第三定義創(chuàng)設(shè),軌跡性質(zhì)應(yīng)用
——基于幾道教材習(xí)題的探究

江蘇省吳江平望中學(xué) 潘妙妙

蘇聯(lián)數(shù)學(xué)教育家奧加涅相說過:“必須重視很多習(xí)題潛在著進(jìn)一步擴(kuò)展其數(shù)學(xué)功能、發(fā)展功能和教育功能的可行性.”特別是高中數(shù)學(xué)教材,是高中數(shù)學(xué)教學(xué)與學(xué)習(xí)的根源所在,也是高考命題的背景與根基.認(rèn)真鉆研教材,領(lǐng)悟教材的意圖與內(nèi)涵,對(duì)教學(xué)資源進(jìn)行必要的整合與拓展是高中數(shù)學(xué)教學(xué)與學(xué)習(xí)的關(guān)鍵所在.

1 源于教材

習(xí)題[普通高中數(shù)學(xué)必修一(人教A版)第三章“圓錐曲線的方程”中第146頁復(fù)習(xí)參考題第11題]已知△ABC的兩個(gè)頂點(diǎn)A,B的坐標(biāo)分別是(-5,0),(5,0),且AC,BC所在直線的斜率之積等于m(m≠0),求頂點(diǎn)C的軌跡.

以上三道例(習(xí))題研究的都是:平面上異于兩定點(diǎn)的動(dòng)點(diǎn),其與兩定點(diǎn)所構(gòu)成的直線的斜率之積等于非零常數(shù),根據(jù)常數(shù)取值的變化情況,對(duì)應(yīng)的軌跡為橢圓(或雙曲線)問題.而不同問題中具體常數(shù)的取值情況,與對(duì)應(yīng)的軌跡(橢圓或雙曲線)之間存在何種關(guān)系或?qū)?yīng)聯(lián)系呢?其是否與圓的方程之間存在某種關(guān)系?是否與初中學(xué)習(xí)過的涉及圓的圓周角定理、圓的垂徑定理等存在某種關(guān)系?

2 探究拓展

以上展示的是求動(dòng)點(diǎn)軌跡方程的問題,而問題實(shí)質(zhì)與背景就是橢圓(或雙曲線)的“第三定義”,以及與之對(duì)應(yīng)的軌跡方程和相應(yīng)的性質(zhì)問題等.

2.1 第三定義

橢圓(或雙曲線)第三定義:平面內(nèi)與兩個(gè)定點(diǎn)A(-a,0),B(a,0)連線的斜率的乘積等于常數(shù)e2-1的點(diǎn)的軌跡叫做橢圓(或雙曲線).其中兩個(gè)定點(diǎn)A(-a,0),B(a,0)分別為橢圓(或雙曲線)的頂點(diǎn).

當(dāng)常數(shù)e2-1小于0且不等于-1時(shí),對(duì)應(yīng)動(dòng)點(diǎn)的軌跡為橢圓;當(dāng)常數(shù)e2-1大于0時(shí),對(duì)應(yīng)動(dòng)點(diǎn)的軌跡為雙曲線.

2.2 軌跡問題

(1)若λ<-1或-1<λ<0,則動(dòng)點(diǎn)P的軌跡為橢圓(除A,B兩點(diǎn)外);

(2)若λ>0,則動(dòng)點(diǎn)P的軌跡為雙曲線(除A,B兩點(diǎn)外);

(3)若λ=-1,則動(dòng)點(diǎn)P的軌跡為圓(除A,B兩點(diǎn)外).

2.3 性質(zhì)問題

推論1(圓周角定理的推廣)若AB為“有心圓錐曲線”(圓e=0,橢圓01)的“直徑”(過對(duì)稱中心的弦),M為曲線上異于點(diǎn)A,B的任意動(dòng)點(diǎn),則kAM·kBM=e2-1.

推論2(圓的垂徑定理的推廣)若M為“有心圓錐曲線”(圓e=0,橢圓01)的弦AB的中點(diǎn),其中弦AB不過曲線中心O且不平行于對(duì)稱軸,則kAB·kOM=e2-1.

3 鏈接高考

解析：設(shè)Q關(guān)于x軸的對(duì)應(yīng)點(diǎn)為M,則kAP·kAQ=-kAP·kAM.

點(diǎn)評(píng)：高考題常常源于教材而高于教材,是在高中數(shù)學(xué)教材的基礎(chǔ)上合理創(chuàng)設(shè),并進(jìn)一步加以變式拓展與能力提升,很好地考查學(xué)生的“四基”落實(shí)情況,以及數(shù)學(xué)能力與數(shù)學(xué)品質(zhì).

4 教學(xué)啟示

4.1 回歸教材,深挖內(nèi)涵

教材中的例(習(xí))題等,都是不同時(shí)期背景下教學(xué)與研究的精華與積累,具有很好的示范與引領(lǐng)作用.新高考命題方針下,更多的高考真題都出自高中數(shù)學(xué)教材中的例(習(xí))題,借助教材中例(習(xí))題加以背景創(chuàng)設(shè)、情境改編、變式應(yīng)用、拓展提升等,并進(jìn)一步綜合此類例(習(xí))題的背景、知識(shí)、思想、方法、技巧與策略等,既源于教材,又高于教材,充分體現(xiàn)了傳承與發(fā)展.

4.2 以“本”為“本”,提升能力

在高中數(shù)學(xué)教學(xué)中,回歸教材,以其為藍(lán)本,以“本”為“本”,吃準(zhǔn)吃透,鏈接教材前后相關(guān)知識(shí),合理并正確構(gòu)建起高中數(shù)學(xué)相關(guān)知識(shí)的網(wǎng)絡(luò)體系與知識(shí)框架,不斷挖掘數(shù)學(xué)知識(shí)的本源與內(nèi)涵,滲透數(shù)學(xué)思想方法和核心素養(yǎng),讓平時(shí)的數(shù)學(xué)教學(xué)真正為高考提供有效的動(dòng)力與能力支持,全面提升學(xué)生數(shù)學(xué)能力,促其養(yǎng)成良好的數(shù)學(xué)品質(zhì)與習(xí)慣.