2023年四省聯(lián)考第16題的若干思考

黃 雨 顧 飛

(安徽淮南第二中學(xué))

通過對2023年四省聯(lián)考第16題的分析,確立對邏輯推理問題的有效解法.本次四省聯(lián)考體現(xiàn)了新高考的大方向,突出數(shù)學(xué)學(xué)科在新高考中的選拔功能.

一、真題再現(xiàn)

【例題】如圖為一個(gè)開關(guān)陣列,每個(gè)開關(guān)只有“開”和“關(guān)”兩種狀態(tài),按其中一個(gè)開關(guān)1次,將導(dǎo)致自身和所有相鄰的開關(guān)改變狀態(tài).例如,按(2,2)將導(dǎo)致(1,2),(2,1),(2,2),(2,3),(3,2)改變狀態(tài).如果要求只改變(1,1)的狀態(tài),則需按開關(guān)的最少次數(shù)為________.

(1,1)(1,2)(1,3)(2,1)(2,2)(2,3)(3,1)(3,2)(3,3)

【解析】筆者查閱了網(wǎng)上的各種解法,大多比較拖沓冗長,難以理解,更有人說是大學(xué)的布爾代數(shù)理論,但筆者認(rèn)為,并沒有這么高深.下面筆者采用圖表法,輕松搞定.

有兩個(gè)關(guān)鍵點(diǎn)要明確:

(1)每個(gè)開關(guān)最多按一次,因?yàn)榘磁紨?shù)次和不按是一樣的,按奇數(shù)次和按一次是一樣的,要想按開關(guān)次數(shù)最少,則開關(guān)最多按一次.把開關(guān)按一次記為灰色(如圖1中,(1,1),(1,2)),不按不變色.

(2)如果一個(gè)開關(guān)自身和相鄰的開關(guān)灰色的個(gè)數(shù)為奇數(shù)個(gè),則開關(guān)改變(如圖1中,(2,1),(2,2),(1,3)),如果為偶數(shù)個(gè),則開關(guān)不改變(如圖1,(1,1),(1,2)).

圖1

明確了上面兩個(gè)關(guān)鍵點(diǎn),下面開始分析:

1.首先分析(1,1)要不要按,與它相鄰的(含自身)有三個(gè)開關(guān),分別是(1,1),(1,2),(2,1),根據(jù)對稱性,要么只按(1,1),要么三個(gè)都按,按其他的兩個(gè)對(1,1)沒有影響.

2.如果三個(gè)都按,如圖2(1),顯然(1,1),(1,3),(3,1)改變,其他都不變,要想(1,3)不變,只有按(2,3),如圖2(2).此時(shí)(2,2)變了,若要其不變,只有按(3,2),如圖2(3),此時(shí)(2,3),(3,2)改變,行不通.

圖2(2)

圖2(3)

3.如果只按(1,1),如圖3(1),顯然(1,1),(1,2),(2,1)都變了,若要(1,2)不變,則按(1,3),如圖3(2),此時(shí)(1,3),(2,3)變了.若要(1,3),(2,3)不變,則需按(2,3),同理,若要(2,1)不變,根據(jù)對稱性需要按(3,1),(3,2),如圖3(3),滿足條件.故最少5次.

圖3(1)

圖3(2)

圖3(3)

二、題后思考

(1)這題考查了什么?

(2)學(xué)生如何才能把問題等價(jià)轉(zhuǎn)換成上述兩個(gè)關(guān)鍵點(diǎn)?

(3)既然是四省適應(yīng)性考試,這題具有怎樣的方向性?

若要回答上述問題,我們還是來仔細(xì)閱讀《中國高考評價(jià)體系》.《中國高考評價(jià)體系》明確了“一核”“四層”“四翼”的概念及其內(nèi)涵,回答了“為什么考”,“考什么”,“怎么考”的問題.

1.從“四翼”來看

“四翼”為考查要求,即“基礎(chǔ)性、綜合性、應(yīng)用性、創(chuàng)新性”,回答了“怎么考”的問題.高考關(guān)注與創(chuàng)新密切相關(guān)的能力和素養(yǎng),考查學(xué)生探索新方法、積極主動(dòng)解決問題的能力,鼓勵(lì)學(xué)生擺脫思維定式的束縛,勇于大膽創(chuàng)新.

本題以真實(shí)情境為背景,通過考查對開關(guān)變化規(guī)律的分析,探索題目中所隱藏的規(guī)律性,大膽創(chuàng)新解決問題的方法,符合高考對創(chuàng)新性的考查.

2.從“四層”來看

“四層”為考查內(nèi)容,即“核心價(jià)值、學(xué)科素養(yǎng)、關(guān)鍵能力、必備知識”,回答了“考什么”的問題.必備知識的積累是形成關(guān)鍵能力和學(xué)科素養(yǎng)的基礎(chǔ),關(guān)鍵能力是以必備知識的學(xué)習(xí)探究為載體培養(yǎng)出來的.

本題考查了命題與邏輯推理等必備知識,以及數(shù)學(xué)學(xué)科的多項(xiàng)關(guān)鍵能力.第一、信息識別與獲取的能力,根據(jù)問題情境的需要對開關(guān)陣列進(jìn)行加工處理,分析其變化內(nèi)容.第二、數(shù)學(xué)抽象與概括能力,對開關(guān)變化產(chǎn)生的規(guī)律進(jìn)行總結(jié),等價(jià)轉(zhuǎn)化成圖形特征.第三、邏輯推理與論證能力,通過對(1,1)開關(guān)的討論,分析出最優(yōu)的設(shè)計(jì)方案.

3.從“一核”來看

“一核”為考查目的,即“立德樹人、服務(wù)選才、引導(dǎo)教學(xué)”,回答了“為什么考”的問題.本題為四省適應(yīng)性訓(xùn)練,參照新高考的要求,加入復(fù)雜情境,突出數(shù)學(xué)思維方法,強(qiáng)調(diào)育人價(jià)值,故對我們今后的教學(xué)和學(xué)習(xí)指出了方向——全面落實(shí)立德樹人要求,深化數(shù)學(xué)學(xué)科育人價(jià)值.

三、延伸應(yīng)用

【例題】某學(xué)校舉辦數(shù)學(xué)競賽,A,B,C,D,E五位同學(xué)得到了前五名.發(fā)獎(jiǎng)前,老師讓他們自己猜一猜各人的名次排列情況.

A說:B第三名,C第五名;

B說:E第四名,D第五名;

C說:A第一名,E第四名;

D說:C第一名,B第二名;

E說:A第三名,D第四名.

老師說,每個(gè)名次都有人猜對,問這五位同學(xué)的名次如何?

【解析】因?yàn)殛P(guān)系很多,比較散亂,我們還是通過列表的方式解決,把相關(guān)信息列成圖表如圖4(1).

圖4(1)

首先明確:正確的涂灰色,錯(cuò)誤不涂色,如圖4(2).

圖4(2)

由題意,每個(gè)名次都有人猜對,所以由表可知,第四名為E?第五名為D?第一名為C?第三名為A?第二名為B.

【點(diǎn)評】將獲取的信息進(jìn)行加工,通過等價(jià)轉(zhuǎn)化,將信息表格化,這樣能直觀地分析出相互之間的邏輯關(guān)系.

【變式】一次考試共考了語文、英語、數(shù)學(xué)、物理和化學(xué)五科,每科滿分5分(等級分),其余等級依次為4,3,2,1.已知某5個(gè)學(xué)生按總分由多到少的名次排列是A,B,C,D,E,且滿足下列條件:

①在同一科目中及總分中沒有得到同樣分?jǐn)?shù)的人;

②A的總分是24分;

③C有四門得到相同分?jǐn)?shù);

④E的物理得5分,語文得3分;

⑤D的化學(xué)得4分.

試求出題中未直接給出的每人的其他各科成績.

【解析】根據(jù)題意把信息列成表格,如圖5(1),根據(jù)圖表信息進(jìn)行填充.

圖5(1)

A總分為24分,滿分是25分,所以只有一門是4分,只能是物理,如圖5(2)灰色部分.

C有四門分?jǐn)?shù)相同,且總分在第三名位置,只能是3分,且為后四門,如圖5(2)灰色部分.

B的總分在第二的位置,故前三門為4分,如圖5(2)灰色部分.

圖5(2)

根據(jù)總分的排序,D的英語、數(shù)學(xué)只能是2分,E的外語、數(shù)學(xué)只能是1分,如圖5(3)灰色部分.

圖5(3)

E的化學(xué)只能是1分,如果是2分,D最大只能和E相同,矛盾,故E的化學(xué)只能是1分,那么D的語文、物理都是2分,剩下的直接填涂,如圖5(4)灰色部分.

圖5(4)

【點(diǎn)評】當(dāng)信息量很大時(shí),通常使用圖表的方法,能夠直觀的把關(guān)鍵性信息呈現(xiàn)出來,通過對圖表內(nèi)信息的篩選來確定邏輯推理的方向.從本質(zhì)上講即是:收集信息→提煉信息→等價(jià)轉(zhuǎn)化→合理推斷→得到結(jié)果.

本次四省適應(yīng)性考試指出了高考的大方向,通過設(shè)置復(fù)雜情境問題,考查數(shù)學(xué)思維方法,突出數(shù)學(xué)學(xué)科在新高考中的選拔功能.常規(guī)的刷題和模型化的學(xué)習(xí)已經(jīng)不再適應(yīng)新高考的要求,要深入理解數(shù)學(xué)知識本質(zhì),經(jīng)歷知識發(fā)生發(fā)展的過程,這樣才能避免因?yàn)閺?fù)雜情境問題而產(chǎn)生的困境.

本文系2021年度安徽省教育科學(xué)研究項(xiàng)目“基于數(shù)學(xué)實(shí)驗(yàn)課程建設(shè)下的高中生數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)品質(zhì)的培養(yǎng)與評價(jià)研究”的研究成果,項(xiàng)目編號為JK21099.