ0、ρ0分別表示縱波模量、剪切模量和密度的平均值。

參數(shù)a、b、c的取值:

b=-4ksin2θ,

由不同角度的地震數(shù)據(jù),反演可以得到相應(yīng)的彈性阻抗體,利用井旁道彈性阻抗反演結(jié)果及測井?dāng)?shù)據(jù),即可得到縱波模量等彈性參數(shù)的信息[24-25]。

貝葉斯理論框架下的隨機反演方法可以更好地融合地震數(shù)據(jù)和測井信息[26]。利用貝葉斯理論,可有效地提高算法的精度及可靠性。

貝葉斯公式具體形式為

p(m)p(d|m)

(8)

式中:d表示實際地震記錄;p(m)為彈性阻抗模型m的先驗概率密度;p(d|m)為似然函數(shù);p(m|d)為彈性阻抗模型m的后驗概率密度。

(9)

式中:g表示正演算子,N表示實際地震數(shù)據(jù)的采樣點數(shù)量。

假設(shè)反演的彈性阻抗模型滿足高斯分布的形式,故模型參數(shù)的先驗概率可表示為

(10)

將式(12)、式(13)代入式(11)中,取對數(shù),并加入反射系數(shù)約束項,即可獲得目標(biāo)函數(shù)形式:

(11)

2 模型試算

首先利用一維模型進行反演測試,該一維模型來自某井資料。利用彈性阻抗方程,合成7°、18°、26°三個角度的彈性阻抗模型,并將模型與25 Hz的雷克子波褶積正演合成三個角度的地震道集,得到未加噪聲的觀測地震記錄。分別利用不同的反演算法進行反演測試,并針對反演精度、抗噪性、收斂能力與收斂速度等方面,進行對比分析。

2.1 反演精度

在相同搜索策略下,分別利用優(yōu)化MCMC算法與傳統(tǒng)MCMC算法進行一維模型測試,初始模型為平滑模型。圖2為未加噪聲時MCMC算法反演結(jié)果與模型數(shù)據(jù)的對比,圖3為在相同搜索策略下未加噪聲時優(yōu)化MCMC算法反演結(jié)果與模型數(shù)據(jù)的對比,可以發(fā)現(xiàn)當(dāng)搜索策略相同時,優(yōu)化MCMC算法與MCMC算法均能獲得較好的反演結(jié)果,且前者精度要略高于后者。

圖2 初始模型為平滑模型且未加噪聲時MCMC算法小角度(a)、中角度(b)、大角度(c)彈性阻抗反演結(jié)果及所提取的縱波模量(d)結(jié)果與模型數(shù)據(jù)的對比

圖3 初始模型為平滑模型且未加噪聲時優(yōu)化MCMC算法小角度(a)、中角度(b)、大角度(c)彈性阻抗反演結(jié)果及所提取的縱波模量(d)結(jié)果與模型數(shù)據(jù)的對比

2.2 抗噪性

為了驗證算法的抗噪性,在正演合成的地震道集中添加信噪比為3的高斯隨機噪聲生成含噪觀測地震記錄。圖4為信噪比為3時優(yōu)化MCMC算法反演結(jié)果與模型數(shù)據(jù)的對比。對比圖3與圖4,可以發(fā)現(xiàn),存在噪聲時,反演依舊可以取得較好的結(jié)果,說明該方法具有一定的抗噪性。

圖4 初始模型為平滑模型且信噪比為3時優(yōu)化MCMC算法小角度(a)、中角度(b)、大角度(c)彈性阻抗反演結(jié)果及所提取的縱波模量(d)結(jié)果與模型數(shù)據(jù)的對比

2.3 收斂能力

將初始模型改為均勻模型,分析當(dāng)初始模型與真實模型相差較大時,對MCMC算法的影響。圖5為初始模型為均勻模型下MCMC算法反演結(jié)果與模型數(shù)據(jù)的對比,圖6為相同初始模型下優(yōu)化MCMC算法反演結(jié)果與模型數(shù)據(jù)的對比?？梢园l(fā)現(xiàn)兩者依舊可以取得較好的反演結(jié)果,說明即使初始模型與真實模型具有較大差距時,兩種算法依然可以有效收斂,兩種算法均具有較強的收斂能力。

圖5 初始模型為隨機模型且未加噪聲時MCMC算法小角度(a)、中角度(b)、大角度(c)彈性阻抗反演結(jié)果及所提取的縱波模量(d)結(jié)果與模型數(shù)據(jù)的對比

圖6 初始模型為隨機模型且未加噪聲時優(yōu)化MCMC算法小角度(a)、中角度(b)、大角度(c)彈性阻抗反演結(jié)果及所提取的縱波模量(d)結(jié)果與模型數(shù)據(jù)的對比

2.4 收斂速度

從中角度彈性阻抗模型中選取某一位置處的采樣點,比較兩種方法在該采樣點處的彈性阻抗值隨迭代次數(shù)的變化。圖7為初始模型分別為平滑模型和均勻模型時利用MCMC算法和優(yōu)化MCMC算法在某采樣點的阻抗值隨迭代次數(shù)的變化曲線。由圖4可以發(fā)現(xiàn),當(dāng)初始模型為平滑模型時,MCMC算法在迭代到60 000次左右才開始在真值附近區(qū)域內(nèi)采樣,共耗時31.1 s,而優(yōu)化MCMC算法在5000次左右就開始在真值附近區(qū)域內(nèi)采樣,共耗時4.1 s,且后者的穩(wěn)定性要由于前者;當(dāng)初始模型為均勻模型時,MCMC算法在迭代到75 000次左右才開始在真值附近區(qū)域內(nèi)采樣,共耗時37.1 s,而優(yōu)化MCMC算法在13 000次左右就開始在真值附近區(qū)域內(nèi)采樣,共耗時6.8 s。這說明優(yōu)化MCMC算法相比傳統(tǒng)的MCMC算法具有更高的計算效率,且反演結(jié)果更加穩(wěn)定,且當(dāng)初始模型較差時,依然可以較快的收斂。這是由于φ的引入可以適當(dāng)減少當(dāng)前狀態(tài)的不必要的轉(zhuǎn)移,使馬爾科夫鏈能夠更加快速、穩(wěn)定地收斂于后驗概率密度。

圖7 不同初始模型及不同方法下的中角度彈性阻抗值隨迭代次數(shù)的變化

對于衰減函數(shù),初始值φ0與算法的收斂速度有著較為密切的關(guān)系,其越大,算法初始階段收斂速度就越快,而衰減因子控制著衰減函數(shù)的衰減速率,其要保證在算法到達平衡狀態(tài)之前,衰減函數(shù)值對于算法在平穩(wěn)狀態(tài)下的采樣不再有明顯的影響。

圖8為初始值為6時不同衰減因子的衰減函數(shù)值隨迭代次數(shù)的變化和MCMC算法及優(yōu)化MCMC算法中角度彈性阻抗目標(biāo)函數(shù)值隨迭代次數(shù)的變化。此時,初始模型選擇的是隨機模型,且未加噪聲。

圖8 中角度彈性阻抗目標(biāo)函數(shù)絕對值隨迭代次數(shù)的變化(a)與衰減函數(shù)值隨迭代次數(shù)變化(b)

衰減因子需要確保當(dāng)解收斂到真值附近時,φ的取值已對接受概率影響不大。由圖8可知,優(yōu)化MCMC算法在迭代10 000以后,才會到達平穩(wěn)狀態(tài)。而當(dāng)衰減因子為0.9時,衰減函數(shù)值在10 000次左右時已可忽略不計,說明該取值是可以接受的,且能充分發(fā)揮算法的優(yōu)勢。前面優(yōu)化MCMC算法反演均采用了初始值為6,衰減因子為0.9的設(shè)定。

圖9為某采樣點小角度、中角度及大角度彈性阻抗后驗概率分布的樣本直方圖,可以發(fā)現(xiàn)其均滿足高斯分布的形式,與先驗假設(shè)相一致,因此,選取平均值作為其反演結(jié)果。

圖9 某采樣點小角度(a)、中角度(b)及大角度(c)彈性阻抗概率密度直方圖

3 實際資料處理

為了測試該方法在實際資料應(yīng)用中的可行性,筆者對某工區(qū)實際資料進行反演測試。該資料來自某海上工區(qū)。該工區(qū)發(fā)育低滲儲層,儲層內(nèi)部變化規(guī)律復(fù)雜,非均質(zhì)性很強。經(jīng)過巖石物理分析表明,縱波模量可以較好地分辨優(yōu)質(zhì)儲層(圖10)。

圖10 A井縱波模量與體積模量交會圖

為了提高反演的計算效率,將地震偏移距道集疊加為2°～12°、10°～20°、18°～30°三個角度部分疊加的地震剖面,并從角度疊加數(shù)據(jù)中提取子波,利用優(yōu)化MCMC算法進行反演。

圖11為彈性阻抗反演結(jié)果,可見反演結(jié)果與測井?dāng)?shù)據(jù)吻合較好。圖12為中角度部分疊加實際地震數(shù)據(jù)與中角度彈性阻抗反演結(jié)果所合成的地震記錄的對比,可以發(fā)現(xiàn)合成地震記錄與實際地震記錄較為吻合。圖13為MCMC算法及優(yōu)化MCMC算法目標(biāo)函數(shù)值隨迭代次數(shù)變化,可以發(fā)現(xiàn)優(yōu)化MCMC算法相比MCMC算法能更加快速的收斂,說明了該算法的優(yōu)勢。

圖11 小角度(a)、中角度(b)及大角度(c)彈性阻抗反演結(jié)果

圖12 中角度部分疊加實際地震數(shù)據(jù)(a)與中角度彈性阻抗反演結(jié)果所合成的地震數(shù)據(jù)(b)的對比

圖13 MCMC算法及優(yōu)化算法中角度彈性阻抗目標(biāo)函數(shù)絕對值隨迭代次數(shù)的變化

圖14為基于優(yōu)化MCMC算法反演獲得縱波模量反演結(jié)果與確定性反演所得到縱波模量反演結(jié)果的對比,可以發(fā)現(xiàn)前者可以很好地指示優(yōu)質(zhì)儲層的位置,且具有較高的分辨率。因此基于優(yōu)化MCMC算法彈性阻抗反演方法可以很好地應(yīng)用于實際工區(qū)的縱波模量預(yù)測之中。

圖14 基于優(yōu)化MCMC算法反演獲得縱波模量反演結(jié)果(a)與確定性反演所得到縱波模量反演結(jié)果(b)的對比

5 結(jié)論

本文對傳統(tǒng)的MCMC算法的接受概率表達式進行了改進,提出了新的優(yōu)化MCMC算法,并將其應(yīng)用于疊前彈性阻抗反演中,通過模型測試與實際數(shù)據(jù)應(yīng)用,可以得出以下結(jié)論:

(1)在反演精度及收斂速度方面,優(yōu)化MCMC算法通過引入衰減函數(shù),有效減少了算法前期不必要的狀態(tài)轉(zhuǎn)移,使馬爾科夫鏈能夠更加快速、穩(wěn)定地收斂,提高了算法的精度和收斂速度。

(2)在抗噪性及收斂性方面,優(yōu)化MCMC算法在地震記錄噪聲較高或初始模型與真實模型差距較大的情況下,依然可以取得較好的反演結(jié)果,說明算法具有一定的抗噪性并具備較強的收斂能力。

(3)通過實際數(shù)據(jù)應(yīng)用,可以發(fā)現(xiàn)基于優(yōu)化MCMC算法的縱波模量彈性阻抗反演方法相比傳統(tǒng)的稀疏約束脈沖反演方法,具有更高的分辨率。