變壓器繞組梯形等效電路頻率響應的稀疏列表算法研究

王 薇，王 松，曾鑫海，岳 潔，董 瑋，楊 彬

（1.西北農(nóng)林科技大學動力與電氣系，陜西楊凌 712100；2.國網(wǎng)陜西電力科學研究院，陜西西安 710100）

0 引言

變壓器是電力系統(tǒng)中實現(xiàn)能量傳遞與轉(zhuǎn)換的關鍵設備。國內(nèi)相關研究統(tǒng)計顯示，繞組變形是直接或間接導致變壓器故障的主要原因[1]。準確掌握變壓器繞組的狀態(tài)，盡早發(fā)現(xiàn)并排除存在的隱患，有助于避免較大事故的發(fā)生，對維護電網(wǎng)的安全運行，保障電力的穩(wěn)定供應具有重要意義[2-4]。

在眾多變壓器繞組變形診斷方法中，頻率響應分析（Frequency Response Analysis，F(xiàn)RA）法因其靈敏度高、設備簡單、測量重復性好等特點，得到廣泛應用[5-10]。目前，國內(nèi)外學者將變壓器繞組等效模型分為黑箱模型與物理模型。黑箱模型是將變壓器當作一個封閉網(wǎng)絡，通過數(shù)值方程反映該網(wǎng)絡的外端口特性，以實現(xiàn)變壓器繞組建模分析[11]。物理模型可分為多導體傳輸線模型、集總參數(shù)等效電路模型及混合參數(shù)模型。多導體傳輸線模型主要應用于變壓器繞組的過電壓分析[12]和局部放電[13]等研究中?；旌蠀?shù)模型將繞組的一個線餅看成一條傳輸線，專用于分析變壓器特快速暫態(tài)響應[14]。梯形等效電路模型是以繞組的一個或多個線餅為單元建立的模型，建模與參數(shù)計算容易，因此在繞組變形診斷領域得到了廣泛應用。劉利鵬等[15]使用PSPICE 軟件建立了單繞組的梯形等效電路，研究了不同類型元件的參數(shù)變化對FRA 曲線的影響。在文獻[16]中，作者利用Simplorer 軟件搭建了繞組的梯形等效電路并計算了FRA 曲線。任富強等[17]提出了一種計算雙繞組變壓器梯形等效模型頻率響應的矩陣方法。崔迎等[18]提出了用于掃頻阻抗法的變壓器繞組等效電路模型。Zhang H 等[19]提出了考慮鐵芯頻變特性的雙繞組梯形等效電路模型，并利用節(jié)點電壓法計算得到了FRA 曲線。朱明林[20]利用視察法建立了繞組梯形等效電路方程，并計算了FRA 曲線。文獻[15-20]中所描述的算法能夠準確計算繞組等效電路的頻率響應，但也存在以下兩方面的問題：第一，對支路類型存在過多限制，如節(jié)點電壓法不允許存在無伴電壓源支路，且規(guī)定的廣義支路不允許存在受控電壓源等[21]。第二，最后直接求解得到的僅為等效電路各節(jié)點的電壓向量，如需獲取各支路的電流向量、各支路的電壓向量仍需依據(jù)拓撲關系進行二次求解[22]。

因此，本文采用稀疏列表法計算雙繞組變壓器梯形等效電路的頻率響應。首先，將等效電路中每一個元件作為一條支路，根據(jù)各元件的電壓、電流約束關系，以支路電壓、支路電流和節(jié)點電壓作為未知量，建立繞組等效電路矩陣方程。其次，對該方程求解，并根據(jù)不同頻率響應測試接線特點，選擇對應位置的節(jié)點電壓，計算等效電路模型在不同接線方式下的FRA 曲線。再次，利用Multisim 軟件對該等效電路建模，并計算其FRA 曲線。最后，通過對比2 種方法計算得到的FRA 曲線在整個頻帶范圍內(nèi)的相關系數(shù)與標準差指標，驗證所述方法的正確性。

1 基于列表法的繞組梯形等效電路方程計算

1.1 變壓器梯形等效電路及其有向圖

以單個線餅為單元，建立雙繞組變壓器的梯形等效電路如圖1 所示[23]。該模型含有m個單元，包含的電氣參數(shù)分別為高壓、低壓對地電容Cgh（1）～Cgh（m+1）和Cgl（1）～Cgl（m+1），高壓、低壓對地電導Ggh（1）～Ggh（m+1）和Ggl（1）～Ggl（m+1），高壓、低壓縱向電容Csh（1）～Csh（m）和Csl（1）～Csl（m），高壓、低壓并聯(lián)電導Gsh（1）～Gsh（m）和Gsl（1）～Gsl（m），高壓、低壓串聯(lián)電感Lsh（1）～Lsh（m）和Lsl（1）～Lsl（m），高壓、低壓串聯(lián)電阻Rsh（1）～Rsh（m）和Rsl（1）～Rsl（m），高低壓繞組間并聯(lián)電容Chl（1）～Chl（m+1），高低壓繞組間并聯(lián)電導Ghl（1）～Ghl（m+1），高壓繞組各餅間互感MHV，低壓繞組各餅間互感MLV，高、低壓繞組間各餅互感MHL。

圖1 雙繞組變壓器梯形等效電路模型Fig.1 Ladder equivalent circuit model of two-winding transformer

與傳統(tǒng)的節(jié)點電壓法、回路電流法及割集電壓法不同，列表法不采用廣義支路，而是以每一元件作為1 條支路。為便于理解，并方便下文基于列表法的電路方程推導，將圖1 表示為如圖2 所示的有向圖。圖2 中箭頭所指方向為電流方向，取各支路電流方向為關聯(lián)參考方向。以接地點作為零電位參考點，含有m個單元的雙繞組梯形等效電路模型的獨立節(jié)點總數(shù)為4m+2（紫色），支路總數(shù)為14m+6（紅色）。

圖2 雙繞組變壓器梯形等效電路對應有向圖Fig.2 Directed graph of two-winding transformer ladder equivalent circuit

1.2 繞組等效電路的稀疏列表方程推導

1.2.1 支路電流與節(jié)點電壓方程的建立

根據(jù)基爾霍夫電流定律（Kirchhof’s Current law，KCL）與基爾霍夫電壓定律（Kirchhoff’s Voltage Law，KVL），按照圖2 箭頭所指電流方向，即支路電壓參考方向，可得如下的方程矩陣形式[20-21]：

式中：A為關聯(lián)矩陣；I為電流矩陣；B為A的轉(zhuǎn)置[21]；U為電壓矩陣；Un為節(jié)點電壓矩陣。

其中A表示支路與節(jié)點間的關系，其維數(shù)為（4m+2）×（14m+6），其中非零元素個數(shù)為24m+8。m越大，矩陣A的非零元素將遠遠小于零元素，因此，矩陣A為一個稀疏矩陣。因此，式（2）又可以寫成：

1.2.2 支路約束方程的建立

實施鄉(xiāng)村振興戰(zhàn)略是新時代做好“三農(nóng)”工作的總抓手，是解決新時代新矛盾的創(chuàng)新之舉，是實現(xiàn)全面建成小康社會的有力保障。實施鄉(xiāng)村振興戰(zhàn)略的總體要求是“產(chǎn)業(yè)興旺、生態(tài)宜居、鄉(xiāng)風文明、治理有效、生活富裕”，要貫徹落實好這些目標任務，在實施過程中須深化認識、延伸思維。

根據(jù)歐姆定律，列寫每條支路的約束（Voltage Current Resistance，VCR）方程。對于電阻或電感支路，用阻抗形式描述；對于電導或電容支路，用導納形式描述。對于第b條支路存在的約束關系為：

式中：Ub，Ib分別為第b條支路電壓和支路電流；Zb，Yb分別為第b條支路阻抗與支路導納。

將圖1 中所有支路的約束方程表示出來，可得如下等式[22]：

式中：Us=[Us（1），Us（2），…，Us（14m+6）]T為各支路的獨立電壓源向量；Is=[Is（1），Is（2），…，Is（14m+6）]T為獨立電流源向量；H，F(xiàn)為系數(shù)矩陣。

根據(jù)圖2 中各支路的編號順序，矩陣H與F具體為：

式中：R（2m）為與電感串聯(lián)的電阻矩陣；ZLM（2m）為高、低壓繞組各串聯(lián)電感支路及各電感支路間的互感阻抗矩陣，具體如式（8）—式（11）；ZC（5m+3）為各電容支路的阻抗矩陣；G（5m+3）為與各電容并聯(lián)的電導矩陣，具體如式（12）—式（15）。

式中：ω為角頻率，MHV（i，j）為高壓繞組各線餅間的互感；MLV（i，j）為低壓繞組各線餅間的互感；MHL（i，j）為高、低壓繞組各線餅間的互感；i=1，2，3…，m，j=1，2，3…，m。

式中：Cgh，Cgl分別為高壓、低壓對地電容支路的電容矩陣；Csh，Csl分別為高壓、低壓縱向電容支路的電容矩陣；Chl為高低壓繞組間并聯(lián)電容的電容矩陣；Ggh，Ggl分別為高壓、低壓對地電導支路的電導矩陣；Gsh，Gsl分別為高壓、低壓并聯(lián)電導支路的電導矩陣；Ghl為高低壓繞組間并聯(lián)電導的電導矩陣。

1.2.3 稀疏列表方程的建立

將式（5）中的2 個方程相加，可得：

通過分析可知，矩陣H，F(xiàn)的維數(shù)都為（14m+6）×（14m+6），其中H的非零元素個數(shù)為4m2+8m+6，矩陣F的非零元素個數(shù)為14m+6。由此可知，矩陣F，H的非零元素的個數(shù)遠遠小于零元素的個數(shù)，因此，矩陣F，H都是稀疏矩陣。

將式（1）、式（3）與式（16）聯(lián)立，可得稀疏列表法的方程矩陣，即：

此時，求解式（17）即可同時獲得未知量節(jié)點電壓Un、支路電壓U與支路電流I向量。同時，由于矩陣A，F(xiàn)，H均為稀疏矩陣，因此，求解該方程的過程計算量較小，能夠快速求解出未知量，表明稀疏列表法是一種較好的變壓器梯形等效電路頻率響應計算方法。

綜合式（1）—式（17）的推導過程，可得基于稀疏列表法的雙繞組梯形等效電路頻率響應計算流程，如圖3 所示。其中，Uo為輸出電壓向量，Ui輸入電壓向量。

圖3 基于稀疏列表法的FRA曲線計算流程圖Fig.3 Flow chart of FRA curve calculation based on sparse tableau method

2 不同測試接線方式下的FRA 曲線計算

為了提高變壓器繞組頻率響應測試的準確性，業(yè)界建議了多種頻率響應測試的接線方式。在國際電工組織（IEC）[24]、IEEE 電力與能源協(xié)會[25]制定的繞組頻率響應測試標準中，建議了4 種接線形式，分別為端對端式（End to End，EE）、電容式（Capacitive Inter-winding，CIW）、端對端末端短路式（End to End Short-circuit，EES）及電感式（Inductive Interwinding，IIW），如圖4 所示。在現(xiàn)實的頻率響應測試中，由于EE 與CIW 兩種測量接線方式應用最為廣泛，因此，本文為了進一步驗證所述方法的正確性，將對這兩種接線方式下的雙繞組變壓器梯形等效電路的FRA 曲線進行計算。

圖4 4種FRA測試的接線示意圖Fig.4 Schematic diagram of four FRA test connections

根據(jù)圖2 有向圖中各節(jié)點編號，并結合圖4 中的EE 與CIW 接線特點，通過選取對應位置處的節(jié)點電壓，即可計算出2 種接線形式下的頻率響應，分別為：

式中：HEE（ω），HCIW（ω）分別為EE 接線與CIW 接線下頻率響應的幅值矩陣。

據(jù)式（18）、式（19）計算得到頻率響應幅值，并繪制其與頻率的對應關系曲線，該曲線即為FRA 曲線。

3 算例分析

本文針對一個高、低壓繞組均含有6 餅的雙繞組變壓器梯形等效電路模型，利用MATLAB 自編程實現(xiàn)EE 與CIW 接線方式下基于稀疏列表法的雙繞組梯形等效電路的FRA 曲線計算。算例電路模型元件參數(shù)值如表1 所示。

表1 雙繞組梯形等效電路部分元件參數(shù)值Table 1 Partial element parameters of two-winding transformer ladder equivalent circuit

為了驗證本文所提稀疏列表算法的正確性，利用電路電子仿真軟件Multisim 搭建相同的模型，并計算EE 與CIW 接線方式下的FRA 曲線，兩種方法計算得到的FRA 曲線對比如圖5、圖6 所示。

圖5 EE接線方式下的FRA曲線對比Fig.5 FRA curves comparison in EE connection

圖6 CIW接線方式下的FRA曲線對比Fig.6 FRA curves comparison in CIW connection

由圖5、圖6 可知，2 種接線方式下基于稀疏列表法與基于Multisim 的2 組曲線重合，驗證了本文所提出的稀疏列表算法的準確性。為了給出更加客觀、明確的比較結果，本文采用相關系數(shù)與標準差定量描述稀疏列表法與Multisim 計算的FRA 曲線間的一致性與差異性。利用相關系數(shù)CCXY[26]與標準差SDXY[27]計算公式得到的相關系數(shù)與標準差結果如表2 所示。由表2 可知，EE 與CIW 接線下兩種方法計算的FRA 曲線的相關系數(shù)都非常大，都接近1（完全重合），標準差非常小，近似等于0（完全重合）。該指標計算結果表明本文提出的稀疏矩陣列表法能夠準確計算雙繞組變壓器梯形等效電路的FRA 曲線。

表2 相關系數(shù)與標準差Table 2 Correlation coefficient and standard deviation

4 結語

本文研究了不同接線方式下雙繞組變壓器梯形等效電路頻率響應的稀疏列表算法。與節(jié)點電壓法、回路電流法相比，該算法不用通過二次方程求解，即可同時得到不同F(xiàn)RA 測試接線形式下繞組等效電路的頻率響應，能夠滿足且更加適合于需要同時對多種測試接線下繞組等效電路的頻率響應進行計算的場合。算例分析與比較結果驗證了所述方法的正確性。

本文所述算法也可直接應用于變壓器繞組梯形等效電路的阻抗曲線（入端節(jié)點電壓比入端支路電流）與轉(zhuǎn)移導納曲線（入端支路電流比輸出端節(jié)點電壓）計算中。