平行砂輪磨削球頭立銑刀后刀面的軌跡算法研究

唐 軍，馬忠寶，馬術(shù)文，江 磊

（西南交通大學(xué)機(jī)械工程學(xué)院，四川成都 610031）

1 引言

球頭立銑刀在加工復(fù)雜曲面時(shí)展現(xiàn)出了較好的加工適應(yīng)性和較低的震動(dòng)表現(xiàn)，在加工復(fù)雜腔體結(jié)構(gòu)以及其他復(fù)雜型面上，球銑刀同樣十分便捷，因而，球頭立銑刀廣泛應(yīng)用于加工航空航天，汽車等制造產(chǎn)業(yè)［1］。球頭后刀面是保障球頭立銑刀加工質(zhì)量的關(guān)鍵結(jié)構(gòu)，對(duì)刀具的使用壽命影響巨大［2］。球頭立銑刀的后刀面加工質(zhì)量很大程度上決定了球頭立銑刀的回轉(zhuǎn)精度及刃線質(zhì)量。

立銑刀后刀面依據(jù)所處的刀具結(jié)構(gòu)不同可分為：周刃后刀面和端刃后刀面。對(duì)于刀面的類型定義，文獻(xiàn)［3］根據(jù)磨削方式將后刀面分為偏心型、凹面型和平面型三種，其中偏心型后刀面的特點(diǎn)為：刀尖具有較大的強(qiáng)度，刃口加工性能良好。而平面型后刀面的刃口強(qiáng)度介于其他兩種后刀面之間。針對(duì)立銑刀后刀面的研究，文獻(xiàn)［4］對(duì)后刀面的磨削工藝進(jìn)行了研究，給出了磨削周刃后刀面的三種砂輪初始姿態(tài)定義方式；針對(duì)端刃后刀面，文獻(xiàn)［5］提出了一種用于制作具有等法向后角后刀面球頭立銑刀端齒部分的數(shù)學(xué)模型，并計(jì)算了砂輪的位置、方向和干涉的條件。文獻(xiàn)［6］在五軸磨床上設(shè)計(jì)并采用圓錐滾子磨削球頭銑刀后刀面，建立了等間隙角后刀面的數(shù)學(xué)模型，并對(duì)后刀面的不同形狀進(jìn)行了設(shè)計(jì)和優(yōu)化。文獻(xiàn)［7］基于現(xiàn)有的常見五軸數(shù)控磨床傳動(dòng)軸的運(yùn)動(dòng)特點(diǎn)，采用運(yùn)動(dòng)幾何原理，基于正交螺旋“S”形刀刃曲線，分別就磨削球頭立銑刀前刀面和后刀面的刀位軌跡求解模型進(jìn)行了建模。文獻(xiàn)［8］基于已建立的球頭立銑刀前刀面加工數(shù)學(xué)模型，通過分析加工中前刀面與后刀面坐標(biāo)系的空間運(yùn)動(dòng)關(guān)系，根據(jù)微分幾何理論建立了后刀面的加工數(shù)學(xué)模型。文獻(xiàn)［9］基于等導(dǎo)程的球面切削刃螺旋曲線，提出了球頭端刃后刀面的等徑向后角刃磨模型。綜上，目前的球頭后刀面磨削工藝的研究主要關(guān)注于端刃加工，且對(duì)于后刀面的加工工藝研究將端刃與周刃分割開來，導(dǎo)致磨削連貫性不佳，端刃與周刃后刀面銜接表面質(zhì)量低。

針對(duì)上述研究不足，這里研究了利用平行砂輪回轉(zhuǎn)面加工球頭立銑刀后刀面的磨削工藝，并提出了球頭立銑刀端刃及周刃后刀面連續(xù)加工的磨削軌跡算法。該算法主要圍繞周刃偏心型后刀面的磨削工藝展開，通過砂輪磨削姿態(tài)過渡，實(shí)現(xiàn)了后刀面銜接部分的光滑過渡。通過仿真及試驗(yàn)驗(yàn)證可知，該算法在加工效率，后刀面質(zhì)量等方面得到了較為明顯的改善。

2 球頭立銑刀刀刃曲線建模

2.1 周刃建模

前人針對(duì)周刃刀刃曲線模型開展了大量研究［10?11］。這里建立工件坐標(biāo)系Ow?XwYwZw，令Zw軸重疊于刀體軸線，定義周刃起點(diǎn)所在的徑向截面為坐標(biāo)平面XwOwYw，刀具軸線于XwOwYw平面內(nèi)的垂足為坐標(biāo)系原點(diǎn)Ow，如圖1所示。

圖1 周刃刀刃曲線建模示意圖Fig.1 Schematic Diagram of Modeling of Circumferential Blade

以刃線沿Zw軸正方向的運(yùn)動(dòng)量為自變量，不妨設(shè)為z，則建立周刃上任意點(diǎn)P0的坐標(biāo)為：

式中：Rw—刀具回轉(zhuǎn)半徑；Lw—周刃長(zhǎng)度；φ（z）—點(diǎn)P0相對(duì)于Xw軸繞Zw軸的回轉(zhuǎn)角度。

2.2 端刃建模

建立端刃坐標(biāo)系Od?XdYdZd，以刀具回轉(zhuǎn)軸為Zd軸，以球頭端刃刃線起點(diǎn)所在徑向截面為XdOdYd平面，令端刃圓心重合與坐標(biāo)系原點(diǎn)Od。建立該坐標(biāo)系到工件坐標(biāo)系的變換矩陣Td?w如下：

將在端刃坐標(biāo)系下進(jìn)行端刃曲線建模描述：

（1）非正交“S”形刀刃曲線模型

以文獻(xiàn)［12］設(shè)計(jì)的一種具有齒偏中心量h的非正交“S”形球頭刀刃曲線進(jìn)行建模，如圖2所示。

圖2 非正交“S”形球頭刀刃曲線建模示意圖Fig.2 Schematic Diagram of Modeling of Non?Orthogonal“S”Shape Ball Nose Curve Surface

P1d P2d段曲線上刀刃點(diǎn)P0坐標(biāo)可表達(dá)為：

式中：θ—自變量緯度角；

Rd—球頭半徑；

φd（θ）—刀刃點(diǎn)P0處回轉(zhuǎn)角。

如圖3所示，θ其取值范圍為［0，θd］，同時(shí)受齒達(dá)中心量lh的影響，“S”形曲線末點(diǎn)處P2d的緯度角θd為：

圖3 緯度角取值范圍示意圖Fig.3 Schematic Diagram of the Range of Latitude Angle

（2）齒過中心曲線建模

齒過中心曲線段P2dP3d為端刃螺旋刃線末點(diǎn)的延長(zhǎng)線，如圖3（a）所示。由式（3）可求得端刃曲線末點(diǎn)P2d的坐標(biāo)及切矢量Fp，可得齒過中心曲線上任一點(diǎn)P0坐標(biāo)表達(dá)為：

式中：t—自變量。

2.3 后刀面坐標(biāo)系及轉(zhuǎn)換

為實(shí)現(xiàn)后刀面相關(guān)參數(shù)和計(jì)算磨削軌跡的簡(jiǎn)化描述，基于前文定義的刀刃曲線模型，建立坐標(biāo)系如下：

（1）周刃坐標(biāo)系

定義周刃坐標(biāo)系為周刃上的動(dòng)坐標(biāo)系Om?XmYmZm，如圖1所示。將坐標(biāo)系Om?XmYmZm原點(diǎn)Om建立在周刃曲線P0點(diǎn)上，定義坐標(biāo)軸Zm重合于過P0的周刃母線，以刀體軸線過點(diǎn)P0的垂線為Xm軸，Ym軸可由右手定則確定。最終，建立周刃坐標(biāo)系轉(zhuǎn)換到工件坐標(biāo)系的坐標(biāo)變換關(guān)系Tm?w為：

其中，自變量z的取值范圍同式（1）所示。

（2）“S”形曲線坐標(biāo)系

定義坐標(biāo)系Omt?XmtYmtZmt為“S”形曲線坐標(biāo)系，令其為沿非正交“S”形刀刃曲線運(yùn)動(dòng)的動(dòng)坐標(biāo)系，如圖2所示。建立坐標(biāo)原點(diǎn)Omt為非正交“S”形曲線上的點(diǎn)P0，以O(shè)mt點(diǎn)對(duì)應(yīng)的回轉(zhuǎn)體母線切線方向?yàn)閆mt軸，以O(shè)d與點(diǎn)P0的連線為Xmt軸，Ymt同由右手定則確定。則可建立“S”形曲線坐標(biāo)系到端刃坐標(biāo)系的變換矩陣Tmt?d為：

其中，自變量θ的取值范圍同式（3）。

（3）齒過坐標(biāo)系

定義齒過坐標(biāo)系為跟隨齒過中心曲線的活動(dòng)坐標(biāo)系Oms?XmsYmsZms。其以齒過中心曲線刀刃點(diǎn)P0為坐標(biāo)原點(diǎn)Oms，Zms軸平行于非正交“S”形曲線末點(diǎn)的Zmt軸，Yms軸平行于非正交“S”形曲線末點(diǎn)的Ymt軸。同樣，可建立齒過坐標(biāo)系到端刃坐標(biāo)系的矩陣變換Tms?d為：

其中，自變量t的取值范圍同式（5）。

3 砂輪磨削后刀面軌跡計(jì)算

3.1 砂輪初始磨削姿態(tài)及工藝參數(shù)定義

砂輪初始磨削姿態(tài)是指，各項(xiàng)工藝參數(shù)為零時(shí)的砂輪姿態(tài)。各項(xiàng)工藝參數(shù)均以初始姿態(tài)為基準(zhǔn)，對(duì)砂輪實(shí)際磨削姿態(tài)進(jìn)行參數(shù)化調(diào)整。處于計(jì)算砂輪姿態(tài)便捷性及對(duì)磨削連續(xù)性的考慮，分別建立周刃和端刃后刀面的砂輪初始磨削姿態(tài)在其刀刃曲線對(duì)應(yīng)的坐標(biāo)系下。

（1）周刃偏心型后刀面的初始磨削姿態(tài)

由周刃偏心型后刀面的磨削成形原理［4］，定義砂輪端面在初始磨削姿態(tài)下重合于平面XmOmZm，定義抬角α為砂輪端面在平面XmOmZm內(nèi)與Xm軸的夾角（其為關(guān)于周刃后角λm和螺旋角β的參數(shù)），如圖4所示。

圖4 周刃和非正交“S”形部分后刀面砂輪磨削姿態(tài)示意圖Fig.4 Schematic Diagram of Grinding Posture of Peripheral Edge and Non?Orthogonal“S”?Shaped Part of Flank Face Grinding Wheel

（2）端刃非正交“S”形部分后刀面的初始磨削姿態(tài)

如圖5所示，定義砂輪回轉(zhuǎn)面母線在平面XmtOmtZmt內(nèi)的投影與Zmt軸的夾角為緯度角θ，定義“S”形后角λmt為砂輪端面在平面XmtOmtYmt內(nèi)的投影與Ymt軸的夾角。

圖5 齒過中心部分后刀面磨削姿態(tài)示意圖Fig.5 Schematic Diagram of the Grinding Posture of the Flank Face of the Tooth Passing the Center Part

（3）端刃齒過中心部分后刀面的初始磨削姿態(tài)

針對(duì)齒過中心部分后刀面，如下圖所示，令非正交“S”形部分末點(diǎn)P2d的砂輪磨削姿態(tài)為端刃齒過中心部分后刀面的初始磨削砂輪姿態(tài)，定義緯度角θd為砂輪回轉(zhuǎn)面母線在平面XmsOmsZms內(nèi)與Zms軸所成夾角，且定義齒過中心后角λms為砂輪端面在平面XmsOmsYms內(nèi)與Yms軸的夾角。

（4）工藝參數(shù)定義

考慮到實(shí)際加工過程中為控制磨削質(zhì)量，避免干涉，在保證后刀面形貌的同時(shí)砂輪姿態(tài)通常要進(jìn)行一些調(diào)整。定義后刀面的法矢為Fg0，砂輪可繞矢量Fg0旋轉(zhuǎn)砂輪擺角μ避免干涉，如圖6所示。

圖6 砂輪擺角定義示意圖Fig.6 Schematic Diagram of Grinding Wheel Swing Angle Definition

3.2 后刀面連接處的過渡設(shè)置

（1）從周刃和非正交“S”形曲線連接處的砂輪姿態(tài)過渡

根據(jù)初始姿態(tài)定義可知，周刃和端刃部分砂輪磨削姿態(tài)不一致，可能導(dǎo)致后刀面干涉或參數(shù)突變。為了保證磨削過程的流暢，需考慮后刀面連接處的砂輪磨削姿態(tài)過渡。易知，周刃與端刃刃線光滑連接，因此，該點(diǎn)處的周刃坐標(biāo)系重合于“S”形曲線坐標(biāo)系。因此，這里在此處設(shè)置的過渡方式為：夾角α沿某一規(guī)律遞減為0，同時(shí)，砂輪磨削點(diǎn)P0切矢量與Ymt軸在平面XmtOmtYmt內(nèi)的夾角從零以線性規(guī)律變化到圓弧回轉(zhuǎn)面后角λmt，如圖7所示。

圖7 砂輪磨削姿態(tài)過渡示意圖Fig.7 Schematic Diagram of Grinding Wheel Grinding Attitude Transition

（2）后刀面連接處參數(shù)的過渡設(shè)置

實(shí)際生產(chǎn)中各段后刀面結(jié)構(gòu)參數(shù)和工藝參數(shù)會(huì)出現(xiàn)不一致的情況，需要在各段后刀面之間設(shè)置過渡方式。首先根據(jù)每條刃線段的起始點(diǎn)定義磨削參考點(diǎn)。端刃非正交“S”形曲線兩端分別于周刃螺旋線和端刃齒過中心曲線相連接，故定義四個(gè)磨削參考點(diǎn)，分別是：周刃螺旋線起點(diǎn)S1，周刃螺旋線末點(diǎn)S2，端刃非正交“S”形曲線末點(diǎn)S3，端刃齒過中心曲線末點(diǎn)S4，如圖8所示。

圖8 磨削參考點(diǎn)示意圖Fig.8 Schematic Diagram of Grinding Reference Point

此時(shí)，每個(gè)磨削參考點(diǎn)對(duì)應(yīng)的后刀面角度和砂輪擺角參數(shù)名稱，如表1所示。

表1 各磨削參考點(diǎn)后刀面寬度和砂輪擺角參數(shù)名稱Tab.1 Parameter Name of the Flank Width of Each Grinding Reference Point and the Swing Angle of the Grinding Wheel

將參數(shù)在各個(gè)參考點(diǎn)之間的過渡形式描述為線性過渡。從而，周刃、端刃非正交“S”形曲線和齒過中心部分后刀面角度和砂輪擺角過渡的參數(shù)表達(dá)式為：

3.3 磨削軌跡計(jì)算

為簡(jiǎn)化求解過程，這里分別在對(duì)應(yīng)的后刀面坐標(biāo)系下開展砂輪磨削軌跡的相關(guān)計(jì)算，即砂輪圓心點(diǎn)坐標(biāo)Og以及砂輪軸矢量Fg的計(jì)算。這里的磨削軌跡過程主要針對(duì)第一后刀面的加工展開。為統(tǒng)一刀位表達(dá)，結(jié)合磨削過程及式（2）、式（6）~式（8）對(duì)端刃及周刃后刀面在工件系下建立砂輪的磨削軌跡表達(dá)。

（1）周刃后刀面

根據(jù)周刃初始磨削姿態(tài)定義，并考慮到周刃到非正交“S”形曲線連接處的砂輪姿態(tài)過渡，建立砂輪端面圓心點(diǎn)Og在周刃坐標(biāo)系的表達(dá)為：

式中：Rg—砂輪端圓半徑。

同理，砂輪軸矢量Fg在周刃坐標(biāo)系下的表達(dá)如式（12）所示：

（2）端刃非正交“S”形部分后刀面

根據(jù)磨削非正交“S”形端刃后刀面砂輪初始姿態(tài)定義，則在“S”形曲線坐標(biāo)系下的砂輪端面圓心點(diǎn)Og表達(dá)為：

在“S”形曲線坐標(biāo)系下，其砂輪軸矢量單位矢量Fg可表達(dá)為：

（3）齒過中心部分后刀面

根據(jù)端刃齒過中心部分后刀面的砂輪初始姿態(tài)定義可知，齒過坐標(biāo)系下的砂輪端面圓心點(diǎn)Og坐標(biāo)可表達(dá)為：

齒過坐標(biāo)系下，其砂輪軸矢量Fg可表達(dá)為：

（4）添加砂輪擺角后

為便于進(jìn)行計(jì)算，引入繞空間任一單位矢量N=Nxi+Nyj+Nzk旋轉(zhuǎn)角度θ的旋轉(zhuǎn)矩陣通式：

其中，versθ=1?cosθ。

根據(jù)砂輪擺角的定義，在周刃坐標(biāo)系下則有：

其中，后刀面法矢量Fg0在周刃坐標(biāo)系下表達(dá)式為：

端刃部分添加砂輪擺角在對(duì)應(yīng)的坐標(biāo)系下同理。

4 算法驗(yàn)證

這里砂輪磨削軌跡算法的驗(yàn)證流程，如圖9所示。這里基于VC++環(huán)境開發(fā)了一套算法模塊，以實(shí)現(xiàn)球頭立銑刀后刀面的刀位計(jì)算（即Og和Fg的計(jì)算），以及機(jī)床NC的處理。實(shí)現(xiàn)流程為：首先，在參數(shù)列表中輸入磨削球頭后刀面的相關(guān)結(jié)構(gòu)工藝參數(shù)，通過算法模塊，輸出包含砂輪圓心坐標(biāo)及軸矢量的刀位文件；再以刀位文件為輸入，進(jìn)行后置處理，將刀位文件轉(zhuǎn)換為指定數(shù)控機(jī)床的NC代碼。其后置過程在此不在贅述。三維仿真在Veri?cut8.0環(huán)境下實(shí)現(xiàn)，本仿真選用具有4切削刃結(jié)構(gòu)的球頭立銑刀進(jìn)行，仿真設(shè)計(jì)數(shù)據(jù)，如表2所示。

表2 四刃球頭立銑刀后刀面相關(guān)參數(shù)Tab.2 Relevant Parameters of Flank Face of Four-Blade Ball End Mill

圖9 球頭立銑刀后刀面磨削算法驗(yàn)證流程Fig.9 Flowchart of Algorithm Verification of Flank Grinding Trajectory of Ball End Mill

圖10 四刃球頭立銑刀后刀面仿真結(jié)果圖Fig.10 Simulation Results of the Flank Face of a Four?Flute Ball End Mill

實(shí)際加工在精利五軸數(shù)控工具磨床上進(jìn)行，刀具結(jié)構(gòu)參數(shù)測(cè)量在刀具檢測(cè)儀PG?1000 上進(jìn)行，實(shí)物結(jié)果，如圖11 所示。通過刀具檢查儀可以看出，周刃、端刃后刀面實(shí)現(xiàn)了光滑連接。除砂輪安裝位置誤差和砂輪圓角造成的后刀面寬度和角度誤差外，均與設(shè)計(jì)值基本保持一致，滿足精度要求。綜上所述，對(duì)加工實(shí)物進(jìn)行測(cè)量的結(jié)果證明了磨削軌跡算法在實(shí)際加工中的正確性與有效性。

圖11 在刀具檢測(cè)儀上的球頭立銑刀實(shí)物圖Fig.11 The Physical Picture of the Ball End Mill on the Tool Detector

表3 四刃球頭立銑刀實(shí)物參數(shù)測(cè)量結(jié)果Tab.3 Measurement Results of Physical Parameters of Four-Flute Ball End Mills

5 結(jié)論

（1）基于一種具有齒偏中心量的球頭立銑刀刀刃曲線建模和周刃偏心型后刀面成形原理，提出了球頭立銑刀端刃后刀面的磨削工藝，提出了一套得到光滑的偏心型后刀面的砂輪磨削軌跡算法。（2）通過磨削仿真和實(shí)際加工，成功制造了半徑為5mm的四刃球頭立銑刀，且其參數(shù)精度誤差不超過0.4%，驗(yàn)證了該磨削軌跡算法的正確性和有效性。