廣義von Neumann常數(shù)與正規(guī)結(jié)構(gòu)

趙 亮,趙平安

(哈爾濱理工大學(xué) 理學(xué)院, 哈爾濱 150080)

1 預(yù)備知識

本文統(tǒng)一用X表示Banach空間,B(X)={x∈X:‖x‖≤1}、S(X)={x∈X:‖x‖=1}分別代表X上的閉單位球和單位球面.

定義1[5]

E(X)=sup{‖x+y‖2+‖x-y‖2:

x,y∈S(X)}

被稱為是Banach空間X上的高繼常數(shù).

定義2[6]函數(shù)

稱為Banach空間X上的廣義光滑模.

定義3[7]常數(shù)

定義5[9]若存在δ>0,使得對任意的x,y∈S(X),或者‖(x+y)/2‖<1-δ或者‖(x-y)/2‖<1-δ,則X是一致非方的.

引理2[12]若Banach空間X不具有弱正規(guī)結(jié)構(gòu),那么對任意的ε∈(0,ω(X)),存在{xn}?S(X)滿足:

(a) 1-ε≤‖xn-x‖≤1+ε;

(b) ‖xn-x1‖≤1+ε;

引理3[13]

引理4[11]若X是不具有弱正規(guī)結(jié)構(gòu)的Banach空間,那么對任意的δ∈(0,1),存在x1,x2,x3∈S(X)滿足以下條件

(a)x2-x3=ax1, |a-1|<δ;

(b) |‖x1-x2‖-1|<δ, |‖x3+x1‖-1|<δ;

引理5[3]對任意的Banach空間X,若X不具有弱正規(guī)結(jié)構(gòu),則對任意的ε∈(0,1)和t∈(0,1],存在x,y∈S(X)使得‖x-ty‖>1-ε,‖x+ty‖>1+t-ε.

2 主要結(jié)果及證明

定義6

稱為Banach空間X的廣義Von Neumann常數(shù).

性質(zhì)1 若對任意的λ∈(0,1),使得

則X是一致非方的.

證明

應(yīng)用反證法,若X不是一致非方的,則對任意的ε∈(0,1),存在x,y∈S(X),使得

根據(jù)引理1知

可以推得

由ε的任意性知

又由E(λ,X)的取值范圍知

這與所給條件矛盾,則X是一致非方的.

性質(zhì)2

設(shè)X是一個Banach空間,對任意的x,y∈S(X),λ∈(0,1)

證明

等式兩邊同時平方,得到

對任意的ε<0,有

3(1-t)2≤3E(λ,X)+3(1-t)2

由ε的任意小整理得到

則X具有弱正規(guī)結(jié)構(gòu).

我們可以得到

矛盾!從而假設(shè)不成立,則X具有弱正規(guī)結(jié)構(gòu).

對任意的n∈N有

‖un+vn‖≥gn(un)+gn(vn), ‖un-vn‖≥fn(-un)+fn(vn),則

則X具有正規(guī)結(jié)構(gòu).

定理3 對于Banach空間X,如果

那么X具有弱正規(guī)結(jié)構(gòu).

‖x1-mx2‖=‖x1-x3+x3-m(ax1+x3)‖≥

‖x1-x3‖-(1-m)‖x3‖-am‖x1‖>1-2δ-mδ,其中m≤1,同樣可以得到

從而由δ任意小,我們得到

矛盾!故假設(shè)不成立;

‖x+ty‖>1+t-ε,

可以得到

‖λx+(1-λ)y‖>λ(1+t-ε)=1-λε,

根據(jù)引理5又可得到,‖x-ty‖>1-ε,兩邊同乘以1-λ,有

那么根據(jù)范數(shù)的三角不等式有

(1-λ)-(1-λ)ε,

進而有

令ε→0,那么

矛盾!故假設(shè)不成立.

例1E(λ,X)在c0空間的估計值

證明c0={x=(x(1),x(2),…):x(i)}→0:‖x‖=sup{|x(i)|i=1,2,3,…},對任意的x∈S(c0),則對任意的ε>0,存在K∈N,滿足當(dāng)k>K時,|x(k)|<ε,對任意y∈S(c0),‖y‖=sup|y(i)|=1,y(i)一致收斂到0,即對上述ε>0,存在N∈N+,對任意的1≤i≤k,有|y(i)|<ε,則

同樣可以得到

由ε的任意性,令ε>0,我們有

綜上可得