飽和集拓撲空間的一些性質(zhì)

齊 鑫，劉艷芳，王玉玉*

（1.天津師范大學(xué)數(shù)學(xué)科學(xué)學(xué)院，天津 300387；2.天津市實驗中學(xué)濱海學(xué)校，天津 300450）

如果映射f是滿映射且存在集合X滿足X=f-1(f(X))，那么稱集合X是映射f上的飽和集[1](簡稱飽和集)，記為Xf。飽和集是一般拓撲學(xué)中的重要概念，在定義商映射，研究商空間以及與閉(開)映射均有密切聯(lián)系。飽和集理論在其他學(xué)科中也有著廣泛的應(yīng)用，如它可以用來研究自認知邏輯，H.Arló Costa 通過飽和信念來表達飽和集。文獻[2]給出了飽和集的一個幾何特征，從而得到了準雙的隨機矩陣的一個特征。另外，文獻[3]中介紹了飽和集的Billingsey維數(shù)以及最小飽和集的Billingsey 維數(shù)。

映射f:X→Y稱為拓撲空間(X,τ)到(Y,ρ)上的閉映射[4]，如果映射f把X中的閉集映為Y中的閉集。閉映射是非常重要的一類映射，將閉映射的性質(zhì)推廣到飽和集拓撲空間上，可利用其證明在完備映射下飽和集拓撲空間上保持不變的相關(guān)性質(zhì)。

1 飽和集的基本概念

定義1設(shè)A為X的一個子集，任意的x∈A，存在映射g，使得

則稱Ag是Xf的飽和子集，記作Ag?Xf。根據(jù)集合限制的定義，易驗證若f|A是映射f在X的子集A上的限制，那么是Xf的一個飽和子集。

定義2設(shè)Xf與Ym是兩個飽和集，Xf與Ym的交集為飽和集Th，記為Th=Xf?Ym，其中T=X?Y，h=f|T或者h=m|T。

定義3設(shè)Xf與Ym是兩個飽和集，Xf與Ym的并集為飽和集Vn，記為

更進一步，在飽和集的交、并運算的基礎(chǔ)上，給出飽和集拓撲空間的定義。

定義4設(shè)Xf是一個非空的飽和集，Xf的所有飽和子集構(gòu)成一個集族ν，若τ?ν，滿足條件:

(1)Xf∈τ，?∈τ。

(2)若Ag,Vn∈τ，則Ag?Vn∈τ。

(3)若τ1?τ，則

則τ稱為Xf上的一個拓撲，(Xf,τ)稱為飽和集拓撲空間。τ中的元素稱為飽和集拓撲空間(Xf,τ)的開飽和集。

定義5飽和集拓撲空間(Xf,τ)的一個飽和子集Ag稱為閉飽和集，如果XfAg是開飽和集。

定義8設(shè)(Xf,τ)是飽和集拓撲空間，飽和集Ym是Xf的一個飽和子集，如果滿足條件

那么(Ym,τY)是飽和拓撲空間(Xf,τ)的子空間。

定義9如果(Ym,τY)是(Xf,τ)的飽和集拓撲子空間，且Ym的每個開覆蓋有有限子覆蓋，則稱(Ym,τY)是(Xf,τ)的緊子空間，且Ym稱為Xf的緊子集。

注：類似拓撲空間中的鄰域、基和子基的定義可給出飽和集拓撲空間上鄰域、基和子基的定義。

2 相關(guān)命題

命題1設(shè)(Ym,τY)是(Xf,τ)的子空間，Vn是空間Xf中的飽和集，則

（1）Vn是空間Ym中的開飽和集，當且僅當存在Wl∈τ，使得Vn=Ym?Wl。

（2）Vn是空間Ym中的閉飽和集，當且僅當存在飽和集拓撲空間Xf中的閉飽和集Wl，使得Vn=Ym?Wl。

證（1）由于(Ym,τY)是(Xf,τ)的子空間以及飽和集交的定義可知命題成立。

（2）充分性：顯然成立。

必要性：若Vn是空間(Ym,τY)中的閉飽和集，則Ym-Vn是空間(Ym,τY)中的開飽和集，因此存在(Xf,τ)的開飽和集Ur，使得Ym-Vn=Ym?Ur，令Wl=Xf-Ur，則Wl是Xf中的閉飽和集，使得Vn=Ym?Wl。

命題2設(shè)(Xf,τ)是飽和集拓撲空間，則(Ym,τY)是(Xf,τ)的緊子空間當且僅當每一個由Xf中的開飽和集構(gòu)成的Ym的覆蓋有有限子覆蓋。

證必要性：設(shè)Γ是Ym的一個覆蓋，它是由Xf中的開飽和集構(gòu)成的。易驗證集族

也是Ym的一個覆蓋，它是由Ym中的開飽和集構(gòu)成的。因為(Ym,τY)是(Xf,τ)的緊子空間，所以有一個有限子覆蓋，設(shè)為

是由Xf中的開飽和集構(gòu)成的Ym的覆蓋，所以有一個有限子覆蓋，設(shè)為

命題3如果→Ym是飽和集拓撲空間Xf到飽和集拓撲空間Ym上的連續(xù)的滿映射，則下列命題等價：

證類似一般拓撲學(xué)中閉映射相關(guān)結(jié)論的推導(dǎo)，命題即可得證。

3 飽和集拓撲空間的定理及證明

下面給出飽和集拓撲空間的緊子空間在交、并運算下，仍是緊子空間。進一步證明若飽和集拓撲空間(Xf,τ)是T2，正則以及滿足第二可數(shù)性公理，則其在完備映射下的像也保持這些性質(zhì)。

定理4設(shè)Xf→Ym是飽和集拓撲空間(Xf,τ)到飽和集拓撲空間(Ym,ρ)上的完備映射，如果飽和集拓撲空間(Xf,τ)是T2，正則以及滿足第二可數(shù)性公理，則飽和集拓撲空間(Ym,ρ)也分別是T2，正則以及滿足第二可數(shù)性公理。

因為飽和集拓撲空間(Xf,τ)是T2空間，則存在開飽和集Ur,Vn，使得

（3）設(shè)飽和集拓撲空間(Xf,τ)滿足第二可數(shù)性公理，設(shè)δ是(Xf,τ)的可數(shù)基，設(shè)Δ 是δ中有限個元素的并集組成的集族，則可得Δ 仍是(Xf,τ)的可數(shù)基，對于每一個Ur∈Δ,y∈Ym，記

下證Υ是飽和集拓撲空間(Ym,ρ)的基。

由命題3（3）知，存在開飽和集