靜電場(chǎng)邊值問(wèn)題有限差分法的仿真分析

霍文曉

（青島農(nóng)業(yè)大學(xué)理學(xué)與信息科學(xué)學(xué)院，山東 青島266109）

在電磁場(chǎng)理論中，已知場(chǎng)量在場(chǎng)域邊界上的值，求場(chǎng)域中的場(chǎng)分布稱為邊值問(wèn)題。通常將靜態(tài)場(chǎng)邊值問(wèn)題的求解簡(jiǎn)化成：在一定邊界條件下對(duì)位函數(shù)的泊松方程或拉普拉斯方程的求解[1]。在電磁場(chǎng)與電磁波課程教學(xué)中，邊值問(wèn)題的求解既是重點(diǎn)又是難點(diǎn)。教材中主要講了三種方法：鏡像法、分離變量法和有限差分法。隨著計(jì)算機(jī)技術(shù)的發(fā)展和模擬軟件的進(jìn)步，有限差分法得到了迅速發(fā)展和廣泛應(yīng)用。因此，為了與實(shí)際接軌，在課堂講授中，我們將有限差分法作為邊值問(wèn)題這部分的重點(diǎn)內(nèi)容。并采用理論講解與模擬演示的教學(xué)方法，同時(shí)提高學(xué)生對(duì)理論知識(shí)的理解和應(yīng)用能力。

1 有限差分法的原理

有限差分法的基本思想是將場(chǎng)域劃分成網(wǎng)格，把求解場(chǎng)域內(nèi)連續(xù)的場(chǎng)分布用求解網(wǎng)格節(jié)點(diǎn)上的離散的數(shù)值解來(lái)代替，即用網(wǎng)格節(jié)點(diǎn)的差分方程近似代替場(chǎng)域內(nèi)的偏微分方程來(lái)求解。

1.1 位函數(shù)的差分方程

在一個(gè)邊界為L(zhǎng)的二維無(wú)源區(qū)域S內(nèi)，電位函數(shù)φ(x,y)滿足拉普拉斯方程和邊界條件為：

通常將場(chǎng)域分成足夠小的正方形網(wǎng)格,網(wǎng)格線之間的距離為h,節(jié)點(diǎn)(xi,yi)處的電位φi,j可由其周圍直接相鄰的四個(gè)節(jié)點(diǎn)的電位表示，即二維拉普拉斯方程的差分形式。

同時(shí)將邊界條件進(jìn)行離散化，成為邊界節(jié)點(diǎn)上的已知數(shù)值。在這些已知節(jié)點(diǎn)條件下，求解各節(jié)點(diǎn)的差分方程，整個(gè)區(qū)域中的節(jié)點(diǎn)上電位值即可求出。

1.2 差分方程的求解方法

在求解實(shí)際問(wèn)題時(shí)，為了達(dá)到足夠的精度，需將網(wǎng)格劃分的充分細(xì)，節(jié)點(diǎn)的個(gè)數(shù)很多，建立的差分方程數(shù)量大，一一求解工作量大。因此如果節(jié)點(diǎn)數(shù)量較多，通常使用迭代法。

1.2.1 簡(jiǎn)單迭代法

進(jìn)行反復(fù)迭代(k=0,1,2,…)。若當(dāng)?shù)贜次迭代以后，所有內(nèi)節(jié)點(diǎn)的相鄰兩次迭代值之間的最大誤差不超過(guò)允許范圍，則終止迭代，并將最后一次迭代的結(jié)果作為內(nèi)節(jié)點(diǎn)上電位的最終數(shù)值解。

1.2.2 超松弛迭代法

簡(jiǎn)單迭代法的收斂速度較慢，為了加快收斂速度，實(shí)際中常采用超松弛迭代法[3-4]。迭代公式為

式中：α稱為加速收斂因子，其取值范圍是1≤α＜2，當(dāng)α≥2時(shí)，迭代過(guò)程將不收斂。

加速收斂因子α有一個(gè)最佳取值問(wèn)題，但隨具體問(wèn)題而異。對(duì)于第一類邊值問(wèn)題，若求解區(qū)域?yàn)榫匦螆?chǎng)域，且由正方形網(wǎng)格分割（每邊結(jié)點(diǎn)數(shù)分別為m和n），則最佳收斂因子α可按下式計(jì)算。

2 模擬演示

以一個(gè)正方形截面的無(wú)限長(zhǎng)金屬盒為例，演示用MATLAB對(duì)有限差分法的仿真。盒子的兩側(cè)及底的電位為零，頂部電位為100V，求盒內(nèi)的電位分布。

由于場(chǎng)域內(nèi)不存在電荷，其電位分布必滿足拉普拉斯方程。將正方形區(qū)域劃分成10×10的網(wǎng)格。

2.1 簡(jiǎn)單迭代法仿真結(jié)果

為簡(jiǎn)單起見(jiàn)，將場(chǎng)域內(nèi)部節(jié)點(diǎn)上的電位初始值全部取為零，利用式（3）求出各內(nèi)部節(jié)點(diǎn)電位值的一次解。原來(lái)零次解中的各節(jié)點(diǎn)電位值將被一次解中的相應(yīng)電位值所取代。重復(fù)上述步驟，令每一個(gè)內(nèi)部節(jié)點(diǎn)上的第k+1次解電位值等于該節(jié)點(diǎn)周圍四個(gè)相鄰節(jié)點(diǎn)（或邊界點(diǎn)）第k次解電位值的算術(shù)平均值。直到相鄰兩次的迭代值相差不超過(guò)設(shè)定的誤差范圍（1e-6）后，退出迭代。

仿真結(jié)果：迭代次數(shù)為150次，迭代后各節(jié)點(diǎn)的電位如圖1所示。

圖1 仿真后各節(jié)點(diǎn)電位

根據(jù)節(jié)點(diǎn)電位畫(huà)出電位分布曲線如圖2所示。

圖2 正方形場(chǎng)域內(nèi)電位分布圖

由得出的數(shù)值解可以看出，金屬盒內(nèi)點(diǎn)電位分布是越靠中間電位越高，越靠近金屬盒頂部電位越高，這是由于金屬盒底部和兩邊的電位都為零，而頂部最高。由此表明此方法計(jì)算出的電位值，符合金屬盒內(nèi)的電位分布情況。

2.2 超松弛迭代法仿真結(jié)果

超松弛迭代法的關(guān)鍵在于收斂因此的取值，合適的收斂因子可以減少迭代次數(shù)。

由式（5）可知，當(dāng)網(wǎng)格節(jié)數(shù)為10×10時(shí)，收斂因子取值為1.56迭代次數(shù)最少。通過(guò)MATLAB仿真，可得收斂因子與迭代次數(shù)的關(guān)系，如表1所示。從結(jié)果可知，收斂因子選擇1.56迭代次數(shù)最少。與理論計(jì)算所得結(jié)果相等。

表1 收斂因子對(duì)迭代次數(shù)的影響

通過(guò)簡(jiǎn)單迭代法和超松弛迭代法對(duì)比發(fā)現(xiàn)，兩種方法求出的數(shù)值解相同，得到的等電位線分布一樣，但超松弛迭代法比簡(jiǎn)單迭代法收斂速度更快，迭代次數(shù)更少，計(jì)算時(shí)間更短。

3 結(jié)論

利用MATLAB軟件對(duì)有限差分法分析邊值問(wèn)題進(jìn)行了仿真分析，不但讓學(xué)生對(duì)有限差分法這種分析方法有了直接的接觸和了解，同時(shí)對(duì)邊值問(wèn)題的處理方法和結(jié)果有了更深的認(rèn)識(shí)。通過(guò)這種教學(xué)方法，使抽象的電磁場(chǎng)問(wèn)題變得直觀、形象，既可以活躍課堂氣氛，同時(shí)可以加深學(xué)生對(duì)理論知識(shí)的理解，并進(jìn)一步為將來(lái)接觸時(shí)域的有限差分法打下了良好的基礎(chǔ)。對(duì)培養(yǎng)學(xué)生學(xué)習(xí)的主動(dòng)性和積極性有著重要的作用。

［1］謝處方,饒克謹(jǐn).電磁場(chǎng)與電磁波[M].4 版.北京：高等教育出版社,2006：128-165.

［2］王潔,陳超波.基于MATLAB的靜態(tài)場(chǎng)邊值問(wèn)題有限差分法的研究[J].微計(jì)算機(jī)應(yīng)用,2010(03).

［3］何紅雨.電磁場(chǎng)數(shù)值計(jì)算法與MATLAB實(shí)現(xiàn)[M].武漢：華中科技大學(xué)出版社,2004：4210.

［4］趙德奎,劉勇.MATLAB在有限差分法數(shù)值計(jì)算中的應(yīng)用[J].四川理工學(xué)院學(xué)報(bào)：自然科學(xué)版,2005,18(4)：61-64.