復(fù)雜地區(qū)缺失地震數(shù)據(jù)高維反假頻重建和去噪方法探討

馬森

（山西省煤炭地質(zhì)一一五勘查院有限公司，山西 大同 037003）

在野外地震數(shù)據(jù)離散采集過程中，為了恢復(fù)完整而規(guī)則的地震信號(hào)，必須遵守奈奎斯特采樣定理的要求，然而由于地震數(shù)據(jù)體的采樣已達(dá)到了五維，數(shù)據(jù)采集面臨巨大的壓力，再加上采集設(shè)備、工作環(huán)境及經(jīng)濟(jì)成本的限制，導(dǎo)致不能夠理想而規(guī)則地布置炮點(diǎn)和檢波點(diǎn)，使得沿空間方向上的地震數(shù)據(jù)通常出現(xiàn)嚴(yán)重的缺失現(xiàn)象，產(chǎn)生空間假頻，這種稀疏分布的地震數(shù)據(jù)難以滿足高分辨地震勘探的需要。在這種情況下，希望能夠發(fā)展一種較好的地震數(shù)據(jù)重建方法，通過利用較少的野外地震數(shù)據(jù)在隨后的處理中重建出理想的完整數(shù)據(jù)，得到同樣的地震勘探效果，這樣既可以突破傳統(tǒng)采樣定理的限制，也可以解決地震道不規(guī)則缺失問題，并且可以壓縮地震數(shù)據(jù)量，滿足后續(xù)其他處理方法的要求。另外，如果有適當(dāng)?shù)母咝手亟ǚ椒?，就可以在野外?shù)據(jù)采集過程中主動(dòng)采集較少的地震道，避開施工盲區(qū)，降低采集成本，提高施工效率。但這種利用極少數(shù)據(jù)來恢復(fù)全部數(shù)據(jù)的問題，從信息重建的地球物理反演角度來說，顯然是不確定的，在數(shù)學(xué)上很難求解。

1 研究背景

目前地震數(shù)據(jù)體的采樣已達(dá)到了五維，對(duì)于缺失嚴(yán)重的地震道，無論是均勻還是非均勻網(wǎng)格采樣，數(shù)據(jù)重建可利用的地震信息較少，無法從多個(gè)信息空間上對(duì)地震數(shù)據(jù)進(jìn)行約束重建，從而導(dǎo)致某個(gè)空間方向地震道缺失嚴(yán)重時(shí)重建效果欠佳[1]。顯然也有必要將本文提出的重建方法推廣到高維數(shù)據(jù)重建中去（大于二維都稱為“高維”），增加其他空間方向的有效波信息，允許從不同空間方向增加更多的地震道參與對(duì)缺失道重建，更能夠反映復(fù)雜地區(qū)地震波場(chǎng)振幅和相位等特征的細(xì)小變化，進(jìn)一步提高其重建精度和效率，滿足工業(yè)化生產(chǎn)的要求。需要說明的是，由于時(shí)間方向（或頻率方向）不需要重建，五維地震數(shù)據(jù)可利用的空間方向信息為四維空間，精確來講，應(yīng)該叫做四維地震數(shù)據(jù)重建，但考慮到還有一維為時(shí)間或者頻率，本文仍然稱之為五維地震數(shù)據(jù)重建。

同時(shí)，由于野外采集到的缺失地震數(shù)據(jù)常常受到高頻隨機(jī)噪聲干擾的影響，進(jìn)一步降低了地震記錄的信噪比和分辨率，嚴(yán)重影響到數(shù)據(jù)重建方法的效果，造成缺失道不能充分重建或者重建后精度較低。而且，在對(duì)不規(guī)則地震數(shù)據(jù)重建過程中，也會(huì)帶來一定程度的隨機(jī)噪聲干擾，導(dǎo)致信號(hào)畸變或者邊緣不光滑現(xiàn)象，也極大地影響到信號(hào)的準(zhǔn)確成像和波場(chǎng)歸位，這就需要在數(shù)據(jù)重建過程中對(duì)隨機(jī)噪聲進(jìn)行適當(dāng)壓制，提高重建算法的精度和效率。盡管目前許多學(xué)者提出了高效率的數(shù)據(jù)重建和噪聲壓制方法，然而大部分有效的數(shù)據(jù)重建方法與噪聲壓制方法都是單獨(dú)分開進(jìn)行處理，缺少能夠同時(shí)進(jìn)行地震數(shù)據(jù)重建和噪聲壓制方法，并且可以具有反假頻重建能力[2]。

其實(shí)，數(shù)據(jù)重建也是一個(gè)不斷去除不規(guī)則或規(guī)則缺失道所引起的噪聲干擾過程，盡管與噪聲壓制有不同的輸出，但它們都是以提高信噪比為相同目的。因此，本文試圖將隨機(jī)噪聲壓制技術(shù)和反假頻數(shù)據(jù)重建方法進(jìn)行統(tǒng)一，使本文提出的重建方法能夠同時(shí)進(jìn)行反假頻數(shù)據(jù)重建和噪聲壓制，提高整體數(shù)據(jù)處理水平。

基于以上問題，本文擬采用傅里葉變換作為稀疏表示基，引入凸集投影等算法，構(gòu)建新的閾值參數(shù)公式，定義加權(quán)算子，充分利用多維空間信息，實(shí)現(xiàn)均勻采樣網(wǎng)格下缺失地震數(shù)據(jù)的高維同時(shí)重建和去噪方法；在此基礎(chǔ)上針對(duì)非均勻網(wǎng)格采樣重建問題，引入非均勻傅里葉變換，實(shí)現(xiàn)非均勻網(wǎng)格采樣下缺失地震數(shù)據(jù)的高維同時(shí)重建和去噪方法；同時(shí)提出利用全頻段數(shù)據(jù)建立反假頻和去噪機(jī)制，最終實(shí)現(xiàn)均勻網(wǎng)格和非均勻網(wǎng)格采樣下缺失地震數(shù)據(jù)的高維同時(shí)反假頻重建和去噪方法，以便解決復(fù)雜地區(qū)中遇到的實(shí)際缺失問題，進(jìn)一步節(jié)省成本，提高施工效率。

2 研究?jī)?nèi)容、目標(biāo)及擬解決的關(guān)鍵科學(xué)問題

2.1 項(xiàng)目研究?jī)?nèi)容

建立一個(gè)具有實(shí)際意義的地質(zhì)模型，設(shè)計(jì)不同的采集參數(shù)，采用聲波有限差分方法進(jìn)行模擬，得到本文研究所需要的高維地震數(shù)據(jù)體；再對(duì)它進(jìn)行隨機(jī)或者規(guī)則欠采樣，模擬出野外數(shù)據(jù)采集時(shí)炮點(diǎn)與檢波點(diǎn)缺失過程，并加上高斯隨機(jī)噪聲作為理論缺失地震數(shù)據(jù)；然后采用本文的同時(shí)數(shù)據(jù)重建和去噪方法對(duì)缺失道地震數(shù)據(jù)進(jìn)行處理，檢驗(yàn)本文方法的優(yōu)勢(shì)與不足。

選擇傅里葉變換作為稀疏表示基，在L1 范數(shù)約束條件下，引入凸集投影等算法，并在討論傳統(tǒng)閾值參數(shù)與迭代收斂速度之間關(guān)系的基礎(chǔ)上，提出新的閾值參數(shù)選取策略，分析其誤差，完善算法精度，在完成二維數(shù)據(jù)重建方法的基礎(chǔ)上，逐步將該重建方法擴(kuò)展到五維數(shù)據(jù)重建中去，實(shí)現(xiàn)五維地震數(shù)據(jù)重建方法。同時(shí)采用相鄰迭代重建結(jié)果誤差能量與前一次迭代結(jié)果能量的比值來衡量缺失道的恢復(fù)程度及檢驗(yàn)不同頻率成分的重建情況。

在實(shí)現(xiàn)基于凸集投影算法的高維地震數(shù)據(jù)重建方法過程中，通過對(duì)原始待重建數(shù)據(jù)定義加權(quán)算子策略，使得在迭代過程中噪聲觀測(cè)值部分參與重建，在一定程度上對(duì)噪聲進(jìn)行壓制，從而在均勻網(wǎng)格采樣下，實(shí)現(xiàn)五維同時(shí)數(shù)據(jù)重建和去噪，提高數(shù)據(jù)重建后的精度。

引入高維非均勻快速傅里葉變換，采用凸集投影算法求解病態(tài)的欠定方程組，通過利用高維空間方向的有效信息，在非均勻網(wǎng)格采樣下實(shí)現(xiàn)基于五維地震數(shù)據(jù)同時(shí)重建和去噪，更加精確地重建出復(fù)雜地區(qū)地震波場(chǎng)的振幅和相位等特征的細(xì)小變化，并對(duì)比分析其重建效果，進(jìn)一步完善算法的精度。

由于常規(guī)凸集投影算法不具有反假頻能力，并且去噪也不徹底[3]。為此，擬在頻率波數(shù)域上，利用全頻段數(shù)據(jù)建立同時(shí)反假頻和去噪機(jī)制，形成與原始有效波相對(duì)應(yīng)的Mаsk 函數(shù)，并將它融入到凸集投影算法中，彌補(bǔ)凸集投影算法反假頻和去噪不徹底的缺陷，在均勻網(wǎng)格和非均勻網(wǎng)格采樣下實(shí)現(xiàn)高維同時(shí)反假頻重建和去噪，從而使得該方法在反假頻的基礎(chǔ)上重建出規(guī)則而完整的地震數(shù)據(jù)，并去除隨機(jī)噪聲，提高精度。

在傳統(tǒng)凸集投影算法的基礎(chǔ)上，為了形成對(duì)比，引入線性Brеgmаn 方法，增加L2 范數(shù)約束條件，得到一個(gè)新的迭代正則化模型來求解凸優(yōu)化問題，并選擇合適的步長(zhǎng)和新的投影函數(shù)，提出新的L1 范數(shù)和L2范數(shù)之間的權(quán)衡因子，進(jìn)一步提高重建精度和運(yùn)算速度。

2.2 目標(biāo)及擬解決的關(guān)鍵科學(xué)問題

針對(duì)復(fù)雜地區(qū)地震勘探成本過大、數(shù)據(jù)采集量過高、地震道容易缺失等問題，首先，引入凸集投影算法，以快速傅里葉變換和非均勻快速傅里葉變換作為稀疏表示基，并采用加權(quán)因子進(jìn)行噪聲壓制；然后，利用全頻段地震數(shù)據(jù)進(jìn)行反假頻數(shù)據(jù)重建；最終，系統(tǒng)完善復(fù)雜地區(qū)缺失地震數(shù)據(jù)的高維反假頻重建和隨機(jī)噪聲壓制方法。

擬解決的關(guān)鍵科學(xué)問題如下：①選擇傅里葉變換作為稀疏表示基時(shí)，如何得出凸集投影算法或線性Brеgmаn 算法中的最優(yōu)參數(shù)設(shè)置，使得在稀疏變換域L1 范數(shù)下或L1 和L2 范數(shù)約束下得出最優(yōu)解，并且當(dāng)重建維數(shù)達(dá)到五維時(shí)，如何提高算法運(yùn)行速度，使得在一定誤差范圍之內(nèi)重建出完整而規(guī)則的地震數(shù)據(jù)；②如何選取加權(quán)算子，設(shè)置閾值參數(shù)公式，使得本文方法能夠在去除隨機(jī)噪聲的同時(shí)實(shí)現(xiàn)快速高精的高維地震數(shù)據(jù)重建；③當(dāng)野外數(shù)據(jù)采樣網(wǎng)格非均勻時(shí)，需要引入非均勻快速傅里葉變換求取傅里葉系數(shù)，而當(dāng)空間非均勻地震道少于預(yù)期的傅里葉系數(shù)時(shí)，求解欠定的病態(tài)方程，如何求解這個(gè)欠定方程則是本文又一個(gè)較為關(guān)鍵的問題；④利用全頻段數(shù)據(jù)進(jìn)行同時(shí)反假頻重建和去噪時(shí)，如何在頻率波數(shù)域進(jìn)行傾角掃描拾取弱有效波能量，當(dāng)建立了Mаsk 函數(shù)后，如何融入到凸集投影算法，得到時(shí)空域無假頻和去噪后的地震數(shù)據(jù)。

3 技術(shù)路線

在野外采集過程中，地震數(shù)據(jù)經(jīng)常會(huì)出現(xiàn)地震道嚴(yán)重缺失和隨機(jī)噪聲干擾問題，這對(duì)后期的資料處理和資料解釋產(chǎn)生極大的困擾。需要使用技術(shù)手段對(duì)不規(guī)則缺失的地震數(shù)據(jù)進(jìn)行重建，并且引入非均勻快速傅里葉變換，在非均勻網(wǎng)格采樣下實(shí)現(xiàn)地震數(shù)據(jù)同時(shí)反假頻重建和去噪，最終實(shí)現(xiàn)對(duì)地震數(shù)據(jù)的還原，為后期的工作提供良好的基礎(chǔ)。

根據(jù)研究?jī)?nèi)容的特點(diǎn)，擬采用理論分析、正反演計(jì)算、數(shù)值模擬與實(shí)際應(yīng)用相結(jié)合的研究方法，建立和完善復(fù)雜地區(qū)缺失地震數(shù)據(jù)的高維同時(shí)反假頻重建和去噪方法，探討該方法的應(yīng)用效果，具體的研究技術(shù)路線如下。

首先，建立一個(gè)具有實(shí)際意義的復(fù)雜三維地質(zhì)模型，設(shè)計(jì)不同的采集參數(shù)，其中炮距和道距的采樣網(wǎng)格較密，遠(yuǎn)遠(yuǎn)滿足采樣定理的要求，便于后續(xù)抽成非均勻網(wǎng)格采樣并形成對(duì)比；然后，采用聲波有限差分方法進(jìn)行計(jì)算，模擬出正演地震記錄，并將它抽道選排，得到本文研究所需要的高維地震數(shù)據(jù)體。由于時(shí)間方向上不需要重建，因此可對(duì)時(shí)間切片進(jìn)行不同維數(shù)的規(guī)則或者非規(guī)則欠采樣，模擬出炮點(diǎn)與檢波點(diǎn)缺失過程，然后采用本文所提方法進(jìn)行缺失道數(shù)據(jù)重建和噪聲壓制，并且將重建后的地震數(shù)據(jù)進(jìn)行處理得到疊加剖面，再與實(shí)際的地質(zhì)模型進(jìn)行對(duì)比分析，檢驗(yàn)本文重建方法的優(yōu)勢(shì)與不足。

引入凸集投影算法，采用傅里葉變換作為稀疏基，通過多次迭代運(yùn)算將缺失地震道重建出來，得到基于凸集投影的地震數(shù)據(jù)重建方法，并分析該算法的效率與精度。在傳統(tǒng)閾值參數(shù)的基礎(chǔ)上提出新的閾值參數(shù)，不斷完善算法，得出欠定方程的最優(yōu)解。并在此基礎(chǔ)上，將該方法擴(kuò)展到五維數(shù)據(jù)重建中，增加其他四維空間方向的信息參與重建，在均勻網(wǎng)格采樣下，得到基于凸集投影算法的五維地震數(shù)據(jù)重建方法，進(jìn)一步提高重建算法的精度。同時(shí)采用第K次與第K－1 次迭代結(jié)果誤差能量與第K－1 次迭代結(jié)果能量的比值來進(jìn)行重建質(zhì)量控制及衡量缺失道的恢復(fù)程度，從而可以檢驗(yàn)例如去掉多少地震道（炮）、連續(xù)缺失多少道、不同頻率成分及不同噪聲情況下的重建精度情況。

由于傳統(tǒng)基于凸集投影算法的五維地震數(shù)據(jù)重建方法不能同時(shí)壓制噪聲，而采集到的地震數(shù)據(jù)往往包括高頻隨機(jī)噪聲干擾，影響到后續(xù)包括數(shù)據(jù)重建在內(nèi)的處理方法效果[4]。因此，通過對(duì)原始待重建數(shù)據(jù)定義加權(quán)算子策略，使得在迭代過程中噪聲觀測(cè)值部分參與重建；并且隨著迭代次數(shù)的增加，噪聲觀測(cè)值所占的比例越來越少，在一定程度上對(duì)噪聲進(jìn)行了壓制，在均勻網(wǎng)格采樣下實(shí)現(xiàn)缺失地震數(shù)據(jù)的五維同時(shí)重建和噪聲壓制方法，提高數(shù)據(jù)重建后的精度和質(zhì)量。需要說明的是，由于陸地地震數(shù)據(jù)采集面波能量較強(qiáng)，在采用凸集投影算法進(jìn)行迭代計(jì)算時(shí)，不能有效地拾取有效波能量，并且對(duì)后續(xù)反假頻方法也具有較大的影響，因此本文的噪聲壓制重點(diǎn)指隨機(jī)噪聲干擾。

在形成均勻網(wǎng)格采樣下基于凸集投影算法和噪聲壓制的地震數(shù)據(jù)重建方法的基礎(chǔ)上，引入非均勻快速傅里葉變換，采用稀疏促進(jìn)反演策略，在非均勻網(wǎng)格采樣下實(shí)現(xiàn)同時(shí)數(shù)據(jù)重建和噪聲壓制方法，并將該方法推廣到五維地震數(shù)據(jù)中，達(dá)到工業(yè)化應(yīng)用目的。由于快速傅里葉變換是在均勻采樣網(wǎng)格下進(jìn)行處理的，如果直接處理非均勻網(wǎng)格采樣的數(shù)據(jù)，則不會(huì)產(chǎn)生精確的傅里葉系數(shù)，導(dǎo)致重建效果極差；然而可以采用非均勻快速傅里葉變換替代空間均勻快速傅里葉變換，從而可以將傅里葉系數(shù)與空間非均勻網(wǎng)格采樣的地震道建立方程。但欠采樣得到的非均勻網(wǎng)格采樣的地震道一般少于預(yù)期的傅里葉系數(shù)；該方程為欠定的病態(tài)方程，可以通過凸集投影等算法進(jìn)行求解，得到均勻網(wǎng)格采樣下的傅里葉系數(shù)；然后再進(jìn)行均勻傅里葉反變換，從而重建出缺失地震道，并且將不均勻采樣網(wǎng)格歸位為均勻采樣網(wǎng)格。同樣在數(shù)據(jù)重建過程中，可將該方法擴(kuò)展到五維空間中，增加其他空間方向上的信息，最終在非均勻網(wǎng)格采樣下實(shí)現(xiàn)缺失地震數(shù)據(jù)的五維同時(shí)重建和噪聲壓制方法。

傳統(tǒng)基于凸集投影算法的重建方法只能重建出不規(guī)則缺失地震道，而缺失道較為規(guī)則或者缺失道較為嚴(yán)重時(shí)可能容易形成幅度與有效頻譜相當(dāng)?shù)囊?guī)則假頻，此時(shí)傳統(tǒng)基于凸集投影算法的重建方法則無能無力，也就是不具有反假頻能力，并且去噪過程中，還有部分地震道噪聲參與迭代，使得去噪能力有限。為此，本文假設(shè)地震數(shù)據(jù)近似為線性同相軸的前提下，采用傅里葉變換將時(shí)空域地震數(shù)據(jù)轉(zhuǎn)換到頻率波數(shù)域中。首先，從頻率波數(shù)域的原點(diǎn)位置開始，突破傳統(tǒng)利用無假頻的低頻信號(hào)來預(yù)測(cè)有假頻的高頻信號(hào)的反假頻方式，在全頻段范圍內(nèi)采用傾角掃描的方法確定主要同相軸能量，由于在頻率波數(shù)域具有對(duì)稱的特點(diǎn)，只需要對(duì)正頻率進(jìn)行掃描計(jì)算；其次，依據(jù)有效波能量的分布情況在頻率波數(shù)域中建立Mаsk 函數(shù)，在Mаsk 函數(shù)中，有效波能量區(qū)域的值都設(shè)置為1，其他區(qū)域能量都設(shè)置為0，這樣可以保存原始信號(hào)，消除假頻干擾，并且進(jìn)一步壓制噪聲；最后，將Mаsk 函數(shù)融入凸集投影算法中，通過多次迭代反演運(yùn)算，即可得到時(shí)空域的規(guī)則無假頻和去噪徹底后的地震數(shù)據(jù)。對(duì)于非線性同相軸，可以在時(shí)空域設(shè)置不同的空間窗口，使得在較小空間窗口內(nèi)滿足同相軸近似線性的前提假設(shè)條件，并且每個(gè)窗口的地震道互相重疊一部分[5]，盡管會(huì)影響到計(jì)算速度，但可以保證在整個(gè)重建過程中的連續(xù)性。同樣也可將該方法推廣到五維數(shù)據(jù)重建和去噪中，進(jìn)一步提高處理效果。

凸集投影算法主要是基于L1 范數(shù)約束條件，重建后的光滑性下降，為此嘗試引入L1 和L2 范數(shù)約束下的高效率線性Brеgmаn 方法，以便形成對(duì)比。線性Brеgmаn 算法可以得到一個(gè)新的迭代正則化模型來求解凸優(yōu)化問題，在L1 和L2 范數(shù)約束下，通過模擬測(cè)試對(duì)比，選擇不同的計(jì)算步長(zhǎng)和新的投影函數(shù)，提出新的權(quán)衡因子公式來調(diào)節(jié)L1 和L2 范數(shù)的約束比例，使得重建和去噪后的同相軸更為光滑連續(xù)，進(jìn)一步提高重建精度和運(yùn)算速度，再與凸集投影算法進(jìn)行比較。

4 結(jié)束語

將理論研究成果應(yīng)用于實(shí)際地震資料，通過重建和去噪前后的效果對(duì)比，檢驗(yàn)該方法的適用性，并且針對(duì)實(shí)際數(shù)據(jù)量巨大，處理速度較慢的缺點(diǎn)，擬采用并行機(jī)進(jìn)行計(jì)算，檢測(cè)該重建方法及軟件的有效性，并反饋于理論研究中，完善與修改算法參數(shù)，最終應(yīng)用于實(shí)際生產(chǎn)中。