計算水平層狀VTI介質(zhì)中P 波旅行時的近似公式

魏建，孫祥娥

（長江大學(xué)電子信息學(xué)院，湖北荊州 434023）

0 引言

旅行時近似是時差校正、速度分析、反演等地學(xué)領(lǐng)域的重要研究課題之一［1-3］。炮檢距函數(shù)應(yīng)用于具有垂直對稱軸的橫向各向同性（Transverse Isotropy Medium with Vertical Symmetry Axis，VTI）介質(zhì)時，常使用非雙曲線形式。

在早期研究中，學(xué)者們提出了多種適用于VTI介質(zhì)的P 波旅行時近似方程。Taner 等［4］建議在旅行時公式中加入泰勒級數(shù)項得到非雙曲線型公式； May等［5］提出一種基于正交多項式的非雙曲線近似方法計算四階時差譜。由于VTI介質(zhì)的影響，這些方法計算的旅行時會隨炮檢距的變大而出現(xiàn)偏差。隨后，學(xué)者們提出了其他基于泰勒級數(shù)的方法提高遠(yuǎn)炮檢距旅行時的計算精度。Alkhalifah 等［6］利用聲學(xué)近似理論提出了基于泰勒級數(shù)的4 階旅行時近似方程；胡中平［7］提出一種優(yōu)化炮檢距6 階項的計算方法； Stovas等［8］在泰勒展開式的基礎(chǔ)上提出了三種旅行時近似公式；之后，Ursin 等［9］利用泰勒級數(shù)高階項進(jìn)行系數(shù)匹配得到了4階旅行時計算方程。以上幾種方法使用的均是高階泰勒級數(shù)的截斷形式，遠(yuǎn)炮檢距處旅行時的計算精度并不理想［10］。通過進(jìn)一步分析旅行時公式在各向異性介質(zhì)中的表現(xiàn)，學(xué)者們提出了基于泰勒級數(shù)與其他理論相結(jié)合的P 波旅行時計算方程。鄧懷群等［11］研究了適用于弱各向異性VTI 介質(zhì)中的旅行時計算方法；之后，Song 等［12］利用基于高階泰勒級數(shù)系數(shù)的Padé 近似方法估計遠(yuǎn)炮檢距時差；Sripanich等［13］通過特定參數(shù)選擇提出了簡化的旅行時近似方程； Xu 等［14］基于泰勒級數(shù)的炮檢距擴(kuò)展和彈性正交介質(zhì)中的聲學(xué)近似優(yōu)化了P 波旅行時計算公式；另外，Abedi等［15］與Blias［16］提出了基于廣義時差近似的旅行時計算方法；隨后，Abedi 等［17］利用微擾理論推導(dǎo)出新的旅行時近似方程；2020 年Abedi［18］提出了P 波運(yùn)動學(xué)有理近似方法；之后，F(xiàn)arra 等［19］推導(dǎo)了基于弱各向異性參數(shù)的非雙曲線型P 波時差方程； 2021 年Abedi等［20］又提出了一種基于聲學(xué)假設(shè)的六參數(shù)旅行時計算方程；之后，一種利用降階補(bǔ)償?shù)奶幚矸椒ㄩ_始用于計算介質(zhì)中的旅行時［21］。隨著旅行時公式的進(jìn)一步完善，能夠提高旅行時計算精度的方法的種類也隨之增加。

針對常用的基于泰勒級數(shù)的P 波旅行時近似方程在水平層狀VTI介質(zhì)中的計算有待提高的問題，本文先利用平方處理將其轉(zhuǎn)換為旅行時平方近似方程，再結(jié)合系數(shù)匹配方法依次處理炮檢距的高階項，由此得到一種含有與各向異性相關(guān)的新系數(shù)y的P 波旅行時計算方法。經(jīng)數(shù)據(jù)測試與方法對比表明，該方法可以改善遠(yuǎn)炮檢距處旅行時的計算且誤差較小。

1 理論方法

1.1 基于泰勒級數(shù)的炮檢距4 階旅行時公式

Ursin 等［9］在常規(guī)基于泰勒級數(shù)的旅行時公式基礎(chǔ)上，提出一種基于系數(shù)匹配方法的P 波旅行時計算方程

式中：t0為垂直雙程旅行時；x為炮檢距；vNMO為正常時差速度；S2、S3為非均質(zhì)性參數(shù)，其中S2與各向異性參數(shù)η的關(guān)系為［9，22-23］

通過推導(dǎo)出的S2與S3的近似關(guān)系可進(jìn)一號簡化式（3）。首先寫出基于泰勒級數(shù)定義的垂直慢度的系數(shù)aj（j=0，1，2，…）［9，22］

式中：γ0=β0/α0表示S波與P波的速度之比［22］；ε、δ、α0和β0為Thomsen 參數(shù)［6，9］，其中α0和β0分別表示P 波與S 波的垂直速度，ε與δ分別表示P 波各向異性差異和NMO 速度與反射振幅的變化［6，9，23］。

S2、S3與系數(shù)aj的關(guān)系為

結(jié)合聲學(xué)近似理論［22］，即γ0=0，此時非均質(zhì)性參數(shù)S3可用S2表示

再將式（7）代入式（3），即可得到參數(shù)D的近似形式

1.2 基于平方處理與系數(shù)匹配的旅行時平方公式

與旅行時平方公式相比，式（1）是一種不常作為研究對象的旅行時方程。

首先，通過將式（1）兩邊平方將其轉(zhuǎn)換為平方形式。然后，按炮檢距階數(shù)從小到大排列

由式（9）和式（10）可見，三個高階項系數(shù)A、B和C均包含相對復(fù)雜的結(jié)構(gòu)。為了保持相對簡潔的結(jié)構(gòu)以及體現(xiàn)高階泰勒級數(shù)的意義，根據(jù)式（1）的組成形式，可使式（9）中炮檢距的最高階數(shù)仍為常規(guī)形式的四階。

在推導(dǎo)基于泰勒級數(shù)的旅行時公式過程中，常對高階項采用近似處理來簡化方程形式。常用的處理方式有：①省略高階項的截斷近似；②利用高階項進(jìn)行系數(shù)匹配［10］的近似。分析式（9）可知，截斷近似并不能使其滿足應(yīng)用要求，而系數(shù)匹配近似是更適合的處理方法。

首先，將系數(shù)匹配方法用于處理式（9）的8 階項，即利用B和C可以得到

在式（11）的基礎(chǔ)上，繼續(xù)利用系數(shù)匹配方法處理6 次方項。為了簡化旅行時公式的參數(shù)結(jié)構(gòu)，可先得到中間參數(shù)λ，即

結(jié)合式（13）即可得到最終形式的計算方程，即基于新系數(shù)y的炮檢距四階旅行時公式

基于平方處理與系數(shù)匹配方法得到的旅行時平方方程（式（14）），可定義為SCM（Squaring and Coefficient Matching）法。

2 實(shí)驗(yàn)結(jié)果

從實(shí)驗(yàn)角度分析SCM 與有理近似法（TR）［18］、三射線廣義時差近似法（TG）［24］和擴(kuò)展廣義時差近似法（TE）［1，20］等4 種方法與精確時間的計算誤差，實(shí)驗(yàn)使用水平層狀VTI介質(zhì)模型，參數(shù)如表1所示。

介質(zhì)中P波的準(zhǔn)確時間可由

計算［1，20］。式中

x（p）、t（p）分別表示通過射線參數(shù)p計算出的炮檢距與旅行時；t0，i、vNMO，i、vh，i、ηi分別表示第i層的雙程旅行時、正常時差速度、水平速度、各向異性參數(shù)。

定義實(shí)驗(yàn)誤差為

式中：Ta表示準(zhǔn)確時間；Tx表示通過TR、TG、TE 和SCM 法所得計算值。

2.1 模型一

模型一為橢圓各向異性介質(zhì)模型。圖1 是本文方法（SCM）、TR、TG、TE 法的旅行時計算誤差曲線。由圖可見，當(dāng)炮檢距與深度的比值為0～2.5 時，SCM法的計算精度高于其他3 種方法。在圖2 中，TR、TG、TE與SCM 法的TMO 之差均為正值，可知SCM法的計算誤差最小。TE 法作為公認(rèn)的一種較準(zhǔn)確的計算方法，其誤差僅小于SCM 法。雖然TG 與TR 法的TMO 差值非常小，實(shí)際上TR 法仍具有更小的誤差。從數(shù)值上分析表明，當(dāng)炮檢距與深度的比值等于2.5 時，即遠(yuǎn)炮檢距處，SCM、TE、TR、TG 法的誤差分別為4.00%、4.48%、5.30%、5.30%。

圖2 模型一4 種方法的TMO 差值

模型一的實(shí)驗(yàn)結(jié)果表明，SCM法在炮檢距與深度的比值在0～2.5的范圍內(nèi)具有更小的計算誤差，最大比值2.5處的誤差同樣較小，但方法間的TMO差值相對較小。

2.2 模型二

針對模型二，上述4 種方法的誤差曲線與各方法間的TMO 差值分別如圖3、圖4 所示。當(dāng)炮檢距與深度的比值為0～2.5時，SCM 法的計算誤差最小，TE法的表現(xiàn)優(yōu)于TG和TR法，TG法仍然具有較大的誤差。這與圖1、圖2中的曲線趨勢一致。當(dāng)炮檢距與深度的比值為2.5 時，SCM、TE、TR、TG 法的誤差分別為：0.55%、1.65%、2.27%和2.27%。

圖3 模型二旅行時計算誤差

圖4 模型二4 種方法的TMO 差值

模型二的實(shí)驗(yàn)結(jié)果表明，SCM 法在整體與遠(yuǎn)炮檢距處的誤差同樣較小。對比模型一，此時各方法間的TMO 差值變大。

3 討論

根據(jù)常用的基于泰勒級數(shù)的P 波旅行時近似方程的組成結(jié)構(gòu)，本文提出一種基于平方處理和系數(shù)匹配方法的P波旅行時計算方法，即SCM 方法。該方法具有與常規(guī)基于泰勒級數(shù)的計算方程類似的結(jié)構(gòu)，不同之處在于參數(shù)組成以及近似處理。本文討論了將SCM 方法中炮檢距的最高階數(shù)保持為4 階形式的方法，若改變處理8階項和6 階項的次序，是否能夠得到具有類似計算表現(xiàn)的方程是值得思考的。另外，本文使用的實(shí)驗(yàn)?zāi)Ｐ偷念愋陀邢?，對于其他模型以及?shí)際地震數(shù)據(jù)而言，這種參數(shù)組合形式是否仍具有類似的結(jié)果以及穩(wěn)定性，需要繼續(xù)測試來驗(yàn)證并加以優(yōu)化。

與反射波旅行時快速算法［24］相比，旅行時近似方程在計算速度上并沒有優(yōu)勢，推導(dǎo)旅行時近似方程的主要目的是進(jìn)行各向異性速度分析、求取各向異性參數(shù)以及時差校正等處理［1-3，25］。在實(shí)際工程中，選擇何種旅行時近似方程同樣需要考慮該方程在實(shí)際地震數(shù)據(jù)中的計算表現(xiàn)。若研究區(qū)的介質(zhì)性質(zhì)不完全受到VTI介質(zhì)的影響，在利用旅行時方程進(jìn)行處理時應(yīng)特別注意。在此基礎(chǔ)上，如何使基于旅行時近似方程的分析方式更好地為疊加成像［26］、偏移成像［27-28］提供有力支撐值得進(jìn)一步探討。

4 結(jié)論

本文首先使用垂直慢度方程和聲學(xué)近似理論得出了近似系數(shù)D的新形式；然后，利用平方處理和兩次系數(shù)匹配方法對非平方形式的偏移距4階旅行時方程進(jìn)行近似處理，由此推導(dǎo)出了新參數(shù)μ與中間參數(shù)λ；最后，得到了更加直觀的P 波旅行時平方方程，即SCM 法。

對兩個水平層狀VTI介質(zhì)模型的測試結(jié)果表明，SCM 法的誤差比有理近似法、三射線廣義時差近似法和擴(kuò)展廣義時差近似法更小。當(dāng)炮檢距與深度的比值達(dá)到最大值2.5 時，SCM 法的計算優(yōu)于其他方法。因此，該方法能夠提高VTI介質(zhì)中P 波旅行時的計算精度。