基于知識空間理論的八年級學生代數(shù)關鍵學習路徑

姚必

1 引言

《義務教育數(shù)學課程標準（2011版）》指出：函數(shù)是從具體情境中抽象出數(shù)學符號的過程，是探索具體問題中數(shù)量關系和變化規(guī)律的重要模型[1]．其中，“一次函數(shù)圖象”不僅是函數(shù)知識的入門基礎，還是解決其它實際問題的重要手段[2]．通過“一次函數(shù)圖象”的學習，學生能夠在平面直角坐標系中畫出一次函數(shù)的圖象，并且根據(jù)圖象了解一次函數(shù)的性質，從而掌握數(shù)形結合的數(shù)學思想[3～4]．知識空間理論（簡稱KST）為基于計算機網(wǎng)絡系統(tǒng)的知識和學習評估的發(fā)展提供了一個有效的數(shù)學理論框架，能有效地診斷學生對于某一個學習領域的掌握情況[5]．知識空間理論在國外已經廣泛應用于數(shù)學學習的認知診斷中，但是在國內，與該理論相關的實證研究僅僅局限于化學教學實踐[6～7]．因此，本研究應用知識空間理論對八年級學生的“一次函數(shù)圖象”的學習情況進行具體描述和深入分析．

2 知識空間理論

Doignon和Falmagne認為：問題與對應的知識之間存在聯(lián)系[8]．如果學習者能夠解答某個問題，那么該學習者擁有這個問題相應的知識[8]．將某一個領域看成相關問題組成的集合Q[8]．問題有高低層次之分，如果作答者能解決高層次的問題，那么也一定可以解決相應的低層次問題[8]．將各個層次問題之間的關系稱為推測關系（surmise relation），符合推測關系的集合稱為知識狀態(tài)（knowledge state）[8]．所有知識狀態(tài)加上空集和集合Q組成的集合稱為知識結構（knowledge structure），記為（）Qκ，[8]．若（）Qκ，滿足對并運算的封閉性，即知識狀態(tài)的任意并還是知識狀態(tài)，則（）Qκ，稱為知識空間（knowledge space）[8]．在知識空間中，我們用箭頭表示包含的覆蓋關系，如果L是包含知識狀態(tài)K的極小知識狀態(tài)，那么存在從知識狀態(tài)K到知識狀態(tài)L的箭頭，以空集為起始點、全集為終止點，將各個知識狀態(tài)通過一定的順序依次連接起來，建立具有層級關系的網(wǎng)絡結構[8]．每一個從空集到全集的知識狀態(tài)組合，形成問題有序增長的組合稱為分級[6]．各個分級中，可以找到一條具有最大出現(xiàn)概率的問題有序組合，我們稱這個問題的有序組合為關鍵學習路徑[8]．

3 研究方法

3.1 研究對象

本研究選取江蘇省蘇州市吳江區(qū)某中學八年級兩個普通班共102名學生進行專題測試．這兩個班級學生的數(shù)學成績整體相當．在八年級第二學期進行測試，參與本次測試的學生對于“一次函數(shù)圖象”的知識點已經進入長時記憶中，測試結果可以較好地體現(xiàn)學生關于該知識點的學習情況．

3.2 研究工具

本研究基于《義務教育數(shù)學課程標準（2011版）》，使用《義務教育教科書·數(shù)學（八年級上）》（江蘇鳳凰科學技術出版社），先初步篩選測試題，再結合專家型數(shù)學教師的建議對測試題進行修改，最后征求專家教授的建議對測試題進行精選．本研究測試卷涉及6個知識點，詳見表1．其中，知識點的序號代表了專家預設的學習路徑．

3.3 研究流程

在八年級第二學期的第一個月內完成“一次函數(shù)圖象”的專題測試．測試結束后，筆者回收試卷，批改學生的作答結果和記錄學生的答題情況．將學生答對、答錯的情況分別記錄為1和0，則測試卷上所有問題的解答情況可以轉化為一個有序數(shù)字組合．該組合就是學生的反應模式．例如，某位學生僅答對了第1、2、3、5題，那么該學生的反應模式為[111010]……

3.4 數(shù)據(jù)處理

參考知識空間理論，本研究使用python語言自主設計相關算法程序，并且將所有的反應模式和相應的人數(shù)作為原始數(shù)據(jù)．本研究的算法程序需要經歷兩個過程．首先，統(tǒng)計每一個反應模式所對應學生的人數(shù)，并且獲取相應的知識狀態(tài)；同時，根據(jù)問題之間的推測關系，添加必要的工作假設（working hypothesis）[9]，從而建立完整的知識空間．通過可視化功能，呈現(xiàn)知識空間的示意圖．其次，計算反應模式的概率，并且通過概率值確定關鍵學習路徑．在此過程中，基于已有文獻[679]，，的研究，該程序設定猜測幸運（lucky guess）和粗心失誤（careless error）的概率均為0.1．

4 研究結論

4.1 學生的答題情況

學生總體的平均答對率為45.15%．其中，每一道題的平均答對率詳見表2．

由表2可見，第1題的答對率最高．結合表1中對應知識點的說明，可以發(fā)現(xiàn)“用描點法畫函數(shù)圖象”這個知識點學生的掌握較為熟練．進一步地，由學生答題情況的質性分析還表明：學生對圖象過于依賴，導致學生缺乏函數(shù)圖象和函數(shù)解析式之間轉化的能力．同時，第4題的答對率明顯較低．根據(jù)學生解答過程的分析發(fā)現(xiàn)，學生傾向于默認“單調性”為“單調遞增”，而往往會忽視“單調遞減”這種情況．究其原因，結合對任課教師的深度訪談，是教學中教師通常會以單調遞增的函數(shù)作為例題和練習題．此外，由表2還可見，第3題的答對率最低．這充分說明對于定點問題，學生的理解和掌握有嚴重的欠缺．深度分析教材內容，其原因很可能是由于教材中未詳細解釋和區(qū)分“原點”和“定點”的內涵，導致絕大多數(shù)學生無法對“正比例函數(shù)圖象”實施有效的思維拓展．

4.2 學生的關鍵學習路徑

八年級學生關于“一次函數(shù)圖象”的知識空間的示意圖詳見圖1．關于“一次函數(shù)圖象”這個知識點，圖1顯示了知識狀態(tài)的數(shù)量較多，并且知識狀態(tài)之間的連線也較多．由此可見，八年級學生關于該知識點的知識空間的結構較復雜．通過計算反應模式的整體概率，我們可以得到八年級學生的關鍵學習路徑，如表3所示．

基于學生關鍵學習路徑的分析，可以發(fā)現(xiàn)：“描點法”和“一次函數(shù)的圖象是一條直線”出現(xiàn)的位置處于較前端．這說明八年級學生將上述兩個知識作為“一次函數(shù)圖象”學習的基礎．同時，還可以發(fā)現(xiàn)：“一次函數(shù)的單調性”以及“正比例函數(shù)圖象過原點”處于學習路徑的末端．這說明對于這兩個知識點，學生較難理解和掌握．究其原因，可能是因為在數(shù)學學習的過程中，只有熟練掌握了數(shù)形結合的思想，學生才能將“一次函數(shù)圖象”和“一次函數(shù)解析式”融合起來，從而有效地解決一次函數(shù)單調性的相關問題．進一步地，由表3還發(fā)現(xiàn)：學生實際的關鍵學習路徑與專家預設的學習路徑存在明顯的差異．例如，知識點“知道b是與y軸交點的縱坐標”和“掌握一次函數(shù)圖象的平移”出現(xiàn)在學生實際的關鍵學習路徑的中間位置．

5 結論與建議

5.1 研究結論

以“一次函數(shù)圖象”為例，本文首次將知識空間理論應用于八年級學生代數(shù)關鍵學習路徑的探討和分析中，從而為數(shù)學教育心理學中的代數(shù)學習研究提供了一個新的視角．研究結果表明：（1）學生實際的關鍵學習路徑與專家預設的學習路徑存在明顯的差異；（2）學生知識空間的結構較復雜，同時出現(xiàn)了23個知識狀態(tài)；（3）學生在一次函數(shù)單調性和正比例函數(shù)過原點的相關問題上的學習表現(xiàn)有待改善．

韜爾將函數(shù)的概念作為數(shù)學認知根源，并將函數(shù)的概念分為前程序、程序、過程、對象和過程性概念五個層次[10]．基于該理論，本次調研發(fā)現(xiàn)：有極少數(shù)學生處于前程序階段，對于畫出一次函數(shù)圖象還一無所知；大多數(shù)學生處于程序階段，解題依賴于固定的操作步驟；只有少數(shù)學生處于過程階段，能夠熟練應用函數(shù)的輸入與輸出，不依賴于固定的操作步驟；僅僅有一到兩位學生處于對象層次；沒有學生能到達過程性概念層次．

5.2 教學建議

基于學生實際的關鍵學習路徑，我們可以提出如下三點教學建議． 第一，教師預設的教學設計和學生實際的學習現(xiàn)狀存在差異．教師需要判斷對大多數(shù)學生來說存在認知障礙的知識點，例如，將“正比例函數(shù)過原點”放在關鍵學習路徑的后面，體現(xiàn)出學生尚未熟悉函數(shù)不同表征之間的關聯(lián)，不知道什么時候用哪一種表征比較容易解決問題．盡管大多數(shù)學生都知道正比例函數(shù)圖象過原點，但是用另一種非標準形式去表示正比例函數(shù)的時候，學生會無從下手．因此，在后續(xù)的教學中，教師需要培養(yǎng)學生識別函數(shù)的能力，提升學生從函數(shù)的一種表征轉化到另一種表征的能力． 第二，對于基礎較差的學生，過于依賴一次函數(shù)的表達式，而難以從圖象上獲取相關信息．教師應該在教學過程中，將用圖象表示函數(shù)的方法貫穿整個一次函數(shù)的教學過程中，不斷提高學生用圖象直觀表示函數(shù)的性質以及解釋由圖象表示的函數(shù)相關信息的能力．同時，教師也可以利用相關計算機軟件來輔助教學，比如幾何畫板，將函數(shù)運動、變換等特點直觀化．

第三，考慮到同一所學校近幾年的生源比較相似，在下一學年的教學中，對于“一次函數(shù)圖象”這節(jié)課，教師要重點關注學生對于一次函數(shù)單調性和定點問題的掌握程度，并在教學后通過專題訓練等方式加以鞏固．同時，學生實際的關鍵學習路徑可以為教師的新課教學提供一定的參考．從學生實際的關鍵學習路徑中可以看出，學生數(shù)學思維水平仍處于初級階段，需要教師在新課教學中重點突出函數(shù)解析式與圖象之間的關聯(lián)與轉換．

5.3 研究展望

本研究以“一次函數(shù)圖象”為例，深入探討和具體分析了八年級學生的知識空間結構．在未來的研究中，對于不同的數(shù)學學習內容和不同學習階段的學生，還可以應用知識空間理論進行深入的探討和分析，從而豐富已有的研究成果，進而為數(shù)學學習過程提供更多的實踐依據(jù)和理論支撐．