基于加權(quán)馬爾科夫-ARIMA修正模型的區(qū)域物流需求預(yù)測

程元棟,喻可欣,李先洋

安徽理工大學(xué)經(jīng)濟(jì)與管理學(xué)院,安徽 淮南 232001

0 引言

精準(zhǔn)的物流需求預(yù)測能為政府、交通運(yùn)輸行業(yè)在物流規(guī)劃、物流基礎(chǔ)設(shè)施投資與建設(shè)、產(chǎn)業(yè)規(guī)劃與布局等方面提供有力的決策依據(jù),同時可幫助相關(guān)企業(yè)及經(jīng)營者調(diào)節(jié)日常物流生產(chǎn)活動,指導(dǎo)作出最優(yōu)決策。物流需求作為派生性需求,不僅與區(qū)域經(jīng)濟(jì)發(fā)展相關(guān),還受多方面因素制約,難以從單一維度進(jìn)行分析[1]。

目前物流需求預(yù)測研究多基于物流量的歷史數(shù)據(jù),采用單一或組合模型進(jìn)行預(yù)測[2]。劉炯[3]、王迪[4]基于多項(xiàng)歷史數(shù)據(jù),采用多元線性回歸模型對物流需求及其影響因素進(jìn)行實(shí)證分析;吳玉國等[5]采用灰色-馬爾科夫組合模型建立貨運(yùn)周轉(zhuǎn)量預(yù)測體系;武亞鵬等[6]運(yùn)用有效度法對線性回歸模型、自回歸移動平均(autoregressive integrated moving average,ARIMA)模型進(jìn)行線性組合,預(yù)測武漢市的物流需求;張婉琳[7]將灰色關(guān)聯(lián)預(yù)測與ARIMA模型預(yù)測組合,預(yù)測寧波港口物流需求。

ARIMA模型是計量經(jīng)濟(jì)學(xué)中的一類模型,能有效擬合預(yù)測對象的時間序列,但采用單一ARIMA模型預(yù)測時,可能會在部分時刻因外部因素沖擊,導(dǎo)致預(yù)測數(shù)據(jù)與實(shí)際數(shù)據(jù)存在較大偏差,具體表現(xiàn)為殘差的異方差性[8]。本文采用加權(quán)馬爾科夫模型修正殘差序列,構(gòu)建加權(quán)馬爾科夫-ARIMA修正模型,以國家統(tǒng)計局公布的我國1991年1月至2021年12月的貨運(yùn)周轉(zhuǎn)量為物流需求數(shù)據(jù)進(jìn)行實(shí)例分析,驗(yàn)證加權(quán)馬爾科夫-ARIMA修正模型對區(qū)域物流需求預(yù)測的準(zhǔn)確性,以期為物流規(guī)劃決策活動提供前提依據(jù)。

1 模型構(gòu)建

1.1 ARIMA模型

將自回歸(auto regressive,AR)模型、移動平均(moving average,MA)模型和差分法結(jié)合構(gòu)成ARIMA模型,采用ARIMA模型可將一組單變量的時間序列,采用差分等方式把不可預(yù)測的非平穩(wěn)序列轉(zhuǎn)化為平穩(wěn)序列,通過構(gòu)建數(shù)學(xué)模型進(jìn)行統(tǒng)計描述[9]。假設(shè)自回歸階數(shù)為p,原始數(shù)據(jù)差分后達(dá)到平穩(wěn)的次數(shù)為d,移動平均階數(shù)為q,則ARIMA(p,d,q)模型為:

式中:▽dyt為序列yt的d階差分,αi為第i項(xiàng)的自回歸系數(shù),βj為第j項(xiàng)的移動平均系數(shù),εt為yt的殘差。

1.2 加權(quán)馬爾科夫模型

加權(quán)馬爾科夫模型以殘差序列的各階自相關(guān)系數(shù)體現(xiàn)不同滯期各狀態(tài)間相互影響的強(qiáng)弱,能有效利用歷史數(shù)據(jù)[10]。實(shí)際貨運(yùn)周轉(zhuǎn)量序列減去ARIMA模型預(yù)測的貨運(yùn)周轉(zhuǎn)量序列,得到隨機(jī)殘差序列,將殘差序列劃分成多種狀態(tài),計算一步轉(zhuǎn)移頻數(shù)矩陣與一步轉(zhuǎn)移概率矩陣,進(jìn)行馬氏性檢驗(yàn)[11]。通過馬氏性檢驗(yàn)后,采用殘差序列的各階自相關(guān)系數(shù)確定各階權(quán)重,加權(quán)求和后預(yù)測將來期數(shù)的狀態(tài)。最后依據(jù)模糊集理論中的狀態(tài)特征值,將預(yù)測狀態(tài)轉(zhuǎn)變?yōu)轭A(yù)測結(jié)果,實(shí)現(xiàn)修正殘差序列的目的[12]。

構(gòu)造χ2統(tǒng)計量,對殘差序列進(jìn)行馬氏性檢驗(yàn),公式為:

(1)

式中:fij為狀態(tài)i一步轉(zhuǎn)移至狀態(tài)j的頻數(shù),pij為轉(zhuǎn)移概率,p·j為邊際概率,m為矩陣的行(列)數(shù)。

根據(jù)分級情況,計算對應(yīng)階數(shù)的自相關(guān)系數(shù),k階的自相關(guān)系數(shù)

(2)

將rk歸一化,得到k階權(quán)重

(3)

狀態(tài)i的加權(quán)和

(4)

式中pi為k階滯期時狀態(tài)i的轉(zhuǎn)移概率。

依據(jù)最大概率隸屬度原則,max{Pi}對應(yīng)狀態(tài)為該期殘差的預(yù)測狀態(tài)。

采用模糊集理論中的狀態(tài)特征值,將預(yù)測狀態(tài)轉(zhuǎn)化為預(yù)測結(jié)果,公式為:

(5)

(6)

式中:di為本期預(yù)測的max{Pi}狀態(tài)權(quán)重;ξ為最大概率作用指數(shù),一般ξ=2或ξ=4,本文取ξ=2;H為max{Pi}時狀態(tài)i對應(yīng)的級別特征值。

預(yù)測殘差

(7)

式中Ti、Bi分別為預(yù)測狀態(tài)i對應(yīng)的區(qū)間上限、區(qū)間下限。

1.3 加權(quán)馬爾科夫-ARIMA修正模型

通過加權(quán)馬爾科夫模型預(yù)測殘差,修正ARIMA模型預(yù)測的第t期貨運(yùn)周轉(zhuǎn)量

(8)

2 實(shí)例分析

2.1 ARIMA模型預(yù)測

2.1.1 數(shù)據(jù)選取

貨運(yùn)量與貨運(yùn)周轉(zhuǎn)量反映某地區(qū)在一定時間內(nèi)的物流活動情況,貨運(yùn)量是一定時期內(nèi)運(yùn)輸?shù)膶?shí)際貨物總量,貨運(yùn)周轉(zhuǎn)量包括貨物數(shù)量和貨物要求運(yùn)輸?shù)木嚯x,更能體現(xiàn)對物流運(yùn)輸?shù)男枨骩13-15]。選取國家統(tǒng)計局公布的我國1990年1月至2021年12月的貨運(yùn)周轉(zhuǎn)量數(shù)據(jù)進(jìn)行分析,共計384期,每月為1期。貨運(yùn)周轉(zhuǎn)量時序圖如圖1所示[16]。由圖1可知:第145期(2002年)前貨運(yùn)周轉(zhuǎn)量平穩(wěn)增長,之后出現(xiàn)大幅增長;每年2月的貨運(yùn)周轉(zhuǎn)量均下降明顯。我國的貨運(yùn)周轉(zhuǎn)量呈非平穩(wěn)的周期性增長。對貨運(yùn)周轉(zhuǎn)量進(jìn)行差分處理,經(jīng)1階差分及平穩(wěn)性檢驗(yàn)發(fā)現(xiàn),序列的增長趨勢消失,顯示一定的平穩(wěn)性。

圖1 貨運(yùn)周轉(zhuǎn)量時序圖

2.1.2 模型識別

為確定模型階數(shù)[17],在統(tǒng)計應(yīng)用軟件R中繪制原貨運(yùn)周轉(zhuǎn)量序列的自相關(guān)系數(shù)圖和偏自相關(guān)系數(shù)圖,如圖2所示。

a)自相關(guān)系數(shù) b)偏自相關(guān)系數(shù) 圖2 原貨運(yùn)周轉(zhuǎn)量序列的自相關(guān)系數(shù)圖和偏自相關(guān)系數(shù)

由圖2可知:1階差分后自相關(guān)系數(shù)與偏自相關(guān)系數(shù)均拖尾,采用ARIMA(p,q)模型。根據(jù)最小信息準(zhǔn)則,采用赤池信息準(zhǔn)則(Akaike information criterion,AIC)和貝葉斯信息準(zhǔn)則(Bayesian information criterion,BIC)確定p、q,均支持原貨運(yùn)周轉(zhuǎn)量序列的ARIMA(2,1,2)模型,即1階差分序列的ARIMA(2,2)模型最優(yōu)。

2.1.3 ARIMA模型預(yù)測結(jié)果

確定模型階數(shù)后,估計ARIMA模型的系數(shù),擬合結(jié)果為:AR(1)、AR(2)、MA(1)、MA(2)的系數(shù)分別為1.489 3、-0.555 9、-1.909 8、0.937 7;標(biāo)準(zhǔn)差分別為0.174 0、0.049 5、0.034 5、0.029 9。ARIMA模型系數(shù)的絕對值大于3倍標(biāo)準(zhǔn)差,系數(shù)均顯著。因此可得ARIMA(2,1,2)模型為:

yt=2.489 3yt-1-2.045 2yt-2+0.555 9yt-3+εt-1.909 8εt-1+0.937 7εt-2。

根據(jù)擬合的模型,可得ARIMA模型預(yù)測貨運(yùn)周轉(zhuǎn)量序列。

2.2 加權(quán)馬爾科夫模型殘差修正

ARIMA模型預(yù)測的貨運(yùn)周轉(zhuǎn)量序列與實(shí)際貨運(yùn)周轉(zhuǎn)量序列之差構(gòu)成殘差序列,該序列可看作一組具有平穩(wěn)性與無后效性的隨機(jī)變量[18-20]。采用加權(quán)馬爾科夫模型修正殘差序列,將修正后的殘差序列與ARIMA模型預(yù)測的貨運(yùn)周轉(zhuǎn)量序列相加,計算修正預(yù)測貨運(yùn)周轉(zhuǎn)量。

2.2.1 狀態(tài)分級

經(jīng)計算殘差序列的均值為-41.6,標(biāo)準(zhǔn)差為456.3,依據(jù)均值-標(biāo)準(zhǔn)差法,將殘差序列分為7個狀態(tài)區(qū)間,如表1所示。

表1 殘差序列的狀態(tài)區(qū)間劃分

2.2.2 計算轉(zhuǎn)移概率矩陣

根據(jù)殘差序列的轉(zhuǎn)移情況進(jìn)行統(tǒng)計,得到一步轉(zhuǎn)移頻數(shù)矩陣p,計算一步轉(zhuǎn)移概率矩陣p(1),結(jié)果為:

p·j為p的第j列之和除以各行各列總和,經(jīng)計算邊際概率p·1=0.257 2,p·2=0.057 4、p·3=0.235 0、p·4=0.305 0、p·5=0.149 0、p·6=0.078 0、p·7=0.068 0、p·8=0.050 0。參照一步轉(zhuǎn)移概率矩陣,同理可計算出二至七步轉(zhuǎn)移概率矩陣p(2)～p(7)。

2.2.3 馬氏性檢驗(yàn)

2.2.4 預(yù)測殘差

根據(jù)式(2)(3)計算殘差序列的各階自相關(guān)系數(shù)及歸一化后的各階權(quán)重,結(jié)果如表2所示。

表2 各階自相關(guān)系數(shù)及權(quán)重

將歸一化后的各階權(quán)重作為對應(yīng)滯期的權(quán)重,以第1～372期的殘差數(shù)據(jù)為樣本數(shù)據(jù)預(yù)測第373～384期的殘差。例如預(yù)測373期殘差狀態(tài)如表3所示。根據(jù)式(4),結(jié)合表3數(shù)據(jù)計算可得狀態(tài)1～7的Pi分別為0.015 4、0.032 9、0.008 8、0.188 8、0.216 1、0.406 9、0.131 1,max{Pi}=0.406 9,依據(jù)最大概率隸屬度原則判定,第373期的殘差狀態(tài)為6,分布在區(qū)間[415,877)。

表3 預(yù)測第373期殘差狀態(tài)

通過式(5)計算狀態(tài)1～7的di,結(jié)果為:d1=0.008 9,d2=0.004 1,d3=0.008 8,d4=0.133 7,d5=0.175 2,d6=0.621 4,d7=0.064 5?；谀：碚撝械臓顟B(tài)特征值,采用式(6)計算狀態(tài)特征值H=5.600 31,依據(jù)式(7),得第373期的預(yù)測殘差z=422.569 億t·km。

2.3 加權(quán)馬爾科夫-ARIMA修正模型預(yù)測

ARIMA模型捕捉的是數(shù)據(jù)間的線性關(guān)系,只需內(nèi)生變量,使用簡單,但對外界的影響,如政策調(diào)控或突發(fā)事件造成的劇烈沖擊很難預(yù)測。貨運(yùn)周轉(zhuǎn)量具有明顯的周期增長性,且易受外界影響,可采用加權(quán)馬爾科夫模型預(yù)測的殘差體現(xiàn)這種非線性變化。根據(jù)加權(quán)馬爾科夫模型預(yù)測的第373期殘差,采用式(8)將該殘差與ARIMA模型預(yù)測的貨運(yùn)周轉(zhuǎn)量相加,得到加權(quán)馬爾科夫-ARIMA修正模型預(yù)測的第373期的貨運(yùn)周轉(zhuǎn)量,為17 186.72 億t·km。依次計算第374～384期的殘差及修正預(yù)測貨運(yùn)周轉(zhuǎn)量,實(shí)際貨運(yùn)周轉(zhuǎn)量Fp與ARIMA模型、加權(quán)馬爾科夫-ARIMA修正模型預(yù)測的貨運(yùn)周轉(zhuǎn)量Ff對比結(jié)果如表4所示。

表4 第373～384期的實(shí)際貨運(yùn)周轉(zhuǎn)量與2種模型預(yù)測的貨運(yùn)周轉(zhuǎn)量

ARIMA模型與加權(quán)馬爾科夫-ARIMA修正模型的平均相對誤差分別為3.15%、2.22%,經(jīng)修正后提高了模型的預(yù)測精度,加權(quán)馬爾科夫-ARIMA修正模型的預(yù)測精度優(yōu)于單一的ARIMA模型。

3 結(jié)論

本文以我國1990年1月至2021年12月的月度貨運(yùn)周轉(zhuǎn)量為預(yù)測物流需求的基礎(chǔ)數(shù)據(jù),構(gòu)建時間序列的ARIMA模型,采用加權(quán)馬爾科夫模型修正殘差序列,建立加權(quán)馬爾科夫-ARIMA修正模型,以2021年1月至12月(即文中的373至384期數(shù)據(jù))共12期貨運(yùn)周轉(zhuǎn)量為例進(jìn)行實(shí)證分析。結(jié)果顯示加權(quán)馬爾科夫-ARIMA修正模型的預(yù)測精度優(yōu)于單一ARIMA模型。加權(quán)馬爾科夫-ARIMA修正模型可提高區(qū)域物流需求預(yù)測結(jié)果的準(zhǔn)確性,為物流決策人員提供可靠的決策依據(jù),也可為其他領(lǐng)域的預(yù)測研究提供借鑒。