Lp-Minkowski問(wèn)題周期解的存在性

何瑞瑞,梁載濤

(安徽理工大學(xué) 數(shù)學(xué)與大數(shù)據(jù)學(xué)院,安徽 淮南 232001)

Lp-Minkowski問(wèn)題屬于凸幾何分析,20世紀(jì)初凸幾何分析剛剛成形,20世紀(jì)末飛速發(fā)展.數(shù)學(xué)家Firey將凸體中Minkowski線性組合延伸到對(duì)任意實(shí)數(shù)p>1的情況下凸體的Firey線性組合,此線性組合可以看成是Minkowski在Lp-空間中的一種推廣[1].1993年Lutwak在Firey線性組合基礎(chǔ)上,結(jié)合經(jīng)典的Brunn-Minkowski理論,給出了Lp-混合體積、Lp-混合均質(zhì)積分和Lp-表面積測(cè)度等概念以及對(duì)應(yīng)的積分表達(dá)式,并提出了p>1時(shí)的Lp-Minkowski問(wèn)題,文獻(xiàn)中進(jìn)一步研究了在Rn中凸體的Lp-表面積測(cè)度是球面Sn-1上的一個(gè)有限的Borel測(cè)度[2].當(dāng)p=1時(shí),Lp-Minkowski問(wèn)題就是經(jīng)典的Minkowski問(wèn)題,經(jīng)典的Minkowski問(wèn)題已被解決[3-4].在解析上,它等價(jià)于Monge-Ampere方程正解的存在性

det(iju+eiju)=h(x)up-1

其中:h(x)是一個(gè)特定的函數(shù),eij是在Sn-1里的標(biāo)準(zhǔn)黎曼度量.從這個(gè)角度可以看出,Lp-Minkowski問(wèn)題涉及一個(gè)具有支撐函數(shù)的閉凸超曲面的存在性,它的倒數(shù)高斯曲率為h(x)up-1,其中h(x)是一個(gè)特定的函數(shù).這個(gè)問(wèn)題引起了很多專家們的探討與研究,其中的維度有很多,最令人感興趣的是二維的情況.這個(gè)問(wèn)題可以簡(jiǎn)化為二階微分方程的正周期解的存在性.

u″+u=h(t)up-1,

本文創(chuàng)新點(diǎn)在對(duì)p<1,函數(shù)h(x)>0的情況下,研究Lp-Minkowski問(wèn)題中T-周期解的存在性.即研究Lp-Minkowski問(wèn)題的一般形式,即為

(1)

其中:h>0是連續(xù)的T-周期函數(shù),ρ=1-p,一定程度上擴(kuò)大了p的取值范圍.下面給出方程(1)正周期解的存在的充分條件.

1 主要結(jié)果

本文定義

CT={u|u∈C(,),u(t+T)=u(t)}

則

由于

存在

利用參考文獻(xiàn)中的定理3.1[13],可以得到下面的引理1.1.

引理1.1 假設(shè)存在正的常數(shù)c0,c1和c2,其中:0

(A1)如果?λ∈(0,1],則每個(gè)可能的T-周期解在方程

(2)

中滿足下列不等式

c0

(A2)對(duì)于下面方程

其中:v滿足c0

(A3)下面不等式成立

以上三個(gè)條件都滿足,則方程(1)至少有一個(gè)T-周期解u.

在本文中,對(duì)于T-周期函數(shù)α,我們可以用一些特殊的符號(hào)表示函數(shù)中的一些特殊值

定理1.2 假設(shè)h(t)>0是連續(xù)T-周期函數(shù),常數(shù)p<1和T<1.則方程(1)至少存在一個(gè)T-周期解u它的取值范圍滿足

(3)

證明假設(shè)T-周期函數(shù)u是方程(2)的一個(gè)解.對(duì)方程(2)進(jìn)行積分,積分區(qū)間為[0,T]可得

已知h*>0,有

得到

(4)

(5)

利用Sobolev inequality[14],有

(6)

由式(5)、(6),可得

通過(guò)上述不等式,有

(7)

然后利用式(6)、(7)得到

(8)

(9)

其中:T<1假設(shè)函數(shù)u(t)在t1時(shí)是最大值,即得u′(t1)=0然后對(duì)方程(2)積分,積分區(qū)間為[t1,t],得到

其中:t∈[t1,t1+T],故得

(10)

根據(jù)式(9)、(10)可以得到

(11)

令c0,c1和c2都是正的常數(shù)

故可以得到方程(2)所有可能的正周期解u滿足

c0

即引理1.1中的條件(A1)成立.下面方程

得到引理1.1中的條件(A2)和條件(A3)成立,引理1.1得證.利用引理1.1我們可以得到方程(1.1)中至少存在一個(gè)正的T-周期解u.

2 例 子

給出一個(gè)例子,例證所得上述結(jié)果的可行性.

考慮如下微分方程

(12)

顯然h(t)=1+0.01sin(8πt)是連續(xù)T-周期函數(shù),ρ=1-p=2.

證明通過(guò)式(12)可得

根據(jù)式(4)和ρ=1-p=2有

根據(jù)式(11)得到

令c0,c1和c2都是正的常數(shù)

可以得到方程(2)所有可能的T-周期解u滿足

c0

即引理1.1中的條件(A1)成立.下面方程

得到引理1.1中的條件(A2)和條件(A3)成立.利用引理1.1我們可以得到方程(12)中至少存在一個(gè)正的T-周期解u.