GMC2000A加工中心熱誤差建模方法研究

李有堂,湯雷武,黃 華,吳榮榮

(蘭州理工大學機電工程學院,甘肅 蘭州 730050)

加工中心在加工過程中產(chǎn)生的誤差嚴重影響了加工精度。隨著機床結(jié)構(gòu)的日益改進,熱誤差成為加工中心最大的誤差源,最高達到總誤差的70%[1]。因此,減小熱誤差是提高加工中心精度的首選路徑。

熱誤差是由機床不同構(gòu)件熱效應(yīng)耦合作用產(chǎn)生的熱變形,由于各構(gòu)件的結(jié)構(gòu)、尺寸以及材料不同,導致構(gòu)件有不同的熱容量、熱膨脹系數(shù)、導熱系數(shù)。熱變形具有非線性和時滯性等特性,使目前許多熱誤差建模方法(如經(jīng)驗公式法、數(shù)值計算法)存在時滯性、精度不高且外插值性不良等缺點。誤差補償法是軟件補償法的一種,通過對誤差源的測量分析,利用數(shù)學方法或數(shù)學工具對數(shù)據(jù)進行計算,找出誤差源之間的關(guān)系,從而建立誤差預(yù)測的數(shù)學模型[2-3]。可以看出,采用誤差補償法對數(shù)控機床熱誤差進行補償是一個減少成本、提高預(yù)測精度且縮短計算時間的優(yōu)選方法。

在誤差補償法中,BP神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)建模法具有很強的非線性映射能力和柔性網(wǎng)絡(luò)結(jié)構(gòu)等優(yōu)點,許多學者都引用BP神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)解決數(shù)控機床熱誤差建模問題。Guo等[4]建立了基于蟻群算法和人工魚群算法優(yōu)化BP神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)的熱誤差預(yù)測模型,取得了不錯的預(yù)測效果,但是BP神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)未知參數(shù)只是進行了隨機取值;Huang等[5]引入了遺傳算法優(yōu)化BP網(wǎng)絡(luò)的初始權(quán)重和閾值,發(fā)現(xiàn)優(yōu)化后的BP神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)可以有效避免陷入局部最優(yōu)的缺陷,且能夠提高預(yù)測精度;Li等[6]利用改進的粒子群算法優(yōu)化了BP神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)的初始權(quán)值和閾值,雖然取得了不錯的預(yù)測效果,然而并沒有對BP神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)隱含層神經(jīng)元個數(shù)進行優(yōu)化取值。

從前人的研究中可以知道,BP神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)存在結(jié)構(gòu)難以確定、容易過學習、易陷入局部極值且泛化能力較差等缺點,如果BP神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)結(jié)構(gòu)、初始權(quán)值與閾值選擇不好,網(wǎng)絡(luò)將會難以收斂,進而不能達到理想的預(yù)測效果。螢火蟲算法具有自適應(yīng)全局優(yōu)化的搜索能力,基于此,本文提出采用螢火蟲算法優(yōu)化BP神經(jīng)網(wǎng)絡(luò),目的是通過螢火蟲算法得到更好的網(wǎng)絡(luò)結(jié)構(gòu)、初始權(quán)值和閾值?；舅枷胧怯梦灮鹣x個體位置向量代表網(wǎng)絡(luò)的隱含層神經(jīng)元個數(shù)或初始權(quán)值與閾值,以個體值初始化的BP神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)的預(yù)測值與期望值之間的正則化均方根誤差作為該個體的適應(yīng)度值,通過螢火蟲算法尋找最優(yōu)個體,即最優(yōu)BP神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)隱含層神經(jīng)元個數(shù)或初始權(quán)值與閾值向量,從而構(gòu)建螢火蟲算法優(yōu)化BP神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)模型(firefly algorithm to optimize the BP neural network,FABPNN)。在此基礎(chǔ)上建立了FA-BP神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)熱誤差模型,并對機床熱誤差進行預(yù)測。最后與BP神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)和最小二乘支持向

量機模型(least square support vector machine,LS-SVM)進行對比。結(jié)果表明,相比于BP神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)和LS-SVM模型,該方法提高了機床熱誤差預(yù)測效率,且精度完全滿足要求。

1 熱誤差實驗及誤差數(shù)據(jù)處理

1.1 GMC2000A機床Y軸熱誤差實驗

誤差測量實驗在實驗室穩(wěn)定環(huán)境中進行,實驗安排如下:通過對GMC2000A機床結(jié)構(gòu)的深入分析,選取的關(guān)鍵熱源點有電機板(T1)、光柵尺(T2)、十字滑座左(T3)、橫梁(T4)、十字滑座右(T5)、電機外殼(T6)、滑塊(T7)、環(huán)境(T8) 和螺母座(T9)共9個位置。測量方法是:在GMC2000A機床關(guān)鍵熱源位置處共布置9個溫度傳感器(PT100 鉑電阻溫度傳感器),用于測量9個關(guān)鍵點處的溫度值,采用激光干涉儀(XL-80)測量和無紙記錄儀(XSR90記錄儀)記錄Y軸定位誤差。測量過程中,Y軸總行程為3 400 mm,前后各預(yù)留200 mm余量,共3 800 mm,每當Y軸伸進170 mm時,停留5 s,Y軸一個行程約為3 min。為突出溫度變化對誤差模型的影響,計劃Y軸每隔5個行程測量一組數(shù)據(jù),每間隔20 min記錄一組定位誤差數(shù)據(jù),共記錄840個誤差數(shù)據(jù),40組溫度數(shù)據(jù)(因為機床運行中溫度值變化較小,因此每行程只采集一組溫度值)。測量期間,機床的速度設(shè)定為6～12 m/min,誤差數(shù)據(jù)如圖1所示。

1.2 溫度數(shù)據(jù)的篩選

1.2.1模糊C-均值聚類算法基本原理

在數(shù)控機床熱誤差預(yù)測模型中,溫度敏感點的數(shù)量不同,對模型精度的影響不同[7]。選取的溫度敏感點數(shù)過多會使得相近測點的輸出信號存在多元共線性;過少的溫度敏感點數(shù)不足以全面反映影響機床熱誤差的因素,進而導致模型精度不足。為了達到從眾多溫度測點中選出適當數(shù)目測點的目的,在保證信息系統(tǒng)區(qū)分能力不變的前提下,需要對機床熱誤差預(yù)測的溫度測點進行篩選。

模糊C-均值聚類算法(fuzzy C-means algorithm,FCM)是目前使用最廣泛的模糊聚類算法之一[8]。在FCM中設(shè)被分類對象的集合為X={x1,x2,…,xN},每一個對象xk有n個特性指標,設(shè)xk=(x1k,x2k…,xnk),如果要把X分成c類,則它的每個分類結(jié)果都對應(yīng)一個c×N階的Boolean矩陣U=[μij]c×N,對應(yīng)的模糊c劃分空間Mfc為:

(1)

則目標函數(shù)為:

(2)

式中:RcN為域空間;Jm為聚類損失函數(shù);K為聚類中心數(shù);N為樣本數(shù);ci為j簇的中心;m為聚類的簇數(shù),又稱加權(quán)指數(shù);i、j為類標號;μij為樣本xi屬于j類的隸屬度;xj表示第j個樣本,x是具有d維特征的一個樣本;‖*‖為任意表示距離的度量。

根據(jù)Lagrange乘數(shù)法函數(shù)極值存在條件求解得:

(3)

加工中心熱分布數(shù)據(jù)經(jīng)過聚類分析計算后,找出每一類中隸屬度值μij最大的數(shù)據(jù)點,該點就是本類的聚類中心,即溫度代表點。

1.2.2基于FCM的測溫點聚類選擇

對FCM參數(shù)初始化,設(shè)置最大迭代次數(shù)為50,隸屬度最小變化量為1E-06。加權(quán)指數(shù)m控制模型在模糊類間的耦合程度,適當?shù)膍值能夠抑制噪聲、控制隸屬度函數(shù)等,通過多次聚類分析,最終確定模糊權(quán)重指數(shù)m=1.5?；诖诉M行了模糊C-均值聚類,溫度點聚類結(jié)果見表1。

表1 FCM溫度篩選結(jié)果

1.2.3聚類有效性評價

溫度數(shù)據(jù)經(jīng)聚類分組后,對聚類結(jié)果進行評價。最好的聚類結(jié)果為類間關(guān)系疏遠、類內(nèi)關(guān)系緊密?，F(xiàn)依據(jù)聚類本質(zhì)提出聚類結(jié)果有效性評價指標,如式(4)所示,分子為類內(nèi)距離,分母為類間距離,因此評價指標F(c)值越小,聚類效果越優(yōu)。

(4)

(5)

聚類結(jié)果見表2。

表2 聚類有效性指標F值

從表1中可以看到,聚類數(shù)為3時,FCM迭代次數(shù)最少,且隸屬度都大于0.9,分兩類和四類時的迭代次數(shù)較多,且個別點的隸屬度值較小。從表2中可以發(fā)現(xiàn),F(c)最小時分為三類。綜上所述,最終確定劃分為3類。其中第一類中T8隸屬度最大,第二類中T7隸屬度最大,第三類中T5隸屬度最大,因此確定T5、T7、T8為聚類中心。

2 螢火蟲算法優(yōu)化BP神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)的數(shù)學模型

2.1 螢火蟲算法優(yōu)化BP神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)模型分析

BP神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)算法[9]是將輸入變量從輸入層輸入,經(jīng)隱含層計算后傳到輸出層并計算得到輸出變量,輸出變量與實際變量之間的差值進行反向傳遞,反復(fù)修正各網(wǎng)絡(luò)層間的連接權(quán)值與閾值,一直到網(wǎng)絡(luò)全局誤差最小,最終得到BP神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)模型。

BP神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)的輸入為:

(6)

式中:net為神經(jīng)網(wǎng)絡(luò),xi為樣本,ωi為權(quán)重因子。

BP神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)的映射關(guān)系為f:Rm→R1,其數(shù)學表達式為:

(7)

式中:xi+1為迭代后的樣本,cj為隱含層到輸出層的連接權(quán)值,bj為隱含層節(jié)點的輸出,ε為輸出層的閾值,f(Xi)為激活函數(shù)。

(8)

式中:ωij為輸入層至隱含層的連接權(quán)值,θj為隱含層節(jié)點的閾值。

BP神經(jīng)閾值θj、ε和連接權(quán)值ωij、cj可通過訓練求得,因此xi+1是可預(yù)測的。

但是,BP神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)存在以下缺點:1)隱含層神經(jīng)元個數(shù)與問題的要求、輸入(輸出)單元的數(shù)目有著直接的關(guān)系,隱含層神經(jīng)元個數(shù)太多會使訓練時間過長,并且可能出現(xiàn)過擬合現(xiàn)象,隱含層神經(jīng)元個數(shù)太少,無法建立優(yōu)良的映射關(guān)系,使得預(yù)測誤差變大;2) BP神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)初始權(quán)值和閾值是隨機初始化的,導致模型每次預(yù)測結(jié)果相差甚遠;3) BP神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)的訓練容易陷入局部最優(yōu)。

螢火蟲算法(firefly algorithm,FA)是一種智能仿生優(yōu)化算法[10],其聚類、特征提取等的性能勝過粒子群法、遺傳算法等[11-13],因此被越來越多地應(yīng)用于工程和科學領(lǐng)域解決網(wǎng)絡(luò)、圖像處理等問題[14]。螢火蟲在自身的有限感知范圍內(nèi),會朝著發(fā)光更亮的螢火蟲(不分雌雄)移動,亮度最高的螢火蟲位置就是待定參數(shù)的最優(yōu)解?；诖?本文提出采用螢火蟲算法優(yōu)化BP神經(jīng)網(wǎng)絡(luò),解決BP神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)存在的諸多問題。

FA尋優(yōu)過程為:在搜索空間上隨機產(chǎn)生螢火蟲種群,個體亮度由個體所在空間位置決定,通過比較式(9)可得,螢火蟲個體朝著比自身更亮的個體移動;通過計算式(10)得到吸引力值,吸引力極大地影響個體的移動距離;根據(jù)式(12)計算移動后的新位置,位置更新公式中增加隨機擾動項rand,避免種群陷入局部極值,多次迭代更新后,個體將會移動到最亮個體的位置,即算法得到全局最優(yōu)極值。

螢火蟲i到螢火蟲j的歐氏距離rij為:

(9)

式中:d為搜索空間的維度,xi為第i個樣本集,xj為第j個樣本集,xi,k為第i個樣本集中第k個樣本,xj,k為第j個樣本集中第k個樣本。

螢火蟲i對螢火蟲j的吸引力βij(rij)為:

(10)

式中:β0為最大吸引力,表示光源處(r=0)螢火蟲的吸引力,通常β0=1;γ為光強吸收系數(shù),γ的取值影響FA算法的收斂速度和優(yōu)化效果。

螢火蟲i相對與螢火蟲j的亮度Iij(rij)為:

(11)

式中:Ii為螢火蟲i的絕對亮度,對應(yīng)螢火蟲i所處位置的目標函數(shù)值。

螢火蟲j被螢火蟲i吸引時,j會向i移動,更新原來的位置,j的位置更新公式為:

xj(t+1)=xj(t)+βij(rij)(xi(t)-xj(t))+α(rand-1/2)

(12)

式中:t為迭代次數(shù);xj(t+ 1)為螢火蟲j在第(t+1)次迭代的位置;α為常數(shù),α∈[0,1];rand是在[0,1]上服從均勻分布的隨機因子。

FA有以下優(yōu)點:1) 是群體智能算法,它具有群體智能算法的所有優(yōu)點;2) 受限于吸引度,吸引度會隨著距離增加而減小,因此若螢火蟲之間的距離較遠,較暗的螢火蟲不會被較亮的螢火蟲吸引過去,這使得整個種群可以自動劃分為多個子種群,每個子種群可以圍繞每個局部最優(yōu),然后在局部最優(yōu)解中找到全局最優(yōu)解;3) 如果種群規(guī)模比局部最優(yōu)解多,這種劃分會使螢火蟲能夠同時尋找到所有極值;4)沒有遺傳算法中的交叉和變異復(fù)雜操作,也沒有二進制編碼;5) 無需設(shè)置粒子群算法中的粒子移動速度,無需多次計算概率平均值。因此,本文采用螢火蟲算法對BP神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)的初始權(quán)值、閾值和隱含層神經(jīng)元個數(shù)進行優(yōu)化,建立神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)效能評估模型,對數(shù)控機床熱誤差進行預(yù)測。

2.2 螢火蟲算法優(yōu)化BP神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)誤差模型

螢火蟲算法優(yōu)化BP(FA-BP)神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)的核心思想為:采用螢火蟲種群的迭代優(yōu)化代替BP神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)算法輸出誤差的梯度修正,將隱含層神經(jīng)元個數(shù)或初始權(quán)值和閾值編碼成螢火蟲個體的位置向量,通過不同的螢火蟲位置參數(shù)訓練BP神經(jīng)網(wǎng)絡(luò),使得誤差最小,當滿足輸出精度要求或者達到迭代次數(shù)時獲得最優(yōu)解,最后對BP神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)未知參數(shù)進行賦值訓練。螢火蟲算法優(yōu)化BP神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)流程如圖2所示。

圖2 FA-BP神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)流程

3 GMC2000A機床熱誤差建模和預(yù)測

數(shù)控機床熱誤差建模問題是一個多元函數(shù)回歸問題,利用FA-BP神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)解決機床熱誤差問題是一種簡便且高效的方法。通過與BP神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)和最小二乘支持向量機(LSSVM)模型預(yù)測效果對比,驗證了基于螢火蟲算法優(yōu)化BP神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)的優(yōu)越性。具體建模步驟如下:將通過FCM篩選得到的3個溫度變量T5、T7和T8作為BP神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)的輸入,記為xi,將Y軸全程的定位誤差作為BP神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)輸出,記為yi,設(shè)置學習速率為0.01,最大訓練次數(shù)為100次,訓練目標為1.0E-07,構(gòu)建BP神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)的熱誤差預(yù)測模型。

訓練數(shù)據(jù)設(shè)置:共40組傳感器參數(shù),1～40組數(shù)據(jù)用于訓練,15～30組數(shù)據(jù)用于測試。

1)神經(jīng)元節(jié)點數(shù)設(shè)計。輸入指標為3個溫度數(shù)據(jù)點,輸出指標為1個位移數(shù)據(jù)點,因此輸入層有3個神經(jīng)元,輸出層有1個神經(jīng)元。隱含層設(shè)計為[1,15]之間的整數(shù),進行螢火蟲算法尋優(yōu)得出:當隱含層神經(jīng)元個數(shù)為13時,FA-BP預(yù)測目標函數(shù)值最小,因此確定隱含層神經(jīng)元個數(shù)為13。

2)FA-BP權(quán)值、閾值的初始化。通過以上迭代優(yōu)化,確定網(wǎng)絡(luò)的拓撲結(jié)構(gòu)為“3-13-1”。隨機初始化螢火蟲個體位置向量,如圖3所示。經(jīng)過訓練評估,選取最優(yōu)的初始螢火蟲位置向量作為BP神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)的初始權(quán)值與閾值。

圖3 螢火蟲個體位置向量結(jié)構(gòu)

3)模型訓練。利用建立好的模型進行訓練,得到FA-BP神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)模型的最優(yōu)權(quán)值與閾值。

4)誤差預(yù)測。用訓練好的誤差模型對Y軸定位誤差進行預(yù)測。

為驗證FA-BP神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)模型的優(yōu)越性,從機床冷態(tài)到熱態(tài)過程中,對Y軸行至370 mm處的熱誤差進行預(yù)測,共進行16次,將預(yù)測后的殘差分別與未被優(yōu)化的BP神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)和最小二乘支持向量機誤差模型的預(yù)測殘差進行對比。殘差效果對比如圖4和表3所示。

表3 370 mm處多種誤差模型預(yù)測結(jié)果對比

圖4 370 mm處多種誤差模型殘差對比

從圖4和表3可以發(fā)現(xiàn),FA-BP神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)預(yù)測效果明顯優(yōu)于未被優(yōu)化的BP神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)和LS-SVM,相比BP神經(jīng)網(wǎng)絡(luò),預(yù)測精度提高了28.12%,相比LS-SVM,預(yù)測精度提高了19.09%。說明對BP神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)的隱含層神經(jīng)元個數(shù)、權(quán)值與閾值進行優(yōu)化是非常有必要的。

為了對FA-BP神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)模型全局預(yù)測效果進行驗證,對機床多個位置進行預(yù)測,分別為沿Y軸行至370、1 050、1 730、2 410和3 090 mm處,預(yù)測結(jié)果如圖5所示。

從圖5可以看出,機床從冷態(tài)到穩(wěn)態(tài),在Y軸的全部行程中,FA-BP神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)一直能保持一定的預(yù)測精度,進一步說明所建熱誤差模型預(yù)測精度高。

4 溫度波動對誤差模型的影響分析

在機床誤差測量過程中,所有的傳感器都有可能受到自身和外界的干擾,導致讀取的溫度值出現(xiàn)一定的波動。下面將對機床溫度數(shù)據(jù)出現(xiàn)波動時FA-BP神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)熱誤差模型的抗擾動能力進行驗證。

假設(shè):讓每個測點溫度分別出現(xiàn)上、下10%的波動,形成兩組溫度數(shù)據(jù),然后誤差模型對這種溫度波動進行預(yù)測,將兩種預(yù)測結(jié)果取平均值,作為溫度波動后的最終誤差預(yù)測結(jié)果,最后對誤差模型的預(yù)測性能做出評價,預(yù)測結(jié)果如圖6所示。

圖6 溫度波動下FA-BP神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)全局預(yù)測結(jié)果

從圖6可以看出,當機床溫度發(fā)生波動時,FA-BP神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)熱誤差模型仍然能夠保持很好的預(yù)測精度。

為了量化誤差模型的預(yù)測效果,利用真實值與預(yù)測值差的均方根誤差值RMSE、決定系數(shù)R2和預(yù)測精度η三個指標進行預(yù)測評估,公式如下。

(13)

(14)

(15)

RMSE值是誤差模型預(yù)測輸出曲線和真實誤差測量數(shù)據(jù)曲線間差值的均方根值,RMSE值越接近0,表示誤差模型預(yù)測越精準。R2值表示誤差模型預(yù)測輸出和真實誤差測量數(shù)據(jù)的相關(guān)程度,R2的范圍是[0,1],R2值越接近1,表示誤差模型的輸出越趨近于實測數(shù)據(jù)。η值描述的是誤差模型的性能,η值越高,表示模型預(yù)測精度越高。通過計算,螢火蟲優(yōu)化BP神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)測試是否受溫度影響的三個指標參數(shù)值見表4。

表4 溫度波動預(yù)測性能比較

機床在工廠等惡劣的環(huán)境下工作,受一些未知因素的影響,往往會導致機床精度下降,這時就需要抗干擾能力強的誤差補償模型,從表4可以看出,均方根值均接近于0,R2值都非常接近1,預(yù)測精度η相差較小,且都有很好的預(yù)測精度值,這就表示FA-BP熱誤差模型在惡劣工作環(huán)境中仍然能夠勝任誤差預(yù)測的工作。

5 結(jié)論

針對熱誤差影響數(shù)控機床加工精度的問題,本文提出了一種結(jié)合螢火蟲算法與BP神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)的數(shù)控機床熱誤差建模方法,該方法具有一定的理論研究意義和實際應(yīng)用價值。第一,為提高模型穩(wěn)定性和精度,合理布置了機床熱傳感器,使用FCM算法篩選出具有代表性的熱誤差參數(shù),構(gòu)建了無多元共線性的誤差數(shù)據(jù)訓練庫;第二,為排除局部最小值干擾和加快收斂速度,兩次使用FA優(yōu)化BP神經(jīng)網(wǎng)絡(luò),第一次優(yōu)化BP神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)隱含層神經(jīng)元個數(shù),確定BP神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)的結(jié)構(gòu)為“3-13-1”,第二次優(yōu)化BP神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)初始權(quán)值和閾值,避免了BP神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)采用隨機初始化權(quán)值和閾值問題。實驗驗證結(jié)果表明,在預(yù)測穩(wěn)定性和精度方面FA-BP模型預(yù)測效果明顯優(yōu)于BP神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)和LS-SVM模型。通過對溫度數(shù)據(jù)添加干擾,驗證了模型仍然有很高的預(yù)測精度,表明該熱誤差模型在實際工作環(huán)境中抗干擾能力強。