機(jī)器人在軌組裝結(jié)構(gòu)的耦合動(dòng)力學(xué)與步態(tài)優(yōu)化1)

楊勝麗 吳志剛 孟得山,2) 李慶軍 邵 可

* (中山大學(xué)航空航天學(xué)院,廣東深圳 518107)

? (西北工業(yè)大學(xué)民航學(xué)院,西安 710072)

引言

空間望遠(yuǎn)鏡、通信天線、太陽帆等大型航天器是未來空間任務(wù)的主要發(fā)展方向之一[1-4].但由于其尺度大,運(yùn)載火箭無法一次帶入太空,因此可將其分解為多個(gè)組裝模塊,由運(yùn)載火箭載入太空在軌組裝,航天員在軌組裝大型航天器難度大且十分危險(xiǎn),采用機(jī)器人在軌組裝是大型航天結(jié)構(gòu)最有發(fā)展?jié)摿Φ姆绞街籟5-7].

各國(guó)正在積極研發(fā)用于自主組裝的空間機(jī)器人系統(tǒng)[8],目前常見的在軌組裝機(jī)器人分為自裝配機(jī)器人和附著型裝配機(jī)器人[9],典型的自裝配機(jī)器人有軌道快車、機(jī)器人裝配與服務(wù)基礎(chǔ)設(shè)施(CIRAS)、地球同步軌道衛(wèi)星機(jī)器人服務(wù)(RSGS)[10-12],這類機(jī)器人的操作范圍受工作空間限制,不適用于大型航天結(jié)構(gòu)的組裝.而附著型裝配機(jī)器人可在航天器表面自主移動(dòng),工作范圍能夠覆蓋整個(gè)航天器.比較典型的附著型裝配機(jī)器人有雙足各向同性晶格定位探索者機(jī)器人BILL-E、仿人型機(jī)器人Robonaut 2、空間結(jié)構(gòu)附屬移動(dòng)機(jī)器人Skyworker 和三分支機(jī)器人[13-17].其中三分支機(jī)器人具備操作靈活、適應(yīng)性強(qiáng)等特點(diǎn),采用其依附在結(jié)構(gòu)表面行走組裝是大型航天器在軌建造的有效途徑.然而,航天器結(jié)構(gòu)的大型化和柔性化使得其抗變形能力很弱,一旦受到外部激勵(lì)很容易激發(fā)結(jié)構(gòu)振動(dòng)并且很難自行衰減下來[18-19].當(dāng)機(jī)器人依附在結(jié)構(gòu)表面行走組裝時(shí),機(jī)器人行走不當(dāng)可能激發(fā)結(jié)構(gòu)大幅振動(dòng).因此機(jī)器人在軌組裝過程中的動(dòng)力學(xué)與結(jié)構(gòu)振動(dòng)控制問題對(duì)于大型航天器的構(gòu)建至關(guān)重要[20].

國(guó)內(nèi)外學(xué)者開展了針對(duì)機(jī)器人在軌裝配過程中的動(dòng)力學(xué)與控制問題的研究.武廷課等[21]考慮多臂機(jī)器人與薄膜天線的耦合作用,分別利用單向遞推組集方法和有限元方法建立多臂機(jī)器人的動(dòng)力學(xué)模型和空間薄膜天線系統(tǒng)的動(dòng)力學(xué)模型,通過調(diào)整機(jī)器人末端柔性阻尼執(zhí)行器對(duì)薄膜天線的振動(dòng)進(jìn)行抑制.劉菲[22]通過約束力算法建立多臂機(jī)器人在大型航天器表面移動(dòng)的動(dòng)力學(xué)模型,采用依賴系統(tǒng)模型和參數(shù)的反饋線性化與PD 控制方法,針對(duì)多臂機(jī)器人移動(dòng)過程設(shè)計(jì)能跟蹤期望軌跡的控制器.王啟生等[23-24]采用自然坐標(biāo)法和絕對(duì)節(jié)點(diǎn)坐標(biāo)法建立了雙臂空間機(jī)器人在軌組裝超大型結(jié)構(gòu)過程中的動(dòng)力學(xué)模型,分析了系統(tǒng)參數(shù)對(duì)組裝過程動(dòng)力學(xué)響應(yīng)的影響,并通過軌跡規(guī)劃和軌跡跟蹤控制實(shí)現(xiàn)機(jī)器人空間組裝超大型結(jié)構(gòu)的動(dòng)力學(xué)仿真.陳鋼等[25]針對(duì)多臂機(jī)器人抓取穩(wěn)定性的接觸力不平衡與接觸振動(dòng)問題,提出了力分配與柔順控制策略.榮吉利等[26]將大型空間結(jié)構(gòu)視為剛?cè)岫囿w系統(tǒng),分別采用自然坐標(biāo)法和絕對(duì)節(jié)點(diǎn)坐標(biāo)法對(duì)剛性構(gòu)建和柔性桁架結(jié)構(gòu)進(jìn)行建模,并采用擺線運(yùn)動(dòng)插值函數(shù)作為控制方程提高展開過程的穩(wěn)定性.Tang 等[27]使用達(dá)朗貝爾原理結(jié)合歐拉-伯努利梁理論建立大型柔性細(xì)長(zhǎng)桁架結(jié)構(gòu)攜帶機(jī)械臂的動(dòng)力學(xué)模型.盧國(guó)新[28]建立了空間柔性基座機(jī)器人的剛?cè)狁詈蟿?dòng)力學(xué)模型,并通過分析柔性基座振動(dòng)與機(jī)器人運(yùn)動(dòng)的關(guān)系,提出了一種有效提高機(jī)器人運(yùn)動(dòng)控制精度并抑制基座振動(dòng)的控制方法.李輝[29]采用基于鉸接體概念的空間向量法對(duì)空間站多臂機(jī)器人進(jìn)行動(dòng)力學(xué)建模.Reyhanoglu等[30]使用拉格朗日方法建立了柔性結(jié)構(gòu)上安裝剛性機(jī)械臂的非線性動(dòng)力學(xué)模型,并采用基于Lyapunov的反饋控制法來抑制柔性結(jié)構(gòu)的振動(dòng).Yao 等[31]針對(duì)機(jī)械臂操作大型柔性模塊的振動(dòng)問題,提出了一種用于柔性模塊軌跡跟蹤中振動(dòng)最小化的兩重時(shí)間尺度控制方案.

上述研究工作主要面向的是組裝過程中機(jī)器人基座固定不動(dòng)與空間結(jié)構(gòu)的耦合動(dòng)力學(xué)及控制問題.目前針對(duì)行走移動(dòng)機(jī)器人與空間結(jié)構(gòu)的耦合動(dòng)力學(xué)與振動(dòng)抑制問題的研究較少.周威亞等[32]將機(jī)器人在空間結(jié)構(gòu)上的移動(dòng)情況等效為脈沖載荷按交替步加載到空間結(jié)構(gòu)上,并結(jié)合卡爾曼濾波算法設(shè)計(jì)了一種能夠有效抑制組裝過程中空間桁架結(jié)構(gòu)振動(dòng)的線型二次型最優(yōu)振動(dòng)控制器.Cao 等[33]將在軌裝配機(jī)器人的運(yùn)動(dòng)類比于經(jīng)典的車橋耦合動(dòng)力學(xué)模型進(jìn)行描述.Swei 等[34]建立了一種行走在大型柔性結(jié)構(gòu)上的機(jī)器人-結(jié)構(gòu)耦合動(dòng)力學(xué)模型,并提出了一種結(jié)合標(biāo)準(zhǔn)全狀態(tài)反饋運(yùn)動(dòng)控制器和自適應(yīng)控制器以實(shí)現(xiàn)機(jī)器人的軌跡跟蹤.但是,上述工作均只研究了機(jī)器人相對(duì)于結(jié)構(gòu)接觸位置變化時(shí)的動(dòng)力學(xué)與控制問題,并未考慮機(jī)器人行走運(yùn)動(dòng)過程中包含機(jī)器人關(guān)節(jié)運(yùn)動(dòng)和行走移動(dòng)兩個(gè)不同的運(yùn)動(dòng)過程.

目前對(duì)于機(jī)器人行走步態(tài)對(duì)空間柔性結(jié)構(gòu)的動(dòng)力學(xué)響應(yīng)影響缺乏深入分析討論.本文以如圖1 所示的三分支空間機(jī)器人在軌組裝空間太陽能電站為研究對(duì)象,研究考慮機(jī)器人關(guān)節(jié)運(yùn)動(dòng)和行走移動(dòng)的機(jī)器人與結(jié)構(gòu)耦合動(dòng)力學(xué)問題.基于拉格朗日方程和歐拉-伯努利梁模型建立機(jī)器人與結(jié)構(gòu)的耦合動(dòng)力學(xué)模型,推導(dǎo)結(jié)構(gòu)振動(dòng)與機(jī)器人運(yùn)動(dòng)的關(guān)系,分析結(jié)構(gòu)在機(jī)器人在不同運(yùn)動(dòng)下的動(dòng)力學(xué)響應(yīng),并進(jìn)一步研究通過步態(tài)優(yōu)化調(diào)整機(jī)器人運(yùn)動(dòng)以抑制空間結(jié)構(gòu)振動(dòng).以期為機(jī)器人行走組裝大型空間結(jié)構(gòu)的動(dòng)力學(xué)建模與結(jié)構(gòu)的振動(dòng)抑制工作提供參考.

圖1 三分支機(jī)器人在軌組裝空間太陽能電站示意圖Fig.1 Schematic diagram of three-branch robot on-orbit assembly of space solar power plant

1 機(jī)器人-結(jié)構(gòu)耦合動(dòng)力學(xué)建模

1.1 研究對(duì)象

三分支機(jī)器人如圖2 所示,機(jī)器人由3 個(gè)分支和末端操作工具組成,每個(gè)分支包含一個(gè)3 自由度機(jī)械臂和一個(gè)末端工具.任意兩分支可組成一個(gè)6 自由度機(jī)械臂,每?jī)蓚€(gè)分支之間機(jī)械臂的構(gòu)型完全一樣.本文選擇由分支1 和分支2 構(gòu)成的6 自由度機(jī)械臂來進(jìn)行分析.根據(jù)修正D-H 法確定機(jī)器人的D-H 參數(shù)如表1 所示,其詳細(xì)運(yùn)動(dòng)學(xué)推導(dǎo)見文獻(xiàn)[17].

表1 D-H 參數(shù)表Table 1 D-H parameter

機(jī)器人行走在結(jié)構(gòu)上的耦合系統(tǒng)如圖3 所示.機(jī)器人通過末端工具與結(jié)構(gòu)在接觸點(diǎn)處連接,接觸點(diǎn)不變時(shí),機(jī)器人與結(jié)構(gòu)之間的相互作用力隨著機(jī)器人關(guān)節(jié)的運(yùn)動(dòng)而改變,隨著機(jī)器人在結(jié)構(gòu)上移動(dòng),機(jī)器人與結(jié)構(gòu)之間的相互作用力隨著接觸點(diǎn)位置的改變而改變.通過分時(shí)復(fù)用3 個(gè)分支可以實(shí)現(xiàn)機(jī)器人依附在結(jié)構(gòu)上靈活移動(dòng)并執(zhí)行模塊運(yùn)輸與裝配任務(wù).本文以空間結(jié)構(gòu)-單個(gè)組裝機(jī)器人系統(tǒng)為研究對(duì)象,建立機(jī)器人-結(jié)構(gòu)耦合動(dòng)力學(xué)方程,研究行走移動(dòng)組裝機(jī)器人與其組裝結(jié)構(gòu)的耦合動(dòng)力學(xué).

圖3 機(jī)器人-結(jié)構(gòu)耦合系統(tǒng)Fig.3 Robot-structure coupling system

1.2 三分支機(jī)器人動(dòng)力學(xué)

相較于大型空間結(jié)構(gòu)而言,三分支機(jī)器人尺寸小、剛度大,因此將機(jī)器人簡(jiǎn)化為多剛體系統(tǒng),并對(duì)機(jī)器人作以下幾點(diǎn)假設(shè): (1)假設(shè)機(jī)器人的3 個(gè)分支末端的空間旋轉(zhuǎn)關(guān)節(jié)處于鎖定狀態(tài);(2)忽略關(guān)節(jié)柔性、摩擦和微重力等因素的影響.于是耦合系統(tǒng)中的機(jī)器人可簡(jiǎn)化為如圖4 所示的簡(jiǎn)化模型.其中,mi,Ii,li,i=1,2,···,7;表示各部件的質(zhì)量、慣性矩及連桿長(zhǎng)度.θi和τi表示三分支機(jī)器人各關(guān)節(jié)角度和施加于各關(guān)節(jié)的力矩,i=1,2,···,6;z(x,t)表示空間結(jié)構(gòu)與機(jī)器人分支末端接觸位置處在豎直方向的變形量,fz表示機(jī)器人與結(jié)構(gòu)間的相互作用力.

使用拉格朗日方程建立其動(dòng)力學(xué)模型

其中,L為拉格朗日算子,T為系統(tǒng)的總動(dòng)能,V為系統(tǒng)的總勢(shì)能,Q為廣義力,q為廣義坐標(biāo).系統(tǒng)總動(dòng)能為機(jī)器人各連桿動(dòng)能的總和,同理,系統(tǒng)總勢(shì)能為機(jī)器人各個(gè)連桿勢(shì)能的總和.通過推導(dǎo)得到耦合系統(tǒng)中機(jī)器人的動(dòng)力學(xué)方程為

其中,Hb為分支末端等效的機(jī)器人質(zhì)量,Hbm為機(jī)器人與結(jié)構(gòu)之間的耦合慣性矩陣,Hm為三分支機(jī)器人的慣性矩陣,z為結(jié)構(gòu)在豎直方向的變形,θ為機(jī)器人的各關(guān)節(jié)向量,Cb為結(jié)構(gòu)的非線性速度相關(guān)項(xiàng),Cm為機(jī)器人的非線性速度相關(guān)項(xiàng),fz為結(jié)構(gòu)與機(jī)器人之間的相互作用力,τ為三分支機(jī)器人的關(guān)節(jié)力矩.式(2)的動(dòng)力學(xué)方程是高度耦合非線性的,并且機(jī)器人與結(jié)構(gòu)之間的相互作用力fz未知,因此需要進(jìn)一步結(jié)合結(jié)構(gòu)動(dòng)力學(xué)方程來分析.

1.3 空間結(jié)構(gòu)動(dòng)力學(xué)

機(jī)器人運(yùn)動(dòng)會(huì)對(duì)空間結(jié)構(gòu)產(chǎn)生激勵(lì),由于機(jī)器人與結(jié)構(gòu)在接觸點(diǎn)固連,因此激勵(lì)與機(jī)器人和結(jié)構(gòu)間的相互作用力大小相等,方向相反.將空間結(jié)構(gòu)等效為歐拉-伯努利懸臂梁,則空間結(jié)構(gòu)在xr處受到機(jī)器人對(duì)結(jié)構(gòu)施加的激勵(lì)作用時(shí)的橫向振動(dòng)方程為

式中,ρ為梁的密度,Ι為截面對(duì)中性軸的慣性矩,A為梁的橫截面積,E為彈性模量,-fzδ(x-xr) 表示結(jié)構(gòu)在xr處所受的力,δ為狄拉克函數(shù).假設(shè)EI和ρA都為常值,使用Ritz-Galerkin 方法,梁的橫向變形可近似為

式中,Φi(x)表示第i階模態(tài)的振型函數(shù),vi(t)表示廣義坐標(biāo)(或變形量),n表示保留的模態(tài)階數(shù).對(duì)于長(zhǎng)度為l懸臂梁,其振型函數(shù)為

其中,μil為特征方程cos(μl)·cos(μl)=-1 的解.因此將式(4)代入梁的橫向振動(dòng)方程式(3)得到

式(6) 左右同時(shí)乘以Φj(x),并沿梁長(zhǎng)l對(duì)x積分,有

寫成矩陣形式有

式中

其中,Ms ,Ks表示結(jié)構(gòu)的等效質(zhì)量矩陣和等效剛度矩陣.

1.4 機(jī)器人-結(jié)構(gòu)耦合動(dòng)力學(xué)建模

由式(4)給出空間結(jié)構(gòu)在xr處的橫向變形寫成矩陣形式為

將式(11)代入組裝過程中的機(jī)器人動(dòng)力學(xué)方程式(2),并與結(jié)構(gòu)動(dòng)力學(xué)方程聯(lián)立可化簡(jiǎn)得到機(jī)器人與結(jié)構(gòu)的耦合動(dòng)力學(xué)方程

通過式(12)的下半部分可推導(dǎo)出機(jī)器人關(guān)節(jié)運(yùn)動(dòng)與結(jié)構(gòu)模態(tài)坐標(biāo)之間的關(guān)系

化簡(jiǎn)得到

其中,Mc為耦合質(zhì)量矩陣;Fc為機(jī)器人運(yùn)動(dòng)產(chǎn)生的模態(tài)載荷激勵(lì).式(14)為機(jī)器人運(yùn)動(dòng)與結(jié)構(gòu)振動(dòng)(模態(tài)坐標(biāo))之間的關(guān)系,對(duì)其進(jìn)行求解可求出耦合系統(tǒng)中機(jī)器人運(yùn)動(dòng)對(duì)結(jié)構(gòu)振動(dòng)的影響.

2 機(jī)器人行走步態(tài)軌跡優(yōu)化

2.1 蠕動(dòng)步態(tài)規(guī)劃過程

機(jī)器人的蠕動(dòng)運(yùn)動(dòng)步態(tài)的運(yùn)動(dòng)過程和規(guī)劃流程如圖5 所示.其中ts表示步態(tài)周期,ls表示運(yùn)動(dòng)步長(zhǎng),hs表示抬起高度;紅色、黃色和藍(lán)色圓點(diǎn)分別表示a,b和c點(diǎn).

圖5 機(jī)器人蠕動(dòng)步態(tài)運(yùn)動(dòng)規(guī)劃Fig.5 Robot creeping gait motion planning

具體的蠕動(dòng)步態(tài)規(guī)劃過程如下.

(1) 機(jī)器人處于初始位置,左側(cè)分支記為分支1,右側(cè)分支記為分支2,兩分支均固定在結(jié)構(gòu)上,分支2 末端位于開始位置a點(diǎn),分支1 與分支2 的姿態(tài)對(duì)稱,各關(guān)節(jié)角的絕對(duì)值相等.此時(shí)機(jī)器人處于狀態(tài)1,記為RD1.

(2) 分支1 末端保持與結(jié)構(gòu)固連,分支2 末端操作工具釋放,關(guān)節(jié)1,2,3 和4 協(xié)調(diào)運(yùn)動(dòng),直至分支2 末端運(yùn)動(dòng)至中間位置b點(diǎn),機(jī)器人由RD1 轉(zhuǎn)換為狀態(tài)2,記為RD2.

(3) 分支1 末端繼續(xù)保持固定,直至分支2 末端運(yùn)動(dòng)到目標(biāo)結(jié)構(gòu)位置c點(diǎn),同時(shí)將分支2 末端與結(jié)構(gòu)固連,此時(shí)機(jī)器人由RD2 轉(zhuǎn)換為狀態(tài)3,記為RD3.

(4) 分支2 末端保持固定,同時(shí)釋放分支1 末端,關(guān)節(jié)1,2,3 和4 協(xié)調(diào)運(yùn)動(dòng)使機(jī)器人運(yùn)動(dòng)至與RD2 對(duì)稱,此時(shí)機(jī)器人各關(guān)節(jié)角度與RD2 對(duì)稱,機(jī)器人處于狀態(tài)4,記為RD4.

(5) 分支2 末端繼續(xù)保持固定,分支1 末端運(yùn)動(dòng)至結(jié)構(gòu)目標(biāo)位置,然后將分支1 末端與結(jié)構(gòu)固定,此時(shí)機(jī)器人除了相對(duì)于結(jié)構(gòu)的位置與RD1 不同外,機(jī)器人的各關(guān)節(jié)角和姿態(tài)與RD1 完全相同.至此,機(jī)器人完成了一個(gè)蠕動(dòng)步態(tài)周期的運(yùn)動(dòng),一個(gè)步態(tài)周期時(shí)間記為ts;分支1 末端移動(dòng)的距離為機(jī)器人行走的步長(zhǎng),記作ls;分支末端經(jīng)過中間點(diǎn)時(shí)的抬起高度記為hs.

由蠕動(dòng)步態(tài)的運(yùn)動(dòng)規(guī)劃可知,一個(gè)步態(tài)周期分為前半個(gè)周期分支2 末端邁出與后半個(gè)周期分支1 末端收回兩個(gè)過程.在前半個(gè)周期中,機(jī)器人從RD1 運(yùn)動(dòng)至RD2 再運(yùn)動(dòng)至RD3,即分支2 末端在伸展過程中分別在t0時(shí)刻、t1時(shí)刻和t2時(shí)刻經(jīng)過初始位置a點(diǎn)、中間位置b點(diǎn)和目標(biāo)位置c點(diǎn),對(duì)3 個(gè)位置進(jìn)行逆運(yùn)動(dòng)學(xué)[17]求解可得到機(jī)器人前半個(gè)周期運(yùn)動(dòng)過程中各狀態(tài)對(duì)應(yīng)的各關(guān)節(jié)角度.后半個(gè)周期運(yùn)動(dòng)過程中機(jī)器人的姿態(tài)與前半個(gè)周期對(duì)稱.因此機(jī)器人一個(gè)蠕動(dòng)步態(tài)周期內(nèi)各狀態(tài)對(duì)應(yīng)的各關(guān)節(jié)角度如表2 所示.

表2 蠕動(dòng)步態(tài)各時(shí)刻各關(guān)節(jié)角度Table 2 Angle of each joint at each moment of creeping gait

使用通過中間路徑點(diǎn)的軌跡規(guī)劃方式對(duì)機(jī)器人各關(guān)節(jié)軌跡進(jìn)行軌跡規(guī)劃.假設(shè)分支2 末端經(jīng)過a點(diǎn)和c點(diǎn)的速度為零.由于機(jī)器人做的是周期性運(yùn)動(dòng),因此機(jī)器人各關(guān)節(jié)的軌跡也是周期性的.

2.2 基于5 次多項(xiàng)式與有限項(xiàng)余弦傅里葉級(jí)數(shù)之和的關(guān)節(jié)軌跡參數(shù)化

由機(jī)器人-結(jié)構(gòu)耦合動(dòng)力學(xué)方程可知,結(jié)構(gòu)的橫向振動(dòng)能夠通過機(jī)器人的關(guān)節(jié)運(yùn)動(dòng)軌跡求解,結(jié)構(gòu)振動(dòng)會(huì)影響機(jī)器人的末端軌跡跟蹤,因此需要對(duì)機(jī)器人-結(jié)構(gòu)耦合系統(tǒng)中空間結(jié)構(gòu)的振動(dòng)進(jìn)行抑制.本節(jié)對(duì)機(jī)器人蠕動(dòng)步態(tài)進(jìn)行軌跡優(yōu)化調(diào)整,使得機(jī)器人運(yùn)動(dòng)對(duì)結(jié)構(gòu)產(chǎn)生的擾動(dòng)減小,從而能夠穩(wěn)定高效地完成空間結(jié)構(gòu)的在軌組裝任務(wù).本節(jié)采用含參數(shù)的軌跡規(guī)劃函數(shù)結(jié)合粒子群優(yōu)化算法對(duì)機(jī)器人的運(yùn)動(dòng)步態(tài)進(jìn)行優(yōu)化,即對(duì)關(guān)節(jié)空間的角度、角速度、角加速度進(jìn)行軌跡規(guī)劃,主要步驟如下.

Step1: 根據(jù)機(jī)器人-結(jié)構(gòu)耦合動(dòng)力學(xué)方程,推導(dǎo)機(jī)器人運(yùn)動(dòng)與結(jié)構(gòu)振動(dòng)之間的關(guān)系;

Step2: 構(gòu)造含參數(shù)的關(guān)節(jié)軌跡函數(shù),以其中的待定參數(shù)作為待優(yōu)化變量,軌跡規(guī)劃問題轉(zhuǎn)化為待定參數(shù)尋優(yōu)問題;

Step3: 根據(jù)結(jié)構(gòu)振動(dòng)與關(guān)節(jié)運(yùn)動(dòng)的關(guān)系,構(gòu)造使結(jié)構(gòu)產(chǎn)生最小殘余振動(dòng)的目標(biāo)函數(shù);

Step4: 利用粒子群優(yōu)化算法尋找使得目標(biāo)函數(shù)最小的關(guān)節(jié)軌跡參數(shù),將該參數(shù)代入關(guān)節(jié)軌跡函數(shù)即可求得能夠抑制結(jié)構(gòu)振動(dòng)的關(guān)節(jié)軌跡.

5 次多項(xiàng)式插值常被用于通過中間路徑點(diǎn)運(yùn)動(dòng)的關(guān)節(jié)角度規(guī)劃,多項(xiàng)式函數(shù)完全能夠滿足通過中間路徑點(diǎn)運(yùn)動(dòng)的邊界條件,但包含激發(fā)系統(tǒng)共振的不必要的高次諧波,并且多項(xiàng)式函數(shù)無法通過增加多項(xiàng)式的項(xiàng)來保證求解的收斂性,只用5 次多項(xiàng)式對(duì)通過中間路徑點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)進(jìn)行軌跡規(guī)劃也不能達(dá)到很好的抑制結(jié)構(gòu)振動(dòng)效果;然而傅里葉級(jí)數(shù)展開式能夠通過增加項(xiàng)數(shù)來保證收斂,但無法滿足邊界條件.因此結(jié)合兩個(gè)函數(shù)的優(yōu)勢(shì)考慮采用5 次多項(xiàng)式與有限項(xiàng)余弦傅里葉之和的方式對(duì)關(guān)節(jié)角度進(jìn)行軌跡規(guī)劃.

下式為各關(guān)節(jié)角度軌跡表達(dá)式

對(duì)于這個(gè)多項(xiàng)式而言,根據(jù)蠕動(dòng)步態(tài)的初始終止各個(gè)關(guān)節(jié)的角度信息,可使用式(16)的邊界條件進(jìn)行約束

將5 次多項(xiàng)式的5 次項(xiàng)系數(shù)a15,a25和傅里葉級(jí)數(shù)系數(shù)λ1m和λ2m作為需要設(shè)計(jì)的變量,則5 次多項(xiàng)式的剩余前4 項(xiàng)系數(shù)a10,a11,a12,a13,a14,a20,a21,a22,a23,a24可根據(jù)設(shè)計(jì)系數(shù)和式(16)的邊界條件求得.因此,當(dāng)傅里葉級(jí)數(shù)系數(shù)λim(i=1,2;m=1,2,···,M)和5 次項(xiàng)系數(shù)ai5(i=1,2)確定了,關(guān)節(jié)軌跡的角度、角速度和角加速度也就確定了.于是,機(jī)器人軌跡規(guī)劃問題即轉(zhuǎn)化為確定待定參數(shù)ai5和λim的問題.

2.3 基于粒子群優(yōu)化算法的軌跡參數(shù)優(yōu)化

結(jié)構(gòu)的橫向振動(dòng)能夠通過機(jī)器人的運(yùn)動(dòng)軌跡求解,機(jī)器人各個(gè)關(guān)節(jié)采用前面介紹的軌跡規(guī)劃方式,因此結(jié)構(gòu)的振動(dòng)可通過待定參數(shù)來描述.假定待定參數(shù)用λ來描述,則結(jié)構(gòu)的振動(dòng)位移可表示為

為了避免機(jī)器人運(yùn)動(dòng)過程中產(chǎn)生過大的加速度對(duì)機(jī)器人的穩(wěn)定性造成影響,構(gòu)造出的關(guān)節(jié)軌跡除了需要滿足使結(jié)構(gòu)振動(dòng)最小的目標(biāo)外,還需要限制機(jī)器人運(yùn)動(dòng)過程中各關(guān)節(jié)的角加速度.因此,構(gòu)造如下目標(biāo)函數(shù)

式中,zmax(λ)為在待定參數(shù)下結(jié)構(gòu)的最大振動(dòng)位移,(λ)為各關(guān)節(jié)角加速度的最大值,kz和ka為加權(quán)系數(shù),使不同量綱的物理量經(jīng)過加權(quán)后能進(jìn)行疊加,一般由誤差容許范圍來設(shè)定加權(quán)系數(shù).kz表示結(jié)構(gòu)殘余振動(dòng)位移的最大允許值,ka表示機(jī)器人運(yùn)動(dòng)過程中各關(guān)節(jié)角加速度的最大允許值.優(yōu)化的目的是使目標(biāo)函數(shù)最小.

3 仿真分析

為研究空間機(jī)器人在大型空間結(jié)構(gòu)上行走移動(dòng)時(shí)對(duì)空間結(jié)構(gòu)耦合動(dòng)力學(xué)響應(yīng)的影響,以機(jī)器人蠕動(dòng)運(yùn)動(dòng)步態(tài)為例,研究空間結(jié)構(gòu)在蠕動(dòng)步態(tài)行走下的耦合動(dòng)力學(xué)響應(yīng),并通過軌跡參數(shù)化結(jié)合粒子群優(yōu)化算法找到能夠減小空間結(jié)構(gòu)振動(dòng)的運(yùn)動(dòng)軌跡參數(shù).假設(shè)懸臂梁的長(zhǎng)度為10 m,密度為122 kg/m3,橫截面積為1 m2,截面慣性矩為2.08×10-2m4,彈性模量為24.5 MPa.三分支組裝機(jī)器人的質(zhì)量和幾何參數(shù)見表3.

表3 三分支組裝機(jī)器人的參數(shù)Table 3 Parameters of the three-branch assembly robot

3.1 機(jī)器人行走時(shí)的耦合動(dòng)力學(xué)響應(yīng)分析

空間結(jié)構(gòu)在機(jī)器人蠕動(dòng)步態(tài)行走運(yùn)動(dòng)下的橫向振動(dòng)可由機(jī)器人-結(jié)構(gòu)耦合的動(dòng)力學(xué)方程式(14)求解.為了研究機(jī)器人以蠕動(dòng)步態(tài)在結(jié)構(gòu)上運(yùn)動(dòng)對(duì)結(jié)構(gòu)振動(dòng)的影響,本節(jié)采用5 次多項(xiàng)式插值軌跡規(guī)劃方式在關(guān)節(jié)空間對(duì)機(jī)器人運(yùn)動(dòng)步態(tài)進(jìn)行軌跡規(guī)劃,仿真得到空間結(jié)構(gòu)在機(jī)器人以不同行走步頻、步長(zhǎng)及不同的抬起高度下的動(dòng)力學(xué)響應(yīng).

圖6 為機(jī)器人從結(jié)構(gòu)中間位置向自由端行走5 步之后停止運(yùn)動(dòng)過程中結(jié)構(gòu)的動(dòng)力學(xué)響應(yīng),機(jī)器人運(yùn)動(dòng)的步態(tài)周期為4 s,前20 s 為機(jī)器人行走過程中的結(jié)構(gòu)振動(dòng),后10 s 為結(jié)構(gòu)的殘余振動(dòng).其中圖6(a)為結(jié)構(gòu)的整體變形,圖6(b)為結(jié)構(gòu)末端的振動(dòng)位移.其中實(shí)線表示機(jī)器人行走過程的結(jié)構(gòu)振動(dòng),虛線表示機(jī)器人停止運(yùn)動(dòng)后結(jié)構(gòu)的殘余振動(dòng).從圖中可以看出,機(jī)器人的運(yùn)動(dòng)激發(fā)了結(jié)構(gòu)振動(dòng),隨著機(jī)器人向自由端行走的過程中,由于振動(dòng)的疊加使得結(jié)構(gòu)振動(dòng)的振幅逐漸增大,并且當(dāng)機(jī)器人運(yùn)動(dòng)停止時(shí),結(jié)構(gòu)會(huì)持續(xù)振動(dòng).

圖6 動(dòng)力學(xué)響應(yīng)與末端位移Fig.6 The dynamic response and the end displacement

圖7(a)～圖7(c)分別為機(jī)器人不同步頻、不同行走步長(zhǎng)以及不同抬起高度下結(jié)構(gòu)末端的振動(dòng)位移,從仿真結(jié)果可以看出,機(jī)器人運(yùn)動(dòng)步頻越快,結(jié)構(gòu)振幅越大.由于機(jī)器人運(yùn)動(dòng)一步過程中涉及兩個(gè)不同分支末端分別在結(jié)構(gòu)的不同位置處對(duì)結(jié)構(gòu)產(chǎn)生載荷激勵(lì),所以機(jī)器人運(yùn)動(dòng)步頻接近結(jié)構(gòu)基頻(0.36 Hz)的兩倍時(shí)結(jié)構(gòu)振幅最大.此外,機(jī)器人運(yùn)動(dòng)的步長(zhǎng)越長(zhǎng)、抬起的高度越高,結(jié)構(gòu)的振幅越大.

圖7 結(jié)構(gòu)末端振動(dòng)位移Fig.7 Vibration displacement at the end of the structure

3.2 軌跡優(yōu)化仿真結(jié)果

為了研究機(jī)器人如何行走產(chǎn)生的結(jié)構(gòu)振動(dòng)最小.本節(jié)首先分析了兩種不同軌跡規(guī)劃方式對(duì)結(jié)構(gòu)動(dòng)力學(xué)響應(yīng)影響,然后采用第2.3 節(jié)的優(yōu)化方法優(yōu)化得到使結(jié)構(gòu)振動(dòng)最小的機(jī)器人軌跡.其中軌跡規(guī)劃方式分別采用5 次多項(xiàng)式插值規(guī)劃式

和5-3 組合多項(xiàng)式插值規(guī)劃式

軌跡優(yōu)化方法中的傅里葉級(jí)數(shù)項(xiàng)數(shù)M=3,結(jié)構(gòu)振動(dòng)位移的最大允許值kz=0.005 m,機(jī)器人運(yùn)動(dòng)過程中各關(guān)節(jié)角加速度的最大允許值ka=π rad/s2.在尋找優(yōu)化參數(shù)的PSO 算法中,種群粒子數(shù)和最大迭代次數(shù)分別為48 和2000,待優(yōu)化參數(shù)范圍為ai5∈[-2,2],i=1,2,λim∈[-10,10],m=1,2,3.本節(jié)的一個(gè)蠕動(dòng)步態(tài)周期取6 s,機(jī)器人從中間位置向自由端行走5 步,總的仿真時(shí)間為50 s,后20 s 用于研究殘余振動(dòng)的情況.

圖8 和圖9 為采用不同軌跡規(guī)劃方式運(yùn)動(dòng)一個(gè)步態(tài)周期的各關(guān)節(jié)角度和加速度曲線.關(guān)節(jié)角度曲線表明3 種不同軌跡規(guī)劃方式下機(jī)器人各關(guān)節(jié)都能都運(yùn)動(dòng)至目標(biāo)位置.角加速度曲線表明采用軌跡優(yōu)化方法規(guī)劃出的關(guān)節(jié)角加速度比5-3 組合多項(xiàng)式和5 次多項(xiàng)式軌跡規(guī)劃的小.同時(shí),軌跡優(yōu)化方法還調(diào)動(dòng)了軌跡規(guī)劃方法中未使用到的第3 個(gè)分支上關(guān)節(jié)5 和關(guān)節(jié)6.

圖8 不同軌跡規(guī)劃方式下機(jī)器人各關(guān)節(jié)角度Fig.8 Angle of each joint of the robot under different trajectory planning methods

圖9 不同軌跡規(guī)劃方式下機(jī)器人各關(guān)節(jié)角加速度Fig.9 Angular acceleration of each joint of the robot under different trajectory planning methods

圖9 不同軌跡規(guī)劃方式下機(jī)器人各關(guān)節(jié)角加速度 (續(xù))Fig.9 Angular acceleration of each joint of the robot under different trajectory planning methods (continued)

圖10 為機(jī)器人不同行走方式下結(jié)構(gòu)末端點(diǎn)的振動(dòng)位移.從圖中可以看出,采用軌跡優(yōu)化方法規(guī)劃的機(jī)器人運(yùn)動(dòng)方式激發(fā)的結(jié)構(gòu)振動(dòng)比未優(yōu)化的兩種軌跡規(guī)劃方式小.由此可得出結(jié)構(gòu)的振動(dòng)與機(jī)器人的運(yùn)動(dòng)方式息息相關(guān),當(dāng)軌跡規(guī)劃出的機(jī)器人運(yùn)動(dòng)加速度越小,結(jié)構(gòu)振動(dòng)越小.此外,冗余的第3 分支對(duì)結(jié)構(gòu)的振動(dòng)抑制也起了一定作用.因此,可通過機(jī)器人步態(tài)軌跡優(yōu)化的方式來抑制機(jī)器人行走運(yùn)動(dòng)過程中結(jié)構(gòu)的振動(dòng).

圖10 結(jié)構(gòu)的末端點(diǎn)位移Fig.10 The end point displacement of the structure

4 結(jié)論

面向機(jī)器人行走組裝大型空間結(jié)構(gòu)的任務(wù)需求,本文建立了一種移動(dòng)機(jī)器人與結(jié)構(gòu)的耦合動(dòng)力學(xué)分析模型,對(duì)機(jī)器人在不同蠕動(dòng)步態(tài)下的結(jié)構(gòu)動(dòng)力學(xué)響應(yīng)進(jìn)行了仿真分析,并且提出了采用機(jī)器人步態(tài)優(yōu)化的方式來抑制結(jié)構(gòu)振動(dòng).仿真結(jié)果表明,結(jié)構(gòu)振動(dòng)與機(jī)器人的運(yùn)動(dòng)步頻、步長(zhǎng)且抬起高度以及軌跡規(guī)劃方式息息相關(guān).當(dāng)機(jī)器人行走的步頻越快、步長(zhǎng)越長(zhǎng)且抬起高度越高,其激發(fā)的結(jié)構(gòu)振動(dòng)越大.并且當(dāng)步頻接近結(jié)構(gòu)的固有頻率的兩倍時(shí)會(huì)激發(fā)共振,導(dǎo)致結(jié)構(gòu)產(chǎn)生較大振動(dòng).此外,基于5 次多項(xiàng)式與有限項(xiàng)余弦傅里葉級(jí)數(shù)之和的軌跡優(yōu)化方法比常規(guī)的5-3 組合多項(xiàng)式和5 次多項(xiàng)式規(guī)劃步態(tài)所激發(fā)的結(jié)構(gòu)振動(dòng)要小,并且能夠有效利用行走移動(dòng)中冗余的第3 分支.因此,對(duì)于依附在空間結(jié)構(gòu)上行走移動(dòng)的組裝機(jī)器人,在設(shè)計(jì)其運(yùn)動(dòng)步態(tài)時(shí)應(yīng)使其加速度盡量小并避免運(yùn)動(dòng)步頻與結(jié)構(gòu)固有頻率的兩倍相近.同時(shí),在保障運(yùn)動(dòng)安全穩(wěn)定的前提下盡可能減小抬起高度和運(yùn)動(dòng)步長(zhǎng).此外,機(jī)器人通過步態(tài)軌跡優(yōu)化有效抑制了結(jié)構(gòu)振動(dòng).下一步將研究空間結(jié)構(gòu)表面移動(dòng)機(jī)器人與大型柔性結(jié)構(gòu)之間的分布式協(xié)同振動(dòng)控制問題.